zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

CHUỖI LŨY THỪA

Chia sẻ: Lê Tẹt | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:31

Báo xấu

308
lượt xem 58
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong đa số các trường hợp sử dụng, các biểu thức trong chuỗi có thể được xây dựng bằng các công thức hay thuật toán hay thậm chí bằng số ngẫu nhiên. Chuỗi có thể hữu hạn, có số các biểu thức là hữu hạn, hay vô hạn, có số lượng các biểu thức dài vô hạn. Chuỗi hữu hạn có thể được xử lý bằng các phép tính đại số sơ cấp. Trong khi đó các chuỗi vô hạn cần các công cụ giải tích trong các ứng dụng toán học. Trong giải tích thường phân chia chuỗi thành chuỗi số...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CHUỖI LŨY THỪA

IV. CHUỖI LŨY THỪA 1.Định nghĩa ∞ Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng ∑ n =1 n an(x − x0) Bằng phép biến đổi X = ( x − x0 ) ∞ ta đưa chuỗi trên về dạng ∑a X n =1 n n Do đó các kết quả về chuỗi lũy thừa chỉ cần xét cho ∞ trường hợp chuỗi có dạng ∑ n =1 an x n ∞ Rõ ràng chuỗi ∑a x n =1 n n hội tụ tại x =0
2. Định nghĩa bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. ∞ ∗ Số R > 0 sao cho chuỗi lũy thừa ∑ n =1 n an x hội tụ với mọi x : x < R và phân kỳ với mọi x : x > Rđược gọi là bán kính hội tụ của chuỗi. ∗ Khoảng (-R, R) được gọi là khoảng hội tụ của ∞ chuỗi lũy thừa ∑ n =1 an xn
2. Định nghĩa bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (tt). ∞ ∗Nếu chuỗi lũy thừa ∑ n =1 an xn hội tụ ∀x ∈ R ta cho R = +∝ . ∞ ∗Nếu chuỗi lũy thừa ∑ n =1 an x n phân kỳ ∀x ≠ 0 ta cho R = 0.
3. Cách tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. an+1 a) Định lý Abel: Giả sử lim n →∞ a = ρ n ∞ Khi đó bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ n =1 n an x  0 , ρ =+∞ 1 là: R = , 0< ρ
3. Cách tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (tt). b. Định lý Cauchy: Giả sử lim n an = ρ n→∞ ∞ khi đó bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ n =1 an xn 0 , ρ = + ∞ 1 là: R = , 0< ρ
3. Cách tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (tt). ∗Bước 1: Ta dựa vào hai định lý trên để tìm bán kính hội tụ R. ∗Bước 2: Khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa này là: -R < x < R ∗Bước 3: Xét sự hội tụ của chuỗi tại các đầu mút của khoảng hội tụ. Từ đó ta sẽ có được miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∞ ∑n a x n =1 n
4. Một số ví dụ: ∞ n VD1 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ x n =1 n 1 an+1 n Ta có: an = ⇒ = →1 n an n + 1 V ậy R = 1 ∗ Khoảng hội tụ của chuỗi là -1
4. Một số ví dụ - VD 1(tt): ∞ n1 Tại x = -1 ta có chuỗi ∑ (−1) n =1 n hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz. Vậy miền hội tụ của chuỗi là -1 ≤ x
4. Một số ví dụ - VD2(tt): Ta có: an = 1 n ⇒ n an = n1 → 1 n.3 3 n 3 Vậy R=3 ∗Khoảng hội tụ của chuỗi là - 3 < X < 3 ⇔ - 3 < ( x + 2) < 3 ⇔ - 5 < x
4. Một số ví dụ - VD2(tt): ∗Xét sự hội tụ của chuỗi tại 2 đầu mút x = -5 và x = 1: ∞ n1 Tại x = -5 ta có chuỗi ∑ n =1 (−1) n hội tụ. ∞ 1 Tại x = 1 ta có chuỗi ∑ n =1 n phân kỳ. Vậy miền hội tụ của chuỗi là: -5 ≤ x
4. Một số ví dụ (tt): ∞ 2n x VD3: Tìm miền hội tụ của chuỗi ∑ n =1 n.9 n ∞ Đặt X=x 2 , chuỗi ban đầu trở thành ∑a X n =1 n n 1 an = n Ta có: n.9 n an = n1 →1 9 n 9 Vậy R=9
4. Một số ví dụ - VD3(tt): ∗Khoảng hội tụ của chuỗi là 2 x < 3⇔ -3< x < 3 ∗Xét sự hội tụ của chuỗi tại 2 đầu mút x=± 3: ∞ Tại x = ± 3 ta có chuỗi ∑ 1 phân kỳ. n =1 n Vậy miền hội tụ của chuỗi là: -3 < x < 3
4. Một số ví dụ (tt): VD4: Tìm miền hội tụ của chuỗi ∞ ∑ n ( (−1) 1 − x ⋅ n =1 2n + 1 1 + x ) n Đặt X =1 − x 1+ x Chuỗi ban đầu trở thành∑ ∞ ( −1)n n X n =1 2 n + 1 n (−1) Ta có: an = 2n + 1 an+1 2n + 1 = →1⇒ R =1 an 2 n + 3
4. Một số ví dụ - VD4 (tt): ∗Khoảng hội tụ của chuỗi là -1 < X < 1 ⇔ -1 < 1 − x < 1 ⇔ x > 0 1+ x ∗Xét sự hội tụ của chuỗi tại đầu mút x = 0: ∞ n Tại x = 0 ta có chuỗi ∑ (−1) hội tụ theo tiêu n =1 2n + 1 chuẩn Leibnitz. Vậy miền hội tụ của chuỗi là: 0 ≤ x < +∝
5. Các tính chất của chuỗi lũy thừa: a) Tổng của chuỗi lũy thừa là một hàm số liên tục trên miền hội tụ của nó. b) Trên khoảng hội tụ ta có thể lấy đạo hàm từng số hạng của từng chuỗi lũy thừa, nghĩa là ∞ ′ ∞  n ∑ n  ∑ n a x = na xn −1  n=1  n=1 ∞ khi đó chuỗi ∑ n =1 n −1 nan x cũng có bán kính hội tụ là R.
5. Các tính chất của chuỗi lũy thừa (tt): c) Trên khoảng hội tụ ta có thể lấy tích phân từng số hạng của chuỗi lũy thừa, nghĩa là: x ∞ ∞ x ∞   an n+1 ∫0  ∑ ant dt = ∑ ∫ ant dt = ∑ n n x n =1  n =1 0 n =1 n +1 ∞ an n+1 khi đó chuỗi ∑ n =1 n +1 x cũng có bán kính hội tụ là: R
5. Các tính chất của chuỗi lũy thừa (tt): VD1: Hãy tính tổng của chuỗi 3 5 2n +1 x x S(x) = x − + − ... + (−1)n x + ... 3 5 2n + 1 trong miền hội tụ của chúng. ∞ 2n +1 x Ta có: S(x) = ∑ n =0 (−1) 2 n n + 1 có bán kính hội tụ là R=1 ∞ ∞ ⇒ S ' ( x) = ∑ (−1) .x = ∑ (− x ) n 2n 2 n cũng có bán n =0 n =0 ′ S (x) = 1 kính hội tụ là R=1 . Vậy 2 1+ x
5. Các tính chất của chuỗi lũy thừa – VD1 (tt): x x ⇒ S(x) − S(0) = ∫ S′(t)dt = ∫ 1 2 dt 0 01+ t = arctg x − arctg 0 Mà S(0)= 0 nên S(x) = arctgx VD2: Hãy tính tổng của chuỗi 2 3 n S ( x) = x − x + x − ... + (−1) n −1 x + ... 2 3 n trong miền hội tụ của chúng.
5. Các tính chất của chuỗi lũy thừa – VD2 (tt): ∞ n Ta có: S ( x) = ∑ (− 1) n −1 x có bán kính hội tụ là R=1 n =1 n ∞ ∞ Vậy S ( x ) = ∑ ( −1) x ′ = ∑ (− x) n −1 n −1 n cũng có n =1 n =0 bán kính hội tụ là R = 1. ′ Cho nên S (x) = 1 1+ x
5. Các tính chất của chuỗi lũy thừa – VD2 (tt): x x ⇒ S(x) − S(0) = ∫ S (t)dt = ∫ ′ 1 dt = ln(1 + x) 0 0 1 + t Mà S(0) = 0 nên S(x) = ln(1+x) VD3: Hãy tính tổng của chuỗi n −1 S ( x) =1+ 2 x + 3 x + ... + nx 2 + ... trong miền hội tụ của chúng.

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.