zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Đề thi - Kiểm tra

Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán 12 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Lâm Đồng

Chia sẻ: Xylitol Blueberry | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Báo xấu

22
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp các bạn học sinh đang chuẩn bị cho kì thi chọn HSG sắp tới cũng như giúp các em củng cố và ôn luyện kiến thức, rèn kỹ năng làm bài thông qua việc giải “Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán 12 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Lâm Đồng” sau đây. Hi vọng đây là tài liệu hữu ích cho các bạn trong việc ôn tập. Chúc các bạn thi tốt!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán 12 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Lâm Đồng

NHÓM TOÁN VD – VDC SỞ GD&ĐT LÂM ĐỒNG KỲ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 12 ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2018 - 2019 (Đề thi có 01 trang) MÔN: TOÁN – Hệ : THPT Ngày thi : 18/01/2019 Thời gian: 180 phút NHÓM TOÁN VD – VDC Họ và tên: ...................................................................................... SBD: ............................................... . Câu 1: (2,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y   x3  3x 2  3  m 2  1 x  3m 2  1 có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa x1  4 x2  0 . Câu 2: (4,0 điểm) 2.1. Cho a  log 5 6 và b  log 6 12 . Tính log3 60 theo a và b x2 2.2. Giải phương trình 1 x  1  x  2  . 4 Câu 3: (2,0 điểm) Một biển quảng cáo có dạng hình chữ nhật ABCD được sơn trang trí như hình bên. Chi phí để sơn phần tô đậm là 250.000 đồng/ m 2 và phần còn lại là 160.000 đồng/ m 2 . Hỏi số tiền để sơn biển quảng cáo theo cách trên là bao nhiêu? Biết AD  4m , DC  3m và AE  EF  FB . Câu 4: (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A 1;0;3 , B  3;1;3 , C 1;5;1 . Tìm tọa độ    điểm M thuộc mặt phẳng Oxy sao cho biểu thức T  2 | MA |  | MB  MC | có giá trị nhỏ nhất. Câu 5: (2,0 điểm) NHÓM TOÁN VD – VDC k Tính tổng S  22 C2019 2  32 C2019 3 k  ...   1 k 2C2019  ...  20192 C2019 2019 . Câu 6: (4,0 điểm) 6.1. Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , AD và H là giao điểm của CN và DM . Biết SH vuông góc với mặt 2a phẳng ( ABCD) và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC bằng . Tính theo a thể 3 tích khối tứ diện SHMC . 6.2. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABCA ' B ' C ' có AB  2 3 , AA '  3 . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh A ' B ', A ' C ', và BC . Tính côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng  AB ' C ' và  MNP  . Câu 7: (2,0 điểm) Tìm tất cả giá trị của tham số m để hệ phương trình  x  y  4  2 xy   x y  2 2  m x  y  x  x  y  y  5 2  có nghiệm  x; y  thỏa mãn x  1, y  1 . Câu 8: (2,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x  y  z và x 2  y 2  z 2  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  ( x  y )( y  z )( z  x)( xy  yz  zx). ----- HẾT ----- https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 1
NHÓM TOÁN VD – VDC SỞ GD&ĐT LÂM ĐỒNG HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CHÍNH THỨC NHÓM TOÁN VD – VDC Câu 1: (2,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y   x3  3x 2  3  m 2  1 x  3m 2  1 có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa x1  4 x2  0 . Lời giải Tập xác định: D   . y   3x 2  6 x  3  m 2  1 . x  1 m y  0   x  1 m Hàm số có hai điểm cực trị  y   0 có hai nghiệm phân biệt  m  0 . x  1 m +) TH1:  1  x2  1  m 5 Khi đó x1  4 x2  0  1  m  4 1  m   0  m   (TM). 3 x  1 m +) TH2:  1 ,  x2  1  m NHÓM TOÁN VD – VDC 5 Khi đó x1  4 x2  0  1  m  4 1  m   0  m  (TM). 3 5 Vậy m   là các giá trị cần tìm. 3 Câu 2: (4,0 điểm) 2.1. Cho a  log 5 6 và b  log 6 12 . Tính log3 60 theo a và b x2 2.2. Giải phương trình 1 x  1  x  2  . 4 Lời giải 2.1. Cho a  log 5 6 và b  log 6 12 . Tính log3 60 theo a và b . log 5 6  a  log 5 6  a log 6 2  b 1 Ta có:    . log 6 12  b log 5 12  a.b  log 5 2  a b 1 log 5 60 1  log 5 12 1  ab 1  ab log 3 60     . log 5 3 log 5 6  log 5 2 a  a b 1 a  2  b https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 2
NHÓM TOÁN VD – VDC x2 2.2. Giải phương trình 1 x  1  x  2  . 4 Điều kiện: 1  x  1 . NHÓM TOÁN VD – VDC t2  2 Đặt t  1 x  1  x   1 x 2 , với 2 t  2 . 2  t 2  2  2 7     2   t  2 t 2  4t  8  0  t  2 2 Phương trình theo t có dạng: t  4  1 x  1  x  2  1 x 2  1  x  0 . Vậy phương trình có nghiệm x  0 . Câu 3: (2,0 điểm) Một biển quảng cáo có dạng hình chữ nhật ABCD được sơn trang trí như hình bên. Chi phí để sơn phần tô đậm là 250.000 đồng/ m 2 và phần còn lại là 160.000 đồng/ m 2 . Hỏi số tiền để sơn biển quảng cáo theo cách trên là bao nhiêu? Biết AD  4m , DC  3m và AE  EF  FB . Lời giải Gọi H , K lần lượt là trung điểm của AB và CD ; I là giao điểm của CE và DF .  1 NHÓM TOÁN VD – VDC  EH  2 EF 1 1 Ta có:   EH  KC  IH  HK  1 (m) ,  EF  2 KC 3 4  3 IK  3 (m) . Ta có: S ABCD  3.4  12 (m 2 ) . 1 S ADE  S BCF  .1.4  2(m 2 ) . 2 1 1 1 S IEF  IH .EF  .1.1  (m2 ) . 2 2 2 1 1 9 S ICD  IK .CD  .3.3  (m 2 ) . 2 2 2 Gọi S1 là diện tích phần tô đậm và S 2 là diện tích phần còn lại. Ta có: S 2  S ADE  S BCF  S IEF  S ICD  9 (m 2 ) . Suy ra: S1  S ABCD  S 2  3 (m 2 ) . Vậy tổng số tiền để làm là: T  3.250 000  9.160 000  2190 000 (đồng). Câu 4: (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A 1;0;3 , B  3;1;3 , C 1;5;1 . Tìm tọa độ    điểm M thuộc mặt phẳng Oxy sao cho biểu thức T  2 | MA |  | MB  MC | có giá trị nhỏ nhất. Lời giải https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 3
NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC    Gọi K là trung điểm của BC , ta có: K  1;3;2  và MB  MC  2MK . Suy ra:   T  2 | MA | 2 | MK |  2  MA  MK  . Nhận xét: A, K nằm khác phía so với mặt phẳng  Oxy  . Gọi A ' là điểm đối xứng của điểm A qua mặt phẳng  Oxy  . Khi đó: T  2  MA  MK   2  MA  MK  Suy ra : Tmin   MA  MK min  A, M , K thẳng hàng hay M là giao điểm của A ' K với mặt phẳng  Oxy  .  Ta có: H 1; 0; 0   A 1; 0; 3  AK   2;3;5  . Do đó: Phương trình tham số của A ' K là  x  1 2t   1 9   y  3t  M  ; ;0   5 5   z  3  5t Câu 5: (2,0 điểm) k NHÓM TOÁN VD – VDC Tính tổng S  22 C2019 2  32 C2019 3 k  ...   1 k 2C2019  ...  20192 C2019 2019 . Lời giải - Trước hết ta chứng minh đẳng thức: k 2 Cnk  n  n  1 Cnk22  nCnk11 1  2  k  n, k , n     . Thật vậy: do k 2 Cnk  k  k  1 Cnk  kCnk  2 . Mà: kCnk  k . n!  n  1!  n.  n  1!  nCnk11  n.  3 k !.  n  k  !  k  1!.  n  k !  k  1!.   n  1   k  1 ! Áp dụng (3) hai lần ta được:  k  1 kCnk   k  1 nCnk11  n.  k  1 Cnk11  n  n  1 Cnk22  4 Từ  2  ,  3 ,  4  ta được 1 . - Áp dụng 1 ta được: 2019 2019 k k S    1 k C 2 k 2019    1 .  2019.2018.C2017 k 2 k 1  2019.C2018  k 2 k 2 2017 2018 k k k k  2018.2019. C2017 .  1  2019  C2018  1 k 0 k 1  2018.2019. 1  1 2017   2019 1  1 2018   1  2019 . https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 4
NHÓM TOÁN VD – VDC Vậy S  2019 . Câu 6: (4,0 điểm) 6.1. Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , AD và H là giao điểm của CN và DM . Biết SH vuông góc với mặt NHÓM TOÁN VD – VDC 2a phẳng ( ABCD) và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC bằng . Tính theo a thể 3 tích khối tứ diện SHMC . Lời giải Theo giả thiết ABCD là hình vuông, suy ra ADM  DCN (c.g.c) Từ đó suy ra    DM  CN ADH  DCN 2 a a 5 CD 2 2a DC.DN a Vậy có: NC  DC 2  DN 2  a 2     ; HC   ; HD   ; NHÓM TOÁN VD – VDC 2 2 CN 5 NC 5 a 5 a 3a 5 1 1 2a 3a 5 3a 2 HM  MD  HD    và S HMC  HC.HM  . .  2 5 10 2 2 5 10 10 Mặt khác, ta có SH  ( ABCD)  SH  DM Theo chứng minh trên DM  CN , suy ra DM  ( SCN ) . 2a Kẻ HK  SC thì HK là khoảng cách giữa DM và SC . Suy ra HK  . 3 1 1 1 Tam giác SHC vuông tại H , đường cao HK suy ra 2  2  HK SH HC 2 1 1 1 1 1 1  2  2  2  2  2  2  SH  a SH HK HC  2a   2a  a      3   5 1 1 3a 2 a3 Vậy VSHMC  S HMC .SH  . .a  3 3 10 10 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 5
NHÓM TOÁN VD – VDC 6.2. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABCA ' B ' C ' có AB  2 3 , AA '  3 . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh A ' B ', A ' C ', và BC . Tính côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng  AB ' C ' và  MNP  . NHÓM TOÁN VD – VDC Lời giải  Cách 1: A 2 3 C P B 3 Δ G A' C' N I M Q B' NHÓM TOÁN VD – VDC 3 5 Gọi I , Q lần lượt là trung điểm của các cạnh MN và B ' C ' , khi đó AQ  3 2, PI  . 2 Giả sử PI  AQ  G .  G   AB ' C '    MNP  . MN   MNP  , B ' C '   AB ' C ' Hơn nữa  nên giao tuyến của mặt phẳng  AB ' C ' và  MNP  MN  B ' C ' là đường thẳng  đi qua G và song song với MN và B ' C ' . Ta có B ' C '   AA ' QP   AG   . Chứng minh tương tự ta có PG   . Do đó   AB ' C ' ,  MNP     AG, PG  . Mặt khác IQ  AP , theo định lý Ta-lét có GQ GI IQ 1 2 2     GA  2GQ  AQ  2 2 ; GP  2GI  PI  5 . GA GP AP 2 3 3 2 2 Xét tam giác AGP có cos  AGP  2 GA  GP  AP 2 2  2 2    5   32  1 2GA.GP 2 2. 5 10 Vậy cos  1  AB ' C ' ,  MNP    . 10  Cách 2 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 6
NHÓM TOÁN VD – VDC A 3 P NHÓM TOÁN VD – VDC X 3 T A' I Q Gọi I , Q, X lần lượt là trung điểm của các cạnh MN , B ' C ' và AA ' . Ta có AP  PQ  QA '  A ' A  3 và  A ' AP  900  tứ giác APQA ' là hình vuông.  IPQ  XQA '  c  g  c   IPQ XQA '  PI  QX 1 Ta có B ' C '   APQA '  B ' C '  QX , mà MN  B ' C '  MN  QX  2 Từ 1 và  2   QX   MNP  . Chứng minh tương tự ta có A ' P   AB ' C '  . Do đó   AB ' C ' ,  MNP     A ' P, QX  . TP TQ PQ Ta có XA  PQ , theo định lý Ta-lét có    2. TA TX AX Từ đó ta được TP  2 2, XQ  5 . Xét tam giác PTQ , theo định lý côsin ta có 2 2 2   TP  TQ  PQ cosPTQ 2 2  2 2    5   32  1 2TP.TQ 2 2. 5 10 Vậy cos  1 NHÓM TOÁN VD – VDC  AB ' C ' ,  MNP    . 10  Cách 3 Gọi I , O, J lần lượt là trung điểm của các cạnh B ' C ', MN và AP . Ta có MN  B ' C ' và A ' I  B ' C '  MN  A ' I . Đặt hình lăng tru tam giác đều ABC. A ' B ' C ' trong hệ trục tọa độ https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 7
NHÓM TOÁN VD – VDC  Oxyz  với gốc tọa độ O  0;0;0  , chiều dương Ox trùng với tia ON, chiều dương Oy trùng với tia OI , chiều dương Oz trùng với tia OJ . Khi đó ta có :  3   3   3   3   3   3  A  0;  ;3  , B '   3; ; 0  , C '  3; ;0  , M   ; 0; 0  , N  ; 0;0  , P  0; ; 0  2  2  2   2   2   2  NHÓM TOÁN VD – VDC       Gọi n1 , n2 lần lượt là véctơ pháp tuyển của mặt phẳng  AB ' C ' và  MNP  .       Ta có n1   AB ', AC '   0; 2; 2  , n1   MN , MP    0; 2;1 . Gọi  là góc tạo bởi hai mặt phẳng  AB ' C ' và  MNP  .   04 2 1 Khi đó cos  cos n1 , n2   2  10 . 02  22  22  . 02   2   12 Vậy cos  1  AB ' C ' ,  MNP    . 10 Câu 7: (2,0 điểm) Tìm tất cả giá trị của tham số m để hệ phương trình  x  y  4  2 xy   x y  2 2  m x  y  x  x  y  y  5 2  có nghiệm  x; y  thỏa mãn x  1, y  1 . Lời giải  x  y  4  2 xy  1 Xét hệ  x  y (với x, y  1 )  2  m x y  x 2  x  y 2  y  5  2   Từ 1 ta có x  y  2 xy  4 NHÓM TOÁN VD – VDC  Thế vào  2  ta được 2 x  y  m x  y  x 2  2 xy  y 2  1   2x y  m x  y   1 2 x  y     2 Đặt t  x  y  2 và x  y  4  2 xy   x  y  x y  4t  4. 2 Do x  1 , y  1 nên  x  1 y  1  0  xy  x  y  1  0  xy  x  y  1  2 xy  2  x  y   2  x  y  4  2 x  y  2  x  y  6.  Do đó    2t  m t  t 2  1  m  2t    t2 1  t . Hệ đã cho có nghiệm  x; y  thỏa mãn x  1, y  1 khi và chỉ khi phương trình  m  2t   t 2  1  t có nghiệm t   4;6 .  1  Xét hàm số f  t   2t   t 2  1  t với 4  t  6 . Có f   t   2t   t 2  1  t  ln 2   2 . t 1  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 8
NHÓM TOÁN VD – VDC 1 Mà t 2  1  t  t và t2 1  1    1 nên f   t   0 với 4  t  6 . 2 t 1 Suy ra f  t  là hàm số đồng biến. Do đó f  4   m  f  6   16   17  4  64  37  6 .  NHÓM TOÁN VD – VDC Câu 8: (2,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x  y  z và x 2  y 2  z 2  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  ( x  y )( y  z )( z  x)( xy  yz  zx). Lời giải Cách 1 Đặt Q  ( x  y )( y  z )( x  z )( xy  yz  zx ) ta có Q   P. + xy  yz  zx  0 ta có Q  0. + xy  yz  zx  0 đặt t  xy  yz  zx  0. 2 3  x y y z (x  z) Áp dụng BĐT Côsi ta có ( x  y )( y  z )( x  z )    ( x  z)  (1)  2  4 Mà 4  x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx   2( x  z ) 2  2( x  y )2  2( y  z ) 2 2  2( x  z )2   ( x  y )  ( y  z )  3( x  z )2 hay 4  5  t   3( x  z )2  0 (2)  t  5 3 1 4  2 3 2 Từ (1) và (2) suy ra Q  t.  (5  t )   t (5  t )3 . 4 5  9 NHÓM TOÁN VD – VDC Xét hàm số f (t )  t 2 (5  t )3 trên 0  t  5 ta có f (t )  t (5  t ) 2 (10  5 t), f (t )  0  t  2 hoặc t  5 f (0)  0, f (5)  0, f (0)  0, f (2)  108. Do đó Q  4 nên GTLN của Q là 4 khi x  2, y  1, z  0. Suy ra P  4 nên GTNN của P là 4 khi x  2, y  1, z  0. Cách 2: Đặt t  xy  yz  zx  x 2  y 2  z 2  t  5 . 2 2 2 2 2 2 Giả thiết: 10  2 x 2  2 y 2  2 z 2   x  y    y  z    z  x   2t   x  y    y  z    z  x   10  2t 2 2 2 Mà  x  y    y  z    z  x  2 1 2 2 3 2   x  y  y  z   z  x   z  x   z  x  5  t 2 2 4 3 2 2 4 2 x  y  y  z   x  z  x  z   5  t   x  y  y  z    2 2     x  y  y  z     2  4 16  3  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 9
NHÓM TOÁN VD – VDC 2 5  t  20  4t 2 4  y  z   z  x  .  xy  yz  zx    2 2 2 2 3 Ta có: P 2   x  y   .t  5  t  t 2 .  3  3 27 Xét hàm số suy ra P 2  16  min P  4 tại t  2   x; y; z    2;1;0  . NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 10

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.