Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm 2017-2018 - Sở GD&ĐT Bình Thuận

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> BÌNH THUẬN<br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> (Đề này có 01 trang)<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 CẤP TỈNH<br /> NĂM HỌC 2016 – 2017<br /> Môn: Toán<br /> Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)<br /> <br /> Bài 1. (5 điểm)<br /> <br /> 1 3<br /> 2<br /> x   m  1 x 2   6m  3 x  .<br /> 3<br /> 3<br /> Với các giá trị nào của m , hàm số đồng biến trên khoảng  4;  ?<br /> <br /> a) Cho hàm số y <br /> <br /> b) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình x 2  4 x  3  m .<br /> Bài 2. (3 điểm)<br /> Cho các số dương x, y,z . Chứng minh rằng:<br /> <br /> x2<br /> y2<br /> z2<br /> x yz<br /> xy<br /> yz<br /> zx<br /> .<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> yz zx x y<br /> x y yz zx<br /> Bài 3. (4 điểm)<br /> <br /> 1 3 5 2n  1<br /> .<br /> 2 4 6 2n  2<br /> <br /> a) Tìm lim un với un  . . ...<br /> <br /> b) Cho dãy số  vn  định bởi v1  1 và vn1 <br /> <br /> 1  v n2  1<br /> vn<br /> <br /> với mọi n  1 .<br /> <br /> Tìm công thức tính vn theo n.<br /> Bài 4. (4 điểm)<br /> Trong một buổi tiệc có 10 chàng trai, mỗi chàng trai dẫn theo một cô gái.<br /> a) Có bao nhiêu cách xếp họ ngồi thành một hàng ngang sao cho các cô gái ngồi cạnh<br /> nhau, các chàng trai ngồi cạnh nhau và có một chàng trai ngồi cạnh cô gái mà anh ta dẫn theo ?<br /> b) Ký hiệu các cô gái là G1 , G2 ,..., G10 . Xếp hết 20 người ngồi thành một hàng ngang sao<br /> cho các điều kiện sau được đồng thời thỏa mãn:<br /> 1. Thứ tự ngồi của các cô gái, xét từ trái sang phải là G1 , G2 ,..., G10 .<br /> 2. Giữa G1 và G2 có ít nhất 2 chàng trai.<br /> 3. Giữa G8 và G9 có ít nhất 1 chàng trai và nhiều nhất 3 chàng trai.<br /> Hỏi có tất cả bao nhiêu cách xếp như vậy ?<br /> Bài 5. (4 điểm)<br /> Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp và M là một điểm nằm trong tam<br /> giác. Gọi A1 , B1 , C1 là các điểm đối xứng với điểm M lần lượt qua các đường thẳng AI , BI , CI .<br /> Chứng minh rằng các đường thẳng AA1 , BB1 , CC1 đồng quy.<br /> -------------- HẾT ------------Giám thị không giải thích gì thêm.<br /> Ho ̣ và tên thı́ sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . .<br /> <br /> ĐÁP ÁN KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 CẤP TỈNH - Năm học 2016 – 2017<br /> LỜI GIẢI TÓM TẮT<br /> Bài 1. (5 điểm)<br /> a) TXĐ: D = <br /> <br /> ĐIỂM<br /> <br /> y /  x 2  2  m  1 x   6m  3<br /> <br /> 0,25<br /> 0,5<br /> <br /> Hàm số đồng biến trên khoảng  4;  khi và chỉ khi<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> x 2  2  m  1 x   6m  3  0 x  4<br /> <br /> m<br /> <br /> 5<br /> 2<br /> <br /> 0,75<br /> <br /> b) Vẽ đúng đồ thị (C): y  x 2  4 x  3<br /> <br /> 0,75<br /> <br /> Đường thẳng y  m luôn vuông góc với Oy.<br /> Dựa vào đồ thị, ta có:<br /> PT vô nghiệm khi và chỉ khi m  0<br /> PT có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m  0 hoặc m  1<br /> PT có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m  1<br /> PT có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 0  m  1<br /> Bài 2. (3 điểm)<br /> Ta có:<br /> y2<br /> zx<br /> x2<br /> yz<br /> z2<br /> x y<br /> <br />  y,<br /> <br />  x,<br /> <br /> z<br /> zx<br /> 4<br /> yz<br /> 4<br /> x y<br /> 4<br /> x2<br /> y2<br /> z2<br /> x yz<br /> Nên:<br /> <br /> <br /> <br /> yz zx x y<br /> 2<br /> Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x  y  z<br /> Ta có:<br /> x  y 2 xy y  z 2 yz z  x 2 zx<br /> ,<br /> ,<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> zx<br /> x y<br /> 2<br /> 2<br /> yz<br /> x yz<br /> xy<br /> yz<br /> zx<br /> Nên:<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> x y yz zx<br /> Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x  y  z<br /> Bài 3. (4 điểm)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 1 3 5 2n  1<br /> 1<br /> . . ...<br /> <br /> n  1<br /> 2 4 6 2n  2<br /> 3n  4<br /> 1 3 5 2n  1<br /> 1<br /> Mà lim<br /> 0<br />  0 nên lim . . ...<br /> 2 4 6 2n  2<br /> 3n  4<br /> <br /> a) Bằng quy nạp ta chứng minh được<br /> <br /> b) Dự đoán vn  tan<br /> <br /> <br /> <br /> n  1.<br /> <br /> 2n1<br /> Chứng minh công thức đúng bằng quy nạp.<br /> <br /> Bài 4. (4 điểm)<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> 0,25 x 3<br /> 0,5<br /> 0,25<br /> 0,25 x 3<br /> 0,5<br /> 0,25<br /> 1,0<br /> <br /> 0,5 x 2<br /> 0,5<br /> 1,5<br /> <br /> a) Có 2x10!x9! cách.<br /> <br /> 2,0<br /> <br /> b) Giả sử có 20 chỗ ngồi được đánh số thứ tự từ trái sang phải là 1, 2, ..., 20.<br /> Gọi x1 là số chàng trai được xếp bên trái G1 , x2 là số chàng trai được xếp ở giữa<br /> G1 và G2 , x3 là số chàng trai được xếp ở giữa G2 và G3 , ..., x10 là số chàng trai<br /> được xếp ở giữa G9 và G10 , x11 là số chàng trai được xếp bên phải G10 .<br /> Bộ số  x1 , x2 ,..., x11  hoàn toàn xác định vị trí các cô gái và:<br /> 1) x1  x2  ...  x11  10<br /> 2) x2  2<br /> 3) 1  x9  3<br /> Đổi biến y2  x2  2 ta có: x1  y2  x3  ...x 8  x10  x11  8  x9 .<br /> Trong đó các ẩn không âm và 1  x9  3<br /> Sử dụng kết quả bài toán chia kẹo Euler ta được số bộ  x1 , x2 ,..., x11  là:<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> C169  C159  C149  18447<br /> Vậy có 18447.10! cách xếp thỏa đề.<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25x4<br /> 0,25<br /> <br /> Bài 5. (4 điểm)<br /> <br /> Xét trường hợp M nằm trong góc BAI .<br /> Gọi M a , M b , M c lần lượt là các điểm đối xứng với M qua BC , CA, AB .<br /> <br /> <br /> Bằng biến đổi góc, ta chứng minh được M<br /> AA  M<br /> AA nên AA là đường trung<br /> c<br /> <br /> 1<br /> <br /> b<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> trực của đoạn M b M c .<br /> Trường hợp M nằm trong góc CAI hoặc M nằm trên AI ta cũng chứng minh<br /> được AA1 là đường trung trực của đoạn M b M c .<br /> Chứng minh tương tự, ta được BB1 là đường trung trực của đoạn M a M c và CC1<br /> là đường trung trực của đoạn M a M b .<br /> Vậy AA1 , BB1 , CC1 đồng quy.<br /> <br /> 0,5<br /> 1,5<br /> 0,5<br /> 1,0<br /> 0,5<br /> <br />