intTypePromotion=1

Dự thảo Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số phương pháp kết hợp giải hệ phương trình toán tử

Chia sẻ: Vivi Vivi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

0
39
lượt xem
0
download

Dự thảo Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số phương pháp kết hợp giải hệ phương trình toán tử

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án "Một số phương pháp kết hợp giải hệ phương trình toán tử" nghiên cứu và đề xuất một số phương pháp kết hợp giải các bài toán dạng chấp nhận lồi dạng tổng quát (GCFP) trong không gian Hilbert và Banach. Để biết rõ hơn về nội dung chi tiết, mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Dự thảo Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số phương pháp kết hợp giải hệ phương trình toán tử

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN<br /> <br /> ĐẶNG VĂN HIẾU<br /> <br /> MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP<br /> GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ<br /> <br /> Chuyên ngành: Toán ứng dụng<br /> Mã số: 62460112<br /> DỰ THẢO TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC<br /> <br /> Hà Nội - 2016<br /> <br /> Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại<br /> học Quốc gia Hà Nội<br /> <br /> Người hướng dẫn khoa học:<br /> GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh<br /> <br /> Phản biện 1: ............................................<br /> Phản biện 2: ............................................<br /> Phản biện 3: ............................................<br /> <br /> Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia chấm luận<br /> án tiến sĩ họp tại.............................................. vào hồi<br /> <br /> giờ<br /> <br /> năm<br /> <br /> Có thể tìm thấy luận án tại:<br /> - Thư viện Quốc gia Việt Nam<br /> - Trung tâm thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội<br /> <br /> ngày<br /> <br /> tháng<br /> <br /> MỞ ĐẦU<br /> Nhiều bài toán trong khoa học và kĩ thuật như bài toán khôi phục ảnh, bài toán xử lý tín hiệu, bài toán<br /> tối ưu, bài toán cân bằng v.v. dẫn tới giải bài toán chấp nhận lồi sau đây.<br /> Bài toán 0.1 (CFP - Convex Feasibility Problem). Cho Ci , i = 1, . . . , N là các tập con lồi đóng khác rỗng của<br /> không gian Hilbert H hoặc Banach X. Bài toán CFP được phát biểu như sau:<br /> Tìm điểm x ∗ sao cho x ∗ ∈ C :=<br /> <br /> N<br /> <br /> Ci .<br /> <br /> (1)<br /> <br /> i =1<br /> <br /> Dạng đơn giản nhất của bài toán CFP là tìm điểm chung của các tập lồi cho trước (dạng hiển). Khi<br /> đó, kĩ thuật phổ biến giải bài toán CFP là sử dụng phép chiếu lên các tập lồi. Một số phương pháp điển<br /> hình như phương pháp chiếu lặp tuần tự (xoay vòng), phương pháp chiếu lặp đồng thời (song song)<br /> hoặc phương pháp lặp khối. Tuy nhiên trong thực tế hầu hết các tập Ci được cho dưới dạng ẩn, tức<br /> chúng là nghiệm của các bài toán nào đó. Một ví dụ điển hình trong xử lý ảnh, chúng ta cần khôi phục<br /> hình ảnh ban đầu x từ các quan sát f i (chẳng hạn, hình chiếu hoặc các đại lượng vật lý khác liên quan<br /> tới ảnh x). Điều này có thể đưa về giải một hệ phương trình toán tử có dạng Fi ( x ) = f i , i = 1, . . . , N, khi<br /> đó Ci được cho dưới dạng ẩn là nghiệm của phương trình Fi ( x ) = f i .<br /> Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu bài toán chấp nhận lồi dạng tổng quát (GCFP - Generalized<br /> Convex Feasibility Problem). Bài toán GCFP được phát biểu như sau:<br /> Bài toán 0.2 (GCFP - Generalized Convex Feasibility Problem). Cho N bài toán P1 , P2 , . . . , P N trong không<br /> gian Hilbert H hoặc Banach X và các tập Ci trong Bài toán CFP (1) cho dưới dạng ẩn là tập nghiệm của N bài<br /> toán tương ứng Pi , i = 1, . . . , N. Bài toán GCFP cho N bài toán này là:<br /> Tìm điểm x ∗ là nghiệm chung của các bài toán P1 , P2 , . . . , P N .<br /> <br /> (2)<br /> <br /> Sau đây là một số dạng cơ bản của bài toán GCFP được nghiên cứu trong luận án này.<br /> 1. Giải hệ phương trình toán tử (SOE):<br /> Ai ( x ) := Fi ( x ) − f i = 0, x ∈ X, i = 1, 2 . . . , N,<br /> <br /> (3)<br /> <br /> trong đó Fi : X → Y là toán tử, f i ∈ Y và X, Y là các không gian Hilbert hoặc Banach. Khi đó, Pi là bài<br /> toán giải phương trình toán tử Ai ( x ) := Fi ( x ) − f i = 0 và Ci là tập nghiệm tương ứng của nó.<br /> 2. Tìm điểm bất động chung của một họ toán tử (CFPP): Cho C là một tập con lồi đóng và khác rỗng<br /> trong không gian Hilbert H hoặc Banach X và Si : C → C, i = 1, . . . , N là một họ hữu hạn các ánh xạ.<br /> Bài toán CFPP cho họ ánh xạ Si , i = 1, . . . , N là tìm x ∗ ∈ C sao cho:<br /> x ∗ ∈ F :=<br /> <br /> N<br /> <br /> F ( Si ) .<br /> <br /> (4)<br /> <br /> i =1<br /> <br /> Bài toán CFPP là trường hợp riêng của bài toán GCFP với Pi là bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ<br /> Si và Ci = F (Si ) là tập điểm bất động của Si .<br /> 3. Nghiệm chung của các bất đẳng thức biến phân (CSVIP): Cho Ai : C → X, i = 1, . . . , N là các toán<br /> tử. Bài toán CSVIP cho họ các toán tử Ai , i = 1, . . . , N trên C là tìm x ∗ ∈ C sao cho:<br /> Ai ( x ∗ ), x − x ∗ ≥ 0, ∀ x ∈ C, i = 1, . . . , N.<br /> 1<br /> <br /> (5)<br /> <br /> Bài toán CSVIP là một dạng bài toán GCFP với Ci = V I ( Ai , C ) là tập nghiệm của bất đẳng thức biến<br /> phân cho toán tử Ai trên tập C.<br /> 4. Nghiệm chung của các bài toán cân bằng (CSEP): Cho f i : C × C → ℜ, i = 1, . . . , N là các song hàm.<br /> Bài toán CSEP cho họ các song hàm f i , i = 1, . . . , N trên C là tìm x ∗ ∈ C sao cho:<br /> f i ( x ∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C, i = 1, . . . , N.<br /> <br /> (6)<br /> <br /> Bài toán CSEP cũng là một dạng của bài toán GCFP với Ci = EP( f i , C ) là tập nghiệm của bài toán cân<br /> bằng cho song hàm f i trên tập C.<br /> Ngoài các bài toán tìm nghiệm chung nêu trên, trong thực tế còn có nhiều bài toán dạng GCFP khác<br /> như: Bài toán tìm nghiệm chung hỗn hợp (tức là tìm nghiệm chung của nhiều họ bài toán với nhau) hoặc<br /> các bài toán tổng quát hơn, gọi là các bài toán tách, bao gồm bài toán chấp nhận tách, bài toán biến phân<br /> tách và bài toán cân bằng tách.<br /> Trong hai thập niên gần đây, các bài toán dạng GCFP (3) − (6) được quan tâm và nghiên cứu rộng<br /> rãi bởi nhiều nhà toán học. Phần lớn các thuật toán giải chúng là tuần tự (xoay vòng). Ý tưởng chung là<br /> sử dụng một thuật toán đã biết để xấp xỉ nghiệm tại mỗi bước cho một bài toán con và việc này được<br /> lặp một cách luân phiên xoay vòng qua các bài toán thành phần của hệ ban đầu. Đối với hệ phương<br /> trình toán tử SOE (3), nếu không đặt điều kiện gì thêm lên toán tử Fi thì bài toán giải hệ phương trình<br /> Ai ( x ) := Fi ( x ) − f i = 0, i = 1, . . . , N là đặt không chỉnh theo nghĩa nó không có lời giải duy nhất với<br /> mọi vế phải f i ∈ X (X ∗ ) hoặc lời giải không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu ban đầu ( Fi , f i ). Do tính không<br /> ổn định của bài toán đặt không chỉnh nên ta cần chiến lược hiệu chỉnh bài toán. Ý tưởng của phương<br /> pháp hiệu chỉnh là thay bài toán ban đầu bằng một họ các bài toán đặt chỉnh mà nghiệm của chúng hội<br /> tụ về nghiệm của bài toán ban đầu khi tham số hiệu chỉnh dần tới 0. Hai phương pháp hiệu chỉnh phổ<br /> biến được sử dụng cho các bài toán đặt không chỉnh là: Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và Phương pháp<br /> hiệu chỉnh Lavrentiev. Ngoài phương pháp hiệu chỉnh, các phương pháp chỉnh lặp cũng được sử dụng để<br /> giải các bài toán đặt không chỉnh. Ý tưởng của các phương pháp chỉnh lặp là kết hợp các phép lặp đã<br /> biết với kĩ thuật hiệu chỉnh. Một số phương pháp chỉnh lặp điển hình được kể đến như phương pháp<br /> chỉnh lặp bậc không và bậc một, phương pháp chiếu-lặp hiệu chỉnh (iterative-projection regularization<br /> method), phương pháp hàm phạt (penalty method), phương pháp giảm dư (residual method), phương<br /> pháp tựa nghiệm (quasi-solution method).<br /> Hệ phương trình SOE (3) có thể được thiết lập một cách tương đương với bài toán CFPP (4) cho họ<br /> hữu hạn các ánh xạ Ti , i = 1, . . . , N với Ti = x − Ai ( x ). Hai phương pháp lặp phổ biến cho bài toán FPP<br /> (Fixed Point Problem) được sử dụng trong luận án này là phương pháp lặp Mann và phương pháp lặp<br /> Halpern. Dựa trên hai phương pháp cơ bản này, chúng ta có thể thiết kế các thuật toán khác nhau cho<br /> bài toán CFPP (4), chẳng hạn, để giải bài toán CFPP (4) cho một họ các ánh xạ không giãn tương đối<br /> Ti : C → C, i = 1, . . . , N trong không gian Banach, năm 2011, Liu sử dụng thuật toán lặp Halpern và đề<br /> xuất phương pháp lai ghép tuần tự như sau: Chọn x0 ∈ C và<br /> <br />  y = J −1 (α Jx + (1 − α ) JT<br />  n<br /> n 0<br /> n<br /> <br /> n (mod) N x n ),<br /> <br /> <br /> <br />  C = {v ∈ C : φ(v, y ) ≤ α φ(v, x ) + (1 − α )φ(v, x )} ,<br /> n<br /> n<br /> n<br /> n<br /> n<br /> 0<br />  Q = {v ∈ C : Jx − Jx , x − v ≥ 0} ,<br />  n<br /> n n<br /> 0<br /> <br /> <br /> <br /> <br />  x<br /> n +1 = Π Cn ∩ Q n x0 , n ≥ 0,<br /> 2<br /> <br /> (7)<br /> <br /> trong đó J : X → X ∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc và ΠC là phép chiếu tổng quát lên tập C trong không<br /> gian Banach X.<br /> Bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP - Variational Inequality Problem) là một trường hợp đặc biệt<br /> của bài toán cân bằng (EP - Equilibrium Problem). Phương pháp chiếu đơn giản nhất cho bài toán VIP<br /> là phương pháp chiếu đạo hàm (GM - Gradient Method), ở đó chỉ cần tìm một phép chiếu lên tập ràng<br /> buộc. Tuy nhiên, sự hội tụ (hội tụ yếu) của phương pháp này đòi hỏi toán tử là đơn điệu mạnh (hoặc đơn<br /> điệu mạnh ngược). Để vượt qua khó khăn đó, năm 1976, Korpelevich đã đề xuất phương pháp chiếu<br /> đạo hàm tăng cường (EGM - Extragradient Method) khi nghiên cứu bài toán điểm yên ngựa. Phương<br /> pháp EGM được thiết kế như sau:<br /> <br />  y = P ( x − λ A( x )),<br /> n<br /> n<br /> n<br /> C n<br />  x<br /> n +1 = PC ( x n − λn A ( y n )),<br /> <br /> (8)<br /> <br /> trong đó A : H → H là một toán tử và PC là phép chiếu metric lên C. Sự hội tụ của phương pháp EGM<br /> chỉ đòi hỏi tính liên tục Lipschitz và tính đơn điệu (hoặc giả đơn điệu) của toán tử A.<br /> Phương pháp điểm gần kề (PPM) cho bài toán EP bao gồm việc giải một bài toán cân bằng hiệu<br /> chỉnh (REP - Regularization Equilibrium Problem) trên mỗi bước lặp, nghĩa là, biết xn , xấp xỉ tiếp theo<br /> f<br /> <br /> f<br /> <br /> xn+1 = Tr ( xn ), trong đó r > 0 là tham số và Tr là giải thức của song hàm f xác định bởi<br /> f<br /> <br /> Tr ( x ) =<br /> <br /> u ∈ H : f (u, y) +<br /> <br /> 1<br /> y − u, u − x ≥ 0,<br /> r<br /> <br /> ∀y ∈ C , x ∈ H.<br /> <br /> (9)<br /> <br /> f<br /> <br /> Nếu f đơn điệu thì giải thức Tr là đơn điệu mạnh, không giãn và đơn trị. Nếu f là song hàm thuộc lớp<br /> f<br /> <br /> đơn điệu tổng quát hơn, chẳng hạn, giả đơn điệu thì Tr , nói chung, là không đơn trị, không đơn điệu<br /> mạnh. Do đó, phương pháp PPM không thể áp dụng trong trường hợp này. Năm 2008, Quoc và các cộng<br /> sự đã mở rộng phương pháp EGM cho các bài toán EP. Phương pháp EGM cho bài toán EP bao gồm<br /> việc giải hai bài toán tối ưu sau đây<br /> <br />  y = arg min{λ f ( x , y) + 1 || x − y||2 : y ∈ C },<br /> n<br /> n<br /> n<br /> n<br /> 2<br /> 1<br />  x<br /> = arg min{λ f (y , y) + || x − y||2 : y ∈ C }.<br /> n +1<br /> <br /> n<br /> <br /> n<br /> <br /> 2<br /> <br /> (10)<br /> <br /> n<br /> <br /> Ưu điểm của của phương pháp EGM là có thể sử dụng cho lớp các song hàm giả đơn điệu và hai bài<br /> toán tối ưu trên mỗi bước lặp có thể được giải dễ dàng hơn phương pháp PPM trong nhiều trường hợp.<br /> Trong những năm gần đây, cả hai phương pháp PPM và EGM được nghiên cứu sâu rộng bởi các nhà<br /> toán học trong và ngoài nước cả về lý thuyết và thuật toán<br /> Cùng với các bài toán tìm nghiệm chung, bài toán tìm nghiệm chung hỗn hợp cũng được quan tâm<br /> và nghiên cứu. Trong nhiều lĩnh vực của toán học ứng dụng như bài toán tối ưu đa mục tiêu, bài toán<br /> cân bằng Nash-Cournot trong kinh tế, hoặc bài toán tối ưu mà miền ràng buộc được biểu diễn dưới<br /> dạng giao của một họ hữu hạn các tập điểm bất động dẫn tới bài toán tìm nghiệm chung của hai hay<br /> nhiều hơn các bài toán EP, VIP hoặc FPP trong cùng một không gian hoặc hai không gian khác nhau<br /> (qua một ánh xạ tuyến tính). Dựa trên các phương pháp đã biết cho từng bài toán thành phần, các tác<br /> giả đã thiết kế chúng theo một trật tự nhất định và thu được thuật toán cho bài toán tìm nghiệm chung<br /> hỗn hợp. Chẳng hạn, để tìm nghiệm chung của bài toán CSEP cho các song hàm f i , i = 1, . . . , M, bài<br /> toán CSVIP cho các toán tử A j , j = 1, . . . , N và bài toán CFPP cho các ánh xạ không giãn Sk , k = 1, 2, . . .<br /> trong không gian Hilbert H, năm 2010, Saeidi đã sử dụng phương pháp điểm gần kề (PPM), phép chiếu<br /> 3<br /> <br />
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2