Dự thảo tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính ổn định của hệ phương trình động học ngẫu nhiên trên thang thời gian

Chia sẻ: Acacia2510 _Acacia2510 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:33

Thêm vào BST

Báo xấu

14
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của luận án là nghiên cứu tính ổn định của nghiệm của phương trình động lực ngẫu nhiên và phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ trên thang thời gian bằng phương pháp hàm Lyapunov.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Dự thảo tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính ổn định của hệ phương trình động học ngẫu nhiên trên thang thời gian

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ ANH TUẤN TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG HỌC NGẪU NHIÊN TRÊN THANG THỜI GIAN Chuyên ngành : Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Mã số: 62.46.01.06 DỰ THẢO TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2017
Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. NGUYỄN HỮU DƯ Phản biện 1:........................ Phản biện 2:........................ Phản biện 3:........................ Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia chấm luận án tiến sĩ họp tại : vào hồi giờ ngày tháng năm 20 ... Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội
Tóm tắt Lý thuyết giải tích trên thang thời gian được đưa ra lần đầu tiên năm 1988 bởi S. Hilger (xem [29]) nhằm thống nhất các kết quả cho giải tích đối với thời gian liên tục cũng như thời gian rời rạc, đồng thời xây dựng mô hình toán học cho các hệ thống tiến triển không đều theo thời gian, phản ánh đúng các mô hình thực tế. Từ khi ra đời, lý thuyết này đã nhận được sự chú ý của nhiều nhóm nghiên cứu và đã có hàng ngàn công trình nghiên cứu liên quan đến giải tích trên thang thời gian. Một trong những bài toán quan trọng của giải tích trên thang thời gian là nghiên cứu tính chất định tính và định lượng của phương trình động lực như là các bài toán về tồn tại duy nhất nghiệm, các phương pháp giải số nghiệm và các bài toán ổn định... Tuy nhiên, cho đến nay, các kết quả nghiên cứu về giải tích trên thang thời gian tập trung chủ yếu ở giải tích tất định, tức là các phương trình động lực không có sự tham gia của các yếu tố ngẫu nhiên. Vì thế các kết quả này chỉ mô tả được các mô hình phát triển trong các điều kiện môi trường không bị nhiễu nhiễu. Hiển nhiên, các mô hình như thế là không thực tế và ta phải tính đến các yếu tố ngẫu nhiên tác động vào môi trường. Do đó, việc chuyển các kết quả về giải tích của các mô hình tất định trên thang thời gian sang mô hình ngẫu nhiên trên thang thời gian là một nhu cầu cấp thiết. Theo chúng tôi được biết, gần như chưa có kết quả nào đáng kể về nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên trên thang thời gian, đặc biệt các kết quả liên quan đến lý thuyết ổn định của các phương trình động lực và phương trình động lực có trễ. Các kết quả ban đầu về thang thời gian và giải tích ngẫu nhiên trên thang thời gian được đề cập trong [15, 16, 46, 47, 49, 68, ...]. Với các lý do nên trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là “Tính ổn định của hệ phương trình động học ngẫu nhiên trên thang thời gian”. Trong luận án chúng tôi sẽ đề cập đến những vấn đề sau: • Nghiên cứu tính tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình động lực có trễ trên thang thời gian theo đạo hàm ∇: đưa ra khái niệm phương trình ∇-động lực ngẫu nhiên có trễ, nghiệm của phương trình, phát biểu và chứng minh định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ trên thang thời gian. Chúng tôi cũng đưa ra những ước lượng moment của ước lượng nghiệm của phương trình động lực ngẫu nhiên và phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ 1
trên thang thời gian. • Nghiên cứu tính ổn định của nghiệm của phương trình động lực ngẫu nhiên và phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ trên thang thời gian bằng phương pháp hàm Lyapunov. Nếu như giải tích ngẫu nhiên với thời gian liên tục là chủ đề khó vì đòi hỏi nhiều kiến thức cơ sở liên quan đến lý thuyết quá trình Markov, lý thuyết martingle thì nghiên cứu hệ động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian khó hơn nhiều vì cấu trúc của môt thang thời gian rất đa dạng. Điều này khiến cho các tính toán khá phức tạp và chúng cần một số cải tiến. Bên cạnh đó, một số ước lượng của tính toán ngẫu nhiên cho thời gian liên tục không tự động đúng trên thang thời gian tùy ý đòi hỏi phải có các kỹ thuật phù hợp để có thể nhận được kết quả tương tự. 2
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Ở phần đầu của chương này, chúng tôi giới thiệu các khái niệm cơ bản về lý thuyết thang thời gian. Định nghĩa ∇−đạo hàm và ∇−tích phân của một hàm xác định trên thang thời gian. Những kết quả cho ∆-đạo hàm và ∆-tích phân sẽ không được giới thiệu trong luận án này, nhưng ta có thể tìm thấy trong nhiều cuốn sách, ví dụ như [6, ...]. Ở phần cuối của chương này, chúng tôi giới thiệu lý thuyết về giải tích ngẫu nhiên trên thang thời gian, các khái niệm này dựa trên các khái niệm cơ bản về giải tích ngẫu nhiên thông thường mà ta đã biết. Cụ thể chúng tôi giới thiệu về các khái niệm của quá trình ngẫu nhiên trên thang thời gian: quá trình khả đoán, martingale, semimartingale, thời điểm dừng, khai triển Doob-Meyer; ∇−tích phân ngẫu nhiên trên thang thời gian; công thức Itô và ứng dụng của công thức Itô để phát biểu bài toán martingale; đặc biệt là đưa ra công thức của hàm Lyapunov: LV (t, x) = V ∇t (t, x) + AV (t, x) d ∇t X ∂V (t, x) =V (t, x) + (1 − 1I (t))fi (t) + V (t, x + f (t)ν(t)) − V (t, x) Φ(t) i=1 ∂xi d 1 X ∂ 2 V (t, x) Z c b − X ∂V (t, x) + gi (t)gj (t)K t gi (t) uΥ(t, b du) 2 i,j ∂xi xj i=1 ∂x i R Z + (V t, x + f (t)ν(t) + g(t)u − V (t, x + f (t)ν(t)))Υ(t, du), , (1.1) R  0 nếu t trù mật trái với f = (f1 , f2 , · · · , fd ); g = (g1 , g2 , · · · , gd ) và Φ(t) =  1 nếu t rời rạc trái. ν(t) Các kiến thức này được dùng để làm cơ sở cho các chương sau. 3
Chương 2 ∇-Phương trình động lực ngẫu nhiên Gần đây, một công thức để thống nhất các phương trình chuyển động trong các trường hợp liên tục và rời rạc trên thang thời gian đã nhận được nhiều sự quan tâm. Đó chính là phương trình động lực trên thang thời gian. Đối với trường hợp tất định, trong [12], tác giả sử dụng hàm Lyapunov ở dạng bậc hai để nghiên cứu sự ổn định của phương trình động lực tuyến tính; J. Hoffacker và C.C Tisdell kiểm tra tính ổn định và tính không ổn định của điểm cân bằng của phương trình động lực phi tuyến tính [30]. Trong khi sự ổn định của các phương trình tất định trên thang thời gian đã được nghiên cứu từ lâu, thì theo chúng tôi biết, không có nhiều các bài giảng cho trường hợp ngẫu nhiên và cũng chưa có công trình nào giải quyết về vấn đề ổn định của phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian. Mục đích của chương này là chúng tôi dùng hàm Lyapunov để xét sự tồn tại nghiệm; tính hữu hạn của ước lượng moment của ước lượng nghiệm và chúng tôi cũng dùng hàm Lyapunonv để xét điều kiện cần và đủ cho tính p-ổn định mũ của phương trình ∇-động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian T  d∇ X(t) = f (t, X(t ))d∇ t + g(t, X(t ))d∇ M (t) − − (2.1) X(a) = xa ∈ Rd , t ∈ Ta , với M ∈ M2 và xa là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong Rd , Fa − phù hợp, và Ekxa k2 < ∞. Trong đó f : Ta × Rd → Rd và g : Ta × Rd → Rd là hai hàm Borel. Và Z t hM it = Kτ ∇τ, (2.2) a trong đó Kt là quá trình bị chặn Ft − phù hợp, tức là tồn tại hằng số N sao cho P{ sup |Kt | 6 N } = 1. (2.3) a6t6T 4
Sau đó, chúng tôi xét sự ổn định ngẫu nhiên và ổn định mũ hầu chắc chắn của ∇- phương trình động lực ngẫu nhiên (2.1). Công việc này có thể được xem như là một sự thống nhất và khái quát hoá các công việc liên quan đến phương trình sai phân và phương trình vi phân. 2.1 Sự tồn tại nghiệm và tính hữu hạn của moment của phương trình động lực ngẫu nhiên 2.1.1. Nghiệm của phương trình động lực ngẫu nhiên Định nghĩa 2.1.1 ([16]). Một quá trình ngẫu nhiên {X(t)}t∈[a,T ] nhận giá trị trong Rd − được gọi là một nghiệm của phương trình (2.1) nếu (i) {X(t)} là quá trình Ft − phù hợp; (ii) f (·, X(·− )) ∈ L1 ((a, T ]; Rd ) và g(·, X(·− )) ∈ L2 ((a, T ]; M ); (ii) Phương trình Z t Z t X(t) = xa + f (τ, X(τ− ))∇τ + g(τ, X(τ− ))∇Mτ , ∀ t ∈ [a, T ], (2.4) a a được thỏa mãn với xác suất 1. Phương trình (2.1) được gọi là có duy nhất nghiệm trên [a, T ] nếu X(t) và X(t) là hai quá trình thỏa mãn (2.4) thì P {X(t) = X(t) ∀ t ∈ [a, T ]} = 1. Rt Ta có a g(τ, X(τ− ))∇Mτ là Ft −martingale nên nó có bản sao cadlag . Vì vậy, nếu X(t) thỏa mãn (2.4) thì X(t) là cadlag. Hơn nữa, nếu Mt là rd− liên tục, thì X(t) cũng là rd− liên tục. 2.1.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm Định lý 2.1.2 ([16]). Giả sử tồn tại hai hằng số dương K và G sao cho (i) (Điều kiện Lipschitz) với mọi x, y ∈ Rd và t ∈ [a, T ] kf (t, x) − f (t, y)k2 ∨ kg(t, x) − g(t, y)k2 6 Kkx − yk2 ; (2.5) (ii) (Điều kiện tăng tuyến tính) với mọi (t, x) ∈ [a, T ] × Rd kf (t, x)k2 ∨ kg(t, x)k2 6 G(1 + kxk2 ). (2.6) 5
Khi đó, phương trình (2.1)có nghiệm duy nhất X(t) và nghiệm này là semimartingale bình phương khả tích. 2.2 Tính Markov của nghiệm Giả sử martingale Mt là một quá trình Markov, nhận giá trị trong R, với hàm xác suất chuyển P (s, x, t, A). Với tất cả các giả thiết trong mục 2.1 được giữ nguyên. Bổ đề 2.2.1 ([16]). Giả sử Mt là một quá trình Ft −Markov, V (x, ω) là một hàm vô hướng đối với x, bị chặn, đo được, độc lập có điều kiện với Fs khi Ms đã biết. Với ζ là một biến ngẫu nhiên Fs -đo được. Khi đó E(V (ζ, ω)|Fs ) = V (ζ), (2.7) trong đó V (x) = E(V (x, ω)|Ms ). Định lý 2.2.2 ([16]). Giả sử X(t) = X(t, a, xa ) là nghiệm của phương trình động lực ngẫu nhiên (2.1) với điều kiện ban đầu X(a) = xa . Khi đó, (X(t), Mt ) là một quá trình Ft −Markov. 2.3 Điều kiện Lipschitz địa phương về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình động lực ngẫu nhiên Định lý 2.3.1 ([17]). Giả sử rằng với bất kỳ k > 0 và T > a, có một hằng số LT,k > 0 sao cho kf (t, x) − f (t, y)k2 ∨ kg(t, x) − g(t, y)k2 6 LT,k kx − yk2 , (2.8) với ∀ x, y ∈ Rd thỏa mãn kxk ∨ kyk 6 k và t ∈ [a, T ]. Hơn nữa, nếu tồn tại hằng số dương c = c(T ); b = b(T ) và một hàm không âm V ∈ C 1,2 ([a, T ] × Rd ; R+ ) thỏa mãn V ∇t (t, x) + AV (t, x) 6 cV (t− , x) + b, ∀ (t, x) ∈ [a, T ] × Rd , (2.9) và lim inf V (t, x) = ∞. Khi đó, phương trình (2.1) có nghiệm duy nhất Xa,xa (t) kxk→∞ t∈[a,T ] xác định trên Ta . Đặc biệt, nếu tồn tại một hằng số dương c1 = c1 (T ) sao cho c1 kxkp 6 V (t, x), (t, x) ∈ [a, T ] × Rd , (2.10) thì 1 b EkXa,xa (t)kp 6 (V (a, xa ) + )ec (t, a), t ∈ [a, T ]. c1 c 6
Hệ quả 2.3.2. Giả sử rằng các điều kiện (2.2); (2.3) và (2.8) xảy ra và điều kiện tăng tuyến tính kf (t, x)k2 ∨ kg(t, x)k2 6 G(1 + kxk2 ) ∀ (t, x) ∈ [a, T ] × Rd , (2.11) R được thỏa mãn. Hơn nữa, ta giả sử rằng R |u|Υ(t, b du) 6 m1 h.c.c., với m1 là hằng số. Thì, phương trình (2.1) có duy nhất nghiệm Xa,xa (t) xác định trên Ta và thỏa mãn EkXa,xa (t)k2 6 (1 + kxa k2 )ec (t, a), trong đó c là hằng số. 2.4 Tính hữu hạn của moment Định lý 2.4.1. Giả sử rằng điều kiện tăng tuyến tính (2.11) và các điều kiện (2.2), (2.3) được thỏa mãn. Hơn nữa, có hai hằng số m1 , mp sao cho Z Z |u|Υ(t, b du) 6 m1 , |u|p Υ(t, du) 6 mp , ∀ t ∈ [a, T ] (2.12) R R h.c.c.. Khi đó, nghiệm Xa,xa (t) của phương trình (2.1) xuất phát từ xa thỏa mãn ước lượng EkXa,xa (t)kp 6 (kxa kp + 1)eH (t, a), a6t6T (2.13) với H là hằng số. 2.5 p - ổn định mũ của phương trình động lực ngẫu nhiên Xuyên suốt chương này chúng tôi giả sử phương trình (2.1) có một nghiệm duy nhất xác định trên Ta . Cho quá trình Kt bị chặn trên Ta , tức là, có hằng số N thỏa mãn (2.3) không phụ thuộc vào T > a. Giả sử với bất kỳ s > a; xs ∈ Rd , nghiệm Xs,xs (t) của phương trình (2.1) với điều kiện ban đầu Xs,xs , (s) = xs xác định trên Ts là tồn tại duy nhất. Hơn nữa, f (t, 0) ≡ 0; g(t, 0) ≡ 0. (2.14) Khi đó phương trình (2.1) có nghiệm ban đầu Xs,0 (t) ≡ 0. Định nghĩa 2.5.1. Nghiệm ban đầu của phương trình (2.1) được gọi là p-ổn định mũ nếu có một hằng số dương α sao cho với mọi s > a, ∃ Γ = Γ(s) > 1, thì đẳng thức EkXs,xs (t)kp 6 Γkxs kp e α (t, s) trên t > s, (2.15) đúng với mọi xs ∈ Rd . 7
Nếu có thể lựa chọn Γ không phụ thuộc vào s, thì nghiệm ban đầu của phương trình (2.1) gọi là p-ổn định mũ đều. 2.5.1. Điều kiện đủ Định lý 2.5.2. Giả sử tồn tại một hàm V (t, x) ∈ C 1,2 (Ta × Rd ; R+ ), và các hằng số dương α1 , α2 , α3 sao cho α1 kxkp 6 V (t, x) 6 α2 kxkp , (2.16) và V ∇t (t, x) + AV (t, x) 6 −α3 V (t− , x), ∀ (t, x) ∈ Ta × Rd , (2.17) trong đó toán tử vi phân A được định nghĩa bởi (1.1). Khi đó, nghiệm ban đầu x ≡ 0 của phương trình (2.1) p-ổn định mũ đều. 2.5.2. Điều kiện cần Bây giờ chúng tôi xét bài toán ngược bằng cách chỉ ra rằng nếu nghiệm ban đầu của phương trình (2.1) là p-ổn định mũ đều thì tồn tại 1 hàm Lyapunov thỏa mãn (2.17). Đầu tiên, chúng tôi nghiên cứu tính khả vi của các nghiệm ứng với các điều kiện ban đầu và tính liên tục của các hệ số. Bổ đề 2.5.3 (Bất đẳng thức Burkholder trên thang thời gian). Nếu {Mt }t∈Ta là Ft - martingale với E|Mt |p < ∞ ∀ p > 2 và Ma = 0 khi đó tồn tại hằng số dương Bp sao cho ! p X E sup |Ms |p 6 Bp EhM it + E 2 |∇∗ Ms |p , a6s6t a6s6t trong đó ∇∗ Ms = Ms − Ms− . Định lý 2.5.4. Cho p > 2, M ∈ M2 sao cho các điều kiện (2.2), (2.3) và (2.12) được thỏa mãn và cho g ∈ L2 ((a, T ]; M ) với Z t E|g(τ )|p ∇τ < ∞ ∀ t ∈ Ta . a Thì,
Z t
p Z T E sup
g(τ )∇Mτ
6 Cp E|g(τ )|p ∇τ,
a6t6T a a p p trong đó Cp = Bp {(T − a) 2 −1 N + mp }. 2 8
Bổ đề 2.5.5 ([17]). Lấy T, s ∈ Ta ; T > s và p > 2 cố định. Giả sử rằng điều kiện (2.12) được thỏa mãn và quá trình ζ(t) là nghiệm của phương trình ngẫu nhiên Z t Z t ζ(t) = ϕ(t) + ψ(τ )ζ(τ− )∇τ + χ(τ )ζ(τ− )∇Mτ , t ∈ [s, T ]. (2.18) s s Giả sử thêm rằng các hàm ϕ(t), ψ(t) và χ(t) là Ft -phù hợp và tồn tại hằng số K > 0 sao cho với xác suất 1, kψ(t)k 6 K và kχ(t)k 6 K. Thì, E sup kζ(t)kp 6 3p−1 E sup kϕ(t)kp eH1 (T, s), (2.19) s6t6T s6t6T với H1 = 3p−1 K p ((T − s)p−1 + Cp ). Bổ đề 2.5.6. Giả sử các hệ số của phương trình (2.1) liên tục theo s, x và chúng có các đạo hàm riêng cấp một và cấp hai liên bị chặn và điều kiện (2.12) đúng với p > 4. Khi đó, nghiệm Xs,x (t), s 6 t 6 T, với điều kiện ban đầu Xs,x (s) = x của phương trình (2.1) là khả vi hai lần đối với biến x. Hơn nữa, các đạo hàm riêng ∂ ∂2 (Xs,x (t)), (Xs,x (t)) ∂xi ∂xi ∂xj liên tục bình phương trung bình theo x. Bổ đề 2.5.7. Cho p > 4 và 2 6 β 6 p. Khi đó, ánh xạ F (φ) : φ → E|φ|β từ Lp (Ω, F, P) tới R khả vi hai lần với mọi φ0 6= 0 và F 0 (φ0 )(φ) = βE[|φ0 |β−1 φ]; F 00 (φ0 )(φ, ψ) = β(β − 1)E[|φ0 |β−2 φψ]. Bổ đề 2.5.8. Cho các hệ số của phương trình (2.1) liên tục theo t, x và thỏa mãn điều kiện (2.14). Giả sử các điều kiện của bổ đề 2.5.6 được thỏa mãn và 2 6 β 6 p. Khi đó, cho t > a cố định, hàm u(s, x) = EkXs,x (t)kβ ; a < s < t khả vi liên tục hai lần theo x ngoại trừ tại x = 0. Định lý 2.5.9. Giả sử M có gia số độc lập và các điều kiện của bổ đề 2.5.6 đúng và 2 6 β 6 p. Giả sử hơn nữa rằng AV (t, x) là ld-liên tục theo (t, x) với mọi hàm V ∈ C 1,2 (Ta × Rd ; R). (2.1) bắt đầu ở x tại thời điểm s. Khi đó, hàm u(s, x) = EkXs,x (t)kβ , a < s < t là ∇-khả vi theo s, khả vi liên tục hai lần theo x và thỏa mãn phương trình u∇s (s, x) + Au(s, x) = 0. (2.20) Định lý 2.5.10. Giả sử các điều kiện của định lý 2.5.9 được thỏa mãn. Giả sử hơn nữa rằng, với T > 0 cố định, tồn tại một hàm γT : T → T với γ(T, s) > s + T, ∀ s ∈ T sao cho γ(T, s) và ∇-đạo hàm γ ∇s (T, s) bị chặn. Nếu nghiệm ban đầu của phương trình (2.1) là β- ổn định mũ đều, thì tồn tại một hàm V (s, x) ∈ C 1,2 (Ta × Rd ; R+ ) thỏa mãn các đẳng thức (2.16), (2.17). 9
Ví dụ 2.5.11. Xét phương trình động lực ngẫu nhiên tuyến tính  d∇ X(t) = aX(t )d∇ t + bX(t )d∇ M (t) ∀ t ∈ T − − s (2.21) X(s) = x, trong đó a, b là hai hằng số, a là regressive và M là martingale bình phương khả tích có gia số độc lập. Tính toán ta có Z t 2 2 2 EXs,x (t) =x + q(τ )EXs,x (τ− )∇τ, (2.22) s trong đó b c + a2 ν(t) q(t) = 2a + b2 K t Z Z Z 2 2 + 2b(1 + aν(t)) uΥ(t, du) + b u Υ(t, du) − 2b uΥ(t, b du) R R R 2 bc 2 = 2a + b + a ν(t) K t Z Z Z e du) + b2 u2 Υ(t, du) + aν(s) uΥ(t, du). + 2b uΥ(t, R R R R R Từ R uΥ(t, du) e = E[Mt − Mρ(t) |Fρ(t) ] = 0 và ν(t) R uΥ(t, du) = 0, Z q(t) = 2a + b2 K b c + a2 ν(t) + b2 t u2 Υ(t, du). (2.23) R Chúng tôi định nghĩa hàm q(t) = lim q(s). Ta thấy rằng q là rd-liên tục và q(t) = ρ(s)↓t 2 q(σ(t)) nếu t là rời rạc phải. Từ {t : µ(t) > 0} đếm được và mes{t : EXs,x (t− ) 6= 2 EXs,x (t)} = 0, Z t Z X 2 2 2 q(τ )EXs,x (τ− )∇τ = q(τ )EXs,x (τ− ) dτ + q(τ )EXs,x (τ− )ν(τ ) s (s,t] s s. s h&µ(τ ) h 10
Chọn T > 0 sao cho ln Γ − θT2 < 0 ta có Z t ln(1 + q(τ )h) θ(t − s) lim ∆τ 6 − , ∀ t > s + T. s h&µ(τ ) h 2 Vì vậy, từ tính ổn định mũ cấp hai của (2.21) suy ra Z t 1 ln(1 + q(τ )h) sup lim ∆τ : t > s + T < 0. (2.25) t − s s h&µ(τ ) h Ngược lại, giả sử rằng (2.25) đúng. Bởi các giả sử này, có các số α > 0, K ∗ > 0 sao cho 0 < eq (t, s) 6 K ∗ e−α (t, s). Từ (2.24) ta nhìn thấy rằng nghiệm ban đầu của phương trình là ổn định mũ cấp hai. Để minh họa cho định lý 2.5.10 về hàm Lyapunov ta đặt Z ∞ 2 V (s, x) = x eq (τ− , s)∇τ = x2 Q(s). s Tính toán ta có Q∇s (s) = −1 − q(s)Q(s). Hiển nhiên, V ∇s (s, x) + AV (s, x) = Q∇s (s)x2 + q(s)Q(s)x2 = (−q(s)Q(s) − 1)x2 + q(s)Q(s)x2 = −x2 . (2.26) 2 Dùng (2.22) và thực tế là lim EXs,x (t) = 0 chúng ta có thể chỉ ra rằng V (s, x) > α1 x2 t→∞ K∗ 2 −1 với α1 = (sup |q(t)|) . Hơn nữa, eq (t, s) 6 K ∗ e−α (t, s). Vì vậy, V (s, x) 6 α x . Từ t (2.26) và các bất đẳng thức trên ta có α V ∇s (s, x) + AV (s, x) 6 − V (s− , x). K∗ Vì vậy, các điều kiện của định lý 2.5.2 được thỏa mãn. Ta có được điều cần chứng minh. 2.6 Ổn định ngẫu nhiên của phương trình động lực ngẫu nhiên 2.6.1. Định nghĩa Kí hiệu K là họ tất cả các hàm liên tục không giảm ϕ : R+ → R+ sao cho ϕ(0) = 0 và ϕ(r) > 0 nếu r > 0. Cho h > 0, đặt Sh = {x ∈ Rd : kxk < h} và C 1,2 (Ta × Sh ; R+ ) là họ tất cả các hàm không âm V (t, x) từ Ta × Sh vào R+ sao cho nó khả vi liên tục một lần theo t và hai lần theo x. Các định nghĩa của ổn định ngẫu nhiên; ổn định tiệm cân ngẫu nhiên; ổn định tiệm cận ngẫu nhiên lớn cho nghiệm ban đầu của phương trình (2.1) đã được đề cập đến trong [52]. Tương ứng như sau, 11
Định nghĩa 2.6.1. (i) Ổn định ngẫu nhiên: với mọi cặp ε ∈ (0, 1) và r > 0, tồn tại δ = δ(ε, r, a) > 0 sao cho P {sup kXa,xa (t)k < r} > 1 − ε với bất kỳ xa ∈ Rd thỏa mãn kxa k < δ. t∈Ta (ii) Ổn định tiệm cận ngẫu nhiên: nếu nó là ổn định ngẫu nhiên và, với mọi ε ∈ (0, 1), tồn tại δ0 = δ0 (ε, a) > 0 sao cho P { lim Xa,xa (t) = 0} > 1 − ε với bất kỳ kxa k < δ0 . t→∞ (iii) Ổn định tiệm cận ngẫu nhiên lớn: nếu nó là ổn định ngẫu nhiên và, hơn thế nữa, với mọi xa ∈ Rd P { lim Xa,xa (t) = 0} = 1. t→∞ 2.6.2. Điều kiện đủ Định lý 2.6.2. Nếu tồn tại một hàm V (t, x) ∈ C 1,2 (Ta ×Sh ; R+ ), thỏa mãn V (t, 0) ≡ 0 và, có một hàm ϕ ∈ K, sao cho V (t, x) > ϕ(kxk) với mọi (t, x) ∈ Ta × Sh , và LV (t, x) 6 0 với mọi (t, x) ∈ Ta × Sh , thì nghiệm ban đầu của phương trình (2.1) là ổn định ngẫu nhiên. Định lý 2.6.3. Nếu tồn tại một hàm V (t, x) ∈ C 1,2 (Ta × Sh ; R+ ) và có các hàm ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 ∈ K, sao cho ϕ1 (kxk) 6 V (t, x) 6 ϕ2 (kxk) với mọi (t, x) ∈ Ta × Sh , và LV (t, x) 6 −ϕ3 (kxk) với mọi (t, x) ∈ Ta × Sh , thì nghiệm ban đầu của phương trình (2.1) là ổn định tiệm cận ngẫu nhiên. Định lý 2.6.4. Nếu tồn tại một hàm V (t, x) ∈ C 1,2 (Ta × Rd ; R+ ) với V (t, 0) ≡ 0 và lim inf V (t, x) = ∞. kxk→∞ t>a 12