Luận án Tiến sĩ Khoa học giáo dục: Dạy học khái niệm đạo hàm và tích phân theo quan điểm liên môn: Trường hợp liên môn Toán – Vật lí

Chia sẻ: Nhiên Hà | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:243

Thêm vào BST

Báo xấu

42
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của luận án là làm rõ mối quan hệ LM giữa Toán và Vật lí từ cả góc độ tri thức luận và sư phạm đối với hai khái niệm đạo hàm và tích phân. Luận án cũng hướng đến mục tiêu đề xuất và thử nghiệm các giải pháp sư phạm nhằm tận dụng mối quan hệ liên môn nói trên để giúp người học hiểu đầy đủ hơn về đạo hàm, tích phân và ứng dụng hiệu quả chúng trong các vấn đề của Vật lí.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Khoa học giáo dục: Dạy học khái niệm đạo hàm và tích phân theo quan điểm liên môn: Trường hợp liên môn Toán – Vật lí

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH -------------------------- NGÔ MINH ĐỨC DẠY HỌC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN THEO QUAN ĐIỂM LIÊN MÔN: TRƯỜNG HỢP LIÊN MÔN TOÁN – VẬT LÍ LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – NĂM 2021
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH -------------------------- NGÔ MINH ĐỨC DẠY HỌC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN THEO QUAN ĐIỂM LIÊN MÔN: TRƯỜNG HỢP LIÊN MÔN TOÁN – VẬT LÍ Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn toán Mã số : 62.14.01.11 LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2021
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu. Các số liệu và kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tác giả luận án Ngô Minh Đức
MỤC LỤC DANH MỤC TỪ, CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN ÁN DANH MỤC CÁC BẢNG DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, SƠ ĐỒ MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1 1. Lí do chọn đề tài .................................................................................................. 1 1.1. Một số vấn đề đặt ra cho dạy học giải tích ...................................................... 1 1.2. Dạy học liên môn Toán và Vật lí, một xu hướng để khắc phục ...................... 3 1.3. Lựa chọn đối tượng tri thức ............................................................................. 5 2. Tổng quan về vấn đề nghiên cứu ....................................................................... 6 2.1. Cách hiểu của người học về hai khái niệm đạo hàm và tích phân .................. 6 2.2. Nghiên cứu theo hướng dạy học đạo hàm và tích phân để hỗ trợ cho việc ứng dụng trong Vật lí ..................................................................................................... 9 2.3. Nghiên cứu về việc sử dụng Vật lí để hỗ trợ việc dạy học các khái niệm của Giải tích ................................................................................................................ 11 2.4. Các chương trình dạy học theo hướng liên môn Giải tích với Vật lí ............ 12 2.5. Nghiên cứu về dạy học giải tích theo quan điểm liên môn ở Việt Nam ....... 13 2.6. Kết luận và định hướng nghiên cứu .............................................................. 14 3. Cơ sở lí luận ....................................................................................................... 16 4. Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu ....................................................................... 16 5. Giả thuyết khoa học .......................................................................................... 17 6. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 17 7. Những luận điểm cần bảo vệ............................................................................ 18 8. Các đóng góp mới của luận án ........................................................................ 18 9. Cấu trúc luận án ............................................................................................... 19 CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN ........................................................................... 200 1.1. Liên môn. Các mô hình, chiến lược liên môn Toán và Khoa học ........... 20 1.1.1. Về khái niệm liên môn ........................................................................... 20 1.1.2. Liên môn Toán và môn khoa học: một số mô hình và cách tiếp cận ..... 24 1.1.3. Ba chiến lược dạy học liên môn Toán – Khoa học ................................ 27
1.2. Về việc hiểu và ứng dụng một khái niệm toán học .................................. 28 1.2.1. Hiểu khái niệm toán học ........................................................................ 29 1.2.2. Ứng dụng khái niệm toán học ................................................................ 31 1.2.3. Tiểu kết .................................................................................................. 32 1.3. Thuyết nhân học trong Didactic Toán ...................................................... 33 1.3.1. Về thuyết nhân học ................................................................................ 33 1.3.2. Lý thuyết chuyển hóa sư phạm .............................................................. 34 1.3.3. Phân tích tri thức luận ............................................................................ 36 1.3.4. Quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân ...................................................... 37 1.3.5. Tổ chức tri thức ...................................................................................... 39 1.4. Lý thuyết tình huống ................................................................................... 39 1.4.1. Những điểm đặc trưng của lý thuyết tình huống ................................... 39 1.4.2. Tình huống lí tưởng ............................................................................... 41 1.4.3. Biến dạy học .......................................................................................... 42 1.5. Đồ án dạy học .............................................................................................. 43 1.5.1. Khái niệm đồ án dạy học ....................................................................... 43 1.5.2. Các bước để xây dựng một đồ án dạy học ............................................. 44 1.6. Kết luận chương 1: những nghiên cứu cần triển khai ............................. 46 CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN: MỐI QUAN HỆ GẮN KẾT GIỮA GIẢI TÍCH VÀ VẬT LÍ NHÌN TỪ LỊCH SỬ .................................................... 50 2.1. Mục tiêu của chương và định hướng thực hiện ........................................ 50 2.2. Quan hệ gắn kết giữa Toán học với Vật lí học trong lịch sử hình thành và tiến triển của đạo hàm, tích phân ..................................................................... 51 2.2.1. Thời kì cổ đại ......................................................................................... 51 2.2.2. Thời kì tiền Giải tích (sau Archimedes và trước Newton – Leibniz) .... 53 2.2.3. Cơ học cổ điển của Newton và vai trò công cụ của Giải tích ................ 58 2.2.4. Những đóng góp của Giải tích vào sự phát triển sau đó của Vật lí ....... 62 2.3. Đặc trưng tri thức luận của đạo hàm và tích phân .................................. 63 2.3.1. Các bài toán là động lực nảy sinh và tiến triển của đạo hàm, tích phân 63 2.3.2. Các nghĩa của hai khái niệm đạo hàm và tích phân ............................... 66 2.4. Kết luận chương 2 và những gợi ý sư phạm được rút ra ........................ 66
CHƯƠNG 3. ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN: MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ TỪ QUAN ĐIỂM LIÊN MÔN GIỮA GIẢI TÍCH VÀ VẬT LÍ............................... 70 3.1. Mục tiêu của chương và định hướng thực hiện ........................................ 70 3.2. Nghiên cứu mối quan hệ thể chế đối với khái niệm đạo hàm nhìn từ định hướng liên môn ................................................................................................... 71 3.2.1. Đạo hàm trong thể chế IVL ...................................................................... 71 3.2.2. Đạo hàm trong thể chế IT........................................................................ 75 3.3. Nghiên cứu mối quan hệ thể chế đối với khái niệm tích phân nhìn từ định hướng liên môn ................................................................................................... 80 3.3.1. Tích phân trong thể chế IVL .................................................................... 81 3.3.2. Tích phân trong thể chế IT ...................................................................... 88 3.4. Kết luận chương 3: mối quan hệ liên môn Toán – Vật lí trong việc dạy học hai khái niệm đạo hàm và tích phân .......................................................... 95 CHƯƠNG 4. CÁC GIẢI PHÁP SƯ PHẠM ......................................................... 97 4.1. Cơ sở đề xuất giải pháp ............................................................................... 97 4.1.1. Cách hiểu đầy đủ về khái niệm đạo hàm, tích phân ............................... 98 4.1.2. Ứng dụng khái niệm đạo hàm, tích phân trong Vật lí .......................... 102 4.1.3. Vận dụng các chiến lược liên môn Toán – Khoa học trong dạy học khái niệm đạo hàm, tích phân ................................................................................ 105 4.1.4. Sự liên môn thể hiện trong chuyển hóa sư phạm hai tri thức đạo hàm, tích phân ................................................................................................................ 107 4.2. Các giải pháp sư phạm .............................................................................. 109 4.2.1. Nhóm 1: Nhóm giải pháp xây dựng cách hiểu đầy đủ hơn cho người học về hai khái niệm đạo hàm và tích phân .......................................................... 110 4.2.2. Nhóm 2: Nhóm giải pháp nhằm tăng cường vai trò công cụ của đạo hàm và tích phân và giúp người học ứng dụng hiệu quả chúng trong các vấn đề của Vật lí ............................................................................................................... 114 CHƯƠNG 5. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ................................................ 126 5.1. Đồ án dạy học khái niệm đạo hàm ........................................................... 126 5.1.1. Mục tiêu xây dựng đồ án ...................................................................... 126 5.1.2. Các giải pháp được vận dụng ............................................................... 127
5.1.3. Các phân tích ban đầu .......................................................................... 128 5.1.4. Các bài toán cơ sở của đồ án ............................................................... 130 5.1.5. Phân tích tiên nghiệm .......................................................................... 133 5.1.6. Phân tích hậu nghiệm........................................................................... 140 5.1.7. Kết luận cho thực nghiệm dạy học khái niệm đạo hàm ....................... 149 5.2. Đồ án dạy học khái niệm tích phân ......................................................... 149 5.2.1. Mục tiêu xây dựng đồ án ..................................................................... 149 5.2.2. Các giải pháp được vận dụng............................................................... 150 5.2.3. Các phân tích ban đầu .......................................................................... 151 5.2.4. Các bài toán cơ sở của đồ án ............................................................... 155 5.2.5. Phân tích tiên nghiệm .......................................................................... 158 5.2.6. Phân tích hậu nghiệm........................................................................... 172 5.2.7. Kết luận cho thực nghiệm dạy học khái niệm tích phân...................... 189 5.4. Kết luận chương 5 ..................................................................................... 189 KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN............................................................................... 191 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ......................................... 194 TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................... 195
CÁC TỪ, CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN ÁN VIẾT TẮT VIẾT ĐẦY ĐỦ DH Dạy học GT Giải tích GV Giáo viên HS Học sinh LM Liên môn SGK Sách giáo khoa SV Sinh viên TN Thực nghiệm tr Trang
DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 3.1. Kiểu nhiệm vụ vật lí có sử dụng công cụ tích phân……………………....93 Bảng 5.1. Thống kê kết quả bài toán 2a……………………………………………144 Bảng 5.2. Kết quả cuộc thi ở pha 4………………………………………………..145 Bảng 5.3. Khung lý thuyết của tích phân trong ngữ cảnh vật lí……………….…..153 Bảng 5.4. Khung lý thuyết về đa biểu diễn của tích phân………………..………..162 Bảng 5.5. Kết quả TN bài toán 1 và 2…………………………………………......174 Bảng 5.6. Kết quả các chiến lược giải xuất hiện trong bài toán 6…………………182
DANH MỤC HÌNH ẢNH, SƠ ĐỒ Sơ đồ 1.1. Ba mắt xích của quá trình chuyển hóa sư phạm…………………………35 Sơ đồ 1.2. Tình huống lí tưởng……………………………………………………..43 Hình 1.1. Những lựa chọn trong việc tích hợp Toán và Khoa học…………………26 Hình 2.1. Tính diện tích tam giác Parabol………………………………………….52 Hình 2.2. Stevin xác định trọng tâm tam giác……………………………………….54 Hình 2.3. Oresme mô tả sự biến thiên bằng đồ thị rời rạc………………………….55 Hình 2.4. Quãng đường trong chuyển động nhanh dần đều…………………………55 Hình 2.5. Đồ thị vận tốc theo thời gian của Oresme………………………………..56 Hình 2.6. Công của lực biến đổi…………………………………………………….63 Hình 2.7. Bài toán xác định tiếp tuyến………………………………………...……64 Hình 4.1. Khung của Zandieh cho khái niệm đạo hàm…………………………….98 Hình 4.2. Mô hình cách hiểu khái niệm đạo hàm ……………………………….…99 Hình 4.3. Khung lý thuyết về khái niệm tích phân của Habineza…………………100 Sơ đồ 5.1. Tóm tắt chuỗi tình huống DH tích phân trong ngữ cảnh vật lí…………..154 Hình 5.1. Lời giải bài toán 1 của nhóm 4………………………………………….141 Hình 5.2. Lời giải bài toán 1 của nhóm 1…………………………………………141 Hình 5.3. Lời giải bài toán 1’ của nhóm 4………………………………………….143 Hình 5.4. Lời giải bài toán 3 của nhóm 5………………………………………….147 Hình 5.5. Lời giải bài toán 2 của nhóm 1…………………………………………174 Hình 5.6. Lời giải bài toán 2 của nhóm 3…………………………………………175 Hình 5.7. Lời giải bài toán 3 của nhóm 2…………………………………………177 Hình 5.8. Lời giải bài toán 4 của nhóm 1…………………………………………178 Hình 5.9. Lời giải bài toán 5 của nhóm 5…………………………………………180 Hình 5.10. Lời giải bài toán 6 của nhóm 5…………………………………….….183 Hình 5.11. Lời giải bài toán 6 của nhóm 1…………………………….………….183 Hình 5.12. Lời giải bài toán 6 của nhóm 6……………….……………………….184 Hình 5.13. Lời giải bài toán 7 của nhóm 1…………………………………….….186 Hình 5.14. Lời giải bài toán 8 của nhóm 1………………………………….…….187
1 MỞ ĐẦU 1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.1. Một số vấn đề đặt ra cho dạy học giải tích Giải tích (GT) luôn được xem là một trong những thành tựu vĩ đại nhất của trí tuệ loài người. Nó không chỉ chứa đựng những ý tưởng lớn làm thay đổi toán học mà còn đem đến một sức mạnh thực tiễn to lớn thể hiện qua các ứng dụng hiệu quả trong nhiều lĩnh vực. Điều này giải thích cho sự công nhận rộng rãi của các nhà nghiên cứu giáo dục về vai trò quan trọng của dạy học (DH) GT trong nhà trường ở cả bậc phổ thông lẫn đại học. Mỗi khái niệm toán học nói chung và GT nói riêng đều có hai mặt là đối tượng và công cụ, vì thế hai mục tiêu cơ bản thường được bàn đến trong DH là làm cho học sinh (HS) hiểu khái niệm và sử dụng được nó như một công cụ. Tuy nhiên, do sự trừu tượng của các khái niệm GT mà mục tiêu “hiểu” chúng có lúc bị việc DH bỏ qua. Có lẽ vì thế mà Hội nghị cải cách giáo dục tổ chức ở đại học Tulane năm 1986 đã xác định “hiểu khái niệm” là một mục tiêu trọng tâm của DH GT (Douglas, 1986). Kể từ đó, mục tiêu này luôn nhận được sự quan tâm của cộng đồng giáo dục toán. Đối với mục tiêu còn lại, trong vài thập kỉ gần đây nhiều nhà nghiên cứu giáo dục kêu gọi DH Toán dành sự quan tâm lớn hơn cho ứng dụng của GT vào các ngữ cảnh ngoài toán học. Theo các nhà nghiên cứu, điều đó trước hết mang lại động cơ thực tiễn cho việc học GT và giúp người học sử dụng được GT trong các lĩnh vực khác. Rồi chính việc làm chủ được những ứng dụng đó lại giúp người học hiểu một cách sâu sắc và đầy đủ hơn các khái niệm GT vốn rất trừu tượng. Tuy nhiên, trong thực tế, nếu nhìn từ hai mục tiêu nói trên thì việc DH GT ở trường Trung học phổ thông (THPT) hiện nay phải đối mặt với nhiều vấn đề. Dưới đây là những vấn đề cơ bản đã được cộng đồng các nhà nghiên cứu chỉ ra. 1.1.1. Người học thành thạo tính toán nhưng không hiểu được các khái niệm và kĩ thuật của giải tích Ở chương trình DH Toán phổ thông, hai trong số những bước chuyển quan trọng mà HS phải trải qua, đó là từ Số học vào Đại số và từ Đại số vào GT. Ở mỗi bước chuyển HS đều phải đối diện với những khó khăn. Nhưng khó khăn ở hai bước chuyển này không giống nhau. Bước chuyển thứ nhất làm nảy sinh ở HS nhiều sai lầm liên quan đến sự khái quát hóa (các tính chất, quy tắc tính toán trên các số cho các biểu thức đại số).
2 Tuy nhiên, bản chất hữu hạn và rời rạc của đối tượng vẫn không thay đổi và vì thế phương pháp nghiên cứu không có quá nhiều sự khác biệt. Điều này không còn đúng ở bước chuyển từ Đại số vào GT. GT nghiên cứu các đại lượng, các quá trình vô hạn, biến thiên liên tục, và phải sử dụng những phương pháp và kĩ thuật khác hẳn với Đại số như chia nhỏ, lập tổng vô hạn, xấp xỉ, đóng khung (chặn trên, chặn dưới). Nhiều nghiên cứu cho thấy những khái niệm cơ bản như giới hạn, đạo hàm, tích phân và các kĩ thuật của GT khó hiểu không chỉ với HS phổ thông mà thậm chí còn cả với sinh viên (SV) đại học (Orton, 1983a; 1983b; Tall, 1993). Mặc dù vậy các phép toán lấy giới hạn hay tính toán đạo hàm và tích phân lại có thể được thực hiện theo những quy trình đại số mà không bắt buộc phải hiểu khái niệm một cách đầy đủ. Ở điểm này, Doorman và Van Maanen (2008) nhận định rằng “GT là một trong những chủ đề toán học mà những thao tác thuật toán trên các kí hiệu thì dễ dàng hơn việc hiểu thấu bản chất khái niệm” (tr. 4). Những ghi nhận nói trên đã dẫn đến một xu hướng khá phổ biến trong DH GT ở bậc THPT – xu hướng đại số hoá GT. Theo xu hướng này, người ta không chú trọng vào yêu cầu hiểu khái niệm mà chỉ tập trung vào các tính toán đại số (theo quy tắc, chẳng hạn như đạo hàm của hàm hợp hay tích phân từng phần), nhằm mục đích tránh cho HS phải đương đầu với những khó khăn của phương pháp GT. Dù có thể giúp người học thành thạo trong tính toán hay giải quyết những dạng toán theo quy trình có sẵn, xu hướng DH này vẫn vấp phải sự phê phán từ nhiều nhà giáo dục toán học. Họ cho rằng đó không phải là DH GT, bởi lẽ người học có thể không thật sự hiểu được ý nghĩa và cấu trúc của các khái niệm cũng như những kĩ thuật mà mình đang sử dụng. Zandieh (2000) đưa ra thuật ngữ “giả khái niệm” để nói về điều này. Tall (1993) cũng cho rằng việc hạ thấp cách hiểu khái niệm xuống thành các kĩ thuật tính toán đại số là một sự đánh tráo vấn đề trong DH GT. Đó là còn chưa nói kiểu DH này có thể dẫn HS đến việc thao tác trên các đối tượng vô hạn như với các đối tượng hữu hạn của Đại số, từ đó phạm phải nhiều sai lầm. Nhiều công trình nghiên cứu ở các nền giáo dục khác nhau trên thế giới đã xác nhận một sự hiểu biết không đầy đủ của cả HS phổ thông lẫn SV đại học về các khái niệm của GT, dù các em thể hiện sự thành thạo đáng kể trong các nhiệm vụ tính toán (Orton, 1983a; 1983b; Bezuidenhout, 1998; Bezuidenhout và Olivier, 2000; Jones, 2015a; 2015b; Wagner, 2017).
3 1.1.2. Người học không vận dụng được kiến thức giải tích trong ngữ cảnh ngoài toán học, nói riêng là ngữ cảnh vật lí GT có một sức mạnh thực tiễn to lớn. Điều này thể hiện ở những ứng dụng đa dạng và hiệu quả của nó trong thực tế và nhiều lĩnh vực khoa học, đặc biệt là Vật lí, vốn có mối liên hệ mật thiết nhất với GT trong suốt lịch sử. Thậm chí theo Kleiner (2001) thì GT là “công cụ định lượng chủ yếu cho việc nghiên cứu các vấn đề khoa học trong ba thế kỉ gần đây (…) mà nếu không có nó thì Vật lí và kĩ thuật hiện đại sẽ không thể tồn tại” (tr. 138). Vì thế, việc DH GT không thể chỉ tập trung vào nhiệm vụ giải các bài toán toán học thuần tuý mà bỏ qua cơ hội giúp người học thấy được vai trò công cụ quan trọng của GT trong Vật lí. Từ điểm này, nhiều nghiên cứu lại cho thấy người học gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức GT mà mình được học ở lớp học toán để giải quyết các nhiệm vụ của Vật lí. Chẳng hạn, theo điều tra của Redish et al. (1996) thì nhiều SV mặc dù có thể sử dụng kiến thức GT để giải quyết thành công các vấn đề toán học nhưng lại không thể làm được điều tương tự trong ngữ cảnh vật lí. Nghiên cứu của Jones (2010, 2015a) xác nhận rằng dường như kiến thức toán của người học đã không được kích hoạt thành công trong các lớp học khoa học. Vấn đề không hẳn là ở sự thiếu hụt kiến thức. Chẳng hạn, như Bajracharya và Thompson (2014), hay Ngô Minh Đức (2019), đã chỉ ra, kể cả khi có đầy đủ kiến thức toán và vật lí cần thiết, người học vẫn gặp khó khăn trong việc nối kết những hiểu biết này để giải quyết các vấn đề của Vật lí bằng công cụ GT. Thậm chí, nhiều HS không biết những kiến thức GT các em được học có ứng dụng gì trong Vật lí, khi nào và tại sao nó lại được sử dụng trong những vấn đề đó (López-Gay & Torregrosa, 2015). Giải thích hiện tượng này, Jones (2010) nhận định nguyên nhân nằm ở chỗ “các khóa học GT thành công trong việc cung cấp cho SV một dạng của kiến thức, dạng cần thiết để giải quyết các nhiệm vụ trong lớp học toán, nhưng lại không chuẩn bị cho việc sử dụng kiến thức này một cách thành công trong các lớp học khoa học” (tr. 2). 1.2. Dạy học liên môn Toán và Vật lí, một xu hướng để khắc phục Hai vấn đề chính cần giữ lại từ các phân tích ở trên. Thứ nhất, cần tìm một cách DH có thể giúp HS hiểu đầy đủ hơn về bản chất khái niệm và giúp các em làm quen với các kĩ thuật của GT. Thứ hai, cần làm cho HS vận dụng được kiến thức GT vào Vật lí, hay ít ra là hiểu được những ứng dụng đa dạng của GT xuất hiện trong chương trình vật lí THPT. Giải pháp nào giúp đạt được hai mục tiêu này?
4 Nhiều nhà nghiên cứu giáo dục đã tiến hành xem xét sự hình thành và tiến triển của GT trong lịch sử để tìm kiếm những cách tiếp cận phù hợp hơn trong DH (Kaput, 1994; Lê Thị Hoài Châu, 2004; Doorman & Van Maanen, 2008; Bressoud, 2011). Việc phân tích lịch sử cho thấy một mối liên hệ chặt chẽ giữa GT với những động lực đến từ thực tiễn và các ngành khoa học. Nói riêng, đã có một gắn kết vô cùng mật thiết giữa GT và Vật lí trong suốt lịch sử. Nhiều vấn đề mà Vật lí đặt ra đã là động cơ thúc đẩy sự nảy sinh và tiến triển các khái niệm của GT. Ở chiều ngược lại, công cụ mà GT mang đến giúp Vật lí giải quyết nhiều vấn đề của mình. Mối quan hệ hỗ trợ lẫn nhau giữa hai khoa học này đã tạo ra những bước phát triển vượt bậc trong lịch sử văn minh loài người. Các nhà nghiên cứu cho rằng nó nên được tận dụng trong việc DH các kiến thức GT ở nhà trường hiện nay. Ta tìm thấy ở đây một giải pháp để vượt qua hai khó khăn kể trên trong việc hiểu và ứng dụng các khái niệm của GT: đó là tận dụng sự gắn kết giữa Toán học và Vật lí học vào quá trình DH để hai môn học có thể hỗ trợ lẫn nhau. Hướng nghiên cứu này đưa đến một xu hướng DH thường được gọi là “tích hợp (TH) – liên môn (LM) toán và các môn khoa học1”. Đây là hướng nghiên cứu mà theo Berlin và White (1999) đã được đề cập từ đầu thế kỉ 20 và còn được quan tâm nhiều hơn trong vài thập kỉ trở lại đây. Nằm trong xu hướng nói trên, nhiều mô hình bàn về sự gắn kết giữa toán và các môn khoa học đã được các nhà nghiên cứu xây dựng. Trong đó, người ta thường nhấn mạnh đến hai tương tác LM chủ yếu sau đây: 1/Toán học – ngữ cảnh khoa học (Math – Science context): khoa học cung cấp những ngữ cảnh, nguyên lí, nội dung đem lại ý nghĩa và lí do ra đời cho khái niệm toán học. 2/Khoa học – ứng dụng Toán học (Science – apply Math): nhấn mạnh Toán học như là công cụ giúp giải quyết các vấn đề của các khoa học. Bị thu hút bởi xu hướng nghiên cứu trên, chúng tôi đặt ra câu hỏi xuất phát sau đây: Làm thế nào tận dụng những gắn kết giữa Toán và Vật lí vào DH GT ở trường THPT, nhằm mang lại nhiều lợi ích hơn cho cả hai môn học? Cụ thể hơn là nhằm giúp HS vừa vượt qua được những khó khăn trong việc hiểu các khái niệm trừu tượng của GT, vừa ứng dụng được GT vào các vấn đề của Vật lí. Câu hỏi xuất phát này chính là 1 Các môn khoa học ở đây chỉ những môn học được dạy trong chương trình giáo dục phổ thông như: Vật lí, Hóa, Sinh, …
5 động lực đưa chúng tôi đến với hướng nghiên cứu DH một số khái niệm của GT ở trường THPT theo cách tiếp cận LM Toán và Vật lí. 1.3. Lựa chọn đối tượng tri thức Những bài học mở đầu về GT phải đi từ một số khái niệm cơ bản là giới hạn, liên tục, đạo hàm và tích phân. Trong những khái niệm này, chúng tôi lựa chọn hai khái niệm đạo hàm và tích phân cho định hướng tiếp cận LM Toán và Vật lí. Lý do lựa chọn đó được hình thành từ năm luận điểm dưới đây. - Đạo hàm và tích phân, hai khái niệm nền tảng của GT: đạo hàm và tích phân là hai trong số những khái niệm nền tảng nhất, thể hiện hai mặt đảo ngược vi phân và tích phân trong bức tranh tổng thể của GT toán học. Những phản ánh từ lịch sử cho thấy rằng việc hiểu được các ý tưởng ẩn dưới hai khái niệm này và phát hiện ra mối quan hệ mật thiết giữa chúng là một chặng đường quan trọng đánh dấu sự phát minh ra GT. Liệu có thể nói đến GT mà bỏ qua đạo hàm và tích phân hay không? Câu trả lời là gì có lẽ mọi người biết về GT đều đã rõ. Đây cũng là lý do để hai khái niệm này chiếm được sự quan tâm của DH GT ở mọi nền giáo dục toán. Ở Việt Nam, những nội dung liên quan đến chúng chiếm một thời lượng học tập lớn trong suốt hai năm cuối cấp THPT. - Vai trò đạo hàm và tích phân trong các lĩnh vực ngoài toán học: Sự quan trọng của đạo hàm, tích phân không chỉ giới hạn trong phạm vi GT, thậm chí trong Toán học. Tầm quan trọng của đạo hàm, tích phân còn nằm ở những ứng dụng rộng rãi của chúng trong nhiều lĩnh vực như Vật lí, Kinh tế, … Chính vai trò đó khiến chúng tiếp tục tác động vào các bậc giáo dục cao hơn ở đại học, trong đào tạo Toán học – hiển nhiên, và trong cả các lĩnh vực đào tạo nghề khác. Việc giúp HS cuối cấp THPT hiểu và sử dụng được hai khái niệm này là cần thiết cho các em về sau. - Sự gắn kết giữa đạo hàm, tích phân với Vật lí nhìn từ lịch sử: Xét riêng tác động của đạo hàm, tích phân vào Vật lí. Một phần động lực quan trọng cho sự ra đời và tiến triển của hai khái niệm đạo hàm và tích phân đến từ những vấn đề đặt ra trong ngành khoa học này. Sau khi ra đời, hai khái niệm đang nói tới còn mang lại những công cụ toán học mạnh mẽ giúp Vật lí phát triển và giải quyết thêm nhiều vấn đề khác của mình. Sự gắn kết này rõ ràng là nên được phản ánh trong việc DH hai khái niệm đạo hàm và tích phân ở trường THPT nếu nhìn từ lợi ích của cả hai môn học. - Đạo hàm và tích phân, công cụ toán học cho nhiều vấn đề của Vật lí THPT: Tiếp tục luận điểm trên, chúng tôi đã xem xét chương trình vật lí THPT ở Việt Nam và tìm thấy nhiều vấn đề mà việc giải quyết chúng cần đến công cụ đạo hàm, tích phân. Có
6 thể kể ra đây những bài toán cần sử dụng đạo hàm như: tìm vận tốc tức thời, gia tốc tức thời, cường độ dòng điện, suất điện động cảm ứng, … Các bài toán sử dụng tích phân: tìm độ dời khi vận tốc biến đổi, tìm độ thay đổi vận tốc khi biết gia tốc, tìm công của lực biến đổi, … Và nếu như vậy thì việc DH hai khái niệm đạo hàm và tích phân ở môn Toán cần phải tính đến nhiệm vụ giúp đỡ cho HS vận dụng hay ít ra là hiểu được những ứng dụng đa dạng của hai khái niệm này trong các bài toán vật lí vừa kể trên. - Đạo hàm, tích phân và mối quan hệ mật thiết: Lí do cuối cùng giải thích cho việc chọn đồng thời cả hai khái niệm đạo hàm và tích phân nằm ở mối liên hệ đảo ngược mật thiết giữa chúng, thể hiện qua định lý cơ bản của GT. Chính nhờ mối quan hệ đảo ngược này mà ứng với một vấn đề của Vật lí có thể được giải quyết với công cụ đạo hàm, người ta luôn tìm được một vấn đề “ngược lại” mà ở đó tích phân là phương tiện tìm lời giải. Chúng tôi gọi đây là hai bài toán thuận – nghịch. Vì thế, việc nghiên cứu song hành hai đối tượng đạo hàm và tích phân trong sự gắn kết, theo cách tiếp cận LM giữa GT với Vật lí có thể sẽ giúp hai khái niệm này soi sáng lẫn nhau. Sự lựa chọn này xác định đối tượng nghiên cứu của chúng tôi là: DH khái niệm đạo hàm và tích phân theo quan điểm liên môn Toán – Vật lí cho HS THPT. 2. TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Từ câu hỏi xuất phát đặt ra và hướng nghiên cứu đã chọn, nghiên cứu tổng quan của chúng tôi sẽ tìm hiểu trước tiên về cách hiểu của người học về đạo hàm, tích phân và những khó khăn trong việc ứng dụng chúng vào Vật lí. Tiếp đó, chúng tôi sẽ xem xét các kết quả nghiên cứu đã có về sự hỗ trợ lẫn nhau giữa hai môn học Toán và Vật lí liên quan đến hai khái niệm đạo hàm, tích phân. Và cuối cùng là tổng hợp các nghiên cứu về DH liên môn trong và ngoài nước cũng như một số chương trình DH liên môn giữa GT và Vật lí đã được xây dựng trên thế giới. 2.1. Cách hiểu của người học về hai khái niệm đạo hàm và tích phân 2.1.1. Cách hiểu của người học về khái niệm đạo hàm Orton (1983a) là một trong những người đầu tiên tiến hành nghiên cứu về cách hiểu của người học về khái niệm đạo hàm. Ông nhận thấy đa số HS và SV tham gia thực nghiệm (TN) thành thạo với các nhiệm vụ yêu cầu tính toán hoặc áp dụng các quy trình quen thuộc để giải quyết. Tuy nhiên người học lại cho thấy một sự thiếu hụt trong kiến thức về khái niệm, đặc biệt là quan niệm đạo hàm theo tốc độ biến thiên tức thời và độ
7 dốc2 của tiếp tuyến. Orton cho rằng nguyên nhân là ở cách hiểu nghèo nàn của người học về giới hạn cũng như về tỉ số và tỉ lệ của sự thay đổi. Việc người học không nhận ra được sự liên hệ giữa đạo hàm với ý nghĩa tốc độ biến thiên còn được xác nhận bởi nhiều tác giả khác (Bezuidenhout, 1998; Bingolbali et al., 2007; Hankiöniemi, 2006; Sahin et al., 2015). Chẳng hạn, Sahin et al. (2015) chỉ ra rằng mặc dù HS biết đến định nghĩa hình thức của đạo hàm là giới hạn của tỉ sai phân  f   f ' ( x ) = lim x →0 x  nhưng không thể giải thích được sự liên quan giữa nó với ý nghĩa   tốc độ biến thiên tức thời. Hankiöniemi (2006) cũng nhận thấy khó khăn mà người học gặp phải với khái niệm giới hạn để hiểu được cách mà tốc độ biến thiên trung bình tiến đến tốc độ biến thiên tức thời hay cách mà độ dốc cát tuyến dần đến độ dốc tiếp tuyến. Thompson (1995), sau đó là White và Mitchelmore (1996) đã tìm ra một trong những nguyên nhân quan trọng giải thích cho khó khăn mà người học gặp phải với khái niệm đạo hàm là ở cách hiểu về khái niệm hàm số của mình. Họ thường chỉ xem hàm số như một đối tượng tĩnh và các biến là những kí hiệu để thao tác hay tính toán. Trong khi đó, theo các tác giả này thì đặc trưng biến thiên đồng thời của hàm số (sự biến thiên của biến số kéo theo sự biến thiên của hàm số) mới là điều then chốt để phát triển cách hiểu về đạo hàm như là tốc độ thay đổi. Một số nghiên cứu trong nước còn chỉ ra sự thiếu hụt trong quan niệm của HS THPT với cách hiểu đạo hàm theo nghĩa tốc độ biến thiên và sự xấp xỉ hàm số bởi tiếp tuyến (Ngô Minh Đức, 2013; 2016) hay khó khăn của HS trong việc kết nối những cách hiểu khác nhau của đạo hàm vào cùng một khái niệm (Lê Thị Hoài Châu, 2014). Bên cạnh đó, một nghiên cứu gần đây của Lê Thị Bạch Liên và Trần Kiêm Minh (2020) còn cho thấy một hiểu biết chưa đầy đủ của nhiều SV ngành sư phạm toán về khái niệm đạo hàm. Sự thiếu hụt kiến thức này khiến cho đa số SV trong thực nghiệm của các tác giả không vận dụng được đạo hàm để giải quyết thành công một bài toán có ngữ cảnh vật lí mà đòi hỏi phải phối hợp được ý nghĩa vật lí và ý nghĩa hình học của tri thức đang đề cập. 2 Trong nhiều tài liệu về DH GT trên thế giới, thuật ngữ “độ dốc” (slope) của đường thẳng được sử dụng với nội hàm giống như thuật ngữ “hệ số góc” trong SGK toán ở Việt Nam.
8 2.1.2. Cách hiểu của người học về khái niệm tích phân Bezuidenhout và Olivier (2000), Jones (2015a, 2015b) kết luận rằng đa số người học chỉ sở hữu một cách hiểu hạn chế về tích phân. Kiến thức điển hình người học biết thường gói gọn trong những quy trình tính toán theo hiệu giá trị nguyên hàm hoặc ý nghĩa hình học của tích phân như là diện tích hình dưới đường cong. Trong khi đó cách hiểu tích phân theo giới hạn tổng Riemann mới được xem là có giá trị nhất cho việc hiểu bản chất và các ứng dụng của tích phân. Tuy nhiên, nhiều nghiên cứu cho thấy người học gặp một khó khăn lớn trong việc hiểu tích phân như giới hạn của một tổng. Chẳng hạn, Rasslan và Tall (2002) tiến hành kiểm tra cách hiểu của một số HS THPT về khái niệm tích phân. Mặc dù các HS này đã được tiếp cận tích phân từ phương pháp tính xấp xỉ diện tích bằng các tổng trong lớp học toán, thế nhưng không có lời giải thích nào về tích phân liên quan đến giới hạn hay tổng Riemann xuất hiện trong kết quả TN. Thay vào đó, các HS chỉ giải thích tích phân như diện tích, hiệu hai nguyên hàm hoặc qua một ví dụ tính toán cụ thể. Dường như quan niệm tích phân theo giới hạn tổng Riemann rất khó được xây dựng hoặc gợi ra trong nhận thức của người học. Sự thiếu hụt cách hiểu tích phân theo cấu trúc tổng Riemann thậm chí còn phổ biến với đối tượng là SV các trường đại học như đã được kiểm chứng bởi những nghiên cứu của: Orton, 1983b; Jones, 2015b; Sealey, 2014; Wagner, 2017. Các tác giả này cho rằng nguyên nhân là do cấu trúc phức tạp của định nghĩa tích phân theo tổng Riemann cũng như chướng ngại đến từ một khái niệm khác – khái niệm giới hạn. Một nguyên nhân khác được Jones et al. (2017) chỉ ra nằm ở ngữ cảnh hình học mà các sách giáo khoa (SGK) hay giáo trình GT truyền thống sử dụng để giới thiệu khái niệm tích phân. Ông cho rằng trong ngữ cảnh của bài toán diện tích dưới đường cong, người học có xu hướng xem việc lập tổng Riemann chỉ như một quy trình tính toán diện tích thay vì nhận ra được bản chất của khái niệm ẩn đằng sau phương pháp tính toán đó. Hơn nữa, sau khi mối quan hệ giữa tích phân và nguyên hàm được thiết lập, việc tính toán diện tích lại được quy về một quy trình đơn giản là đảo ngược phép lấy đạo hàm. Từ đó, quan niệm tích phân theo giới hạn tổng Riemann có thể dần trở nên mờ nhạt và khó được kích hoạt hay củng cố trong nhận thức người học vì họ không còn bất cứ lí do gì để thiết lập những tổng như vậy. 2.1.3. Khó khăn của người học với việc hiểu mối quan hệ giữa đạo hàm và tích phân Mối quan hệ đảo ngược giữa đạo hàm và tích phân thể hiện trong định lí cơ bản của GT (từ nay sẽ viết gọn là định lí cơ bản) là một trong những phát hiện quan trọng và hữu