Luyện thi ĐH môn Toán 2015: Góc giữa hai đường thẳng (phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa h c LT H môn Toán – Th y<br /> <br /> ng Vi t Hùng<br /> <br /> Facebook: LyHung95<br /> <br /> 01. GÓC GI A HAI<br /> Th y<br /> <br /> Ư NG TH NG – P1<br /> <br /> ng Vi t Hùng<br /> <br /> I. TÍCH VÔ HƯ NG C A HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN<br /> <br /> 1) Góc gi a hai véc tơ  AB = u  Gi s ta có   u; v = AB; AC = BAC , v i 0o ≤ BAC ≤ 180o. →  AC = v  2) Tích vô hư ng c a hai véc tơ  AB = u  Gi s ta có   u.v = AB. AC = AB . AC .cos AB. AC →  AC = v  Nh n xét: u = 0 +) Khi   u.v = 0 → v = 0 <br /> <br /> ( ) (<br /> <br /> )<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> ( ) +) Khi u ↑↓ v  ( u; v ) = 180 →<br /> +) Khi u ↑↑ v  u; v = 00 → +) Khi u ⊥ v ← u.v = 0 →<br /> <br /> 0<br /> <br /> Ví d 1. Cho t di n<br /> <br /> u ABCD c nh a.<br /> <br /> a) Tính góc gi a hai véc tơ AB; BC . b) G i I là trung i m c a AB. Tính góc gi a hai véc tơ CI ; AC . Hư ng d n gi i: a) S d ng công th c tính góc gi a hai véc tơ ta ư c AB. BC AB. BC AB. BC cos AB; BC = = = , (1) . AB.BC a2 AB . BC<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> Xét AB. BC = AB. BA + AC = AB.BA + AB. AC<br /> AB.BA = AB.BA.cos AB.BA = a.a.cos1800 = −a 2<br /> Mà<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> AB. AC = AB. AC.cos AB. AC = a.a.cos 600 =  AB. BC = −a 2 + →<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> a2 2<br /> <br /> a2 a2 =− . 2 2 2 a − 1 2 → (1) ⇔ cos AB; BC = 2 = −  AB; BC = 1200. 2 a V y AB; BC = 120o.<br /> <br /> (<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> )<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> b) Ta có cos CI ; AC =<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> CI . AC CI . AC<br /> <br /> =<br /> <br /> CI . AC CI . AC u ABC nên CI =<br /> <br /> T di n ABCD<br /> <br /> u c nh a, CI là trung tuy n c a tam giác<br /> <br /> Ta có CI . AC = CI . AI + IC = CI . AI + CI . IC Do ∆ABC u nên CI ⊥ AI ⇔ CI . AI = 0.<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> a 3 CI . AC  cos CI ; AC = 2 → , ( 2). 2 a 3 2<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán t i Moon.vn<br /> <br /> t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2015!<br /> <br /> Khóa h c LT H môn Toán – Th y<br /> <br /> ng Vi t Hùng<br /> <br /> Facebook: LyHung95<br /> <br /> a 3 a 3 3a 2 3a 2 3a 2 . .cos1800 = −  CI . AC = 0 − → =− . 2 2 4 4 4 3a 2 − 3  CI ; AC = 1500. → Thay vào (2) ta ư c ( 2 ) ⇔ cos CI ; AC = 2 4 = − 2 a 3 2 0 V y CI ; AC = 150 .<br /> <br /> ng th i, CI . IC = CI . IC .cos CI ; IC =<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> Ví d 2. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC ôi m t vuông góc và SA = SB = SC = a. G i M là trung i m c a AB. a) Bi u di n các véc tơ SM và BC theo các véc tơ SA; SB; SC . b) Tính góc SM ; BC . Hư ng d n gi i: a) S d ng quy t c trung tuy n và quy t c tr hai véc tơ ta 1    SA + SB = 2SM  SM = SA + SB 2 ư c ←  →  BC = BS + SC  BC = SC − SB  <br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> b) cos SM ; BC =<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> SM . BC SM . BC<br /> <br /> =<br /> <br /> SM . BC , (1) . SM .BC<br /> <br />  SA.SB = 0   Mà SA, SB, SC ôi m t vuông góc nên  SA.SC = 0   SB.SC = 0  Tam giác SAB và SBC vuông t i S nên theo nh lý Pitago ta  BC = a 2  ư c AB = BC = a 2   → 1 a 2  SM = AB =  2 2  1 1 1 a2 Theo câu a, SM .BC = SA + SB . SC − SB =  SA.SC − SA.SB + SB.SC − SB.SB  = − SB 2 = − 2 2 0 2 2 0 0  a2 − SM . BC 1 2 Thay vào (1) ta ư c cos SM ; BC = = = −  SM ; BC = 1200. → SM .BC a 2 2 .a 2 2<br /> <br /> (<br /> <br /> )(<br /> <br /> )<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> II. GÓC GI A HAI<br /> <br /> Ư NG TH NG<br /> <br /> 1) Khái ni m véc tơ ch phương c a ư ng th ng M t véc tơ u ≠ 0 mà có phương song song ho c trùng v i d ư c g i là véc tơ ch phương c a ư ng th ng d. 2) Góc gi a hai ư ng th ng Khái ni m:<br /> Góc gi a hai ư ng th ng a và b là góc gi a hai ư ng th ng a′; b′ l n lư t song song v i a; b. Kí hi u ( a;b ). T nh nghĩa ta có sơ Nh n xét:<br /> a// a ′  ( a;b ) = ( a ′;b′ ) →   b// b′<br /> <br /> + Gi s a, b có véc tơ ch phương tương ng là u; v và u; v = φ.<br /> Khi ó,<br /> <br /> ( )<br /> <br /> ( a; b ) = φ ; 0o ≤ φ ≤ 90o ( a; b ) = 180o − φ ; 90o < φ ≤ 180o<br /> t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2015!<br /> <br /> + N u a // b ho c a ≡ b thì ( a; b ) = 0o.<br /> Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán t i Moon.vn<br /> <br /> Khóa h c LT H môn Toán – Th y Các xác<br /> <br /> ng Vi t Hùng<br /> <br /> Facebook: LyHung95<br /> <br /> nh góc gi a hai ư ng th ng: Phương án 2<br /> - L y m t i m O b t kì thu c a - Qua O, d ng ư ng ∆ // b  ( a, b ) = ( a, ∆ ) →<br /> <br /> Phương án 1 (s d ng nh nghĩa) a ′// a T o ra các ư ng   ( a, b ) = ( a ′, b′ ) →  b′// b Chú ý: Các phương pháp tính toán góc gi a hai ư ng th ng:<br /> <br /> N u góc thu c tam giác vuông thì dùng các công th c tính toán trong tam giác vuông: sin, cosin, tan, cot. N u góc thu c tam giác thư ng thì s d ng nh lý hàm s cosin trong tam giác ABC:<br /> b2 + c 2 − a 2 . 2bc<br /> <br /> a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A  cos A = →<br /> <br /> Ví d 1. Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình ch nh t, các tam giác SAB, SAD, SAC là các tam giác vuông t i A. Bi t SA = a 3; AB = a; AD = 3a . Tính góc gi a các ư ng th ng sau: a) SD và BC. b) SB và CD. c) SC và BD. Hư ng d n gi i: a) Tính góc gi a SD và BC xác nh góc gi a hai ư ng th ng SD và BC ta s d ng phương án 2, tìm ư ng th ng song song v i m t trong hai ư ng th ng SD, BC và song song v i m t ư ng còn l i. Ta d nh n th y AD // BC. SDA Khi ó ( SD; BC ) = ( SD; AD ) =  180o − SDA <br /> Xét ∆SAD: tan SDA = SA 3 =  SDA = 30o. → AD 3<br /> <br /> V y ( SD; BC ) = 30o. b) Tính góc gi a SB và CD SBA Tương t , CD//AB  ( SB;CD ) = ( SB;AB ) =  → 180o − SBA  SA Xét ∆SAB: tanSBA = = 3  SDA = 60o. → AB<br /> <br /> V y ( SB;CD ) = 60o. c) Tính góc gi a SC và BD G i O là tâm c a hình ch nh t ABCD, I là trung i m c a SA.  IOB Trong ∆SAC có OI // SC  ( SC; BD ) = ( OI; BD ) =  → 180o − IOB  Áp d ng<br /> a 3 a 7 2 nh lý Pitago cho tam giác vuông ABI: IB = IA + AB =   2  +a = 2   <br /> 2 2 2<br /> <br /> ABCD là hình ch nh t nên BD = AB2 + AD 2 = a 2 + 9a 2 = a 10  OB = →<br /> 2<br /> <br /> a 10 = OA 2<br /> 2<br /> <br /> Áp d ng<br /> <br />  a 3   a 10  a 13 nh lý Pitago cho tam giác vuông ABO: IO = IA + AO =   2  + 2  = 2       <br /> 2 2<br /> <br /> Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán t i Moon.vn<br /> <br /> t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2015!<br /> <br /> Khóa h c LT H môn Toán – Th y<br /> <br /> ng Vi t Hùng<br /> 2 2 2<br /> <br /> Facebook: LyHung95<br /> <br /> 13a 2 10a 2 7a 2 + − OI + OB − IB 4 4 = 8 Khi ó, theo nh lý hàm s cosin cho ∆IOB ta ư c: cos IOB = = 4 2.OI.OB a 13 a 10 130 2. . 2 2  8   IOB = arccos  →  = ( SC;BD ).  130 <br />  8  V y ( SC;BD ) = arccos  .  130 <br /> <br /> Ví d 2. Cho t di n ABCD, g i M, N là trung i m c a BC, AD. Bi t AB = CD = 2a , MN = a 3 . Tính góc gi a hai ư ng th ng AB và CD. Hư ng d n gi i:<br /> Do AB và CD là các c nh c a t di n nên chúng chéo nhau, xác nh góc gi a hai ư ng th ng AB và CD ta t o các ư ng th ng tương ng song song v i AB, CD và chúng c t nhau. G i P là trung i m c a AC, khi ó MP // AB, NP // CD  MPN  ( AB,CD ) = ( MP, NP ) =  → 180o − MPN  Do MP, NP là các ư ng trung bình nên ta có MP = NP = a. Áp d ng nh lý hàm s cosin trong ∆MPN ta ư c MP 2 + NP 2 − MN 2 2a 2 − 3a 2 1 cos MPN = = =− 2MP.NP 2.a.a 2<br />  MPN = 120o ⇔ ( MP, NP ) = 60o → V y ( AB,CD ) = 60o. Nh n xét: Ngoài vi c kh i t o P như trên ta cũng có th l y i m P là trung i m c a BD, cách gi i khi ó cũng tương t .<br /> <br /> Ví d 3. Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình thang vuông t i A và D, AD = DC = a, AB = 2a. SA vuông góc v i 2 3a AB và AD, SA = . Tính góc c a 2 ư ng th ng 3 a) DC và SB. b) SD và BC. Hư ng d n gi i:<br /> <br /> Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán t i Moon.vn<br /> <br /> t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2015!<br /> <br /> Khóa h c LT H môn Toán – Th y<br /> <br /> ng Vi t Hùng<br /> <br /> Facebook: LyHung95<br /> <br /> a) Do DC // AB  ( DC,SB ) = ( AB,SB ) = α →<br /> 2a 3 SA 3 = 3 =  α = 30o → Tam giác SAB vuông t i A nên α là góc nh n, khi ó tan α = AB 2a 3 V y góc gi a hai ư ng th ng DC và SB b ng 30o. b) G i I là trung i m c a AB, khi ó AI = a. T giác ADCI là hình bình hành (do AI // DC), có AI = AD = a nên là hình thoi. L i có góc A, D vuông nên ADCI là hình vuông c nh a  DI = a 2. → m t khác, t giác BIDC là hình bình hành (do c p c nh DC và BI song song và b ng nhau) nên BC // DI. Khi ó, ( SD, BC ) = ( SD, DI ) = β .<br />  2a 3  7a 2 2 Tam giác SAI vuông t i A nên SI = SA + AI =   +a =  3  3  <br /> 2 2 2 2<br /> <br />  2a 3  7a 2 2 Tam giác SAD vuông t i A nên SD = SA + AD =   +a =  3  3  <br /> 2 2 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> Áp d ng<br /> <br /> nh lý hàm s cosin trong tam giác SDI ta ư c cosSDI =<br /> <br /> SD 2 + DI 2 − SI2 = 2SD.DI<br /> <br /> 2a 2 3 = a 21 42 2. .a 2 3<br /> <br />  3  Do cosSDI > 0 nên góc SDI là góc nh n  β = SDI = arccos  → .  42 <br /> <br /> BÀI T P LUY N T P:<br /> u ABCD c nh a, g i I là trung i m c nh AD. Tính góc gi a hai ư ng th ng AB và CI.  3 /s: ( AB; CI ) = arccos   6 .    Cho t di n<br /> Cho t di n ABCD. G i M, N, P l n lư t là trung i m c a BC, AD và AC. Bi t AB = 2a, CD = 2a 2, MN = a 5. Tính góc gi a hai ư ng th ng AB và CD.<br /> Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = a 2. Tính góc gi a SC , AB , t<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> ó suy ra góc<br /> <br /> gi a SC và AB.<br /> III. HAI Ư NG TH NG VUÔNG GÓC<br /> <br /> Hai ư ng th ng a, b ư c g i là vuông góc v i nhau n u ( a; b ) = 90o ← a ⊥ b. → Chú ý: Các phương pháp ch ng minh a ⊥ b: Ch ng minh ( a; b ) = 90o Ch ng minh hai véc tơ ch phương c a hai ư ng th ng vuông góc v i nhau, u.v = 0. Ch ng minh hai ư ng th ng có quan h theo nh lý Pitago, trung tuy n tam giác cân,<br /> o o<br /> <br /> u...<br /> <br /> Ví d 1. Cho t di n ABCD trong ó AB = AC = AD = a, BAC = 60 , BAD = 60 , CAD = 90o . G i I và J l n lư t là trung i m c a AB và CD. a) Ch ng minh r ng IJ vuông góc v i c hai ư ng AB và CD. b) Tính dài IJ. Hư ng d n gi i:<br /> <br /> Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán t i Moon.vn<br /> <br /> t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2015!<br /> <br />