zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Luyện thi ĐH môn Toán: Các dạng toán đếm trọng tâm (Phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Nguyễn Thị Oanh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Báo xấu

138
lượt xem 21
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Luyện thi ĐH môn Toán: Các dạng toán đếm trọng tâm (Phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng" tóm lược nội dung cần thiết và cung cấp các bài tập ví dụ hữu ích, giúp các bạn củng cố và nắm kiến thức về các dạng toán đếm trọng tâm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi ĐH môn Toán: Các dạng toán đếm trọng tâm (Phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 CÁC DẠNG TOÁN ĐẾM TRỌNG TÂM – P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] DẠNG 1. BÀI TOÁN ĐẾM NGƯỜI, VẬT Bài 1: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau: 1. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với nhau. 2. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau. Lời giải: 1. Giai ñoaïn 1: Xeáp choã ngoài cho hai nhoùm hoïc sinh, coù 2 caùch xeáp: A B A B A B B A B A B A B A B A B A A B A B A B Giai ñoaïn 2: Trong nhoùm hoïc sinh cuûa tröôøng A, coù 6! caùch xeáp caùc em vaøo 6 choã. Töôïng töï, coù 6! caùch xeáp 6 hoïc sinh tröôøng B vaøo 6 choã. Keát luaän: coù 2.6!6! = 1036800 caùch 2. Hoïc sinh thöù nhaát tröôøng A ngoài tröôùc: coù 12 caùch choïn gheá ñeå ngoài. Sau ñoù, choïn hoïc sinh tröôøng B ngoài ñoái dieän vôùi hoïc sinh thöù nhaát tröôøng A: coù 6 caùch choïn hoïc sinh tröôøng B. Hoïc sinh thöù hai cuûa tröôøng A coøn 10 choã ñeå choïn, choïn hoïc sinh tröôøng B ngoài ñoái dieän vôùi hoïc sinh thöù hai tröôøng A: coù 5 caùch choïn, v.v… Vaäy: coù 12.6.10.5.8.4.6.3.2.1.1 = 26.6!.6! = 33177600 caùch. Bài 2: Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không có đủ cả 3 màu? Lời giải: 4 Soá caùch choïn 4 bi trong soá 15 bi laø: C15 = 1365. Caùc tröôøng hôïp choïn 4 bi ñuû caû 3 maøu laø: * 2 ñoû + 1 traéng + 1 vaøng: coù C24C15C16 = 180 * 1 ñoû + 2 traéng + 1 vaøng: coù C14C52C16 = 240 * 1 ñoû + 1 traéng + 2 vaøng: coù C14C15C62 = 300 Do ñoù soá caùch choïn 4 bi ñuû caû 3 maøu laø: 180 + 240 + 300 = 720 Vaäy soá caùch choïn ñeå 4 bi laáy ra khoâng ñuû 3 maøu laø: 1365 – 720 = 645. Bài 3: Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu có ghi số thứ tự từ 1 đến 5 cạnh nhau. 1. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau? 2. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻ riêng biệt (chẳng hạn 2, 4, 1, 3, 5)? Lời giải: 1. * Xeáp caùc phieáu soá 1, 2, 3, 5 coù 4! = 24 caùch. * Sau ñoù xeáp phieáu soá 4 vaøo caïnh phieáu soá 2 coù 2 caùch. Vaäy: coù 2.24 = 48 caùch xeáp theo yeâu caàu ñeà baøi. 2. * Khi nhoùm chaün ôû beân traùi, nhoùm leû ôû beân phaûi. Soá caùch xeáp cho 2 soá chaün laø 2! caùch. Soá caùch xeáp cho 3 soá leû laø: 3! caùch. Vaäy coù 2.6 = 12 caùch. * Töông töï cuõng coù 12 caùch xeáp maø nhoùm chaün ôû beân phaûi, nhoùm leû ôû beân traùi. Vaäy: coù 12 + 12 = 24 caùch. Bài 4: Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đó xếp thứ tự ngẫu nhiên thành một hàng. 1. Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành? 2. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành? Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Lời giải: Soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau coù daïng: abcdef vôùi a ≠ 0 1. Vì soá taïo thaønh laø soá leû neân f ∈ {1, 3, 5}. Do ñoù: f coù 3 caùch choïn a coù 4 caùch choïn (tröø 0 vaø f) b coù 4 caùch choïn (tröø a vaø f) c coù 3 caùch choïn (tröø a, b, f) d coù 2 caùch choïn (tröø a, b, c, f) e coù 1 caùch choïn (tröø a, b, c, d, f) Vaäy: coù 3.4.4.3.2.1 = 288 soá 2. Vì soá taïo thaønh laø soá chaün neân f ∈ {0, 2, 4}. * Khi f = 0 thì (a,b,c,d,e) laø moät hoaùn vò cuûa (1,2,3,4,5). Do ñoù coù 5! soá * Khi f ∈ {2, 4} thì: f coù 2 caùch choïn a coù 4 caùch choïn b coù 4 caùch choïn c coù 3 caùch choïn d coù 2 caùch choïn e coù 1 caùch choïn Do ñoù coù 2.4.4.3.2.1 = 192 soá. Vaäy: coù 120 + 192 = 312 soá chaün. Bài 5: Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 cuốn sách Văn, 4 cuốn sách Nhạc và 3 cuốn sách Hoạ. Ông muốn lấy ra 6 cuốn và tặng cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn. 1. Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn sách thuộc 2 thể loại Văn và Nhạc. Hỏi có bao nhiêu cách tặng? 2. Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong ba loại sách trên đều còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? Lời giải: 1. Soá caùch taëng laø soá caùch choïn 6 cuoán saùch töø 9 cuoán coù keå thöù töï. Vaäy soá caùch taëng laø A69 = 60480 2. Nhaän xeùt: khoâng theå choïn sao cho cuøng heát 2 loaïi saùch. 6 Soá caùch choïn 6 cuoán saùch töø 12 cuoán saùch laø: A12 = 665280 Soá caùch choïn sao cho khoâng coøn saùch Vaên laø: A56 .7 = 5040 Soá caùch choïn sao cho khoâng coøn saùch Nhaïc laø: A64 .A82 = 20160 Soá caùch choïn sao cho khoâng coøn saùch Hoaï laø: A36 .A39 = 60480 Soá caùch choïn caàn tìm laø: 665280 – (5040 + 20160 + 60480) = 579600 Bài 6: Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lí nam. Lập một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách? Lời giải: Soá caùch choïn 1 nhaø toaùn hoïc nam, 1 nhaø toaùn hoïc nöõ, 1 nhaø vaät lí nam laø: C15 .C13 .C14 = 5.3.4 = 60 Soá caùch choïn 1 nhaø toaùn hoïc nöõ, 2 nhaø vaät lí nam laø: C13 .C42 = 18 Soá caùch choïn 2 nhaø toaùn hoïc nöõ, 1 nhaø vaät lí nam laø: C32 .C14 = 12 Vaäy: coù 60 + 18 + 12 = 90 caùch choïn Bài 7: Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho: 1. Có đúng 2 nam trong 5 người đó. 2. Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó. Lời giải: 2 3 1. Choïn 2 nam vaø 3 nöõ: coù C10 .C10 = 5400 caùch. 2. Coù ít nhaát 2 nam vaø 1 nöõ, coù caùc kieåu choïn sau: * 2 nam vaø 3 nöõ: coù 5400 caùch Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 3 2 * 3 nam vaø 2 nöõ: coù C10 .C10 = 5400 caùch 4 * 4 nam vaø 1 nöõ: coù C10 .C110 = 2100 caùch Vaäy coù: 5400 + 5400 + 2100 = 12900 caùch. Bài 8: Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng có kích thước đôi một khác nhau. 1. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên bi đỏ. 2. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ. Lời giải: 2 1. Coù: C5 caùch choïn ra 2 vieän bi ñoû. 4 C13 caùch choïn ra 4 vieân bi coøn laïi. Vaäy coù: C52 . C13 4 = 7150 caùch choïn 2. Coù caùc tröôøng hôïp xaûy ra: * 3 xanh, 3 ñoû, 0 vaøng → coù C39 .C35 caùch * 2 xanh, 2 ñoû, 2 vaøng → coù C92 .C52 .C24 caùch * 1 xanh, 1 ñoû, 4 vaøng → coù C19 .C15 .C44 caùch Vaäy coù taát caû: C39 .C35 + C92 .C52 .C24 + C19 .C15 .C44 = 3045 caùch. Bài 9: Có 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen, đánh dấu mỗi loại theo các số 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả các thẻ này thành một hàng sao cho hai thẻ cùng màu không nằm liền nhau. Lời giải: Coù 2 khaû naêng: 1. Caùc theû traéng ôû vò trí leû, caùc theû ñen ôû vò trí chaün → coù 5!5! caùch 2. Caùc theû traéng ôû vò trí chaün, caùc theû ñen ôû vò trí leû → coù 5!5! caùch Vaäy taát caû coù: 5!5! + 5!5! caùch. Bài 10: Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày, cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người ở địa điểm B, còn 4 người thường trực tại đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công? Lời giải: 3 2 4 2 2 4 Coù taát caû: C9 .C6 = C9 .C5 = C9 .C7 = 1260 caùch Bài 11: Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghị Hội sinh viên của trường sao cho trong 3 người đó có ít nhất một cán bộ lớp. Lời giải: Coù 2 khaû naêng: * 1 caùn boä lôùp vaø 2 hoïc sinh thöôøng: coù C12 .C18 2 * 2 caùn boä lôùp vaø 1 hoïc sinh thöôøng: coù C22 .C118 Vaäy soá choïn laø: C12 .C18 2 + C22 .C118 = 324 caùch. Bài 12: Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh giống nhau vào một dãy 7 ô trống. Hỏi: 1. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau? 2. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau? Lời giải: 1. Tröôùc heát xeáp 3 vieân bi ñoû vaøo 7 oâ troáng. Do caùc vieân bi ñoû khaùc nhau neân soá caùch xeáp laø A37 . Sau ñoù xeáp 3 vieân bi xanh vaøo 4 oâ coøn laïi. Do caùc vieân bi xanh gioáng nhau neân soá caùch xeáp laø C34 . Vaäy soá caùch xeáp khaùc nhau laø: A37 . C34 = 840 caùch. 2. Tröôùc heát ta caàn chuù yù veà maøu, ñeå ñoû ñöùng caïnh nhau vaø xanh ñöùng caïnh nhau chæ coù 6 caùch xeáp. Sau ñoù, do caùc vieân bi ñoû khaùc nhau, neân ta hoaùn vò caùc vieân bi ñoû vôùi nhau. Soá caùc hoaùn vò laø 3! Vaäy soá caùch xeáp khaùc nhau ñeå caùc vieân bi ñoû ñöùng caïnh nhau vaø caùc vieân bi xanh ñöùng caïnh nhau laø: 6.3! = 36 caùch. Bài 13: Cho A là một hợp có 20 phần tử. 1. Có bao nhiêu tập hợp con của A? 2. Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn? Lời giải: Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 1. Soá taäp con cuûa A laø: C020 + C120 + C20 2 20 + ... + C20 = 220 2. Soá taäp con khaùc roãng cuûa A coù soá phaàn töû chaün laø: T = C220 + C20 4 20 + ... + C20 Ta coù: 0 = (1 – 1)20 = C020 − C120 + C20 2 20 − ... + C20 ⇒ C020 + C20 2 4 + C20 20 + ... + C20 = C120 + C320 + ... + C19 20 ⇒ C020 + C120 + C20 2 20 + ... + C20 ( = 2 C020 + C220 + C420 + ... + C20 20 ) 220 − C020 = 2 – 1. 19 ⇒ T = C220 + C20 4 + ... + C20 20 = 2 Bài 14: Một lớp có 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cần chọn ra 5 học sinh để đi làm công tác “Mùa hè xanh”. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 học sinh đó phải có ít nhất: 1. Hai học sinh nữ và hai học sinh nam. 2. Một học sinh nữ và một học sinh nam. Lời giải: 1. Neáu trong 5 hoïc sinh phaûi coù ít nhaát 2 hoïc sinh nöõ vaø 2 hoïc sinh nam thì coù 2 tröôøng hôïp: 2 3 * 2 nam vaø 3 nöõ: coù C10 .C10 caùch. 3 2 * 3 nam vaø 2 nöõ: coù C10 .C10 caùch. 2 3 Vaäy taát caû coù: 2. C10 .C10 = 10800 caùch. 2. Neáu trong 5 hoïc sinh phaûi coù ít nhaát 1 hoïc sinh nöõ vaø 1 hoïc sinh nam thì coù 4 tröôøng hôïp: * 1 nam vaø 4 nöõ: coù C110 .C10 4 caùch. 2 3 * 2 nam vaø 3 nöõ: coù C10 .C10 caùch. 3 2 * 3 nam vaø 2 nöõ: coù C10 .C10 caùch. 4 * 4 nam vaø 1 nöõ: coù C10 .C110 caùch. Vaäy taát caû coù: 2. C110 .C10 4 2 + 2. C10 3 .C10 = 15000 caùch. Bài 15: Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy? Lời giải: 4 Soá caùch choïn 4 hoïc sinh töø 12 hoïc sinh ñaõ cho laø: C12 = 495 Soá caùch choïn 4 hoïc sinh maø moãi lôùp coù ít nhaát moät em ñöôïc tính nhö sau: • Lôùp A coù 2 hoïc sinh, caùc lôùp B, C moãi lôùp 1 hoïc sinh. ⇒ Soá caùch choïn laø: C52C14C13 = 120 • Lôùp B coù 2 hoïc sinh, caùc lôùp A, C moãi lôùp 1 hoïc sinh: ⇒ Soá caùch choïn laø: C15C24C13 = 90 • Lôùp C coù 2 hoïc sinh, caùc lôùp A, B moãi lôùp 1 hoïc sinh: ⇒ Soá caùch choïn laø: C15C14C32 = 60 Soá caùch choïn 4 hoïc sinh maø moãi lôùp coù ít nhaát moät hoïc sinh laø: 120 + 90 + 60 = 270 Vaäy soá caùch choïn phaûi tìm laø: 495 – 270 = 225 caùch. Bài 16: Từ một nhóm gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B, 5 học sinh khối C, chọn ra 15 học sinh sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A và đúng 2 học sinh khối C. Tính số cách chọn. Lời giải: 2 • Soá caùch choïn 2 hoïc sinh khoái C laø: C5 = 10 • Choïn 13 hoïc sinh trong soá 25 hoïc sinh khoái A vaø B. Soá caùch choïn baát kì laø: C13 25 = 5200300 4 9 Soá caùch choïn ñöôïc 4 hoïc sinh khoái A vaø 9 hoïc sinh khoái B laø: C15 C10 3 10 Soá caùch choïn ñöôïc 3 hoïc sinh khoái A vaø 10 hoïc sinh khoái B laø: C15 C10 ⇒ Soá caùch choïn sao cho coù nhieàu nhaát 4 hoïc sinh khoái A laø: 4 9 3 10 C15 C10 + C15 C10 = 13650 + 455 = 14105 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 ⇒ Soá caùch choïn sao cho coù ít nhaát 5 hoïc sinh khoái A laø: C13 (4 9 3 10 25 − C15 .C10 + C15 .C10 ) = 5186195 • Vaäy soá caùch choïn sao cho coù ít nhaát 5 hoïc sinh khoái A laø: C52 C13 ( 4 9 3 ) 10  25 − C15 .C10 + C15 .C10  = 51861950 Bài 17: Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ. Lời giải: 1 4 Coù C3C12 caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù nhaát. Vôùi moãi caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù nhaát, thì coù C12C84 caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù hai. Vôùi moãi caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù nhaát vaø tænh thöù hai, thì coù C11C44 caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù ba. Vaäy taát caû coù: C13C12 4 . C12C84 . C11C44 = 207900 caùch phaân coâng. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Baøi 1: Cho 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lý thuyết và 6 bài tập. Người ta cấu tạo thành các đề thi. Biết rằng trong mỗi đề thi phải gồm 3 câu hỏi, trong đó nhất thiết phải có ít nhất 1 câu lý thuyết và 1 bài tập. Hỏi có thể tạo ra bao nhiêu đề thi? ĐS: • Đề gồm 2 câu lý thuyết và 1 bài tập: C42 .C61 = 36 • Đề gồm 1 câu lý thuyết và 2 bài tập: C41 .C62 = 60 Vậy có: 36 + 60 = 96 đề thi. Baøi 2: Một lớp học có 40 học sinh, trong đó gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một ban cán sự lớp gồm 4 em. Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu: a) Gồm 4 học sinh tuỳ ý. b) Có 1 nam và 3 nữ. c) Có 2 nam và 2 nữ. d) Có ít nhất 1 nam. e) Có ít nhất 1 nam và 1 nữ. 4 1 3 2 2 1 3 2 2 3 1 4 ĐS: a) C40 b) C25 .C15 c) C25 .C15 d) C25 .C15 + C25 .C15 + C25 .C15 + C25 4 4 4 e) C40 − C25 − C15 Baøi 3: Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn. Một bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy? ĐS: 1200. Baøi 4: Một túi chứa 6 viên bi trắng và 5 viên bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đó, có bao nhiêu cách lấy được: a) 4 viên bi cùng màu? b) 2 viên bi trắng, 2 viên bi xanh? ĐS: a) 20. b) 150. Baøi 5: Từ 20 người, chọn ra một đoàn đại biểu gồm 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn, 1 thư ký và 3 ủy viên. Hỏi có mấy cách chọn? ĐS: 4651200. Baøi 6: Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi một khác nhau), người ta muốn chọn ra một bó hóa gồm 7 bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn bó hoa trong đó: a) Có đúng 1 bông hồng đỏ? b) Có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ? ĐS: a) 112 b) 150. Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.