Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán liên quan đến đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng toạ độ theo hướng phát huy năng lực học sinh

Chia sẻ: Caphesua | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:36

Thêm vào BST

Báo xấu

27
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến kinh nghiệm được hoàn thành với mục tiêu nhằm giúp học sinh hiểu được bản chất của vấn đề, các em không còn lúng túng trong việc áp dụng dạng toán này, mặt khác tạo ra cho các em hứng thú trong giải toán.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán liên quan đến đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng toạ độ theo hướng phát huy năng lực học sinh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG PT DTNT Cấp 23 VĨNH PHÚC =====***===== BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ THEO HƯỚNG PHÁT HUY NĂNG LỰC HỌC SINH Tác giả sáng kiến: DƯƠNG THỊ THU HƯƠNG Mã sáng kiến: 04.52.02 1
Vĩnh Phúc, năm 2020 MỤC LỤC NỘI DUNG TRANG 1. Lời giới thiệu 3 2. Tên sáng kiến 3 3. Tác giả sáng kiến 3 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến 4 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến 4 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu 4 7. Mô tả bản chất của sáng kiến 4 7.1. Về nội dung của sáng kiến 4 7.1.1. Hệ thống kiến thức 4 7.1.2. Bài tập áp dụng 7 7.1.3. Một số bài toán trắc nghiệm 22 7.1.4. Một số đề tự luyện 25 7.1.5. Kết quả thực hiện 30 7.2. Về khả năng áp dụng của sáng kiến 31 8. Những thông tin cần được bảo mật 31 9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến 30 10. Đánh giá lợi ích thu được do áp dụng sáng kiến 31 11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử 32 hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 2
BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. Lời giới thiệu Trong chương trình toán học phổ thông, phương pháp tọa độ trong mặt phẳng là một dạng toán khó đối với học sinh. Nhưng dạng toán này lại rất quan trọng, nó có mặt hầu hết trong các kì thi THPT Quốc Gia và thi học sinh giỏi Tỉnh. Khi gặp dạng toán này, học sinh thường cảm thấy rất khó khăn và lúng túng về phương pháp cũng như tính toán. Nguyên nhân là do các em chưa nắm chắc kiến thức. Để giúp các em học sinh có được kỹ năng tốt trong việc giải những dạng toán này, việc rèn luyện kỹ năng, bồi dưỡng năng lực tư duy cho học sinh thông qua các bài toán là một điều rất cần thiết. Muốn làm tốt được điều đó, người thầy không chỉ đôi m ̉ ơi ph ́ ương pháp mà còn phải có kiến thức vừa chuyên, vừa sâu, dẫn dắt học sinh tìm hiểu một cách lôgic bản chất của toán học. Từ đó giúp các em có kỹ năng áp dụng phương pháp này và tạo nên sự say mê trong việc học môn Toán. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng đã có các tài liệu qua mạng internet và các bài viết của đồng nghiệp chia sẻ, đề cập đến, nhưng tôi thấy chưa phát huy được năng lực của học sinh, cũng như không thể áp dụng được đối với học sinh trường tôi. Bởi hệ thống bài tập chưa thể hiện từ dễ đến khó, từ đơn giản đến các bài tập tổng hợp. Cho nên, qua nhiều năm giảng day môn toan ̣ ́ ở trương THPT Dân T ̀ ộc Nội Trú khi dạy tới phần phương pháp tọa độ trong mặt phẳng tôi luôn băn khoăn làm thế nào để cho giờ dạy của mình đạt kết quả cao nhất, các em chủ động trong việc chiếm lĩnh kiến thức. Thầy đóng vai trò là người điều khiển để các em tìm đến đích của bai toan. Chính vì l ̀ ́ ẽ đó, trong nhiêu năm qua tôi đa ̀ ̃ đầu tư thời gian nghiên cứu vê linh v ̀ ̃ ực phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, ́ ̣ ̀ ̣ chu trong vao dang toan liên quan đ ́ ến đường thẳng và đường tròn, một mặt là giúp học sinh hiểu được bản chất của vấn đề, các em không còn lúng túng trong việc áp dụng dạng toán này, mặt khác tạo ra cho các em hứng thú trong giải toán. 3
Từ những lý do trên, tôi đã khai thác, hệ thống hóa các kiến thức và tổng hợp thành một đề tài sáng kiến kinh nghiệm “ Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán liên quan đến đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng toạ độ theo hướng phát huy năng lực học sinh” . Đề tài này tôi đã áp dụng trong công tác giảng dạy năm học này và đã đạt được những kết quả khả quan. 2. Tên sáng kiến: Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán liên quan đến đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng toạ độ theo hướng phát huy năng lực học sinh. 3. Tác giả sáng kiến: Họ và tên: Dương Thị Thu Hương Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường PT DTNT Cấp 23 Vĩnh Phúc. Số điện thoại:0975521031.E_mail:duonghuong.dtnt@gmail.com 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Dương Thị Thu Hương 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy cho học sinh lớp 10, học sinh giỏi Tỉnh và học sinh ôn thi THPT Quốc Gia. 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 10/9/2019. 7. Mô tả bản chất của sáng kiến: 7.1. Về nội dung của sáng kiến: Trước khi triển khai đề tài tôi cho kiểm tra hai lớp 10 của trường là lớp 10A, 10B với đề bài như sau: Đề bài: (thời gian làm bài 30') Câu 1: Cho tam giác ABC có A(2;4). Gọi H(2;1) là trực tâm, G(4;7) là trọng tâm của tam giác ABC.Tìm toạ độ các đỉnh B, C. Câu 2: Cho tam giác ABC, biết đỉnh C(4;1), đường cao và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A có phương trình lần lượt là: 2x3y+12=0 và 2x+3y=0. Lập phương trình của các cạnh của tam giác ABC. Nhận xét: Kết quả định tính: Sau khi kiểm tra chấm bài của học sinh, tôi thấy còn tồn tại như sau: Chưa nắm vững các kiến thức liên quan đến chương III hình học lớp 10. Nhiều học sinh chưa biết cách làm, lời giải còn trình bày dài dòng, rắc rối, không chặt chẽ. Không biết dạng của bài toán. Học sinh chưa phát huy được tư duy sáng tạo, khả năng học hỏi, sự tìm tòi kiến thức mới. 4
Kết quả định lượng: điểm
x A + xB + xC xG = 3 G là trọng tâm của tam giác ABC y A + yB + yC yG = 3 II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG. 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng. r Định nghĩa: Vectơ u được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu r r r u 0 và giá của u song song hoặc trùng với ∆ . 2. Phương trình tham số của đường thẳng. Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0;y0) và nhận vectơ r x = x0 + tu1 u ( u1 ; u2 ) làm vectơ chỉ phương là (u12 + u22 0 ) y = y0 + tu2 3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng. r Định nghĩa: Vectơ n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu r r r n 0 và n vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ . 4. Phương trình tổng quát của đường thẳng. Định nghĩa: Phương trình ax + by + c = 0 với a và b không đồng thời bằng 0 được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng. Nhận xét: Nếu đường thẳng ∆ có phương trình ax + by + c = 0 thì ∆ có vectơ r r pháp tuyến là n ( a; b ) và có vectơ chỉ phương là u ( −b; a ) 5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng. Xét hai đường thẳng ∆1 & ∆ 2 có phương trình TQ lần lượt là a1 x + b1 y + c1 = 0 và a2 x + b2 y + c2 = 0 a1 x + b1 y + c1 = 0 Toạ độ giao điểm của ∆1 & ∆ 2 là nghiệm của hệ phương trình: a2 x + b2 y + c2 = 0 (I) + Hệ (I) có 1 nghiệm (x0 ; y0), khi đó ∆1 ∆ 2 tại điểm M0(x0 ; y0). + Hệ (I) có vô số nghiệm khi đó ∆1 ∆ 2 . + Hệ (I) vô nghiệm khi đó ∆1 // ∆ 2 Tổng quát: Để xét vị trí tương đối của ∆1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 và ∆ 2 : a2 x + b2 y + c2 = 0 Ta xét a b1 + ∆1 ∆ 2 ۹ a1 2 b2 a b c + ∆1 // ∆ 2 � a1 = b1 �c1 2 2 2 a1 b1 c1 + ∆1 ∆ 2 � a = b = c 2 2 2 6. Góc giữa hai đường thẳng. 6
Cho hai đường thẳng ∆1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 và ∆ 2 : a2 x + b2 y + c2 = 0 . r ur Gọi là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆ 2 , n1 và n 2 lần lượt là hai vectơ pháp tuyến của ∆1 và ∆ 2 . Khi đó: uruur r uur n1 n2 a1 a 2 b2 b 2 ( ) cos ϕ = cos n1 , n2 = ur uur .Vậy cos n1 n2 a1 b12 a 22 b22 2 r r Chú ý: ∆1 ⊥ ∆ 2 � n1 ⊥ n 2 � a1 a2 + b1b2 = 0 . 7. Công thức tính tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Trong mp Oxy cho đường thẳng có phương trình ax+by+c=0 và điểm M0(x0;y0). Khoảng cách từ điểm M0 đến đường thẳng , kí hiệu d(M0, ), đ ax0 by 0 c ược tính bởi công thức: d(M0, ) = . a2 b2 III. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN. 1. Phương trình đường tròn Trong mặt phẳng Oxy đường tròn (C) tâm I(a; b), bán kính R có phương trình là: (x a)2 + (y b)2 = R2 * I O đường tròn có phương trình: x2 + y2 = R2 2. Nhận xét. Phương trình x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 là phương trình đường tròn tâm 2 2 2 I(A;B) bán kính R A2 B 2 C khi A + B C 0. 3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn. Tiếp tuyến của đường tròn (C) tâm I(a;b) tại điểm M(x0; y0) có PT: ( x0 − a)( x − x0 ) + ( y0 − b)( y − y0 ) = 0 7.1.2. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Lập PT tham số của đường thẳng d: r a. d đi qua điểm M ( −1; 4 ) và có vectơ chỉ phương u = ( −3; 2 ) ; r b. d đi qua điểm M ( 2; −1) và có vectơ pháp tuyến n = ( 5;1) . Phân tích: Áp dụng đúng công thức cơ bản Giải: x = −1 − 3t a. y = 4 + 2t r r b. Ta có: vtpt n = ( 5;1) , suy ravtcp u (1;5) . x = 2+t Vậy PT tham số của đường thẳng d là: y = −1 − 5t Bài 2: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau: 7
a. ∆ đi qua M(5 ; 8) và có hệ số góc k = 3. b. ∆ đi qua hai điểm A(2 ; 1) và B(4;5). Phân tích: Tìm vtpt khi biết hệ số góc k và khi biết hai điểm. Sau đó áp dụng đúng công thức để viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ . Giải: r r a. Ta có: M(5; 8) và có hệ số góc k = 3 nên vtcp u (1;3) vtpt n(3;1) .Nên PT tổng quát của ∆ là: 3x+y+23=0. uuur r b. Ta có: AB (6;4) vtpt n(4;6) . Nên PT tổng quát của ∆ là: 2x+3y7=0. Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I ( 3;3) và � 4� � 13 � AC = 2BD. Điểm M �2; � thuộc đường thẳng AB, N �3; � thuộc đường � 3� � 3� thẳng CD. Viết phương trình đường chéo BD biết điểm B có hoành độ nhỏ hơn 3. Phân tích: Tìm tọa độ điểm N’ đối xứng với N qua I Viết phương trình đường thẳng AB đi qua M, N’ Tìm tọa độ điểm B Giải: � 5� Gọi N’ là điểm đối xứng với N qua I N '�3; �, đường thẳng AB đi qua � 3� 4 M, N’ có phương trình x − 3 y + 2 = 0 � IH = d ( I ; AB ) = . Mặt khác do 10 AC = 2 BD � IA = 2 IB . 1 1 5 Đặt IB = t � 2 + 2 = � t = 2 . t 4t 8 14 8 ( x − 3 ) + ( y − 3) = 2 2 2 x= ;y = B AB nên tọa độ B là nghiệm của hệ: 5 5 x − 3y + 2 = 0 x = 4; y = 2(l ) � 14 8 � Vậy B � ; �. Vậy phương trình BD: 7 x − y − 18 = 0 5 5 � � Bài 4: Trong măt phăng toa đô ̣ ̉ ̣ ̣ Oxy, cho tam giác ABC có các đường cao AE, BF cắt nhau tại H ( −2;6 ) . Đường tròn ( K ) ngoại tiếp tam giác HEF có phương � 10 � trình ( x − 1) + ( y − 2 ) = 25 . Biết cạnh AB đi qua điểm M �5; − 2 2 �, cạnh AC đi qua � 3� điểm N ( 3; −3) .Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. Phân tích: Tọa độ điểm C thuộc đường tròn (K) Lập phương trình đường thẳng AC, BH, AB Từ đó tìm tọa độ các điểm A, B, C. 8
Giải: A Đường tròn (K) có tâm I ( 1; 2 ) , bán kính N F M R = 5. Có HE ⊥ EC , HF ⊥ FC H C thuộc đường tròn ( K ) , đồng thời I là trung điểm HC. I Do I ( 1; 2 ) , H ( −2;6 ) � C ( 4; −2 ) . Cạnh AC B E C đi qua C ( 4; −2 ) , N ( 3; −3) có phương trình: x − y −6 = 0 Đường cao BH qua H , vuông góc với AC có phương trình: x + y − 4 = 0 uuur Cạnh AB qua M , nhận HC = ( 6; −8 ) là véc tơ pháp tuyến nên có phương � 10 � trình: 6 ( x − 5 ) − 8 �y + �= 0 � 9 x − 12 y − 85 = 0 � 3� � 13 31 � �19 7 � A = AB �AC , B = AB �BF suy ra tọa độ A � − ;− � , B� ;− � � 3 3 � �3 3� � 13 31 � � 19 7 � Vậy A �− ; − �, B � ; − �, C ( 4; −2 ) . � 3 3 � �3 3� Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhận trục hoành làm đường phân giác trong của góc A, điểm E ( 3; −1) thuộc đường thẳng BC và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x 2 y 2 2 x 10 y 24 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết điểm A có hoành độ âm. Phân tích: Tìm tọa độ đỉnh A. Lập phương trình đường thẳng BC. Tìm tọa độ các đỉnh B, C. Giải: K Đường tròn ngoại tiếp có tâm I(1;5) B Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: E x 2 + y 2 − 2x − 10y − 24 = 0 �x = 6 �x = −4 � �� y = 0 �y = 0 I y=0 Do A có hoành độ âm suy ra A(4;0). C A Và gọi K(6;0),vì AK là phân giác trong góc A nên KB=KC, do đó KI BC và uur IK ( −5;5 ) là vtpt của đường thẳng BC � BC : −5 ( x − 3) + 5 ( y + 1) = 0 � − x + y + 4 = 0 x 2 + y 2 − 2x − 10y − 24 = 0 �x = 8 �x = 2 Suy ra tọa độ B, C là nghiệm của hệ � �� −x + y + 4 = 0 �y = 4 �y = −2 Vây A(4;0), B(8;4), C(2;2) và A(4;0), C(8;4), B(2;2) . 9
Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại B, BC = 2BA . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC. Trên tia đối của tia FE lấy điểm M sao cho FM = 3FE . Biết điểm M có tọa độ ( 5; −1) , đường thẳng AC có phương trình 2x + y − 3 = 0 , điểm A có hoành độ là số nguyên. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Phân tích: Chứng minh BM ⊥ AC Viết phương trình đường thẳng BM Tìm tọa độ điểm I là giao điểm của BM và AC. Tìm tọa độ điểm A, B, C. Giải: Gọi I là giao điểm của BM và AC. C Ta thấy BC = 2BA � EB = BA, FM = 3FE � EM = BC ∆ABC = ∆BEM � EBM ﾣﾣ = CAB � BM ⊥ AC . Đường thẳng BM đi qua M vuông góc với AC F M E BM : x − 2y − 7 = 0 . Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ: I 13 x= B A 2x + y − 3 = 0 5 �13 −11 � � � I� ; � x − 2y − 7 = 0 −11 �5 5 � y= 5 uuur � 12 6 � � IM = � ; � �5 5 � uur 2 uuur �−8 −4 � Ta có IB = − IM = � ; �� B ( 1; −3 ) 3 �5 5 � 1 1 1 5 5 Trong ∆ABC ta có 2 = 2 + 2 = 2 � BA = BI BI BA BC 4BA 2 2 2 −8 � �−4 � 4 5 Mặt khác BI = � � �+ � � = , suy ra BA = 5 BI = 2 5 � � � � 5 5 2 Gọi tọa độ điểm A ( a,3 − 2a ) . a =3 Ta có BA = 4 � ( a − 1) + ( 6 − 2a ) = 4 � 5a − 26a + 33 = 0 � 2 2 2 2 11 a= 5 � uur� −2 4 Do a là số nguyên suy ra A ( 3; −3) . AI = � ; � 5 5 � � uuur uur Ta có AC = 5AI = ( −2; 4 ) C ( 1;1) . Vậy A ( 3; −3) , B ( 1; −3) , C ( 1;1) Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm 2 I(1;3). Gọi N là điểm thuộc cạnh AB sao cho AN = AB . Biết đường thẳng 3 DN có phương trình: x + y 2=0 và AB=3AD. Tìm tọa độ điểm B. Phân tích: 10
r Viết phương trình đường thẳng BD đi qua I và có vtpt n(a; b)(a 2 + b 2 0) Tính góc giữa hai đường thẳng BD và DN Tìm tọa độ điểm D là giao điểm của BD và DN và tọa độ điểm B. Giải: r Gọi n(a; b)(a 2 + b 2 0) là vectơ pháp tuyến của BD, BD đi qua điểm I(1;3), PT BD: ax + by − a − 3b = 0 ﾣ r uur |a+b| 7 2 3a = 4b cos BDN = cos(n, n1 ) = = � 24a 2 + 24b 2 − 50ab = 0 � a +b 2 2 2 10 4a = 3b +) Với 3a = 4b , chọn a=4, b=3, PT BD: 4x+3y13=0 D = BD ��DN D (7; −5) � B ( −5;11) +) Với 4a = 3b , chọn a=3, b=4, PT BD: 3x+4y15=0 D = BD ��DN D (−7;9) � B (9; −3) Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB=2BC. Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng BD; E,F lần lượt là trung điểm đoạn CD và BH. Biết A(1;1), phương trình đường thẳng EF là 3x – y – 10 = 0 và điểm E có tung độ âm. Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D. Phân tích: G A B Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng CD, BH, AB. Ta chứng minh AF ⊥ EF . F Viết phương trình đường thẳng AF Tìm tọa độ điểm F, E H Viết phương trình đường thẳng AE D E C Tìm tọa độ điểm D, C, B. Giải: Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng CD, BH AB. Ta chứng minh AF ⊥ EF . Ta thấy các tứ giác ADEG và ADFG nội tiếp nên tứ giác ADEF cũng nội tiếp, do đó AF ⊥ EF . Đường thẳng AF có pt: x+3y4=0. Tọa độ điểm F là nghiệm của hệ: 17 x= 3 x − y = 10 5 �17 1 � 32 � =� � F � ; � AF x + 3y = 4 1 �5 5 � 5 y= 5 1 2 ∆AFE : ∆DCB EF = AF = 2 ; 2 5 11
2 2 8 � 17 � � 51 � 8 E ( t ;3t − 10 ) � EF = � � 2 t − �+ � 3t − �= 5 � 5� � 5� 5 19 �19 7 � � 5t 2 − 34t + 57 = 0 � t = 3 �t = hay E ( 3; −1) �E � ; � 5 �5 5 � Theo giả thiết ta được E ( 3; −1) , pt AE: x+y2=0. Gọi D(x;y), tam giác ADE vuông cân tại D nên: ( x − 1) + ( y − 1) = ( x − 3) + ( y + 1) 2 2 2 2 AD = DE � � AD ⊥ DE ( x − 1) ( x − 3) = ( y − 1) ( y + 1) y = x−2 �x = 1 �x = 3 �� hay D(1;1) �D(3;1) ( x − 1) ( x − 3) = 0 �y = −1 �y = 1 Vì D và F nằm về hai phía so với đường thẳng AE nên D(1;1). Khi đó, C(5;1); B(1;5). Vậy B(1;5); C(5;1) và D(1;1). Bài 9: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy. Cho tam giác ABC có điểm A(2;1), đường cao BH có phương trình: x 3y 7 = 0, đường trung tuyến CM có phương trình: x +y +1 = 0. Tìm tọa độ các điểm B và C. Tính diện tích tam giác ABC. Phân tích: Viết phương trình đường thẳng AC Tìm tọa độ điểm C Tìm tọa độ điểm B, H Tính BH, AC Giải: Đường thẳng AC qua A và vuông góc với BH có B r VTPT n = (3;1) nên có phương trình là: 3x + y 7 = 0 Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ: M 3x y 7 0 x 4 C (4; 5). C x y 1 0 y 5 H Vì M x M ; y M là trung điểm của AB nên : 2 xB xM A 2 1 yB yM 2 2 + xB 1 + y B Mà M thuộc CM nên: + +1 = 0 2 2 2 + xB 1 + y B + +1 = 0 xB 2 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ: 2 2 B ( 2; 3). yB 3 xB − 3 y B − 7 = 0 12
14 x= x − 3y − 7 = 0 5 14 7 Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ: � � H ; 3x + y − 7 = 0 7 5 5 y=− 5 Khi đó ta có: BH = 8 10 ; AC = 2 10 . 5 Vậy S ABC = 1 AC.BH = 1 .2 10. 8 10 = 16 ( đvdt). 2 2 5 Bài 10: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các đường thẳng d1 : 3x + 2 y − 4 = 0 ; d 2 : 5x − 2 y + 9 = 0 . Viết phương trình đường tròn có tâm I d 2 và tiếp xúc với d1 tại điểm A ( −2;5) . Phân tích: Viết phương trình đường thẳng AI Tìm tọa độ tâm I, tính bán kính IA Giải: Do đường tròn tiếp xúc với đường thẳng d1 tại điểm A nên IA ⊥ d1 . Vậy phương trình IA là: 2 ( x + 2 ) − 3 ( y − 5 ) = 0 � 2 x − 3 y + 19 = 0 �5x − 2 y + 9 = 0 �x = 1 Kết hợp I d 2 nên tọa độ tâm I là nghiệm hệ � �� I ( 1;7 ) �2 x − 3 y + 19 = 9 �y = 7 Bán kính đường tròn R = IA = 13 . Vậy phương trình đường tròn là: ( x − 1) + ( y − 7 ) = 13 2 2 Bài 11: Cho đường tròn (C) :x2 + y2 – 4x – 4y+4= 0 và đường thẳng (d): x +y – 2=0, (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B.Tìm tọa độ điểm C thuộc ( C ) sao cho ∆ ABC có chu vi lớn nhất. Phân tích: Tìm tọa độ điểm A, B, tính AB Tính chu vi tam giác ABC Tìm tọa độ điểm C. Giải: x+ y−2=0 A(2;0) Xét hệ : � 2 �� AB = 2 2 x + y − 4x − 4 y + 4 = 0 2 B (0; 2) x−2 2 y−2 2 (C) : (x–2)2+(y–2)2 = 4 ( ) + ( ) =1 2 2 x = 2 + 2 sin t Đặt: (0 t
8 + 8sin t = 8 + 8cos t C∆ABCmax = 2 2 + 4 2 + 2 khi π sin(t + ) = 1 4 π �t= � C (2 + 2, 2 + 2) 4 Bài 12: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho ∆ABC có đỉnh A ( −3; 4 ) , đường phân giác trong của góc A có phương trình x + y − 1 = 0 và tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là I (1 ;7). Viết phương trình cạnh BC, biết diện tích ∆ABC gấp 4 lần diện tích ∆IBC . Phân tích: A Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Gọi D là giao điểm thứ hai của đường phân giác trong I Lập phương trình đường thẳng BC. Giải: B H K C + Ta có IA = 5 . Phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là: ( C ) : ( x − 1) 2 + ( y − 7) 2 = 25 D + Gọi D là giao điểm thứ hai của đường phân giác trong góc A với đường tròn ngoại tiếp ∆ABC . Tọa độ x + y −1 = 0 của D là nghiệm của hệ: � D ( −2;3) ( x − 1) 2 + ( y − 7) 2 = 25 + Vì AD là phân giác trong của góc A nên D là điểm chính + Phương trình giữa cung nhuu ỏur BC. Do đó ID ⊥ BC hay đường thẳng BC cạnh BC có dạng nhận véc tơ DI = ( 3; 4 ) làm vec tơ pháp tuyến. + Kẻ AH ⊥ BC . Do S∆ABC = 4S∆IBC Mà nên AH = 4 IK 117 c=− 7+c 31 + c 3 AH = d ( A; BC ) = và IK = d ( I ; BC ) = nên 7 + c = 4 31 + c 131 5 5 c=− 5 Vậy phương trình cạnh BC là : 9 x + 12 y − 117 = 0 hoặc 15 x + 20 y − 131 = 0 Bài 13: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 + 4 x + 2 y + 3 = 0 và điểm M(3;2). Gọi I là tâm của đường tròn (C). Viết phương trình đường thẳng qua M cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất. Phân tích: Tính diện tích tam giác IAB. Diện tích này lớn nhất khi nào Lập phương trình đường thẳng ∆ qua M(3;2), vectơ pháp tuyến r n = (a; b), (a 2 + b 2 0) Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng ∆ . Giải: (C) có tâm I(2;1) và bán kính R = 2 . 14
1 1 Diện tích tam giác IAB là: S = .IA.IB.sin ﾣAIB = R 2 .sin ﾣAIB = sin ﾣAIB 1 2 2 Diện tích S lớn nhất bằng 1 khi và chỉ khi IA ⊥ IB . r Đường thẳng ∆ qua M(3;2), vectơ pháp tuyến n = (a; b), (a 2 + b2 0) có phương trình: a( x + 3) + b( y − 2) = 0 � ax + by + 3a − 2b = 0 1 1 Khi đó, khoảng cách từ I đến đường thẳng ∆ là: d = . AB = .R 2 = 1 2 2 −2a − b + 3a − 2b b=0 � =1� a 2 + b2 3a = 4b *) b=0: PT đường thẳng cần tìm là: x+3=0. *) 3a=4b: PT đường thẳng cần tìm là: 4x+3y+6=0. Vậy có hai đường thẳng thoả mãn đề bài: x+3=0, 4x+3y+6=0. Bài 14: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 4 x − 6 y + 12 = 0 có tâm I và đường thẳng (d ): x + y − 4 = 0 . Tìm trên đường thẳng (d) điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) qua M tiếp xúc với (C) tại A, B và tam giác IAB có diện tích lớn nhất. Phân tích: Tính diện tích tam giác IAB. Diện tích này lớn nhất khi nào Tìm trên đường thẳng (d) điểm M Giải: Đường tròn có tâm I(2; 3), bán kính R = 1 1 1 Vì S∆IAB = IA.IB.sin ﾣAIB mà IA, IB không đổi do 2 2 đó: Diện tích tam giác IAB lớn nhất IA ⊥ IB hay MAIB là hình vuông. Gọi M(a, 4 a). Khi đó MAIB là hình vuông nên 3 3. MI = 2. Do đó 2a 2 − 6a + 3 = 0 � a = 2 3+ 3 5− 3 3− 3 5+ 3 Vậy M 1 ( ; ); M 2 ( ; ) 2 2 2 2 Bài 15: Cho đường tròn (C1 ) : (x + 1) 2 + ( y − 1)2 = 5 . Đường tròn (C2 ) có tâm I 2 (3;5) cắt (C1) tại A và B biết AB = 2 . Viết phương trình đường tròn (C2 ) Phân tích: Lập phương trình đường thẳng I1I2 Gọi H = AB I1I 2 . Ta tính I1H , I2H. Viết phương trình đường tròn (C2 ) Giải: Đường tròn ( C1 ) có tâm I1 ( −1;1) ; bán kính R1 = 5 Phương trình đường thẳng I1I2 : x − y + 2 = 0 3 Gọi H = AB I1I 2 . Ta có I1H = R1 − BH = 2 2 2 3 9 � 2 ( t + 1) = 2 Giả sử H( t;t+2). I1H = 2 2 15
5 �5 1� t = − � H�− ;− � A 2 � 2 2� 1 �1 5 � t= H� ; � I1 2 �2 2 � H I 2 Nếu � 5 1� 11 2 H �− ; − �� I 2 H = � R 2 = I 2 H 2 + BH 2 = 61 B � 2 2 � 2 Phương trình ( C2 ) : ( x − 3) + ( y − 5 ) = 61 2 2 �1 5 � 5 2 Nếu H � ; �� I 2 H = � R 2 = I 2 H 2 + BH 2 = 13 �2 2 � 2 Phương trình ( C2 ) : ( x − 3) + ( y − 5) = 13 2 2 Bài 16: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) : x 2 + y 2 − 6 x + 2 y + 6 = 0 và đường thẳng d : 2 x − y + 1 = 0 . Tìm điểm M d sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) các tiếp điểm là A, B; biết rằng đường thẳng AB đi qua điểm N (2; −1) . Phân tích: Xác định tâm và bán kính của đường tròn(C). Viết phương trình đường tròn (C1 ) tâm M bán kính MA Viết phương trình đường thẳng AB biết A, B là giao của (C) và (C1 ) . Cho điểm M thuộc đường thẳng AB, tìm M. Giải: Đường tròn (C) có tâm I (3; −1) và R = 2 Do M d nên M(a;2a + 1) suy ra MI2 = 5a 2 + 2a + 13 Ta có: MA 2 = MI 2 − IA 2 = 5a 2 + 2a + 9 ( x − a ) 2 + ( y − 2a − 1) 2 = 5a 2 + 2a + 9 Mặt khác: A,B (C) nên A, B thỏa mãn hệ: x 2 + y 2 − 6x + 2y + 6 = 0 � ( 6 − 2a ) x − ( 4a + 4 ) y + 2a − 14 = 0 Phương trình đường thẳng AB có dạng: ( 6 − 2a ) x − ( 4a + 4 ) y + 2a − 14 = 0 Vì AB đi qua N(2; −1) � ( 6 − 2a ) 2 − ( 4a + 4 ) ( −1) + 2a − 14 = 0 � a = −1 Vậy điểm M(−1; −1) . Bài 17: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x − 3 y − 2 = 0 và hai điểm phân biệt A ( 1; 3 ) và B không thuộc đường thẳng d. Lập phương trình đường thẳng AB biết rằng khoảng cách từ điểm B đến giao điểm của AB và d bằng hai lần khoảng cách từ B đến d. Phân tích: Gọi C là giao điểm của d và AB r Gọi n(a; b) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB Tính cos BCH ﾣ Lập phương trình đường thẳng AB 16
Giải: Gọi C là giao điểm của d và AB, BH ⊥ d 8 6 ﾣ BH 1 ﾣ Ta có sin BCH = = � BCH = 300 4 r BC 2 B Gọi n(a; b) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng 2 A C AB 10 5 O 5 10 ur 2 Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là n '(1; − 3) H r ur 4 r ur n.n ' ﾣ ( ) = cos( ﾣAB; d ) = cos n; n ' � r ur = 3 6 Ta có cos BCH n . n' 2 a − 3b 3 � = � a − 3b = 3 a 2 + b 2 a + b .2 2 2 2 a=0 � 2a 2 + 2 3ab = 0 � a = − 3b Với a = 0 phương trình đường thẳng AB là: y − 3 = 0 Với a = − 3b chọn b = −1 � a = 3 � phương trình đường thẳng AB là: 3x − y = 0 Vậy có hai phương trình đường thẳng AB thỏa mãn đề bài là: y − 3 = 0 ; 3x − y = 0 Bài 18: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : 3x − 4 y + 4 = 0 � 5� và điểm C ( 2; −5 ) . Tìm trên ∆ hai điểm A và B đối xứng nhau qua I �2; � sao 2 � � cho diện tích tam giác ABC bằng15. Phân tích: � 3a + 4 � � 16 − 3a � Gọi A �a; �� B �4 − a; � � 4 � � 4 � Tính diện tích tam giác ABC, tính AB Giải: � 3a + 4 � � 16 − 3a � Gọi A �a; �� B �4 − a; �. � 4 � � 4 � Khi đó diện tích tam giác ABC là: S = 1 AB.d (C , ∆) = 3 AB � AB = 5 . ABC 2 2 �6 − 3a � a=4 Theo giả thiết ta có AB = 5 � (4 − 2a ) + � 2 �= 25 � 100a − 400a = 0 � a = 0 2 � 2 � Vậy hai điểm cần tìm là A(0;1) và B(4;4), hoặc B(0;1) và A(4;4). Bài 19: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình tam giác ABC có diện tích bằng 2. Biết A(1;0) , B(0; 2) và trung điểm I của AC nằm trên đường thẳng y = x . Tìm toạ độ đỉnh C. Phân tích: Lập phương trình đường thẳng AB 17
Tính h (h là khoảng cách từ C đến AB) Giải: uuur Ta có AB = 5 và đường thẳng AB nhận AB(−1; 2) là véc tơ chỉ phương hay nhận r n(2;1) là véc tơ pháp tuyến nên AB có phương trình là: 2 x + y − 2 = 0 . Vì I thuộc đường thẳng y = x nên I (t ; t ) mà I là trung điểm của AC nên C (2t − 1; 2t ) . 6t − 4 Gọi h là khoảng cách từ C đến AB thì h = 5 1 Theo giả thiết diện tích tam giác ABC bằng 2 nên ta có: 2 = .h. AB � 3t − 2 = 2 2 4 t= 5 8 3 . Vậy toạ độ của C là C ( ; ) và C (−1;0) 3 3 t=0 Bài 20: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M(3;1) và I(2;2). Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác IAB cân tại I. Phân tích: Lập phương trình đường thẳng d ∆IAB cân tại I Giải: Giả sử đường thẳng d cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A(a;0), B(0;b), (a, b 0) x y Phương trình đường thẳng d có dạng: + =1 a b 3 1 Do d qua M(3;1) nên + = 1 (1). Đồng thời, ∆IAB cân tại I nên a b a = −b IA = IB � (a − 2) 2 + (0 + 2) 2 = (0 − 2) 2 + (b + 2) 2 � a − 2 = b + 2 � a =b+4 Với a = −b , thay vào (1) ta được a = 2; b = −2 nên phương trình đường thẳng d là x− y−2=0 Với a = b + 4, thay vào (1) ta được ( a; b ) = (6; 2) hoặc (a; b) = (2; −2) Từ đó, phương trình đường thằng d là x + 3 y − 6 = 0 hoặc x − y − 2 = 0 Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là d : x + 3 y − 6 = 0 hoặc d :x− y−2=0 Bài 21: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C ( 5;1) , điểm B thuộc đường thẳng x + y + 6 = 0 và trung tuyến AM. Điểm N ( 0;1) là trung điểm của AM, điểm D ( −1; − 7 ) không nằm trên đường thẳng AM và nằm khác phía với A so với đường thẳng BC đồng thời khoảng cách từ A và D tới đường thẳng BC bằng nhau. Xác định tọa độ các điểm A, B. Phân tích: Do A, D nằm khác phía so với BC và cách đều BC suy ra BC đi qua trung điểm I của AD. 18
Gọi G ( a; b ) là giao điểm của DN và MI suy ra G là trong tâm của tam giác ADM Lập phương trình đường thẳng BC Tìm tọa độ điểm B, M, A. Giải: A Do A, D nằm khác phía so với BC và cách N đều BC suy ra BC đi qua trung điểm I của AD. B I C Gọi G ( a; b ) là giao điểm của DN và MI suy G M ra G là trong tâm của tam giác ADM 1 D uuur uuur −1 = 3a a =− � ND = 3 NG � � �� 3 −8 = 3 ( b −1) 5 b=− 3 �1 5� �G� − ;− � �3 3� Phương trình đường thẳng BC : x − 2 y − 3 = 0 Tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình: x + y + 6 = 0 { y = −3 x − 2y −3 = 0 { x = −3 � B ( −3; − 3) . � M ( 1; − 1) � A ( −1;3) . Vậy, A ( −1;3) , B ( −3; − 3) Bài 22: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d ) : 2 x − y + 2 = 0 và hai điểm A(4;6), B(0; −4) . Tìm trên đường thẳng (d ) điểm M sao cho vectơ uuuur uuuur AM + BM có độ dài nhỏ nhất. Phân tích: Vì M ( x0 ; 2 x0 + 2) (d ) Tìm tọa độ vectơ uuuu r uuuur AM + BM . uuuur uuuur Tính AM + BM Giải: uuuur uuuur M ( x0 ; 2 x0 + 2) ( d ) AM ( x0 − 4; 2 x0 − 4) BM (x 0 ; 2 x0 + 6) uuuur uuuur � AM + BM = (2 x0 − 4; 4 x0 + 2) uuuur uuuur AM + BM = 20 x02 + 20 2 5 uuuur uuuur AM + BM nhỏ nhất � x0 = 0 M (0; 2) Bài 23: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A ( −1; 2 ) và đường thẳng d : x − 2 y + 3 = 0 . Tìm trên đường thẳng d hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông ở C và CA = 3CB . Phân tích: Lập phương trình đường thẳng AC Tìm tọa độ điểm C, B. 19
uur uur uuur Giải: Ta có nd = (1; −2) � ud = (2;1) = nAC Khi đó AC : 2( x + 1) + y − 2 = 0 � 2 x + y = 0 Gọi C= AC d . Tọa độ của C là nghiệm của hệ: 3 x x 2y 3 5 3 6 C ( ; ) 2x y 0 6 5 5 y 5 1 4 3 2 Mặt khác CA=d(A,d) = 5 5 Do B d B( 2 y 3; y ) 2 2 � 12 � � 6 � 36 BC = �2 y − �+ �y − � = 5 y 2 − 12 y + � 5 � � 5� 5 16 y 2 36 15 Theo giả thiết CA=3CB � = 3 5 y 2 − 12 y + 45 y 2 108 y 64 0 5 5 4 y 3 16 �−13 16 � Với y B1 � ; � 15 �15 15 � 4 �−1 4 � Với y B2 � ; � 3 �3 3 � � 3 6� −13 16 −1 4 Vậy C = �− ; � và B1 ( ; ) hoặc B2 ( ; ) �5 5� 15 15 3 3 Bài 24: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích S = 6, điểm I(1;0) là giao điểm của hai đường chéo.Trung điểm của cạnh AB là −1 −3 điểm M ( ; ) . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD. Biết đỉnh A 2 2 có hoành độ âm. Phân tích: Lập phương trình đường thẳng AB 1 Gọi A(t ; −t − 2) �AB, (t < 0) , tính MA = 2 t + 2 Tìm tọa độ điểm A, B, C, D. Giải: uuur − 3 −3 3 2 A M B IM ( ; ), IM = 2 2 2 Phương trình đường thẳng AB: x+y+2 = 0 Gọi A(t; −t − 2) �AB, ( t < 0) , I 1 MA = 2 t + 2 D C Hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng S 20