Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Một số kỹ năng cần hình thành và phát triển cho học sinh thông qua dạy học chương VIII sách Toán 10, sách Kết nối tri thức theo dạy học phát triển năng lực của người học

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:55

Thêm vào BST

Báo xấu

1
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến "Một số kỹ năng cần hình thành và phát triển cho học sinh thông qua dạy học chương VIII sách Toán 10, sách Kết nối tri thức theo dạy học phát triển năng lực của người học" được hoàn thành với mục tiêu nhằm góp phần làm sáng t cơ sở lý luận của dạy học theo dạy học phát triển năng lực của người học trong dạy học chương VIII Toán 10, sách Kết nối tri thức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Một số kỹ năng cần hình thành và phát triển cho học sinh thông qua dạy học chương VIII sách Toán 10, sách Kết nối tri thức theo dạy học phát triển năng lực của người học

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: MỘT SỐ KỸ NĂNG CẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHƢƠNG VIII TOÁN 10, SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC THEO PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CỦA NGƢỜI HỌC LĨNH VỰC: TOÁN HỌC
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƢỜNG THPT NGHI LỘC III SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: MỘT SỐ KỸ NĂNG CẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHƢƠNG VIII TOÁN 10, SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC THEO PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CỦA NGƢỜI HỌC LĨNH VỰC: TOÁN HỌC Tác giả : Nguyễn Thị Minh Nguyễn Thị Ngoan Tổ : Toán - Tin Trƣờng THPT Nghi Lộc 3 Năm học: 2023 - 2024
MỤC LỤC PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ ........................................................................................... 1 I. Lý do chọn đề tài................................................................................................... 1 II. Đối tượng nghiên cứu: .......................................................................................... 2 III. Phương pháp nghiên cứu. .................................................................................... 2 IV. Nhiệm vụ nghiên cứu. ......................................................................................... 2 V. Phạm vi nghiên cứu. ............................................................................................. 2 VI. Dự báo xu hướng đóng góp mới của đề tài ......................................................... 2 PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU .................................................................... 3 I. Cở sở lí luận và thực tiễn ...................................................................................... 3 1.1. Kỹ năng .............................................................................................................. 3 1.1.1. Khái niệm về kỹ năng ..................................................................................... 3 1.1.2. Vai trò của kỹ năng ......................................................................................... 4 1.1.3. Sự hình thành kỹ năng ..................................................................................... 4 1.1.4. Phân loại kỹ năng trong môn toán: ................................................................. 5 1.1.5. Mối quan hệ giữa tư duy và kỹ năng............................................................... 6 1.2. Về vấn đề đổi mới phương pháp dạy học toán .................................................. 6 II. Thực trạng về việc dạy và học chương 8 toán 10 sách kết nối tri thức của học sinh THPT. Rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng cần thiết trong dạy học chương 8 Toán 10, sách kết nối Tri Thức .............................................................................. 8 2.1. Thực trạng về việc dạy và học chương 8 Toán 10 sách kết nối Tri Thức trường THPT ......8 2.1.1. Về giáo viên .................................................................................................... 8 2.1.2. Về học sinh ...................................................................................................... 9 2.2. Rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng trong dạy học chương 8 Toán 10 sách kết nối Tri Thức ....................................................................................................... 17 2.2.1. Kỹ năng 1: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng suy diễn (suy luận diễn dịch) và khai thác triệt để các tình huống có thể rèn luyện cho học sinh kỹ năng này (bằng kỹ năng rút ra hệ quả lôgic từ những tiền đề đã cho).............................................. 17 2.2.2. Kỹ năng 2: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng mò mẫn, dự đoán, kết hợp hữu cơ giữa dự đoán và suy diễn trong quá trình giải quyết vấn đề. ............................. 18 2.2.3. Kỹ năng 3: Kỹ năng phân chia trường hợp riêng trong quá trình giải toán ............ 19 2.2.4. Kỹ năng 4: Kỹ năng sử dụng sơ đồ hình cây. ............................................... 19
2.2.5. Kỹ năng 5: Kỹ năng sử dụng phần mềm Tarsia tạo mảnh ghép trong hoạt động nhóm trong dạy học chương VIII, Toán 10 sách kết nối tri thức. .................. 25 2.2.6. Kỹ năng 6: Kỹ năng toán học hoá các tình hống thực tiễn. .......................... 30 2.2.7. Kỹ năng 7: Rèn luyện cho học sinh biết vận dụng các thao tác khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự .............................................................................................. 32 2.2.8. Kỹ năng 8: Tập luyện cho học sinh diễn đạt một số định nghĩa, định lý, bài tập theo nhiều cách khác nhau, đặc biệt biết hướng tới cách diễn đạt có lợi cho vấn đề cần giải quyết ...................................................................................................... 33 III. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ........................................... 33 3.1. Mục đích thực nghiệm...................................................................................... 33 3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm: .................................................................. 33 3.2.1. Tổ chức thực nghiệm: ................................................................................... 33 3.2.2. Nội dung thực nghiệm: .................................................................................. 34 3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm ......................................................................... 35 3.3.1. Đánh giá định tính ......................................................................................... 35 3.3.2. Đánh giá định lượng ...................................................................................... 36 3.4. Kết luận về thực nghiệm .................................................................................. 37 KHẢO SÁT SỰ CẤP THIẾT VÀ TÍNH KHẢ THI CỦA ..................................... 38 CÁC GIẢI PHÁP ĐỀ XUẤT ................................................................................. 38 1. Mục đích khảo sát: .............................................................................................. 38 2. Nội dung khảo sát và phương pháp khảo sát. ..................................................... 38 2.1. Nội dung khảo sát. ............................................................................................ 38 2.2. Phương pháp khảo sát và thang điểm............................................................... 38 3. Đối tượng khảo sát: ............................................................................................. 39 4. Kết quả khảo sát về sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đã đề xuất.................. 39 4.1. Sự cấp thiết của các giải pháp đã đề xuất ........................................................ 39 4.2. Tính khả thi của các giải pháp đã được đề xuất ............................................... 40 PHẦN III: KẾT LUẬN ........................................................................................... 42 1. Những kết luận trong quá trình nghiên cứu, triển khai sáng kiến kinh nghiệm . 42 2. Những kiến nghị, đề xuất. ................................................................................... 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................... 43 PHỤ LỤC
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ I. Lý do chọn đề tài Trong nhiều năm gần đây, Đảng và Nhà nước ta luôn luôn không ngừng quan tâm đến công cuộc đổi mới căn bản và toàn diện nền giáo dục nước nhà, nhằm nâng cao chất lượng giáo dục để đào tạo ra những con người phát triển toàn diện cả về đức, trí, thể, mĩ nhằm đáp ứng yêu cầu về nguồn lao động ngày càng cao của trong nước và thế giới. Chương trình giáo dục phổ thông 2018 sẽ hình thành và phát triển cho học sinh 5 phẩm chất là yêu nước, nhân ái, chăm chỉ, trung thực, trách nhiệm. Ngoài ra, chương trình cũng hình thành và phát triển cho học sinh những năng lực cốt lõi gồm: Những năng lực chung, được hình thành và phát triển từ tất cả các môn học và hoạt động giáo dục; Những năng lực chuyên môn, được hình thành, phát triển chủ yếu thông qua một số môn học và hoạt động giáo dục nhất định. Năng lực chung là những năng lực cơ bản, thiết yếu hoặc cốt lõi, làm nền tảng cho mọi hoạt động của con người trong cuộc sống và lao động nghề nghiệp. Các năng lực này được hình thành và phát triển dựa trên bản năng di truyền của con người, quá trình giáo dục và trải nghiệm trong cuộc sống; đáp ứng yêu cầu của nhiều loại hình hoạt động khác nhau. Một trong các năng lực chung quan trọng được nhà trường và giáo viên quan tâm, giúp các em học sinh phát triển trong chương trình giáo dục phổ thông đó là năng lực Tự chủ và tự học. Trong suốt quá trình đổi mới khi đưa ra những điều chỉnh về nội dung dạy học, đổi mới phương pháp dạy học, hình thức tổ chức dạy học, phương pháp kiểm tra đánh giá kết quả học tập của học sinh, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã đưa ra yêu cầu: “Chủ động rèn luyện cho học sinh phương pháp tự học, tự nghiên cứu sách giáo khoa để tiếp nhận và vận dụng kiến thức mới thông qua giải quyết nhiệm vụ học tập đặt ra trong bài học. Ngày nay, sự sáng tạo mới tri thức đòi h i m i một con người phải tự học, tự đào tạo và có năng lực tự học tự sáng tạo. Để thực hiện được yêu cầu này đòi h i nhà trường phổ thông phải góp phần đắc lực vào việc chuẩn bị nền tảng vững chắc cho sự ra đời của những thế hệ nhân tài kiểu mới có ý thức, năng lực sáng tạo, vốn tri thức cần thiết cộng với khả năng xử lý thông tin để tiếp thu những cái mới. Nhưng nhà trường d tốt đến mấy cũng không thể đáp ứng nhu cầu phong phú và đa dạng trong cuộc sống của người học. Do đó, chỉ có thông qua tự học mới phát triển được tư duy sáng tạo, mới mang lại sự đa dạng kiến thức đáp ứng yêu cầu của xã hội hiện đại. Vì vậy, trong dạy học cần tích cực rèn luyện và phát triển kỹ năng cho học sinh, qua đó phát triển tư duy sáng tạo nhằm giúp các em tự chiếm lĩnh tri thức một cách hiệu quả và xa hơn là nhằm đào tạo nên những con người mới: chủ động, sáng tạo, ph hợp với sự phát triển của khoa học kỹ thuật như hiện nay. 1
Chương VIII, Toán 10, sách Kết nối tri thức là một trong những nội dung toán học chứa đựng nhiều tiềm năng có thể khai thác để rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng, chẳng hạn chủ đề chỉnh hợp, tổ hợp thích hợp với kỹ năng phân chia trường hợp riêng, với việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng toán học hoá các tình huống thực tiễn, … Tuy nhiên, qua quan sát thực tiễn sư phạm cho thấy việc rèn luyện một số kỹ năng cho học sinh trong dạy học chương VIII, Toán 10 chưa được chú trọng, còn hời hợt. Điều này được thể hiện ở những khó khăn sai lầm học sinh thường gặp và phương pháp dạy học hiện nay. Như vậy có thể khẳng định rằng cần thiết phải rèn luyện cho học sinh các kỹ năng trong dạy học Toán. Vì những lý do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của sáng kiến là: “Một số kỹ năng cần hình thành và phát triển cho học sinh thông qua dạy học chương VIII sách Toán 10, sách Kết nối tri thức theo dạy học phát triển năng lực của người học”. II. Đối tƣợng nghiên cứu: Học sinh trung học phổ thông. III. Phƣơng pháp nghiên cứu. IV. Nhiệm vụ nghiên cứu. Sáng kiến kinh nghiệm có nhiệm vụ trả lời các câu h i khoa học sau đây: 1.1. Khái niệm kỹ năng, dạy học theo năng lực. 1.2. Các sai lầm thường gặp của học sinh trong dạy học chương VIII Toán 10, sách Kết nối tri thức. 1.3. Rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng trong dạy học chương VIII Toán 10, sách Kết nối tri thức. 1.4. Kết quả thực nghiệm. V. Phạm vi nghiên cứu. VI. Dự báo xu hƣớng đóng góp mới của đề tài Góp phần làm sáng t cơ sở lý luận của dạy học theo dạy học phát triển năng lực của người học trong dạy học chương VIII Toán 10, sách Kết nối tri thức. 2
PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I. Cở sở lí luận và thực tiễn 1.1. Kỹ năng 1.1.1. Khái niệm về kỹ năng Thực tiễn cuộc sống luôn đặt ra những nhiệm vụ nhận thức và thực hành nhất định cho con người. Để giải quyết được công việc con người cần sử dụng vốn hiểu biết, kinh nghiệm của mình nhằm tách ra những mặt của hiện thực là bản chất đối với nhiệm vụ của được đặt ra và nó thực hiện những biến đổi có thể dẫn tới ch giải quyết được nhiệm vụ đó. Với quá trình đó con người dần dần hình thành cho mình một hệ thống các kỹ năng để giải quyết các vấn đề. Trong tài liệu tâm lý giáo dục, đã nêu lên một số quan điểm về khái niệm kỹ năng như sau: Quan điểm 1 cho rằng: Kỹ năng là sự nắm vững những có ý thức các phương thức hoạt động. Quan điểm 2 cho rằng: Sự sử dụng kiến thức và kỹ xảo đã có để lựa chọn và thực hiện các phương thức hành động ph hợp với mục đích đặt ra. Theo giáo trình tâm lý học đại cương thì: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định” Có thể chỉ ra một số cách định nghĩa khác về kỹ năng, chẳng hạn: “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” hoặc “Kỹ ăng là sự lựa chọn trong tình huống cụ thể các phương thức đúng đắn của hành động để đạt được mục đích”. Các định nghĩa trên tuy không giống nhau về mặt từ ngữ nhưng tựu trung lại thì đều nói rằng kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp, …) để giải quyết một nhiệm vụ mới . Bất cứ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết. Cơ sở lý thuyết đó là kiến thức. Sở dĩ như vậy là vì xuất phát từ cấu trúc kỹ năng (phải hiểu mục đích, biết cách thức đi đến két quả và hiểu được những điều kiện cần thiết để triển khai các cách thức đó). Trong thực tế dạy học, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức vào việc giải quyết các bài tập cụ thể chính là do kiến thức không chắc chắn, khái niệm trở nên chết cứng và không biến thành cơ sở của kỹ năng Muốn kiến thức là cơ sở của kỹ năng thì kiến thức đó phải phản ánh đầy đủ thuộc tính của bản chất, được thử thách trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với 3
tư cách là công cụ của hành động (kỹ năng). Nói cách khác, cần làm sao cho các sự vật quả thực là có những thuộc tính được phản ánh trong tri thức đã cho, làm sao cho các dấu hiệu là bản chất đối với những mục tiêu đặt ra trước hành động, làm sao cho những hành động này đảm bảo biến đổi đối tượng, một sự biến đổi cần thiết để đạt mục tiêu. Những thuộc tính được phản ánh trong tri thức là: có chứa tham số, phương trình tr ng phương. Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng: Sự dễ dàng hay khó khăn trong sự vận dụng kiến thức là tuỳ thuộc ở khả năng nhận dạng kiểu nhiệm vụ, bài tập tức là tìm kiếm và phát hiện những thuộc tính và quan hệ vốn có trong nhiệm vụ hay bài tập để thực hiện một mục đích nhất định. 1.1.2. Vai trò của kỹ năng C ng với vai trò của cơ sở tri thức, cần thấy rõ tầm quan trọng của kỹ năng, sự nhấn mạnh này đặc biệt cần thiết đối với các môn Toán, vì môn này được coi là một môn học công cụ do đặc điểm và vị trí của nó trong việc thực hiện nhiệm vụ phát triển nhân cách học sinh trong nhà trường phổ thông, vì vậy cần hướng hướng mạnh vào việc vận dụng tri thức và rèn luyện kỹ năng. Dạy toán là dạy kiến thức, kỹ năng, tư duy và tính cách (Nguyễn Cảnh Toàn). Trong đó kỹ năng có một vị trí đặc biệt quan trong, bởi vì nếu không có kỹ năng thì sẽ không phát huy được tư duy và cũng không đáp ứng được nhu cầu giải quyết vấn đề. Rèn luyện kỹ năng là một yêu cầu quan trọng đảm bảo m i quan hệ giữa học với hành. Việc dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc lòng định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng không thành thạo vào việc giải bài tập. 1.1.3. Sự hình thành kỹ năng Sự hình thành các kỹ năng đó là sự nắm vững cả một hệ thống phức tạp các thao tác phát hiện và cải biến thông tin chứa đựng trong các tri thức và tiếp thu được từ đối tượng, đối chiếu và xác lập quan hệ của thông tin với các hành động . Tính chất của các thao tác và của các quá trình tư duy giải các bài toán phụ thuộc vào mục đích mà các thao tác nói trên hướng tới và vào nội dung của bài toán. Bản thân hoạt động tư duy khi giải bất kỳ bài toán nào thể hiện trong những biến đổi đối tượng của tư duy, tách ra trong đối tượng những khía cạnh và những thuộc tính ngày càng mới được ghi lại trong các khái niệm và được biểu thị bằng các từ. Quá trình này diễn ra nhờ các thao tác phân tích - tổng hợp, trìu tượng hoá - khái quát hoá cho tới khi hình thành được mô hình về một mặt nào đó của đối tượng có ý nghĩa đối với việc giải giải bài toán đã cho. Ở đây m i bước nhờ khám phá ra những khía cạnh mới của đối tượng, thúc đẩy tư duy tiến lên, đồng thời quyết định bước tiếp theo sau của tư duy. Vì các khía cạnh mới của đối tượng phản ánh trong các khái niệm mới, tư duy như là sự diễn đạt lại bài toán nhiều lần. Chẳng hạn, bài toán được giải nhờ biến đổi từ hình thức: 4
Tuy nhiên, chủ thể phải nhận thấy cách diễn đạt nào ph hợp với đối tượng để tiến hành giải bài toán. Ở m i cách diễn đạt mới là kết quả phân tích và tổng hợp những dữ kiện của giai đoạn trước và được thể hiện trong các khái niệm. Nhưng các khái niệm là sản phẩm của kinh nghiệm xã hội. Khi nghiên cứu đối tượng thì trong tri thức của chủ thể, tư duy sẽ ghi lại những thuộc tính bản chất của đối tượng. Chính từ các cách diễn đạt mới khai thác được những tri thức về đối tượng đồng thời thúc đẩy tư duy tiến lên. S.L.Rubinstein đã chứng minh: Trong quá trình tư duy nhờ phân tích, tổng hợp, đối tượng tham gia vào những m i liên hệ ngày càng mới và do đó thể hiện qua các phẩm chất ngày càng mới, những phẩm chất này được ghi lại trong khái niệm mới. Như vậy, từ đối tượng dường như có thể khai thác được nội dung ngày càng mới, nó dường như m i lần quay lại một mặt khác và trong nó lại xuất hiện những thuộc tính mới. Theo quan điểm này sự hình thành các kỹ năng xuất hiện trước hết như là những sản phẩm của những tri thức ngày càng được đào sâu. Các kỹ năng được hình thành trên cơ sở lĩnh hội các khái niệm về các mặt và các thuộc tính khác nhau của đối tượng đang được nghiên cứu. Con đường chính của sự hình thành các kỹ năng đó là dạy học sinh nhìn thấy những mặt khác nhau trong đối tượng, vận dụng vào đối tượng những khái niệm muôn hình, muôn vẻ diễn đạt các quan hệ đa dạng của đối tượng này trong khái niệm. Trong dạy học hiện nay có thể dạy các kỹ năng cho học sinh bằng nhiều con đường khác nhau. Chẳng hạn: Con đường dạy học nêu vấn đề, con đường dạy học Algôrit hoá hay dạy học trên cơ sở định hướng đầy đủ, dạy học sinh chính là hoạt động tâm lý cần thiết đối với việc vận dụng tri thức. 1.1.4. Phân loại kỹ năng trong môn toán: Có nhiều cách phân loại kỹ năng . Theo tâm lý giáo dục, người ta thường chia kỹ năng học tập cơ bản thành 4 nhóm: a) Kỹ năng nhận thức: Kỹ năng nhận thức trong môn toán bao gồm nhiều khía cạnh đó là: kỹ năng nắm một khái niệm, định lý; kỹ năng áp dụng thành thạo m i quy tắc, trong đó có yêu cầu vận dụng linh hoạt, tránh máy móc, b) Kỹ năng thực hành: Trong môn toán bao gồm kỹ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải bài toán, kỹ năng toán học hoá các tình huống thực tiễn (Trong bài toán hoặc trong đời sống), kỹ năng thực hành cần thiết trong đời sống thực tế. c)Kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức. 5
d) Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá. Theo các tác giả: Nguyễn Bá Kim,Vũ Dương Thuỵ, lại xem xét kỹ năng toán học trên 3 bình diện: Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán, kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác, kỹ năng vận dụng toán học vào đời sống. 1.1.5. Mối quan hệ giữa tư duy và kỹ năng Kỹ năng và tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhau: Kỹ năng là cơ sở để tiến hành các thao tác tư duy và kỹ năng chỉ được hình hành thông qua quá trình tư duy để giải quyết nhiệm vụ đặt ra 1.2. Về vấn đề đổi mới phƣơng pháp dạy học toán Để góp phần nâng cao chất lượng học tập, việc đổi mới phương pháp dạy học cần thực hiện theo định hướng hoạt động hoá người học, tức là tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo, được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu. Đòi h i này xuất phát từ những yêu cầu của xã hội đối với sự phát triển nhân cách của thế hệ trẻ, từ những đặc điểm của nội dung mới và từ bản chất của quá trình học tập. Để đáp ứng đòi h i đó, chúng ta không chỉ dừng ở việc nêu định hướng đổi mới phương pháp dạy học, mà phải đi sâu vào những phương pháp dạy học cụ thể như những biện pháp để thực hiện định hướng nói trên. Trong số đó, phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là một trong những phương pháp đáp ứng tốt định hướng trên. Trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, thầy giáo tạo những tình huống gợi vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác, tích cực chủ động và sáng tạo để giải quyết vấn đề và thông qua đó mà kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ năng và đạt được những mục đích khác. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có những đặc điểm sau đây (Pietzsch 1981, tr. 16 - dẫn theo Nguyễn Bá Kim 2002): - Học sinh được đặt và một tình huống gợi vấn đề chứ không phải là được thông báo tri thức dưới dạng có sẵn. - Học sinh hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo, tận lực huy động tri thức và khả năng của mình để phát hiện và giải quyết vấn đề chứ không phải chỉ nghe thầy giảng một cách thụ động. - Mục đích dạy học không phải chỉ là làm cho học sinh lĩnh hội được kết quả của quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề, mà còn ở ch làm cho họ phát triển khả năng tiến hành quá trình như vậy. Nói cách khác, học sinh được học bản thân việc học. Tuỳ theo mức độ độc lập của học sinh quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề, người ta nói tới các cấp độ khác nhau, cũng đồng thời là những hình thức khác nhau của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề. 6
Tự nghiên cứu vấn đề: Trong tự nhiên nghiên cứu vấn đè, tính độc lập của người học được phát huy cao độ. Thầy giáo chỉ tạo ra tình huống gợi vấn đề, người học tự phát hiện và giải quyết vấn đề đó. Như vậy, trong hình thức này, người học độc lập nghiên cứu vấn đề và thực hiện tất cả các khâu cơ bản của quá trình nghiên cứu này. Vấn đáp phát hiện giải quyết vấn đề: Trong vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề, học trò làm việc không hoàn toàn độc lập mà có sự gợi ý dẫn dắt của thầy khi cần thiết. Phương tiện để thực hiện hình thức này là những câu h i của thầy và những câu trả lời hoặc hành động đáp lại của trò. Như vậy, có sự đan kết, thay đổi hoạt động của thầy và trò dưới hình thức vấn đáp. Với hình thức này, ta thấy dạy học phát hiện giải quyết vấn đề có phần giống với phương pháp vấn đáp. Tuy nhiên, hai cách học này thật ra không đồng nhất với nhau. Nét quan trọng của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề không phải là những câu h i mà là tình huống gợi vấn đề. Trong một giờ học nào đó, thầy giáo có thể đặt nhiều câu h i, nhưng nếu các câu h i này chỉ đòi h i tái hiện tri thức đã học thì giờ học đó vẫn không phải là dạy học giải quyết vấn đề. Ngược lại, trong một số trường hợp, việc giải quyết và phát hiện vấn đề của học sinh có thể diễn ra chủ yếu là nhờ tình huống gợi vấn đề chứ không phải là nhờ những câu h i mà thầy đặt ra. Thuyết trình và phát hiện giải quyết vấn đề: Ở hình thức này, mức độ độc lập của học sinh thấp hơn ở hai hình thức trên. Thầy giáo tạo ra tình huống gợi vấn đề, sau đó chính bản thân thầy phát hiện vấn đề và trình bày quá trình suy nghĩ giải quyết vấn đề (chứ không phải chỉ đơn thuần nêu lời giải). Trong quá trình đó có sự tìm tòi, dự đoán có lúc thành công, có lúc thất bại, phải điều chỉnh phương hướng mới đi đến kết quả. Như vậy, tri thức trình bày không phải dưới dạng có sẵn mà là trong quá trình người ta khám phá ra chúng, quá trình này là một sự mô ph ng và rút gọn quá trình khám phá trật tự. Cấp độ này được d ng nhiều ở những lớp trên như trung học phổ thông, đại học. Theo G. Polya: Giúp đỡ học sinh là nhiệm vụ quan trọng nhất mà người thầy phải làm, nhiệm vụ đó không phải là dễ, nó đòi h i phải có thời gian và kinh nghiệm, phải có lòng tận tâm và những nguyên tắc đúng đắn. Người học sinh với sự n lực của bản thân phải thu được càng nhiều càng tốt những kinh nghiệm độc lập công tác. Nhưng nếu anh ta một mình đứng trước một bài toán mà không có một sự giúp đỡ nào, hay với một sự giúp đỡ quá ít thì không có tiến bộ gì được. Mặt khác, nếu thầy giáo giúp đỡ nhiều quá thì học sinh sẽ chẳng còn gì phải làm. Thầy giáo phải giúp đỡ một cách vừa phải, không nhiều quá cũng không ít quá và như vậy để lại cho học sinh một phần công việc hợp lý. 7
Nếu khả năng của học sinh bị hạn chế, thầy giáo ít nhất cũng phải làm cho học sinh có cảm giác rằng anh ta tự làm lấy. Do đó, sự giúp đỡ của thầy giáo cần phải kín đáo và không được bắt học sinh phải lệ thuộc vào mình. Tốt nhất là giúp học sinh một cách tự nhiên, thầy giáo phải đặt địa vị của mình là một học sinh, nghiên cứu trường hợp đặc biệt của anh ta, cố gắng hiểu xem anh ta nghĩ gì, đặt một câu h i hay hướng dẫn một bước suy luận mà học sinh có thể tự mình nghĩ ra được . II. Thực trạng về việc dạy và học chƣơng 8 toán 10 sách kết nối tri thức của học sinh THPT. Rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng cần thiết trong dạy học chƣơng 8 Toán 10, sách kết nối Tri Thức 2.1. Thực trạng về việc dạy và học chƣơng 8 Toán 10 sách kết nối Tri Thức trƣờng THPT 2.1.1. Về giáo viên Bản thân đã cố gắng hết mình trong công tác giảng dạy như tìm kiếm tài liệu , đồ d ng dạy học, bồi dưỡng chuyên môn, hình thành phương pháp giảng dạy ph hợp cho đối tượng học sinh, chỉ mong các có kiến thức và không bị hụt hẫng khi học lên những lớp trên. Tuy nhiên khi thực hiện công tác giảng dạy môn toán gặp rất nhiều khó khăn: Mặt bằng chất lượng không đồng đều và có những học sinh không thể tiếp thu được tất cả những kiến thức toán học vì chương trình học quá sức của học sinh, đồ d ng dạy học môn toán còn hạn chế, thời lượng không cho phép. Bên cạnh đó còn có một số giáo viên còn chủ quan trong việc dạy học các kĩ năng cho học sinh như dạy một cách qua loa, không khắc sâu cho học sinh các kĩ năng. Cho nên khi vận dụng vào các tình huống cụ thể trong toán học học sinh gặp nhiều khó khăn hoặc chỉ vận dụng một cách móc, rập khuôn dẫn đến học sinh còn hạn chế phát tiển trí tuệ và năng lực tư duy. Ví dụ như: Khi dạy quy tắc cộng, nhân hầu như giáo viên chỉ khai thác các ứng dụng của nó là các bài toán vận dụng mà cần xây dựng nên quy tắc.. Tác giả đã tiến hành điều tra về việc dạy học rèn luyện các kĩ năng theo định hướng năng lực của một số giáo viên tổ Toán- Tin trường THPT Nghi Lộc 3 cho thấy như sau: Thực hiện học các kĩ Chưa thực hiện dạy Thực hiện dạy học các kĩ năng trong dạy học học các kĩ năng năng trong dạy học chương 8 toán 10 Số trong dạy học chương 8 toán 10 theo theo năng lực người lượng chương 8 toán 10 năng lực người học theo học theo năng lực theo năng lực năng lực người học thường người học nhưng người học xuyên chưa cao SL % SL % SL % 15 7 46,7% 6 40% 2 13,3% 8
2.1.2. Về học sinh Với yêu cầu phát triển giáo dục, đổi mới phương pháp dạy học hiện nay thì học sinh phải n lực hết mình mới có thể thể tiếp cận với nền tri thức nhân loại, chính vì điều đó học sinh phải cố gắng học học tập cho tốt, tức là biết cách học, biết cách vận dụng, biết cách làm bài tập. Thế nhưng điều ngược lại là do điều kiện kinh tế xã hội phát triển kéo theo các dịch vụ kinh doanh giải trí được mở ra rộng rãi, một phần ý thức học tập của các em quá kém, sự quản lí l ng lẻo của gia đình nên dẫn đến chất lượng học tập của các em yếu đi hầu hết các môn, trong đó có môn toán. Môn toán vẫn được coi là môn học chính, khối lượng kiến thức rất nhiều và khó nên đa số học sinh không tiếp thu được. Với đối tượng học sinh trung bình và yếu, kém ở Trường THPT Nghi Lộc 3 chiếm đa số, việc học bộ môn Toán gặp khó khăn đối với các học sinh. Tác giả xin trích kết quả bài kiểm tra toán lớp 10 của một số lớp 10 học kì 2 ở Trường THPT Nghi Lộc 3 như sau: * Năm học 2023 - 2024. Điểm Điểm Điểm Điểm Điểm TB trở Sĩ 9-10 7-8 5-6 3-4 dƣới 3 xuống STT Lớp số SL % SL % SL % SL % SL % SL % 1 10C1 39 0 0 12 30,8 10 25,7 8 20,5 9 23,1 27 69,2 2 10D1 38 0 0 11 28.9 12 31,6 10 26,3 4 10,5 27 71,1 3 10D2 39 0 0 14 35,9 10 25,7 12 30,8 3 7,7 25 64,1 Tác giả đã lấy ngẫu nhiên kết quả kiểm tra của các lớp 10 trong năm học 2023-2024. Từ kết quả đó cho thấy: Đa số học sinh có kết quả học tập phần Toán 10 còn ở mức trung bình và yếu. Điều đó rất đáng lo ngại vì đây mới là lớp học đầu cấp, nếu lớp học đầu tiên này học không tốt thì sẽ kéo theo kết quả học tập các lớp học tiếp theo không đạt như yêu cầu đặt ra. Từ đó học sinh sẽ không muốn học bộ môn Toán và dẫn đến hổng kiến thức, không thể học tốt lớp 11, 12 được. Trao đổi với các em tác giả nhận thấy đa số các em vì chưa có các kĩ năng nên khi giải bài học sinh thường lúng túng không có định hướng giải, không biết lập luận. Trong môn toán THPT nói chung, trong chương VIII Toán 10 sách kết nối Tri Thức nói riêng chứa nhiều tiềm năng có thể khai thác để rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng, chẳng hạn: Chủ đề chỉnh hợp, tổ hợp... thích hợp với kỹ năng suy diễn, kỹ năng toán học hóa thực tiễn...Tuy nhiên, qua quan sát thực tiễn sư phạm cho thấy việc rèn luyện một số kỹ năng cho học sinh trong dạy học chưa được chú trọng, còn hời hợt, với phương pháp truyền thụ một chiều dẫn tới học sinh ghi nhớ kiến thức một cách máy móc, ít khả năng vận dụng kiến thức để giải quyết vấn đề trong hiện thực và cuộc sống. 9
Hơn nữa trong chương trình sách giáo khoa bài tập có nội dung thực tế còn hạn chế vì thế chưa phát triển được kỹ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn. Học sinh thƣờng gặp những khó khăn sai lầm sau đây trong dạy học chƣơng 8 Toán 10 sách kết nối Tri Thức: 2.1.2.1. Do chưa nắm vững mối quan hệ giữa ngữ nghĩa và cú pháp của ngôn ngữ tổ hợp. Ví dụ 1: Do sự nhầm lẫn lộn giữa đối tượng được định nghĩa và kí hiệu d ng để chỉ đối tượng ấy nên học sinh thường hay nói : “ Tổ hợp chập k của n là C nk ” hoặc “ Chỉnh hợp chập k của n là Ank ”, trong khi đó nói đúng là “ Số tổ hợp chập k của n là C nk ” hoặc “ Số chỉnh hợp chập k của n là Ank ”. Ví dụ 2: Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số có bảy chữ số trong đó chữ số 1 có mặt hai lần và các số khác xuất hiện một lần. Có học sinh giải như sau: Goi số cần tìm có dạng: a1a2 a3 a4 a6 a7 . Với 2 vị trí nào đó có hai chữ số 1sẽ có 2! hoán vị như nhau. Ta có a1 có 5 cách chọn , a 2 có 6 cách chọn, a3 có 5 cách chọn, a 4 có 4 cách chọn , a5 có 3 cách chọn, a 6 có 2 cách chọn , a 7 có 1 cách chọn Vậy có 3600 cách chọn. Phân tích sai lầm : Ở bài toán này chữ số 1 có mặt hai lần nên lúc này ta coi như hai số 1 này khác nhau. Khi đó tập hợp ban đầu: 0,1,1,2,3,4,5,. Do vậy a1 có 6 cách chọn; a 2 có 6 cách chọn , a3 có 5 cách chọn, a 4 có 4 cách chọn , a5 có 3 cách chọn , a 6 có 2 cách chọn, a 7 có 1 cách chọn . 2.1.2.2. Khó khăn do khả năng dự đoán và liên tưởng. Ví dụ 3 : Để xây dựng công thức Nhị Thức Niu Tơn "(a+b) n =C 0 a n + Cn a n1b  Cn2 an2b2  .......Cnn1abn1  Cnn bn . " n 1 - Khai triển các biểu thức (a+b) 2 , (a+b) 3 . Học sinh chưa thấy về các số mũ của a, b trong các khai triển và chưa thấy được mối liên hệ giữa hệ số và các tổ hợp C20 , C2 , C22 , C30 , C3 , C32 , C33 nên rất khó khăn 1 1 trong việc dự đoán công thức tổng quát. 2.1.2.3. Sai lầm khi nhận dạng và thể hiện khái niệm tổ hợp Sai lầm về các khái niệm Toán học đặc biệt là các khái niệm ban đầu có tính chất nền tảng sẽ dẫn đến hệ quả tất yếu học kém toán. Vì vậy có thể nói sự “mất gốc” của HS về kiến thức Toán học trước hết đó là sự “mất gốc” về các khái niệm. Ví dụ 4: Trong một đội văn nghệ có 35 nam và 24 nữ. Cần chọn hai người, một nam và một nữ đi biểu diễn trong lễ kỉ niệm mừng ngày Quốc khánh. H i có bao nhiêu cách chọn? Lời giải sai: áp dụng quy tắc cộng cho rằng 35 + 24 = 59 cách chọn. 10
Sai lầm: Thực ra ở đây phải d ng quy tắc nhân và ta có 35.24= 840 cách chọn. Nếu chỉ chọn một người thì mới áp dụng quy tắc cộng. Ví dụ 5: Từ các chữ số  ;2;3;4;5;6;7;8 lập được bao nhiêu số có 3 chữ số. 1 Nhiều học sinh đã làm: Số các số có ba chữ số lập nên từ các số đã cho là C 73 . Ở đây học sinh chưa hiểu rõ khái niệm tổ hợp nên ta áp dụng sai. Số có 3 chữ số là sự sắp xếp 3 số từ 7 số trên theo thứ tự nên ta phải d ng chỉnh hợp A73 2.1.2.4. Chưa nắm chắc một số khái niệm, định nghĩa, định lí toán học cơ bản để vận dụng vào giải toán. Kiến thức về Tổ hợp và Xác suất có nhiều khái niệm, quy tắc mới mà khi vận dụng vào giải Toán HS rất hay nhầm lẫn giữa các khái niệm chẳng hạn khái niệm tổ hợp và chỉnh hợp và dẫn đến sai lầm. Ví dụ 6: Một dạ tiệc có 10 nam và 6 nữ đều khiêu vũ gi i. Người ta chọn 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp nhảy. H i có bao nhiêu cách ghép 3 cặp nhảy. Lời giải sai: M i cách sắp thứ tự 3 bạn nam trong 10 bạn nam là một chỉnh hợp chập 3 của 10, nên số cách chọn 3 bạn nam có thứ tự là cách. Tương tự số cách chọn 3 bạn nữ: cách Vậy số cách bố trí 3 cặp nhảy là Sai lầm: Sai lầm dẫn tới số cách ghép lớn hơn thực tế vì có những cách ghép 3 cặp nhảy được tính nhiều lần. Ví dụ 7: Một tổ có 12 học sinh nữ và 10 học sinh nam. Cần chọn 6 học sinh (3 nam, 3 nữ) để ghép thành 3 đôi để biểu diễn văn nghệ. H i có bao nhiêu cách ghép. Giải: Lời giải 1: Số cách chọn 3 nữ trong 12 nữ là A12 (cách) 3 Số cách chọn 3 nam trong 10 nam là A10 (cách) 3 Vậy số cách chọn 3 đôi nam nữ là: A12 . A10 (cách) 3 3 Lời giải 2: Số cách chọn 3 nữ trong 12 nữ là C12 (cách) 3 Số cách chọn 3 nam trong 10 nam là C10 (cách) 3 Vậy số cách chọn 3 đôi nam nữ là: C12 . C10 (cách) 3 3 Lời giải 3: Số cách chọn 3 nữ trong 12 nữ là C12 (cách) 3 Số cách chọn 3 nam trong 10 nam là C10 (cách) 3 Do đó số cách chọn 6 học sinh (3 nam, 3 nữ là: C12 . C10 (cách) 3 3 Trong 6 học sinh chọn ra thì có có 3 nam và 3 nữ, sau đó ta hoán đổi vị trí cho 3 nam và 3 nữ 11
Vậy số cách chọn thoả mãn là: 3!.3!. C12 . C10 (cách) 3 3 Lời giải 4: Số cách chọn 3 nữ trong 12 nữ là C12 (cách) 3 Số cách chọn 3 nam trong 10 nam là C10 (cách) 3 Do đó số cách chọn 6 học sinh (3 nam, 3 nữ là: C12 . C10 (cách) 3 3 Trong 6 học sinh chọn ra thì có 3! (cách) ghép giữa các đôi nhảy với nhau (là hoán vị của 3 học sinh nam hoặc 3 học sinh nữ) Vậy số cách chọn thoả mãn là: 3!. C12 . C10 (cách) 3 3 Nhận xét: Nếu như không giải theo nhiều cách thì nhìn vào cách nào cũng nghe có vẽ hợp lý. Nhưng khi trình bày 4 lời giải thì HS sẽ đoán được cách nào đúng. Nhưng đó chỉ là dự đoán, thật ra đâu là lời giải đúng? Phân tích: Lời giải 1: Rõ ràng là sai vì bài toán không yêu cầu thứ tự. Lới giải 2: Thiếu số cách chọn để ghép thành đôi. Lời giải 3: Có vẽ như đúng, tuy nhiên học sinh đã nhầm lẫn trong việc hoán đổi cả 3 nam và 3 nữ nên sẽ xảy ra tr ng lặp lại các cặp nhảy. Ví dụ: có 3 bạn Nam: A; B; C và 3 bạn nữ: (a; b; c) thì khi hoán vị cả 3 nam (C; A; B) và 3 nữ (c; a; b) thì ắt hẳn sẽ tr ng với cách ban đầu (Aa; Bb; Cc) Lời giải 4: đúng vì nếu hoán đổi thì chỉ đổi cho nam hoặc nữ. 2.1.2.5. Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt HS thường mắc phải các kiểu sai lầm ngôn ngữ phổ biến sau * Sai lầm về cú pháp và ngữ nghĩa Ví dụ 8: Sau khi biết (1), HS có thể chứng minh được công thức (2) bằng cách áp dụng trực tiếp công thức (1). Tuy nhiên, ít HS có thể thấy được (2) một cách trực giác và chứng minh (2) bằng định nghĩa của , HS không hiểu bản chất là, một tập X (gồm n phần tử) có bao nhiêu tập con gồm k ( ) phần tử thì cũng sẽ có bấy nhiêu tập con gồm phần tử. * Lẫn lộn giữa đối tượng được định nghĩa và đối tượng dùng để chỉ đối tượng ấy. Theo A. A. Stôliar, không ít HS còn yếu trong việc nắm cú pháp của ngôn ngữ Toán học. VD như HS thường hay nói “Tổ hợp chập k của n là ”,... n! Ví dụ 9: Sau khi biết công thức C nk  (1) , học sinh có thể chứng minh k!(n  k )! được công thức Cnnk  Cnk (2) bằng cách áp dụng trực tiếp công thức (1). Tuy nhiên, ít học sin có thể thấy được (2) bằng trực giác và chứng minh (2) bằng định nghĩa của C nk , học sinh hiểu bản chất là , một tập X gồm n phần tử có bao nhiêu tập con k (k  n) phần tử thì cũng sẽ có bấy nhiêu tập hợp con gồm n-k phần tử. 12
2.1.2.6. Do hiểu sai yêu cầu của bài toán nên phân chia thiếu trường hợp. HS thường gặp những khó khăn và sai lầm khi giải những bài toán có liên quan đến việc phân chia trường hợp. Nhìn từ góc độ tổng quát thì việc phân chia trường hợp trong quá trình giải Toán vô c ng phong phú và đa dạng, nó không theo một khuôn mẫu cố định nào. Do đó, khi thực hiện HS gặp rất nhiều khó khăn, mắc phải rất nhiều sai lầm, thậm chí không tìm ra được cơ sở để phân chia trường hợp. Ví dụ 10: Từ 20 câu h i trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó. Người ta chọn ra 10 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó. H i có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra? Giải Lời giải 1: Bước 1: chọn 10 câu tuỳ ý trong 20 câu có C 20 (cách) 10 Bước 2: chọn 10 câu không thoả mãn đầu bài ( có không quá 2 trong 3 loại dễ, trung bình và khó). TH1: chọn 10 câu dễ và trung bình trong 16 câu có C16 (cách) 10 TH2: chọn 10 câu dễ và khó trong 13 câu có C13 (cách) 10 TH3: chọn 10 câu trung bình và khó trong 11 câu có C11 (cách) 10 Vậy có: C 20 – ( C16 + C13 + C11 ) = 176451 đề kiểm tra 10 10 10 10 Lời giải 2: Chia từng trường hợp cụ thể: TH1: 1 khó, 1 TB và 8 dễ: C4 .C7 .C 9 1 1 8 TH2: 1 khó, 2 TB và 7 dễ: C4 .C72 .C 7 1 9 TH3: 1 khó, 3 TB và 6 dễ: C4 .C73 .C96 1 …… Nhận xét: Tất nhiên 2 lời giải trên là 2 lời giải đúng nhưng lời giải 2 thì mang cách giải thủ công nên làm dài và mất thời gian. Tuy nhiên tôi muốn chúng ta bàn luận về các sai lầm trong các bài giải dưới đây. Ví dụ 11: Từ 20 câu h i trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó. Người ta chọn ra 7 câu dễ làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó. H i có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra? Chú ý rằng so với ví dụ 1 thì ví dụ 2 chỉ thay đổi 1 chút là thay vì chọn ra 10 câu thì chọn ra 7 câu. Nghe qua thì có vẻ cách làm chẳng có gì khác, tuy nhiên sự thay đổi đó có thể gây sai lầm. Vậy hãy xem các lời giải sau: 13
Lời giải 1: Bước 1: chọn 7 câu tuỳ ý trong 20 câu có C 20 (cách) 7 Bước 2: chọn 7 câu không thoả mãn đầu bài TH1: chọn 7 câu dễ và trung bình trong 16 câu có C16 (cách) 7 TH2: chọn 7 câu dễ và khó trong 13 câu có C13 (cách) 7 TH3: chọn 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có C11 (cách) 7 Vậy có: C 20 – ( C16 + C13 + C11 ) = 64034 đề kiểm tra 7 7 7 7 Lời giải 2: Bước 1: chọn 7 câu tuỳ ý trong 20 câu có C 20 (cách) 7 Bước 2: chọn 7 câu không thoả mãn đầu bài (có không quá 2 trong 3 loại dễ, trung bình và khó). TH1: chọn 7 câu dễ trong 9 câu dễ có C 97 (cách) TH2: chọn 7 câu trung bình trong 7 câu trung bình có 1 (cách) TH3: chọn 7 câu dễ và trung bình trong 16 câu có C16 (cách) 7 TH4: chọn 7 câu dễ và khó trong 13 câu có C13 (cách) 7 TH5: chọn 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có C11 (cách) 7 Vậy có: C 20 – ( 1+ C 97 + C16 + C13 + C11 ) = 63997 đề kiểm tra 7 7 7 7 Nhận xét: Cũng là bài toán tương tự bài toán trên, lời giải 1 rất giống lời giải đúng của bài toán trên nhưng 2 lời giải lại cho 2 đáp án khác nhau. Vậy đâu là lời giải đúng? Phân tích: * Lời giải 2 là đúng vì đã loại trừ tất cả các khả năng không cần thiết yêu cầu của bài toán * Lời giải 1: HS sai lầm ở ch là loại trừ không hết các điều kiện không thoả mãn bài toán. Ở ví dụ 11 thì số câu được chọn nhiều hơn số câu của 1 loại dễ hoặc TB hoặc khó (tức là chọn 10 câu, trong đó có 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó). Trong khi ví dụ 2 thì số câu được chọn có ít hơn 1 trong số câu của 1 loại dễ hoặc TB hoặc khó (tức là chọn 7 câu, trong đó có 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó). Cho nên trong 7 câu được chọn HS sót ở ch 7 câu đó có thể toàn là câu dễ hoặc toàn là câu khó. Do đó kết quả sẽ nhiều hơn đáp án đúng. Ví dụ : Một cửa hàng có 4 cửa ra và vào . H i có bao nhiêu cách vào 1 cửa và ra cửa khác. * Cách giải sai M i cách vào 1 cửa và ra một cửa là tổ hợp chập 2 của 4 phần tử. 14
=> có số cách là C42  6 (cách) * Lời giải quên rằng khi vào cửa A ra cửa A và vào cửa B ra cửa A là 2 cách khác nhau vậy đáp án đúng là A42  12 (cách) 2.1.2.7. Sai lầm khi thực hiện các phép biến đổi tương đương HS thường mắc phải sai lầm khi thực hiện chuyển đổi bài toán bằng các phép biến đổi tương đương. 7 Ví dụ 12: Giải phương trình: C n  C n2  C n3  x 1 2 Lời giải sai: Ta có phương trình tương đương với x( x  1) x( x  1)( x  2) 7 x   x  6 x  3( x  1) x  x( x  1)( x  2)  21x  x 3  16 x  0 2! 3! 2 x  0  x  4   x  4  Vậy phương trình có 3 nghiệm. Sai lầm: Lời giải trên còn thiếu điều kiện x  N và x  3 nên phương trình trên chỉ có 1 nghiệm là x = 4. 2.1.2.8. Chọn k phần tử tuỳ ý từ tập hợp gồm n phần tử 0  k  n hay các phần tử tuỳ ý còn lại trong tập còn lại. Xin đưa ra 2 bài toán đơn giản nhưng lại có các cách làm như sau: Ví dụ 13: Một nhóm học sinh có 5 bạn A, B, C, D, E. Giáo Viên cần chọn ra 3 học sinh thì có bao nhiêu cách chọn. Lời giải 1: M i cách chọn 3 bạn nam trong 5 bạn là số tổ hợp chập 3 của 5. Số cách chọn là C53  10 (cách) Lời giải 2: Đầu tiên chỉ chọn 1 bạn thì có C 5 (cách) 1 Tiếp theo chọn 1 bạn trong 4 bạn còn lại có: C 4 (cách) 1 Cuối c ng thì chọn 1 bạn còn lại trong 3 bạn thì có: C 3 (cách) 1 Vậy có: C 5 . C 4 . C 3 (cách) 1 1 1 Lời giải 3: Đầu tiên chỉ chọn 1 bạn thì có C 5 (cách) 1 Tiếp theo chọn 2 bạn còn lại trong 4 bạn thì có: C 42 (cách) Vậy có: C 5 . C 42 (cách) 1 Lời giải 4: Đầu tiên chỉ chọn 2 bạn thì có C 52 (cách) Tiếp theo chọn 1 bạn còn lại trong 3 bạn thì có: C 3 (cách) 1 Vậy có: C 52 . C 3 (cách) 1 15
Nhận xét: Thoạt nhiên thấy các lời giải tương đối hợp lý nhưng các kết quả lại khác nhau. Vậy đâu là lời giải đúng? Phân tích: Lời giải 1: Tất nhiên là lời giải đúng. Vậy sai lầm là gi khiến cho các lời giải còn lại đều sai? Lời giải 2: Sai lầm là học sinh đã phân biệt thứ tự, trong khi đề bài không yêu cầu tính thứ tự. Đầu tiên chọn 1 bạn trong 5 bạn, dĩ nhiên là có 5 cách. Nếu lần đầu chọn A (thì còn lại B, C, D, E), lần 2 chọn B (còn lại C, D, E), lần 3 chọn C thì ta có 3 bạn là A, B, C. Nếu lần đầu chọn B (thì còn lại A, C, D, E), lần 2 chọn C (còn lại A, D, E), lần 3 chọn A thì ta có 3 bạn là A, B, C. ………. Như vậy số cách chọn ra 3 bạn A, B, C đã bị lặp. Các lời giải còn lại cũng giải thích tương tự. Vậy các lời giải 2,3,4 đã đưa yêu cầu thứ tự vào nên dẫn đến sai. Ví dụ 14: Một tổ có 8 học sinh nam, 7 học sinh nữ. Chọn ra 1 nhóm gồm 6 HS sao cho có ít nhất 2 nữ thì có bao nhiêu cách chọn? Lời giải 1: ( có vẻ “hay” vì rất ngắn gọn và … “độc đáo”) Bước 1: Chọn ra 2 nữ (vì có ít nhất 2 nữ) có: C 72 (cách) Bước 2: Chọn 4 bạn còn lại trong 13 bạn có: C13 (cách) 4 (khi đó 6 bạn còn lại trong 13 bạn được chọn luôn thoả mãn có ít nhất 2 nữ). Vậy có C 72 . C13 (cách) 4 Lời giải 2: (trực tiếp): chia cụ thể các trường hợp: TH1: 2 nữ, 4 nam: C72 .C84 (cách) TH2: 3 nữ, 3 nam: C73 .C83 (cách) TH3: 4 nữ, 2 nam: C74 .C82 (cách) TH4: 5 nữ, 1 nam: C75 .C8 (cách) 1 TH5: 6 nữ: C 76 . (cách) Vậy có tất cả: C72 .C84 + C73 .C83 + C74 .C82 + C75 .C8 + C 76 . = 4585 (cách) 1 Lời giải 3: (Gián tiếp) Bước 1: Chọn 6 HS bát kì: C15 . (cách) 6 Bước 2: Chọn 5 HS nam, 1 HS nữ: C7 .C85 (cách) 1 16