Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phân dạng và định hướng phương pháp giải lớp bài toán về tính đơn điệu của hàm số trong đề thi TNTHPT

Chia sẻ: Behodethuonglam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:60

Thêm vào BST

Báo xấu

26
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu đề tài là tìm hiểu thực trạng năng lực Toán học; thực trạng năng lực học và giải các dạng toán về tính đơn điệu của hàm số, đặc biệt chú trọng khảo sát đánh giá năng lực giải các bài ở mức độ vận dụng, vận dụng cao; khảo sát việc thực hiện dạy ôn thi TNTHPT của giáo viên về lớp bài toán tính đơn điệu của hàm số.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phân dạng và định hướng phương pháp giải lớp bài toán về tính đơn điệu của hàm số trong đề thi TNTHPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT DÂN TỘC NỘI TRÚ TỈNH ---------- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÂN DẠNG VÀ ĐỊNH HƯỚNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI LỚP BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TRONG ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LĨNH VỰC: TOÁN HỌC Nhóm tác giả 1. Phan Đình Trường - P. Hiệu trưởng 2. Trương Đức Thanh - Giáo viên NĂM HỌC 2020 2021
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT DÂN TỘC NỘI TRÚ TỈNH ---------- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÂN DẠNG VÀ ĐỊNH HƯỚNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI LỚP BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TRONG ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LĨNH VỰC: TOÁN HỌC Nhóm tác giả 1. Phan Đình Trường - P. Hiệu trưởng 2. Trương Đức Thanh - Giáo viên NĂM HỌC 2020 2021
MỤC LỤC PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ ..................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ......................................................................................................... 1 2. Giới hạn nội dung và phạm vi áp dụng. ...................................................................... 2 3. Phương pháp nghiên cứu: ............................................................................................ 2 4. Tính mới và ý nghĩa của đề tài. ................................................................................... 3 PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU .............................................................................. 4 1. Cơ sở khoa học. ........................................................................................................... 4 1.1. Khái niệm về tính đơn điệu của hàm số ................................................................ 4 1.2. Khái niệm về giá trị lớn nhất nhỏ nhất .................................................................. 4 2. Thực trạng năng lực, chất lượng môn Toán của học sinh tại trường THPT DTNT tỉnh ....................................................................................................................... 5 2.1. Thực trạng chất lượng ........................................................................................... 5 2.2. Thực trạng năng lực học, giải toán về tính đơn điệu của hàm số .......................... 5 3. Một số kinh nghiệm về phân dạng, định hướng xây dựng phương pháp giải các dạng toán về xét tính đơn điệu của hàm số. .................................................................... 7 3.1. Xét tính đơn điệu của hàm số khi biết f ( x) , bảng biến thiên hoặc đồ thị của f ( x) ................................................................................................................................. 7 3.2. Xét tính đơn điệu của hàm số khi biết f '( x) , bảng biến thiên hoặc đồ thị của f '( x) .............................................................................................................................. 16 3.3. Xét tính đơn điệu của hàm số khi biết biểu thức f '(u ( x)) , bảng biến thiên hoặc đồ thị của f  ( u( x) ) ................................................................................................ 25 3.4. Bài toán xét tính đơn điệu chứa tham số ............................................................. 32 4. Kết quả đạt được ........................................................................................................ 52 5. Bài học kinh nghiệm .................................................................................................. 53 5.1.Tìm hiểu đối tượng học sinh để lựa chọn phương pháp phù hợp. ........................ 53 5.2. Khuyến khích học sinh tự tìm tòi, khám phá trong quá trình giải toán ............... 54 6. Hướng phát triển của đề tài ....................................................................................... 54 PHẦN III. KẾT LUẬN ....................................................................................................... 55 1. Kết luận...................................................................................................................... 55 2. Kiến nghị. .................................................................................................................. 55 2.1. Đối với các cấp, ngành ........................................................................................ 55 2.1. Đối với nhà trường .............................................................................................. 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................................. 56
DANH MỤC VIẾT TẮT TNTHPT : Tốt nghiệp trung học phổ thông THPT : Trung học phổ thông THPT DTNT : Trung học phổ thông Dân tộc Nội trú HS : Học sinh SKKN : Sáng kiến kinh nghiệm.
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài Trong chương trình môn toán trung học phổ thông, chủ đề hàm số được xây dựng xuyên suốt chương trình, tạo nên sự gắn bó giữa các phân môn toán học với nhau. Các bài toán về hàm số rất đa dạng, được khai thác ở nhiều khía cạnh khác nhau tạo nên nhiều lớp bài toán đặc trưng về hàm số. Từ năm học 2017-2018, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã thực hiện đề án thi tốt nghiệp trung học phổ thông môn Toán bằng hình thức trắc nghiệm. Nội dung chương trình chủ yếu tập trung vào chương trình khối 12, các bài toán được khai thác đưa vào đề thi rất đa dạng. Trong nội dung đề thi, bài toán về hàm số được đưa vào với tỷ lệ từ 10-15 % ở cả 3 mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng. Các bài toán về hàm số thường rất đa dạng và khó đặc biệt là các bài ở mức độ vận dụng, vận dụng cao . Chỉ từ một bài toán về hàm số quen thuộc, ta thay đổi một vài dự kiện thì nó sẽ “biến” thành bài toán lạ, khó đối với HS. Với thực trạng hiện nay, do áp lực của thi cử nên việc học Toán của HS thiên về các phương pháp thực dụng để giải quyết các bài toán trắc nghiệm; các em nhìn các đối tượng toán học dưới dạng tĩnh mà chưa nhìn nhận dưới dạng động; khả năng nhìn nhận, khai thác các dạng toán dưới dạng tổng thể còn hạn chế. Điều đó dẫn đến HS gặp rất nhiều khó khăn khi giải các bài toán về hàm số ở mức độ vận dụng, vận dụng cao. Các lớp bài toán về hàm số trong đề thi TNTHPT bao gồm các dạng: Bài toán về tính đơn điệu; bài toán về cực trị; bài toán về sự tương giao, bài toán về giá trị lớn nhất nhỏ nhất. Trong đó lớp bài toán về tính đơn điệu là lớp bài toán đa dạng nhất và nó cũng là cơ sở để xây dựng phương pháp giải các lớp bài toán khác. Là giáo viên dạy học môn Toán ở trường THPTDTNT tỉnh, đối tượng HS chủ yếu là con em đồng bào dân tộc thiểu số thuộc vùng đặc biệt khó khăn, chất lượng đầu vào còn thấp, năng lực tư duy về toán còn nhiều hạn chế; vấn đề đặt ra làm thế nào để HS giải được các bài toàn ở mức độ vận dụng, vận dụng cao trong đề thi TNTHPT với khoảng thời gian làm bài 50 câu/90 phút. Điều đó đòi hỏi chúng tôi phải luôn phải tìm tòi, nghiên cứu để đưa ra các giải pháp phù 1
hợp nhằm nâng cao chất lượng giáo dục nói chung của nhà trường, chất lượng giáo dục môn Toán nói riêng. Thực tế trong quá trình giảng dạy ôn thi TNTHPT về lớp bài toán xét tính đơn điệu của hàm số chúng tôi đã căn cứ vào cơ sở khoa học, đề thi TNTHPT, đề minh họa, đề thi tốt nghiệp các năm, các tài liệu ôn thi tốt nghiệp để từ đó phân chia thành các dạng toán, từ đó định hướng phương pháp giải và sắp xếp theo logic các dạng toán từ mức độ nhận biết, thông hiểu để mở rộng lên mức độ vận dụng, vận dụng cao. Đồng thời, trong mỗi bài toán chúng tôi đã giúp HS biết cách nhận xét bản chất bài toán, tìm tòi nghiên cứu đưa ra nhiều phương pháp giải khác nhau để HS lựa chọn phương pháp tối ưu cho mỗi bài toán. Những giải pháp đó đã giúp HS nắm được tổng thể lớp bài toán về tính đơn điệu của hàm số, bước đầu nhận thấy đem lại kết quả rõ rệt qua các bài kiểm tra khảo sát, kì thi TNTHPT 2019-2020. Từ những lý do trên trong thực tiễn công tác của bản thân chúng tôi đã đúc rút được kinh nghiệm “Phân dạng và định hướng phương pháp giải lớp bài toán về tính đơn điệu của hàm số trong đề thi TNTHPT”. 2. Giới hạn nội dung và phạm vi áp dụng. - Đề tài đề cập đến một số kinh nghiệm giúp HS phân dạng, định hướng xây dựng và nắm vững phương pháp giải lớp bài toán tính đơn điệu của hàm số trong cấu trúc đề thi TN THPT. - Khách thể nghiên cứu: HS trường THPT DTNT tỉnh Nghệ An, HS trường Dân tộc Nội trú THPT số 2, HS trường THPT Lê Viết Thuật - Sáng kiến kinh nghiệm được áp dụng tại trường THPT DTNT tỉnh Nghệ An, trường Dân tộc Nội trú THPT số 2, trường THPT Lê Viết Thuật. 3. Phương pháp nghiên cứu: 3.1. Phương pháp khảo sát: Mục đích của phương pháp khảo sát là tìm hiểu, đánh giá thực trạng và kết quả của các vấn đề nghiên cứu. Phương pháp khảo sát có thể được tiến hành bằng nhiều hình thức khác nhau. Trong đề tài này, chúng tôi sử dụng phương pháp khảo sát để tìm hiểu thực trạng năng lực Toán học; thực trạng năng lực học và giải các dạng toán về tính đơn điệu của hàm số, đặc biệt chú trọng khảo sát đánh giá năng lực giải các 2
bài ở mức độ vận dụng, vận dụng cao; khảo sát việc thực hiện dạy ôn thi TNTHPT của giáo viên về lớp bài toán tính đơn điệu của hàm số. 3.2. Phương pháp phân tích: Thông qua các số liệu khảo sát, phân tích đánh giá thực trạng việc dạy và học của HS. 3.3. Phương pháp tổng hợp: Tổng hợp mọi vấn đề liên quan để hình thành lí luận, nội dung của đề tài, vận dụng của đề tài để rút ra kết luận cần thiết. 3.4. Phương pháp khái quát hóa: Từ các số liệu, giải pháp thực nghiệm để khái quát thành giải pháp chung cho đề tài 3.5. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Thực hiện áp dụng đề tài trên một số phạm vi, đánh giá tác động của đề tài từ đó 4. Tính mới và ý nghĩa của đề tài. - Căn cứ vào nội dung, chương trình thi TNTHPT về lớp bài toán xét tính đơn điệu hàm số; phân tích, đánh giá căn cứ vào giả thiết, yêu cầu của bài toán và tính chất đặc trưng của các hàm số từ đó chia thành các dạng, hướng dẫn HS phân tích, nhận xét bản chất bài toán, xây dựng phương pháp giải cho các dạng và sắp xếp khai thác theo trình tự logic từ mức độ nhận biết, thông hiểu đến mức độ vận dụng, vận dụng cao. Trong quá trình áp dụng, thực hiện đã giúp cho HS nắm vững tổng thể các dạng, vận dụng linh hoạt phương pháp giải lớp bài toán về xét tính đơn điệu của hàm số, tránh được một số sai lầm thường xảy ra đối với dạng toán hàm số, giải được các bài ở mức độ vận dụng, vận dụng cao. Từ đó, đã nâng cao năng lực giải toán cho HS và nâng cao kết quả thi TNTHPT môn Toán. - Đề tài có thể áp dụng rộng rãi ở các trường THPT và làm tài liệu tham khảo cho các giáo viên ôn thi TNTHPT và nghiên cứu các lớp bài toán khác về hàm số. 3
PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 1. Cơ sở khoa học. 1.1. Khái niệm về tính đơn điệu của hàm số 1.1.1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x) xác định trên K ( K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn) - Hàm số y = f ( x) đồng biến (tăng) trên K nếu x1, x2  K , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) . - Hàm số y = f ( x) nghịch biến (giảm) trên K nếu x1, x2  K , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) . Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K . 1.1.2. Định lí: Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên khoảng K . - Nếu f  ( x )  0, x  K thì hàm số đồng biến trên khoảng K . - Nếu f  ( x )  0, x  K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K . Chú ý: Nếu f  ( x )  0, x  K (hoặc f  ( x )  0, x  K ) và f  ( x ) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K (hoặc nghịch biến trên khoảng K ). 1.2. Khái niệm về giá trị lớn nhất nhỏ nhất 1.2.1. Định nghĩa Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên tập D. * Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) trên D nếu:  f ( x)  M , x  D  . Kí hiệu: M = max f ( x) . x0  D, f ( x0 ) = M D * Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên D nếu:  f ( x)  m, x  D  . Kí hiệu: m = min f ( x) . x0  D, f ( x0 ) = m D 1.2.2. Định lí Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. 1.2.3. Phương pháp: + Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên. B1: Tính f  ( x ) và tìm các điểm x1 , x2 ,..., xn  D mà tại đó f  ( x ) = 0 hoặc hàm số không có đạo hàm. B2: Lập bảng biến thiên. B3: Kết luận + Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn 4
B1: Hàm số đã cho y = f ( x ) xác định và liên tục trên đoạn  a; b. Tìm các điểm x1 , x2 ,..., xn trên khoảng ( a; b ) , tại đó f  ( x ) = 0 hoặc f  ( x ) không xác định. B2: Tính f (a), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ), f (b) B3: Khi đó: max f ( x ) = max  f ( x1 ) , f ( x2 ) ,..., f ( xn ) , f ( a ) , f ( b ).  a ,b  min f ( x ) = min  f ( x1 ) , f ( x2 ) ,..., f ( xn ) , f ( a ) , f ( b ).  a ,b  Chú ý: min f ( x ) = f ( a ) - Nếu y = f ( x ) đồng biến trên  a; b thì  a ;b .  max f ( x ) = f ( b )  a;b min f ( x) = f ( b ) - Nếu y = f ( x ) nghịch biến trên  a; b thì  a ;b .  max f ( x) = f ( a )  a;b - Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó. 2. Thực trạng năng lực, chất lượng môn Toán của học sinh tại trường THPTDTNT tỉnh 2.1. Thực trạng chất lượng * Chất lượng đầu vào lớp 10 Tổng số Điểm từ Điểm từ Điểm từ Điểm từ Điểm Điểm HS 9-10 8 -
* Qua khảo sát HS 3 trường THPT bằng câu hỏi trắc nghiệm: Em nhận thấy các bài về tính đơn điệu của hàm số ở mức độ vận dụng, vận dụng cao trong cấu trúc đề thi TNTHPT khó ở mức độ nào? + Mức độ vận dụng: A. Rất khó B. Khó C. Bình thường D. Dễ Kết quả: Rất khó Khó Bình Dễ thường K12 trường THPT DTNT Tỉnh 65,2 % 30,4% 4,1% 0% K12 trường DTNT THPT số 2 58% 33,5% 6,4% 2,1% K12 trường Lê Viết Thuật 24,7% 31,3% 25,2% 8,8% + Mức độ vận dụng cao: A. Rất khó B. Khó C. Bình thường D. Dễ Kết quả: Rất khó Khó Bình Dễ thường K12 trường THPT DTNT Tỉnh 65,5 % 34,5% 0% 0% K12 trường DTNT THPT số 2 53,5% 46,5% 0% 0% K12 trường Lê Viết Thuật 51,3% 42,3% 6,4% 0% * Qua bài kiểm tra khảo sát 45 phút ở ba lớp – Trường THPTDTNT Tỉnh năm học 2019 - 2020. (Đề được ra ở 4 mức độ: Nhận biết, thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao) Kết quả: Lớp Tốt Khá Trung bình Yếu 12A1 2,5% 27,5% 66,5% 3,5% 12A2 0% 20,5% 72,5% 7% 12A3 0% 23,5% 71% 5,5% Đánh giá kết quả làm bài của HS: - Mức độ nhận biết, thông hiểu: Đa số các em HS làm tốt mức độ này. 6
- Mức độ vận dụng: Chỉ có một số em vận dụng tốt phương pháp và làm bài tốt. - Mức độ vận dụng cao: Hầu hết các em không nắm được phương pháp giải. 3. Một số kinh nghiệm về phân dạng, định hướng xây dựng phương pháp giải các dạng toán về xét tính đơn điệu của hàm số. Trong đề thi TNTHPT các bài toán về tính đơn điệu rất đa dạng, được đưa ra ở cả 4 mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao. Việc phân chia các bài toán dựa vào giả thiết và yêu cầu của bài toán. Do đó để HS để dàng nắm phương pháp giải lớp bài toán này chúng tôi đã phân chia thành các dạng từ đó định hướng xây dựng phương pháp giải các dạng đó và phát triển cách giải cho các bài toán tổng hợp theo một trình tự logic như sau: Trước hết chúng tôi căn cứ vào giả thiết bài toán để phân dạng thành các trường hợp: + Cho biết hàm số f ( x) , bảng biến thiên hoặc đồ thị của f ( x) . + Cho biết f '( x) bảng biến thiên hoặc đồ thị của f '( x) . + Cho biết f '(u ( x)) , bảng biến thiên hoặc đồ thị của f '(u ( x)) . 3.1. Xét tính đơn điệu của hàm số khi biết f ( x) , bảng biến thiên hoặc đồ thị của f ( x) Đối với dạng này chúng tôi đã chia ra làm 3 trường hợp: Xét tính đơn điệu của hàm số f ( x) , f (u( x)) và hàm số tổng quát g ( x) . 3.1.1. Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số f ( x) khi biết hàm số f ( x) , bảng biến thiên hoặc đồ thị của f ( x) Phương pháp: Dạng bài toán này đã được trình bày ở SGK Giải tích. 12 như sau: B1. Tìm tập xác định. B2.Tính đạo hàm, tìm nghiệm phương trình f '( x) = 0 (nếu có). Lập bảng biến thiên B3. Dựa vào bảng biến thiên kết luận Chú ý: Khi biết bảng biến thiên hoặc đồ thị hàm số f ( x) thì ta hoàn toàn tương tự - Từ bảng biến thiên của f ( x) ta dựa vào dấu đạo hàm dễ dàng suy ra khoảng đơn điệu - Từ đồ thị của f ( x) ta căn cứ vào chiều của đồ thị từ trái qua phải để kết luận: Hướng đi lên thì đồng biến, hướng đi xuống thì nghịch biến. (Đây là dạng bài toán đơn giản nên chúng tôi không đưa ra ví dụ họa) 7
3.1.2. Dạng 2: Xét tính đơn điệu của hàm số f (u( x)) khi biết f ( x) , bảng biến thiên hoặc đồ thị của f ( x) Phương pháp 1: Từ hàm số f ( x) ta thay x bằng , suy ra hàm số g ( x) = f (u( x)) . Ta xét sự biến thiên của hàm số g ( x) như phương pháp giải Dạng 1. Phương pháp 2: Bước 1. Tính đạo hàm của hàm số f (u( x)) Bước 2. Sử dụng nghiệm của phương trình f '( x) = 0 , để tìm nghiệm của phương trình f '(u( x)) = 0 từ đó dựa vào dấu của f '( x) suy ra dấu của f '(u ( x)) lập bảng biến thiên của hàm số f (u( x)) Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên kết luận. Bài toán áp dụng: 1 Bài 1. Cho hàm số f ( x) = x3 − 2x 2 + 3x − 1 . Hàm số f (2x + 1) đồng biến 3 trên khoảng: A. ( 0;1) B.(1; +) C (−;1) D.(0 : +) Hướng dẫn giải Ở bài toán này ta có thể hướng dẫn HS giải theo các cách sau: Cách 1. Tìm f (2x + 1) sau đó áp dụng phương pháp Dạng 1. 1 8 1 Ta có: g ( x) = f (2x + 1) = (2x + 1)3 − 2(2x + 1) 2 + 3(2x + 1) −1 = x3 − 4x 2 + 3 3 3 Từ đó xét hàm số g ( x) ta dễ dàng suy ra kết quả: Đáp án B Tuy nhiên ở C1 nếu thay hàm số u(x) phức tạp thì việc thay vào để tính f (u( x)) khó khăn, làm cho học sinh dễ sai lầm. Nên ta có thể hướng dẫn HS giải theo cách sau. Cách 2. Ta dễ dàng lập bảng biến thiên của hàm số f ( x) như sau: x − 1 3 + f '( x) + 0 − 0 + 1 f ( x) + 3 − -1 Đặt g ( x) = f (2x + 1) Ta tính. ( g ( x)) ' = f (2x+1))' = 2.f '(2x + 1) 2x + 1 = 1 x = 0  g '( x) = 0  2. f '(2x + 1) = 0    2x + 1 = 3  x = 1 8
Lập bảng biến thiên của g ( x) x − 0 1 + g '( x) + 0 − 0 + 1 g ( x) + 3 − -1 Từ bảng biến thiên ta suy ra: Đáp án B Chú ý: Cách xét dấu g '( x) - Ta chỉ cần chọn một khoảng bất kì, trên khoảng đó chọn 1 giá trị x thay vào g '( x) sau đó dựa vào bảng biến thiên của f ( x) suy ra dấu của g '( x) trên khoảng đó rồi suy ra dấu trên các khoảng còn lại - C2 thường áp dụng cho các bài toán chỉ cho bảng biến thiên, đồ thị của f ( x) mà không cho hàm số cụ thể. Bài 2: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như sau: x − 1 2 + f ( x) + 0 − 0 + 17 + 6 f ( x) 8 − 3 Hàm số g ( x) = f ( x − x 2 ) nghịch biến trên khoảng? A.  − ; +  . B.  − ; +  . C.  −;  . D.  ; +  . 1 3 3 1  2   2   2 2  Hướng dẫn giải Nhận xét: Như vậy ở bài toán này giả thiết không cho f ( x) nên ta áp dụng phương pháp 2. 2 Cách1.Ta có g ' (x ) = (1 - 2 x ) f ¢(x - x ). 1 − 2 x = 0 1 − 2 x = 0  1 g '( x) = 0     x − x2 = 1  x =  f '( x − x ) = 0 2 2  x − x2 = 2  Bảng biến thiên 9
Từ bảng biến thiên, suy ra đáp án D Chú ý: Nếu không lập bảng biến thiên ta có thể hướng dẫn học sinh giải trực tiếp như sau éìï 1 - 2 x < 0 êï êíï f ¢ x - x 2 > 0 êïî ( ) Hàm số g (x ) nghịch biến Û g ¢(x ) < 0 Û ê . êìï 1 - 2 x > 0 êï êíï ¢ 2 êëïî f (x - x ) < 0 ìï ìï 1- 2 x < 0 ï ïï x > 1 1 + Trường hợp 1: íï f ¢(x - x 2 )> 0 Û í 2 Û x> . ïî ïï 2 2 2 ïïî x - x < 1 Ú x - x > 2  1 1 − 2 x  0 x  + Trường hợp 2:   2  f '( x − x 2 )  0 1  x − x 2  2 hệ bất phương trình vô  nghiệm 1 Kết hợp hai trường hợp ta được x > 2 . Chọn D Để phát triển tư duy cho HS, kích thích sự tìm tòi, đam mê học tập của HS đối với bài toán này ta nên định hướng học sinh giải thêm các cách sau: 2 æ 1 ö÷ 1 1 theo do thi f '(x ) Cách 2. Vì x - x = - çççèx - 2 ø÷÷ + 4 £ 4 ¾ ¾ ¾ ¾ ¾® f ¢(x - x )> 0. 2 2 Suy ra dấu của g ' (x ) phụ thuộc vào dấu của 1- 2x. Yêu cầu bài toán cần 1 g ' (x ) < 0 ¾ ¾® 1 - 2 x < 0 Û x > . 2 Cách 3. Từ giả giả thiết bài toán ta nhận xét bài toán đúng với mọi hàm số có bảng biến thiên như giả thiết. Ta thấy, bảng biến thiên của hàm số có dạng của hàm bậc 3 nên ta có thể chọn hàm số f ( x) như sau: Ta giả sử f ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d  f '( x) = 3ax 2 + 2bx + c éf '(1) = 0 é 1 ê êa = êf '(2) = 0 ê 3 ê ê ê ê - 3 Từ bảng biến thiên ta có hệ: Û êf (1) = 17 Û êb = ê 6 ê 2 ê ê ê 8 êc = 2 êf (2) = ê êë 3 êëd = 2 Suy ra x3 3x 2 ( x − x 2 )3 3( x − x 2 ) 2 f ( x) = − + 2 x + 2  g ( x) = f ( x − x 2 ) = − + 2( x − x 2 ) + 2 . 3 2 3 2 Khi đó g '( x) = (1 − 2 x)[( x − x 2 ) 2 − 3( x − x 2 ) + 2] 10
1 g '( x ) = 0  x = . 2 Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên, suy ra đáp án D Cách 4. Chúng ta dùng phương pháp thử f ( x) (phương pháp này sẽ giúp học sinh loại bỏ phương án không đúng) Phương án A.  − ; +  . Ta chọn 2 giá trị x1 = 0  x2 =  (− ; +) thay 1 1 1  2  2 2 1 vào f ( x − x 2 ) ta được tương ứng f (0), f ( ) . Từ bảng biến thiên của f ( x) ta có 4 1  1  f (0)  f ( ) . Suy ra hàm số không nghịch biến trên khoảng  − ; +  , ta loại A 4  2   3  Tương tự, với phương án B.  − ; +  sai với cách chọn  2  1 3 x1 = 0  x2 =  (− ; +) 2 2 Phương án C.  −;  cũng sai với cách chọn x1 = 0  x2 =  (−; ) . 3 1 3  2 2 2 Vậy đáp án đúng là D. Chú ý: Đối với phương pháp này khi hướng dẫn HS chọn 2 giá trị x1 , x2 thích hợp để sao cho khi thay vào u( x) ta được 2 giá trị u1 , u2 nằm trên một khoảng của bảng biến thiên f ( x) thì ta mới so sánh được f (u1 ), f (u2 ) . Cách 5: Chúng ta có có thể dùng phương pháp thử g '( x) (phương pháp này sẽ giúp HS loại bỏ phương án không đúng) Tính g '( x) = (1 − 2 x) f '( x − x 2 ) . Chọn các giá trị x hợp lí thuộc các đáp án để loại bỏ các phương án sai. Phương án A.  − ; +  . Chọn x = 0 ta có g '(0) = 1. f '(0) . Dựa vào bảng 1  2  biến thiên f ( x) ta có f '(0)  0 nên đáp án A sai. Tương tự, với phương án B.  − ; +  sai khi chọn x = 0 và thay vào 3  2  g '( x) . Phương án C.  −;  cũng sai với cách chọn x = 0 và thay vào g '( x) . 3  2 Vậy đáp án đúng là D. 11
Đối với những phương án thử đáp án thì giúp HS khi gặp phải những bài toán việc xét dấu gặp khó khăn. Tất nhiên phương pháp này cũng chỉ giúp HS giải quyết được ở một số bài toán. Bài 3: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số y = f ( 2 − x 2 ) đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (1; + ) . B. ( −1;0) . C. ( −2;1) . D. ( 0;1) . Hướng dẫn giải Cách 1. Từ đồ thị ta có hàm số y = f ( x ) đồng biến trên mỗi khoảng ( −;0) và ( 2;+) . Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) . Xét hàm số y = f ( 2 − x2 ) x = 0  x = 0 Ta có y = −2 x. f  ( 2 − x2 ) , y = 0   2 − x 2 = 0   . ( x = 0 là nghiệm 2 − x = 2 2  x =  2  bội 3) Dễ thấy y ( 2) = −4 f  ( −2)  0 (do hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( −;0) nên f  ( −2)  0 ) Ta có bảng xét dấu y  x -∞ - 2 0 2 +∞ y' + 0 - 0 + 0 - Từ bảng xét dấu ta có hàm số đồng biến trên khoảng ( 0;1) . Đáp án D Cách 2. Từ đồ thị ta có hàm số y = f ( x ) đồng biến trên mỗi khoảng ( −;0) và ( 2;+) . Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) . Xét hàm số y = f ( 2 − x2 ) ta có y = −2 x. f  ( 2 − x2 ) . Để hàm số y = f ( 2 − x2 ) đồng biến thì −2 x. f  ( 2 − x2 )  0  2 x. f  ( 2 − x2 )  0 . Ta có các trường hợp sau Trường hợp 1: 12
 x  0 x  0  x  0      0 x 2.  f  ( 2 − x )  0 0  2 − x  2  x  2 2 2 Trường hợp 2: x  0  x  0    2 − x2  2  x  2 .  f ( 2 − x )  0  2  2 − x  0 2 Vậy hàm số y = f ( 2 − x2 ) đồng biến trên mỗi khoảng ( −; − 2 ) và ( 0; 2 ) . Đối với bài này chúng ta vẫn có thể sử dụng các cách ở Bài 2 để giải. 3.1.3. Dạng 3: Xét tính đơn điệu của hàm số g ( x) khi biết f ( x) , bảng biến thiên hoặc đồ thị của f ( x) Với cách làm tương tự như các bài ở trên ta có thể mở rộng bài toán để xét tính đơn điệu với các hàm số g ( x) , trong đó g ( x) có dạng g ( x) = p. f (u( x)) + q , g ( x) = p. f (u ( x))  h( x) , g ( x) = v( x). f (u( x))  h( x) … p, q là các hằng số. Ở đây g ( x) là một hàm số tổng hợp. Dạng toán này thường nằm trong phần vận dụng cao của đề thi tốt nghiệp. Vì vậy tùy thuộc vào từng bài toán sẽ đưa ra một số định hướng riêng để giải. Tuy nhiên để giải các bài toán dạng này chúng tôi đề xuất định hướng giải chung như sau: Định hướng giải Bước 1. Tính g '( x) . Giải phương trình g '( x) = 0 . Bước 2. Lập bảng biến thiên g ( x) hoặc xét dấu g '( x) . Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên, dấu g '( x) kết luận. Bài 4: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau: Hàm số g ( x) =  f (3 − x) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? 2 A. (−2;5) . B. (1;2) . C. (2;5) . D. (5; +) . Hướng dẫn giải Nhận xét: Đối với bài toán này g '( x) có chứa f (u( x)), f '(u( x)) nên khi xét dấu g '( x) ta phải dựa vào dấu của f ( x), f '( x) . Ta có g '( x) = −2 f '(3 − x). f (3 − x) . 13
Việc xét dấu g '( x) ta có thể hướng dẫn học sinh theo 2 cách sau Cách 1: Từ bảng biến thiên suy ra f ( x)  0, x  R  f (3 − x)  0, x  R . Xét é- 2 < 3 - x < 1 é2 < x < 5 g ¢(x ) < 0 Û - 2 f ¢(3 - x ). f (3 - x )< 0 Û f ¢(3 - x )< 0 Û êê Û ê êx < 1 . ë3 - x > 2 ë Suy ra hàm số g (x ) nghịch biến trên các khoảng (−;1) và (2;5) . éx = 2 éf (3 - x ) = 0 ê ê Û êêx = 5 . Cách 2: g '( x) = 0  - 2 f ¢(3 - x ). f (3 - x ) = 0 Û ê êf ¢(3 - x ) = 0 ê ë êëx = 1 Bảng biến thiên x − 1 2 5 + -2 f (3 − x) + 0 + + 0 + f (3 − x) - 0 + 0 - 0 + g '( x) - 0 + 0 - 0 + g ( x) − − Suy ra hàm số g (x ) nghịch biến trên các khoảng (−;1) và (2;5) . Bài 5: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ Hàm số g ( x ) = 3 f ( 2 − x ) + x3 − 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (1; + ) . B. ( −1;1) . C. ( −; −1) . D. ( 0; 2) . Hướng dẫn giải Ta có g ( x ) = −3 f  ( 2 − x ) + 3x2 − 3 . Từ bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) ta thấy: 2 − x = 1 x = 1 f  ( 2 − x ) = 0   2 − x = 2  x = 0  .  2 − x = 3  x = −1 Ta có bảng biến thiên của hàm số g ( x ) : 14
Từ bảng biến thiên chọn đáp án B. Bài 7: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình sau. Hàm số g ( x ) = ( f ( x ) ) − 3 ( f ( x ) ) nghịch biến trên khoảng nào? 3 2 A. ( −;1) . B. (1;2) . C. ( 3; 4 ) . D. ( 2;3) . Hướng dẫn giải Ta có: g ( x ) = 3 f ( x ) f  ( x ) − 6 f ( x ) f  ( x ) = 3 f ( x ) f  ( x )  f ( x ) − 2 . ' 2  f ( x ) = 0 (1)  Từ bảng biến thiên của hàm số f ( x ) ta có: g  ( x ) = 0   f ( x ) = 2 ( 2 )  f  ( x ) = 0 ( 3)  x = x2 ( x1  x2  1)  x =1  x = x 1 x  2 x = 2  x = x1  1 3( ) ; 3  (1)   ; ( 2)   3 ( )  x=3  x=4  x=3    x = x4  4.  x = 4. Ta có bảng biến thiên như sau Đối chiếu đáp án vậy ta chọn D. Đối với các bài toán ở trên chúng ta có thể hướng dẫn các em HS sử dụng phương án thử đáp án để loại các phương án sai. Vì giới hạn của sáng kiến nên chúng tôi không trình bày các cách thử đáp án. 15
Chú ý: Trong dạng toán này việc xét dấu g '( x) HS thường gặp nhiều khó khăn. Vì vậy chúng tôi đề xuất hai hướng để các em HS có thể xét dấu của hàm số g '( x) như sau: Cách 1: Lập một bảng chung xét dấu của các hàm số h '( x) , hàm số f '(u ( x)) và hàm số g '( x) . Từ dấu của các hàm số h '( x) , hàm số f '(u ( x)) thì có thể suy ra dấu của hàm số g '( x) . Cách 2: Vẽ dạng đồ thị các hàm số y = h '( x) , hàm số y = f '( x) trên cùng một hệ trục tọa độ. Từ hoành độ giao điểm của các đồ thị là x0 chúng ta có thể tìm được nghiệm của phương trình g '( x) = 0 bằng cách cho u ( x) = x0 . Sau đó tiến hành lập bảng xét dấu của g '( x) . 3.2. Xét tính đơn điệu của hàm số khi biết f '( x) , bảng biến thiên hoặc đồ thị của f '( x) Dạng toán xuất hiện khá nhiều trong các đề thi và chương trình ôn thi tốt nghiệp. Bài tập đa dạng và ở các mức độ thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao. Chúng tôi phân chia như sau: + Xét tính đơn điệu khi cho f '( x) dạng biểu thức. + Xét tính đơn điệu khi cho f '( x) dạng bảng biến thiên. + Xét tính đơn điệu khi cho f '( x) dạng đồ thị. Vì vậy tùy từng cách cho f '( x) thì ta có thể đưa ra các phương án giải bài toán. 3.2.1. Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số f ( x) khi biết hàm số f '( x) , bảng biến thiên hoặc đồ thị của f '( x) Định hướng giải Bước 1. Giải phương trình f '( x) = 0 . Bước 2. Lập bảng biến thiên f ( x) hoặc bảng xét dấu f '( x) . Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên kết luận. Bài 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = ( x + 1) ( 2 − x )( x + 3) . 2 Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −3; 2 ) B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −3; −1) và ( 2;+) C. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −; −3) và ( 2;+) D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −3; 2 ) Nhận xét: Ta thấy f '( x) có ( x − 1) 2 nên dấu của f '( x) sẽ không đổi khi qua x = −1 vì đây là nghiệm bội chẵn của đạo hàm. 16