Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Rèn luyện kỹ năng sử dụng bảng biến thiên, đồ thị để giải một số bài toán giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:54

Thêm vào BST

Báo xấu

17
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến "Rèn luyện kỹ năng sử dụng bảng biến thiên, đồ thị để giải một số bài toán giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối" nhằm nghiên cứu các phương án sử dụng bảng biến thiên, đồ thị hàm số để giải quyết vấn đề liên quan đến giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số vừa chứa dấu giá trị tuyệt đối, đặc biệt là các bài toán chứa tham số; Rèn luyện kỹ năng sử dụng bảng biến thiên, đồ thị để giải một số bài toán giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Rèn luyện kỹ năng sử dụng bảng biến thiên, đồ thị để giải một số bài toán giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT THANH CHƯƠNG 3 ------------------------------------- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG SỬ DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN, ĐỒ THỊ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Môn Toán Nhóm tác giả: 1. Trịnh Văn Thạch. 2. Trần Thị Lương. Số điện thoại: 0944 365 889. Đơn vị: THPT Thanh Chương 3. Tổ: Toán – Tin - Văn phòng.
MỤC LỤC I. PHẦN MỞ ĐẦU .........................................................................................................................1 1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI ..........................................................................................................1 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU .................................................................................................1 3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU .................................................................................................1 4. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU. ..........................................................................1 5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. .......................................................................................1 6. ĐÓNG GÓP MỚI CỦA ĐỀ TÀI. .........................................................................................2 II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN. .......................................................................................................2 1. CƠ SỞ KHOA HỌC. .........................................................................................................2 1.1. Cơ sở lý luận. ...................................................................................................................2 1.2. Cơ sở thực tiễn. ...............................................................................................................3 2. KHẢO SÁT, PHÂN TÍCH VÀ ĐÁNH GIÁ THỰC TRẠNG. .......................................4 2.1. Khảo sát thực trạng.....................................................................................................4 2.2. Thực trạng trước khi áp dụng đề tài. ..........................................................................6 3. GIẢI PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ. ...............................................................................6 3.1. Bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số y | f (x ) | trên đoạn ,   . .........................6 3.2. Bài toán liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số y | f (x )  a | trên đoạn ;   . 10 3.2.1. Tìm tham số a để GTLN của hàm số y | f (x )  a | trên đoạn ;   bằng K . ....14 3.2.2. Tìm tham số a để GTNN của hàm số y | f (x )  a | trên đoạn ;   bằng k . .....19 3.2.3. Tìm tham số a để GTLN, GTNN của hàm số y | f (x )  a | trên đoạn ;   không vượt quá số K . .........................................................................................................22 3.2.4. Tìm tham số a để GTLN của hàm số y | f (x )  a | trên đoạn ;   đạt GTNN. ...............................................................................................................................................25 3.2.5. Tìm tham số a để GTLN, GTNN của hàm số y | f (x )  a | trên đoạn ;   thỏa mãn điều kiện P nào đó. ......................................................................................................29 4. MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG NHẰM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH. ........................................................................................................................................37 4.1 Thi đua giải toán trắc nghiệm trực tuyến trên Quizizz.com .....................................37 4.2 Sáng tạo bài toán mới. ...................................................................................................38 4.3 Thử thách với bài toán mới. .........................................................................................39 4.4 Ứng dụng phần mềm Geogrebra để vẽ đồ thị. ............................................................41 4.5 Bài tập tự luyện ..............................................................................................................42
5. THỰC NGHIỆM. ................................................................................................................48 III. KẾT LUẬN ............................................................................................................................49 I. NHỮNG KẾT LUẬN ...........................................................................................................49 II. KIẾN NGHỊ. .......................................................................................................................49 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................51
I. PHẦN MỞ ĐẦU 1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong quá trình hướng dẫn học sinh luyện tập phần giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số, chúng tôi nhận thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăn với các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. Các em đặc biệt lúng túng với các bài toán liên quan đến giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số vừa chứa dấu giá trị tuyệt đối vừa chứa tham số. Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho sáng kiến kinh nghiệm của mình:“Rèn luyện kỹ năng sử dụng bảng biến thiên, đồ thị để giải một số bài toán giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối” 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu các phương án sử dụng bảng biến thiên, đồ thị hàm số để giải quyết vấn đề liên quan đến giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số vừa chứa dấu giá trị tuyệt đối, đặc biệt là các bài toán chứa tham số. - Rèn luyện kỹ năng sử dụng bảng biến thiên, đồ thị để giải một số bài toán giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. 3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Tìm những khó khăn và thuận lợi của học sinh và giáo viên khi tiếp cận bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. - Đề xuất hệ thống bài tập luyện tập nhằm rèn luyện kỹ năng sử dụng bảng biến thiên, đồ thị để giải một số bài toán giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. - Thiết kế một số trò chơi lồng ghép các bài tập liên quan đến giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số nhằm gia tăng sự chủ động và hứng thú học tập của học sinh. - Tìm hiểu và áp dụng một số phương pháp dạy học, phương pháp đánh giá bám sát chương trình phổ thông mới. 4. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU. Học sinh lớp 12 THPT. Giáo viên giảng dạy môn Toán bậc THPT. 5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. - Tìm kiếm tài liệu tham khảo từ các nguồn liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa giá trị tuyệt đối, phương pháp dạy học theo phát triển năng lực. - Trao đổi với đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực hiện. - Giảng dạy tại các lớp 12 trường THPT Thanh Chương 3. Phối hợp với giáo viên môn Toán trường THPT trong huyện Thanh Chương để dạy thử nghiệm tại các lớp 12. 1
6. ĐÓNG GÓP MỚI CỦA ĐỀ TÀI. Tiếp cận bài toán liên quan giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối theo hướng sử dụng bảng biến thiên, đồ thị. Thiết kế một số hoạt động luyện tập nhằm gia tăng sự chủ động và hứng thú học tập của học sinh. II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN. 1. CƠ SỞ KHOA HỌC. 1.1. Cơ sở lý luận. - Quan niệm về kỹ năng và kỹ năng giải toán: Theo Từ điển Từ và Ngữ Việt Nam của GS. Nguyễn Lân: Kỹ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn. Trong đề tài này, chúng tôi quan niệm kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức (khái niệm, định lí, thuật giải, phương pháp) để giải quyết nhiệm vụ đặt ra trong toán học. - Điều kiện để có kỹ năng: Muốn có kỹ năng về hành động nào đó học sinh cần phải: Có kiến thức để hiểu được mục đích của hành động, biết được điều kiện, cách thức để đi đến kết quả, để thực hiện hành động; tiến hành hành động đó với yêu cầu của nó; đạt được kết quả phù hợp với mục đích đã đề ra; có thể hành động có hiệu quả trong những điều kiện khác nhau; có thể qua bắt chước, rèn luyện để hình thành kỹ năng. - Yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh ở trường THPT: Kỹ năng là một thành tố cấu thành nên năng lực của người học; Việc rèn luyện kỹ năng giải toán giúp học sinh phát triển các năng lực toán học gồm năng lực tư duy và lập luận, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán, năng lực giao tiếp toán học. - Quy trình hình thành kỹ năng: quy trình hình thành kỹ năng giải toán nói chung, kỹ năng tìm GTLN, GTNN cho HS gồm ba bước sau: Bước 1: Hướng dẫn HS giải một số bài toán mẫu ở trên lớp, có phân tích phương pháp suy nghĩ, tìm lời giải, lưu ý cho HS những điểm cần thiết. Bước 2: HS tự rèn luyện kỹ năng giải toán theo hệ thống bài toán có chủ định của giáo viên, giáo viên phân tích, khắc phục những khó khăn, thiếu sót cho HS. Bước 3: Rèn luyện kỹ năng giải toán ở mức độ cao hơn, tổng hợp hơn. Như vậy, để rèn luyện kỹ năng sử dụng bảng biến thiên, đồ thị để giải một số bài toán GTLN, GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, cần xây dựng một hệ thống bài tập từ dễ đến khó liên quan đến chủ đề GTLN, GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, hướng dẫn học sinh hoạt động tìm kiếm lời giải cho các bài toán tổng quát dựa vào bảng biến thiên và đồ thị, sử dụng hệ thống bài tập tự luyện theo mẫu hoặc không theo mẫu để rèn luyện kỹ năng vừa học. 2
1.2. Cơ sở thực tiễn. Bài toán liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số bắt đầu xuất hiện nhiều trong các đề thi minh họa, đề thi thử THPT quốc gia và được rải đều ở các mức độ đánh giá năng lực toán học: nhận biết, thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao. Trong số đó, các bài toán liên qua đến GTLN, GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thường xuất hiện ở các mức độ vận dụng, vận dụng cao: Ví dụ 1: [Câu 36– Đề tham khảo Bộ Giáo dục năm 2018] Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y | x 3  3x  m | trên đoạn 0; 2 bằng 3. Số phần tử của S là A. 1. B. 2. C. 0. D. 6. Ví dụ 2: [Câu 49 – THPT Chuyên Phan Bội Châu (Nghệ An) lần 1 năm 2019] Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số y | x 2  2x  m  4 | trên đoạn 2;1 đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của tham số m bằng A. 1. B. 3. C. 4. D. 5. Ví dụ 3: [Câu 48– Trung tâm luyện thi Thanh Tường (Nghệ An) lần 1 năm 2020] Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số f (x ) | 2 4x  x 2  mx |, m là tham số. Giá trị nhỏ nhất của M bằng A. 4 2. B. 2. C. 3 2. D. 2. Ví dụ 4: [Câu 42– Đề tham khảo Bộ Giáo dục năm 2020 lần 1] Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y | x 3  3x  m | trên đoạn 0; 2 bằng 16. Tổng tất cả các phần tử của S là A. 16 . B. 16 . C. 12 . D. 2 . Ví dụ 5: [Câu 48– Đề tham khảo Bộ Giáo dục năm 2020 lần 2] x m Cho hàm số f (x )  với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp các giá trị x 1 của tham số thực m sao cho max f (x )  min f (x )  2 . Số phần tử của S là  0;1  0;1     A. 6. B. 2. C. 1. D. 4. Các câu hỏi trên gây ra rất nhiều khó khăn cho giáo viên và học sinh. Có rất nhiều cách giải đã được đưa ra. Một số đề tài sáng kiến kinh nghiệm cũng đã viết về lớp bài toán này. Điển hình như sáng kiến kinh nghiệm “Phát triển năng lực toán học cho học sinh thông qua bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối” của thầy giáo Trần Đình Hiền. Đó là một đề tài viết rất đầy đủ và công phu về GTLN, GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối theo hướng tiếp cận là sử dụng các lập luận toán học, chứng minh các công thức ở các 3
bài toán tổng quát rồi áp dụng. Đề tài của thầy Hiền đã giải quyết trọn vẹn hầu hết các bài toán liên quan. Tuy nhiên, trong quá trình học hỏi, nghiên cứu kiến thức từ đề tài đó và giảng dạy trực tiếp trên lớp, nhóm tác giả nhận thấy rằng việc ghi nhớ và áp dụng các công thức của nhiều dạng toán, dù đã được chứng minh, cũng gây ra một số khó khăn nhất định cho các em học sinh. Ở đề tài này, nhóm tác giả cũng viết về bài toán GTLN, GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối nhưng theo một hướng tiếp cận khác. Với mong muốn học sinh có cái nhìn trực quan hơn, dễ thực hiện hơn về bài toán đang nghiên cứu, chúng tôi chọn hướng tiếp cận là sử dụng bảng biến thiên và đồ thị hỗ trợ trong việc giải quyết vấn đề. 2. KHẢO SÁT, PHÂN TÍCH VÀ ĐÁNH GIÁ THỰC TRẠNG. 2.1. Khảo sát thực trạng. Nhóm tác giả thực hiện khảo sát tại các lớp 12A1,12A2, 12A3, 12B, 12D1 ở trường THPT Thanh Chương 3. Hình thức khảo sát: Học sinh làm bài trắc nghiệm trên https://quizizz.com/ kết hợp với quan sát của giáo viên. Link đề kiểm tra: https://quizizz.com/admin/quiz/61a096b5ba7f67001d9e0f46 Link rút gọn: https://bitly.com.vn/if5gxa Đề khảo sát như sau: Câu 1. Giá trị lớn nhất của hàm số y  x 2  2x  2 trên đoạn 1; 2 là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Mục tiêu: Kiểm tra xem người học có phân biệt được max f (x ) và max f (x ) .     1;2 1;2 Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x 2  2x  2 trên đoạn 1; 2 là   A. 1 . B.  2 . C.  3 . D. 0 . Mục tiêu: Kiểm tra xem người học có phân biệt được min   f (x ) và min   f (x ) . 1;2 1;2 2x 2; 3 Câu 3. Giá trị lớn nhất của hàm số y  trên đoạn   là x 3 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Mục tiêu: Kiểm tra xem người học có phân biệt được max f (x ) và max f (x ) . 2;3 2;3     2x 2; 3 Câu 4. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  trên đoạn   là x 3 A. 1 . B.  2 . C.  3 . D. 0 . Mục tiêu: Kiểm tra xem người học có phân biệt được min f (x ) và min f (x ) . 2;3 2;3     2x 2; 1 Câu 5. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  trên đoạn   là x 3 A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 0 . 4
Mục tiêu: Kiểm tra xem người học có phân biệt được min f (x ) và min f (x ) . 2;1 2;1     Câu 6. Có bao nhiêu giá trị của tham số a để GTLN của hàm số f (x )  x 2  2x  2  a trên đoạn 1;2 bằng 5?   A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Mục tiêu: Kiểm tra xem người học có tìm được max f (x ) theo a . 1;2   Câu 7. Có bao nhiêu giá trị của tham số a để GTNN của hàm số f (x )  x 2  2x  2  a trên đoạn 1;2 bằng 3?   A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Mục tiêu: Kiểm tra xem người học có tìm được min f (x ) theo a . 1;2   Câu 8. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số a thỏa mãn GTLN của hàm số f (x )  x 3  3x  1  a trên đoạn 1;1 không vượt quá 5 . Số phần tử của tập S là A. 9. B. 7. C. 5. D. 8. Mục tiêu: Kiểm tra xem người học có tìm được max f (x ) theo a . 1;1   Câu 9. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số a thỏa mãn GTNN của hàm số f (x )  x 3  3x  1  a trên đoạn 1;1 không vượt quá 3 . Số phần tử của tập S là A. 9. B. 10. C. 11. D. 8. Mục tiêu: Kiểm tra xem người học có tìm được min f (x ) theo a . 1;1   Câu 10. Cho hàm số f (x )  x 3  3x  1  a . Tìm a sao cho GTLN của hàm số trên đoạn 1;1 đạt giá trị nhỏ nhất.   A.  1 . B.  2 . C. 1 . D. 3 . Mục tiêu: Kiểm tra xem người học có tìm được GTNN của max f (x ) . 1;1   Một số hình ảnh khi khảo sát tại các lớp. Ảnh khảo sát tại lớp 12A3 Bảng kết quả khảo sát tại lớp 12A1 5
2.2. Thực trạng trước khi áp dụng đề tài. a. Kết quả khảo sát. Sau khi khảo sát ở các lớp nói trên, nhóm tác giả thu được kết quả như sau: Thứ tự Lớp Số học sinh Điểm trung bình 1 12A1 39 5.9 2 12A2 36 5.1 3 12A3 38 4.7 4 12B 36 4.4 5 12D1 41 4.5 b. Phân tích, đánh giá thực trạng. Trường THPT Thanh Chương 3 đóng trên một địa bàn rất rộng với 9 xã thuộc cụm Cát Ngạn. Nhiều xã còn khó khăn về kinh tế, đường giao thông đi lại còn nhiều khó khăn. Việc học tập và phấn đấu của các em học sinh chưa thực sự được quan tâm từ các bậc học Tiểu học, Trung học cơ sở. Vì vậy, kiến thức cơ sở về môn Toán của các học sinh hầu hết tập trung ở mức độ trung bình và khá. Đối với bài toán liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, kết quả khảo sát ở bảng trên cho thấy các em chưa thực sự tự tin trong việc tiếp cận bài toán, nhiều em chưa giải quyết được các bài toán cơ bản (câu 1, 2, 3, 4, 5). Qua việc quan sát các em khi làm bài khảo sát, chúng tôi nhận thấy chỉ có khoảng 30% học sinh hứng thú với các câu từ câu 5 đến câu 7, chỉ khoảng 10% học sinh thực sự hứng thú với các câu số 8, 9, 10. 3. GIẢI PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ. Qua trao đổi với các em học sinh và giáo viên dạy Toán khối 12, chúng tôi nhận thấy rằng khó khăn lớn nhất mà các em gặp phải khi giải các bài toán chứa tham số là các em không biết phân chia các trường hợp như thế nào, từ đó chúng tôi đề xuất sử dụng bảng biến thiên và đồ thị trong việc giải quyết các bài toán. 3.1. Bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số y | f (x ) | trên đoạn ,   . Bài toán tổng quát số 1: Cho hàm số y  f (x ) xác định và liên tục trên ,   . Nêu   quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y | f (x ) | trên đoạn ,   .   Các bước thực hiện: Bước 1: Tính f '(x ) . Bước 2: Giải phương trình f '(x )  0 trên đoạn ,   .   6
Tìm các điểm x 1, x 2 , ..., x n trên đoạn ,   , tại đó f '(x ) bằng 0 hoặc không xác định.   Bước 3: Vẽ bảng biến thiên hàm số y  f (x ) trên đoạn ,   .   Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên, vẽ bảng biến thiên hàm số y  f (x ) trên đoạn ,     . Vẽ thêm đường thẳng y  0 Ox  . Coi bảng biến thiên của f x  như là đồ thị hàm số f x  thu nhỏ. Giữ nguyên phần đồ thị phía trên đường thẳng y  0. Lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới đường thẳng y0 qua đường thẳng y0 ta được bảng biến thiên hàm số y  f (x ) . Bước 5: Dựa vào bảng biến thiên, kết luận max | f (x ) | , min | f (x ) | . ;   ;      Sau đây là một số bài tập ví dụ: Bài tập 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x 2  3x  1 trên đoạn  0; 3 .   Hướng dẫn giải: 3   Đặt f x   x 2  3x  1  f  x   2x  3 . f  x   0  x   0; 3 . 2   Bảng biến thiên f x  trên đoạn  0; 3 :   Bảng biến thiên của f x  trên đoạn  0; 3 :   5 Dựa vào bảng biến thiên, ta có: Max f x   ; Min f x   0 .  0;2    4 0;2   Bài tập 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y | x 3  6x 2  9x  1 | trên đoạn 0, 4  . 7
Hướng dẫn giải: x  1 Đặt f x   x 3  6x 2  9x  1  f  x   3x 2  12x  9. f  x   0   x  3 Bảng biến thiên của f x  trên đoạn  0; 4 :   Bảng biến thiên của f x  trên đoạn  0; 4   Dựa vào bảng biến thiên, ta có: Max f x   3 ; Min f x   0 . 0;4  0;4      2x  1 Bài tập 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  trên đoạn x 2 4; 3 .   Hướng dẫn giải: Tập xác định D   2 . Dễ thấy 2  4; 3 . 2x  1 5 Đặt f x    f  x   . x 2 x  2 2 Bảng biến thiên của hàm số f x  trên đoạn 4; 3 :   Bảng biến thiên của hàm số f x  trên đoạn 4; 3 :   8
9 Dựa vào bảng biến thiên, ta có: Max f x   7 ; Min f x   . 4;3     4;3 2 Bài tập 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  sin 3x  6 sin x  2 . Hướng dẫn giải: Ta có sin 3x  6 sin x  2  3 sin x  4 sin3 x  6 sin x  2  4 sin3 x  6 sin x  2 Đặt t  sin x 1  t  1 , f t   4t 3  9t  2 3  f  t   12t 2  9. f  t   0  t   . 2 Bảng biến thiên của f t  trên đoạn 1;1 :   Bảng biến thiên của hàm f t  trên đoạn 1;1 :   Dựa vào bảng biến thiên, ta có: Max f t   2  3 3 ; Min f t   0 .     1;1 1;1 Bài tập 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2x  x 2  2x . Hướng dẫn giải: 9
Tập xác định: D   0;2 1x Đặt f x   2x  x 2  2x  f  x    2. 2x  x 2   1x x  1 f  x   0   2  1  x  2 2x  x 2   2x  x 2    1  2x  x 2  4 2x  x 2   x  1 52 5   2 x  . 5x  10x  1  0 5  Bảng biến thiên của f x  trên đoạn  0; 2 :   Bảng biến thiên của f x  trên đoạn  0; 2 :   Dựa vào bảng biến thiên, ta có: Max f x   4 ; Min f x   0 .     0;2 0;2 3.2. Bài toán liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số y | f (x )  a | trên đoạn ;   .   Bài toán tổng quát số 2: Cho hàm số y  f (x ) xác định và liên tục trên đoạn ;   .   Giả sử max f x   M , min f x   m . Tìm max f x  và min f x  .         ;  ;   ;   ;  Hướng dẫn giải Ta xét các trường hợp sau: Trường hợp 1: M .m  0 Có hai khả năng trong trường hợp này: 10
M , m  0, f x   0 x  ;   M , m  0, f x   0x  ;   Dựa vào bảng biến thiên ở cả hai hình vẽ, ta có kết quả sau:  ;    max f x  max M ; m      min f x   min M ; m  ;    Trường hợp 2: M .m  0 Vì f x  là hàm liên tục trên đoạn ;     và M .m  0 nên phương trình f x   0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn ;   .   Cũng có hai khả năng xảy ra trong trường hợp này: M  0, m  0, M  m M  0, m  0, M  m (Chú thích: hai hình vẽ này minh họa chiều biến thiên của hàm số f (x ) nhằm giúp học sinh phát hiện ra min f (x )  0 , giáo viên và học sinh có thể lấy ví dụ cụ thể hơn   ;  để có một bảng biến thiên chính xác) Dựa vào bảng biến thiên ở cả hai hình vẽ, ta có kết quả sau:  ;    max f x  max M ; m      . min f x   0  ;  Bài toán tổng quát số 3: Cho hàm số y  f (x ) xác định và liên tục trên đoạn ;   .   Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y | f (x )  a | trên đoạn ;   theo   tham số a . Các bước thực hiện: 11
Bước 1: Tính đạo hàm f '(x ) . Bước 2: Tìm các điểm x 1, x 2 ,... trên đoạn ,   , tại đó f '(x ) bằng 0 hoặc không xác   định. Bước 3: Tính giá trị f (), f ( ), f (x 1 ), f (x 2 ),... hoặc vẽ bảng biến thiên hàm số y  f (x ) trên đoạn ,   .   Bước 4: Tìm max f (x ) , min f (x ) .      ;  ;  Bước 5: Tìm max | f (x )  a |, min | f (x )  a | . Từ đó tìm ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ  ;   ;      nhất của hàm số y | f (x )  a | trên đoạn ;   theo tham số a . Cụ thể:   Giả sử M  max f x  , m  min f x  . Hiển nhiên ta có M m.  ;  ;      Khi đó max  f (x )  a   M  a, min  f (x )  a   m  a .  ;   ;      Vận dụng bài toán tổng quát số 2, ta có kết quả sau: Trường hợp 1: M  a m  a   0  a  ; M   m;    ;    max f x  a  max M  a ; m  a       . min f x   a  min M  a ; m  a  ;    Trường hợp 2: M  a m  a   0  a  M ; m       max f x   a  max M  a ; m  a  ;        .  min f x   a  0     ;   Sử dụng kết quả ở hai trường hợp trên, học sinh đã có thể giải quyết được khá nhiều các bài toán về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. Nhưng trong quá trình giải quyết vấn đề, học sinh chắc chắn phải so sánh hai giá trị M  a và m a . Bằng cách vẽ đồ thị của hai hàm số y  M a và y  m  a lên cùng một hệ trục tọa độ, kết quả sẽ chi tiết hơn như sau: Để tìm hoành độ điểm A, học sinh chỉ cần giải phương trình: 12
m  M a  m  a  M  a  2 Dựa vào đồ thị và kết quả ở hai trường hợp nêu trên, học sinh có thể đưa ra được kết quả sau đây:   m  M  a  m a     max f x   a  max M  a ; m  a      2 m  M . ;   a  M a     2    min M  a ; m  a a  ; M  m;  min f x   a       ;     0   a  M , m  a  M x  (; M )   min f x   a  0 x  M ; m     a  m x  m;   ;   Kết quả trên có thể minh họa bằng đồ thị như sau:  Học sinh thường nhầm lẫn khi tìm min  f (x )  a  là các đường vẽ nét đứt ở     ;  trên hình vẽ. Vì vậy khi vẽ phác họa đồ thị để tìm GTLN và GTNN, hai đoạn này nên được gạch đi hoặc vẽ nét đứt để tránh nhầm lẫn.  Khi minh họa kết quả max | f (x )  a |, min | f (x )  a | bằng đồ thị, học sinh sẽ  ;   ;      dễ dàng hơn trong việc tìm giá trị của tham số a trong các bài toán liên quan giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.  Học sinh cần giải thích được tại sao đường thẳng y  a  m, y  a  M lại song song với nhau, tương tự với y  a  m, y  a  M . Điều này rất quan trọng trong việc tăng tốc độ xử lí các bài toán đặc biệt là khi M , m có giá trị lớn. Khi đó, học sinh chỉ cần vẽ phác họa như sau để hình dung ra kết quả: 13
 Với việc không phải vẽ hệ trục tọa độ, học sinh sẽ dễ dàng hơn trong việc vẽ đồ thị, tăng được tốc độ xử lý các bài toán trong khi kết quả vẫn không hề thay đổi. Kỹ thuật này sẽ được áp dụng hầu hết ở các bài toán sau đây. 3.2.1. Tìm tham số a để GTLN của hàm số y | f (x )  a | trên đoạn ;   bằng   K. Bài toán 2.1: Cho hàm số y  f (x ) xác định và liên tục trên đoạn ;   . Tìm tham số   a để giá trị lớn nhất của hàm số y | f (x )  a | trên đoạn ;   bằng K.   Các bước thực hiện: Bước 1: Tính đạo hàm f '(x ) . Bước 2: Tìm các điểm x 1, x 2 ,... trên đoạn ,   , tại đó f '(x ) bằng 0 hoặc không xác   định. Bước 3: Tính giá trị f (), f ( ), f (x 1 ), f (x 2 ),... hoặc vẽ bảng biến thiên hàm số y  f (x ) trên đoạn ,   .   Bước 4: Tìm M  max f (x ) , m  min f (x ) . ;  ;      Bước 5: Vẽ phác họa đồ thị hai hàm số y  M a và y  m a lên cùng một hệ trục tọa độ. Vẽ đường thẳng y K từ đó tìm ra tham số a . Từ hình vẽ, học sinh có thể nhận thấy ngay: 14
M m - Nếu K thì sẽ có hai giá trị của tham số a thỏa mãn yêu cầu của bài toán. 2 a  M  K a  K  M Cụ thể    a  m  K a  K  m .   M m M  m - Nếu K  thì có duy nhất một giá trị a thỏa mãn. 2 2 M m - Nếu K thì không có giá trị a thỏa mãn yêu cầu. 2  Bằng cách thay hàm số f (x ) bởi các hàm số bậc hai, hàm số bậc ba, hàm số phân thức hữu tỷ bậc 1 trên bậc 1, hàm số lượng giác, hàm số vô tỷ, hàm số mũ, hàm số logarit … giáo viên và học sinh có thể sáng tạo được các bài toán tương tự hóa. Các bài toán này có thể được sáng tạo bằng cách thay đổi các cách hỏi khác nhau như: “Có bao nhiêu giá trị của tham số a …”, “Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a …”,“Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a  [10;10] …”, “Tổng của các giá trị tham số a …”. Sau đây là một số bài tập vận dụng: Bài 1. Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số y  x 2  4x  3  a trên đoạn 1; 4 bằng   5. Hướng dẫn giải: Đặt f (x )  x 2  4x  3  f (x )  2x  4, f (x )  0  x  2  1; 4 . f (1)  0, f (2)  1, f (4)  3  max   f (x )  3, min   f (x )  1 . 1;4 1;4 Phác họa đồ thị hàm số y  3  a , y  1  a : Tọa độ điểm A :a  3  a  1  a  1  A 1;2 . Vẽ đường thẳng y  5 . 15
Dựa vào đồ thị, giá trị lớn nhất của hàm số y  x 2  4x  3  a trên đoạn 1; 4  bằng 5   1  a  5 a  4   khi a  3  5  a  2 .   Bài 2. Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số y | x 3  3x 2  9x  a | trên đoạn 2; 4 bằng   8. Hướng dẫn giải: x  1  2; 4 Đặt f (x )  x 3  3x 2  9x  f (x )  3x 2  6x  9, f (x )  0     .   x  3  2; 4 f (2)  2, f (1)  5, f (3)  27, f (4)  20  max   f (x )  5, min f (x )  27 .   2;4 2;4 Phác họa đồ thị hàm số y  5  a , y  27  a : Để vẽ đường thẳng y8 thì học sinh cần tìm được tọa độ điểm A. Từ phương trình a  27  a  5  a  11  A 11;16 . Vẽ thêm đường thẳng y  8. Dựa vào đồ thị, ta thấy không có giá trị nào của tham số a thỏa mãn yêu cầu của đề ra. Bài 3. Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số a để giá trị lớn nhất của hàm số y x 4  4x 2  a trên đoạn 2; 3 bằng 30 . Tính tổng các giá trị của tập hợp S .   Hướng dẫn giải: x  0  2; 3 Đặt f (x )  x 4  4x 2  f (x )  4x 3  8x . f (x )  0     . x   2  2; 3  f (2)  0, f (0)  0, f ( 2)  4, f (3)  45  max   f (x )  45, min f (x )  4 .   2;3 2;3 16
Phác họa đồ thị hàm số y  a  45 , y  a  5 : Từ phương trình: a  5  a  45  a  20  A 20; 25 . Vẽ thêm đường thẳng y  30 : Dựa vào hình vẽ ta có, giá trị lớn nhất của hàm số y  x 4  4x 2  a trên đoạn 2; 3   a  5  30 a  25 a  15  S  25; 15 .   bằng 30 khi a  45  30    Tổng các phần tử của tập hợp S :  25  15   40 . Bài 4. Cho hàm số f x   x 2  2x . Có bao nhiêu giá trị a để giá trị lớn nhất của hàm số  f 1  sin x  a  bằng 5. Hướng dẫn giải: Đặt u  1  sin x  u  0; 2 . f (u )  u 2  2u  f (u )  2u  2. f (u )  0  u  1  0; 2 . f (0)  0, f (1)  1, f (2)  0  max f (u )  0, min f (u)  1 .     0;2 0;2 Phác họa đồ thị hai hàm số y  a ,y  a 1 : 17