Toàn tập số phức - Lương Văn Huy

Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404<br /> <br /> VẤN ĐỀ<br /> <br /> TOÀN TẬP SỐ PHỨC<br /> <br /> 3<br /> <br /> A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ<br /> 1. Khái niệm số phức<br />  Là biểu thức có dạng a  b.i ,trong đó a, b là những số thực và số i thoả i 2  1 .<br />  Kí hiệu là z  a  bi với a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo.<br />  Tập hợp các số phức kí hiệu là C = { a  b.i / a , b  R và i 2  1 }. Ta có R  C .<br />  Số phức có phần ảo bằng 0 là một số thực: z  a  0.  a    <br />  Số phức có phần thực bằng 0 là một số ảo (Gọi là thuần ảo) : z  0.a  b.i  b.i<br />  Đặc biệt i  0  1.i<br />  Số 0  0  0.i vừa là số thực vừa là số ảo.<br /> 2. Số phức bằng nhau.<br /> a  a '<br />  Cho hai số phức z  a  b và z ’  a ’  b’ . Ta có z  z '  <br /> b  b '<br />  Lưu ý : Không có khái niệm lớn hơn, nhỏ hơn giữa các số phức .<br /> 3. Biểu diễn hình học của số phức.<br />  Mỗi số phức z  a  bi được xác định bởi cặp số thực  a; b  .<br />  Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a; b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại (<br /> Hình minh họa)<br />  Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu<br /> diễn số 0, trục hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo.<br /> <br /> 4. Môđun của số phức:<br />  Số phức z  a  bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của<br /> <br /> véctơ OM được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu z = a + bi = a 2 + b 2<br />  Tính chất<br /> <br /> <br />  z  a2  b 2  zz  OM<br /> <br />  z  0, z   , z  0  z  0<br /> <br />  z. z '  z . z '<br /> <br /> <br /> <br /> z<br /> z<br /> <br /> , z'  0  z  z '  z  z '  z  z '<br /> z' z'<br /> <br />  kz  k . z , k  <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br />  Chú ý: z 2  a2  b2  2 abi  (a 2  b2 )2  4 a 2b 2  a2  b2  z  z  z.z .<br /> 1<br /> <br /> Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404<br /> 5. Số phức liên hợp:<br />  Cho số phức z  a  bi , số phức liên hợp của z là z  a  bi .<br /> <br /> z = a + bi  z = a - bi ; z  z , z = z<br /> Tính chất<br /> <br />  z1  z1<br />    ,  z2  0  ;<br />  z2  z2<br /> z là số ảo  z   z<br /> <br />  z  z ; z  z '  z  z ' ; z.z '  z.z ';<br />  z là số thực  z  z ;<br /> <br /> 2<br /> <br /> z.z  z  a 2  b 2<br /> <br /> * Chú ý ( z n )  ( z)n ; i  i; i  i<br /> <br /> <br /> <br /> z là số thực z  zz  z<br /> z là số ảo z   zz   z<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Môđun số phức z  a  bi , z  OM  a 2  b 2  z.z z  OM  a 2  b 2  z.z<br /> <br /> <br /> <br /> Chú ý:<br /> <br /> 2<br /> <br /> z  z z  z<br /> <br /> 2<br /> <br /> z  <br /> <br />  Hai điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục Ox trên mặt phẳng Oxy.<br /> 6. Cộng, trừ số phức:<br />  Số đối của số phức z  a  bi là  z  a  bi<br />  Cho z  a  bi và z '  a ' b ' i . Ta có z ± z' = (a ± a')+ (b ± b')i<br />  Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng số thực.<br /> 7. Phép nhân số phức:<br />  Cho hai số phức z  a  bi và z '  a ' b ' i . Nhân hai số phức như nhân hai đa thức rồi<br /> thay z  a  bi  0 và rút gọn, ta được: z.z' = a.a' - b.b' + (a.b' + a'.b)i<br />  k.z  k( a  bi )  ka  kbi . Đặc biệt 0.z  0, z  <br />  z.z  ( a  bi )( a – bi )  a 2  b2 hay z.z = a 2 + b 2 = z<br /> <br /> 2<br /> <br /> Đặc biệt<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br />   a  bi   a2  b 2  2abi   1  i   2i<br />   a  bi   a2  b 2  2abi   1  i   2i<br />  Phép nhân số phức có các tính chất như phép nhân số thực.<br /> 8. Phép chia số phức:<br />  w là số nghịch đảo của số phức z khi và chỉ khi z.w  1<br /> 1<br /> z<br /> 1<br /> a - bi<br /> = 2<br />  Số nghịch đảo của số phức z  a  bi  0 là z -1 = = 2 hay<br /> z z<br /> a + bi a + b 2<br />  Cho hai số phức z  a  bi  0 và z '  a ' b ' i thì<br /> <br /> z ' z '.z<br /> a' + b'i (a' + b'i)(a - bi)<br />  2 hay<br /> =<br /> z<br /> a + bi<br /> a 2 + b2<br /> z<br /> <br /> ( Nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của mẫu)<br /> Lũy thừa của đơn vị ảo: Cho k  <br />  i 4k = 1; i 4k+1 = i; i 4k+ 2 = -1; i 4k+ 3 = -i<br /> <br /> B. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC & PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI<br /> 2<br /> <br /> Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404<br /> I. LÝ THUYẾT<br /> 1. Căn bậc hai của số phức:<br /> Cho số phức w, mỗi số phức z  a  bi thoả z 2  w được gọi là căn bậc hai của w.<br />  w là số thực: w  a  <br />  a  0 : Căn bậc hai của 0 là 0<br />  a  0 : Có hai căn bậc hai đối nhau là<br /> <br /> a và – a<br /> <br />  a  0 : Có hai căn bậc hai đối nhau là<br /> <br /> a .i và –<br /> <br /> a .i<br /> <br />  w là số phức: w  a  bi  a , b   , b  0  và z  x  yi là 1 căn bậc hai của w khi<br /> <br />  x 2 - y 2 = a<br /> z  w  (x + yi) = a + bi  <br />  2xy = b<br />  Mỗi số phức đều có hai căn bậc hai đối nhau.<br />  Tổng quát ta có mỗi số phức đều có n căn bậc n<br /> 2. Phương trình bậc hai:<br /> a) Phương trình bậc hai với hệ số a, b, c là số thực: ax 2  bx  c  0 (a  0),<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> b  <br /> 2a<br /> b  |  |.i<br />   < 0: Phương trình có 2 nghiệm phức x1,2 <br /> 2a<br /> 2<br /> b) Phương trình bậc hai với hệ số phức: Ax  Bx  C  0 ( A  0),<br /> <br />   b 2  4 ac .<br /> <br />    0: Phương trình có 2 nghiệm thực x1,2 <br /> <br />   B 2  4 AC<br /> <br /> ,   a  bi<br /> B<br /> 2A<br /> B  <br />    0: Phương trình có 2 nghiệm x1,2 <br /> với  là 1 căn bậc hai của .<br /> 2A<br /> Tổng quát lên ta có : Mọi phương trình phức bậc n đề có n nghiệm.<br /> <br />   = 0: Phương trình có nghiệm kép x <br /> <br /> Lưu ý: Trong việc giải bài toán về số phức ta có thể kết hợp với máy tính Casio để phục vụ<br /> trong quá trình tính toán đơn giản hơn.<br /> Để sử dụng chức năng tính toán số phức trong máy tính ta ấn phím Mode 2 . Kí hiệu đơn<br /> vị ảo i ta bấm phím ENG<br /> Trong 2 hệ máy tính Casio và Vinacal thì dòng Casio thể hiện chức năng tính toán số phức<br /> tốt hơn.<br /> C – DẠNG LƯỢNG GIÁC SỐ PHỨC (Nên tham khảo)<br /> I. LÝ THUYẾT<br /> 1. Cho số phức z  0 . Gọi M là một điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z . Số<br /> đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu là Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen<br /> của z .<br /> Chú ý:<br /> - Nếu  là một acgumen của z , thì mọi acgumen đều có dạng:   2 k , k  <br /> - Acgumen của z  0 xác định sai khác k 2 , k  <br /> - Hai số phức z và kz (với z  0 và k là một số thực dương) có cùng acgumen<br /> 3<br /> <br /> Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404<br /> 2. Dạng lượng giác của số phức.<br /> Xét số phức z  a  bi<br /> <br />  a, b  R, z  0 <br /> <br /> Gọi r là môđun của z và  là một acgumen của z .<br /> Ta có: a  rcos , b  rsin<br /> z  r  cos   i sin   trong đó r  0 , được gọi là dạng lượng giác của số phức z  0 .<br /> z  a  bi<br /> <br />  a , b  R  gọi là dạng đại số của z .<br /> <br /> r  a 2  b 2 là môđun của z.<br /> <br /> <br /> a<br /> cos   r<br />  là một acgumen của z thỏa <br /> sin   b<br /> <br /> r<br /> <br /> Nhận<br /> z  a  bi<br /> <br /> xét:<br /> <br /> Để<br /> <br /> tìm<br /> <br /> dạng<br /> <br /> lượng<br /> <br /> giác<br /> <br /> r(cos  i.sin )<br /> <br /> của<br /> <br /> số<br /> <br /> phức<br /> <br />  a , b  R, z  0  cho trước, ta thực hiện theo các bước:<br /> <br /> Bước 1: Tìm r: đó là môdun của z , r  a2  b 2 ; số r đó cũng là khoảng cách từ gốc O đến<br /> điểm M biểu diễn số z trong mặt phẳng phức.<br /> Bước 2: Tìm : đó là acgumen của z , là số thực sao cho cos  <br /> <br /> a<br /> b<br /> và sin   ; số  đó<br /> r<br /> r<br /> <br /> cũng là số đo một góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM.<br /> Chúng ta tổng kết hai bước thực hiện trên bằng phép biến đổi:<br /> <br /> <br /> a<br /> b<br /> z  a2  b2 <br /> <br />  2 2<br /> a2  b2<br />  a b<br /> <br /> <br /> i   a2  b2  cos   i.sin   .<br /> <br /> <br /> <br /> Chú ý:<br /> 1 . z  1 khi và chỉ khi r(cos  i.sin ),    <br /> 2. Khi z  0 thì z  r  0 nhưng acgumen của z không xác định (đôi khi coi acgumen của 0 là<br /> số thực tùy ý và vẫn viết 0  0(cos  i.sin )<br /> Cần để ý điều kiện r  0 trong dạng lượng giác r(cos  i.sin ) của số phức z  0 .<br /> 3. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác.<br /> Nếu z  r  cos   i sin   , z '  r '  cos  ' i sin  '   r  0, r ’  0  thì:<br /> <br /> z.z '  r.r ' cos    '   i sin    '  <br /> z r<br />   cos    '   i sin    '  <br /> z' r ' <br /> Chú ý: Nếu các điểm M, M' biểu diễn theo thứ tự các số phức z , z ' khác 0 thì acgumen<br /> z<br /> là số đo góc lượng giác tia đầu OM', tia cuối OM.<br /> z'<br /> 4. Công thức Moivre.<br /> <br /> của<br /> <br /> n<br /> <br /> Với n  N * thì r  cos   i sin     r n  cos n  i sin n <br /> 4<br /> <br /> Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404<br /> n<br /> <br /> Khi r  1 thì cos   i sin    cos n  i sin n , n  N * .<br /> Ứng dụng vào lượng giác:<br /> Ta có: (cos   i.sin  ) 3  cos 3  i.sin 3<br /> Mặt khác, sử dụng khai triển lũy thừa bậc ba ta được:<br /> (cos   i.sin  )3  cos 3   3 cos 2  .(i.sin  )  3 cos  .(i.sin  ) 2  sin 3  .<br /> <br /> Từ đó, suy ra:<br /> cos 3  cos 3   3 cos  .sin 2   4 cos 3   3 cos <br /> <br /> sin 3  3cos 2  .sin   sin 3   3 sin   4 sin 3 <br /> 5. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác.<br /> Căn bậc hai của số phức z  r  cos   i sin   ,  r  0  là<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> r  cos  i sin  và<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  r  cos  i sin   r  cos      i sin     <br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> D.MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP<br /> I – KIẾN THỨC NỀN TẢNG.<br /> Dạng 1: Cấu tạo số phức.<br /> Cần nhớ : -Phần thực, phần ảo, điều kiện để 1 số phức là số thực, điều kiện để 1 số phức<br /> là số thuần ảo.Các kỹ năng biến đổi, thực hiện các phép toán trên tập phức.<br /> Cho số phức z  a  bi ,  a , b    thì:<br /> <br /> <br /> a là phần thực.<br /> <br /> <br /> <br /> b là phần ảo.<br /> <br /> <br /> <br /> z là số thực  b  0 hoặc z  z .<br /> <br /> <br /> <br /> z là số thuần ảo  a  0 hoặc z   z .<br /> <br /> <br /> <br /> i 2  1. i 4k = 1; i 4k+1 = i; i 4k+ 2 = -1; i 4k+ 3 = -i<br /> <br /> Ví dụ 1: (Đề Thi THPTQG năm 2017 Mã đề 110) Cho số phức z  1  i  i 3 . Tìm phần thực<br /> a và phần ảo b của z .<br /> <br /> A. a  1, b  2 .<br /> <br /> B. a  2, b  1 .<br /> <br /> C. a  1, b  0 .<br /> <br /> D. a  0, b  1 .<br /> <br /> Lời giải:<br /> Ta có z  1  i  i 3  1  i  i.i 2  1  i  i  1  2i .<br /> Vậy a  1, b  2 (đáp án A)<br /> Nhận xét : Ta có thể dùng máy tính để tính trực tiếp ra kết quả<br /> Nhấn Mode 2 nhập 1  i  i 3 nhấn  máy hiện kết quả 1  2i<br /> 5<br /> <br />