Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Bài 6 - TS. Nguyễn Mạnh Thế

Chia sẻ: Nguyễn Hoàng Minh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:25

Thêm vào BST

Báo xấu

35
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Bài 6: Ước lượng tham số" tìm hiểu về ước lượng điểm và ước lượng khoảng. Để nắm chi tiết hơn nội dung kiến thức, mời các bạn cùng tham khảo bài giảng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Bài 6 - TS. Nguyễn Mạnh Thế

BÀI 6 ƯỚC LƯỢNG Ợ THAM SỐ TS N TS. Nguyễn ễ MMạnh h Thế 1 v1.0012107210
TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG BÀI Tình huống Để ước lượng phế phẩm của một dây chuyền sản xuất mới mua lại, công ty Thiên An kiểm ể tra ngẫuẫ nhiên 100 sản phẩm ẩ do một nhà máy sản xuất thấy có 12 phế phẩm. Với độ tin cậy 95%, hãy ước ượ g tỷ lệ lượng ệ p phế ế p phẩm ẩ của nhà à máy áy đó đó. Nếu ếu muốn uố độ cchính xác ác là à 0.03 thì phải lấy tối thiểu bao nhiêu sản phẩm? Câu hỏi gợi mở Câu 1: Nhà sản xuất cần p phải xem chất lượng ợ g của dâyy chuyền y sản xuất. Vấn đề đặt ra là làm thế nào để nhà quản lý có thể ước lượng được tỷ lệ phế phẩm bình quân của dây chuyền? Câu 2: Khoảng ước lượng cho tỷ lệ phế phẩm của nhà máy là bao nhiêu nếu giám đốc muốn độ tin cậy cho ước lượng đó là 95%? Câu 3: Để khoảng g ước lượng ợ g có độ ộ chính xác cao ((cỡ 0.03)) thì cần phải tốn bao nhiêu tiền? Biết chi phí điều tra 01 mẫu mất 10.000 VNĐ. 2 v1.0012107210
TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG BÀI (tiếp theo) Kết luận Khoảng ước lượng hai phía của p là:  f(1  f) f(1  f)  pf  u / 2 ;f  u / 2   n n    Trong đó phân vị u / 2 tìm từ bảng phân phối chuẩn Nếu cho trước độ chính xác là 0 2  f(1  f)  Khi đó cỡ mẫu tối thiểu cần có là: n0   u    1   0  / 2   3 v1.0012107210
MỤC TIÊU • Ước Ư lượng điểm; ể • Ước lượng khoảng. khoảng Bài toán: Cho biến ngẫu nhiên X với tham số θ chưa biết, dựa vào thông tin mẫu (X1, X2, …, Xn) hãy ước lượng th tham số ố θ. θ 4 v1.0012107210
1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM Khái niệm: Thống kê  *  G(X , , X n ) dùng làm ước lượng cho tham số θ được ( 1 , X 2 ,..., gọi là ước lượng điểm cho θ. Với mẫu ẫ cụ thể (x ( 1 , x 2 ,..., x n ), giá iá trị t ị của ủ * là  *  G(x G( 1 , x 2 ,...x n ) có ó thể lấy tương ứng cho θ. Ví dụ: 1 n Thống kê X   Xi ước lượng n i1 điểm cho     E(X) ( ) Giá trị của ước lượng điểm là: x 5 v1.0012107210
PROPERTIES Allow user to leave interaction: Anytime Show ‘Next Slide’ Button: Don't show Completion Button Label: Next Slide
2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG Khái niệm: L;U L U   L(X1 , X 2 ,...X X n ); Xn )  ) U(X1 , X 2 ,...X được gọi là ước lượng khoảng (hai phía) cho tham số θ với độ tin cậy 1– α nếu P L(X1 ,X Xn )    U(X1 ,X X2 ,...,X Xn )  1   X2 ,...,X Chú ý: Độ tin cậy 1 - α thường lớn hơn 90% Khoảng ước lượng hai phía ; )  L(x   ((l;u) ( 1 , x 2 ,..., , , x n );U(x , , xn )  ); ( 1 , x 2 ,..., Khoảng ước lượng trái   (l;  )  L(x1 , x 2 ,..., x n );   Khoảng ước lượng phải   (;u)   ;U(x1 , x 2 ,..., x n )  Xác định cỡ mẫu 8 v1.0012107210
2.1. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN Cho biến ngẫu nhiên X ~ N(, 2 ) và mẫu ngẫu nhiên (X1 , X2,...Xn) có giá trị (x1, x2,...xn). Tham số  chưa biết. T ườ Trường hợ 2 đã biết: hợp biết X  X ~ N( , 2 / n)  n ~ N(0,1)  1  với độ tin cậy 1 - a ta tìm được điểm u / 2 sao cho  0 (u / 2 )   2 2 Ta được các khoảng:   • Ước lượng hai phía:   (x  u / 2 ; x  u / 2 ) n n  • Ước lượng trái:   (x  u ; ) n  • Ước lượng phải:   (; x  u ) n Trong đó:  0 (u )  1   9 Chú ý: Ngoài cách tra bảng, ta dùng lệnh trong Excel: normsinv(1-α/2). Tham khảo phần phụ lục. v1.0012107210
2.1. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN (tiếp theo) Ví dụ: Điều tra thu nhập (triệu/năm) hàng năm của 25 hộ gia đình trong vùng ta có bảng số liệu: Thu nhập 11 5 11,5 11 6 11,6 11 7 11,7 11 8 11,8 11 9 11,9 12 Số hộ 5 8 4 6 1 1 2. Hãy ước lượng giá 1 2 1. mứctrịthu tốinhập thiểutrung và giábình trị tối trong đa của vùngmức với độ thutin nhập cậy trung bình 95%, vùng trong và σ=0,2. với độ tin cậy 99% và σ=0,2. Giải: Giải: Gọi XX làlà thu Gọi thu nhập nhập của của một một hộ hộ gia gia đình đình trong trong vùng, vùng,X ~ N( : 0,22 ) TTa có Ta có: ó x  11,672 1    99%   0,01 tra bảng ta rút ra u  u0,01  2,33  0 (u / 2 )  1   0.975  u0,025  1, 96 0,2 Kh ả tin Khoảng ậ 2phải i cậy hải   (11,672 (11 672  2 33 )  (11,579; 2,33; (11 579 ) 0,2 0,225   (11,672  1, 96;11,672  1, 96)  (11,594; 11,75) 0,2 Khoảng ước lượng 25 trái   (;11,672 25  2,33)  (;11,765) 25 10 Chú ý: Hoặc dùng lệnh normsinv (1-0,01) v1.0012107210
2.1. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN (tiếp theo) Trường hợp  2 chưa biết X  Thố kê T  Thống ' T(n  1) n ~ T( S Ta tìm được phân vị t n/12 sao cho: s' s'   (x  t n/12 ; x  t n/12 ) n n t n/12 được tìm từ bảng phân phối student. s' • Ước lượng giá trị tối thiểu:   (x  t n1 ; ) n s' • Ước lượng giá trị tối đa:   (; x  t n1 ) n Chú ý: Ngoài cách tra bảng, ta dùng lệnh trong Excel: tinv(α,n-1). Tham khảo phần phụ lục. 12 v1.0012107210
2.1. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN (tiếp theo) Ví dụ: Điều tra thu nhập (triệu/năm) hàng năm của 25 hộ gia đình trong vùng ta có bảng số liệu: Thu nhập 11 5 11,5 11 6 11,6 11 7 11,7 11 8 11,8 11 9 11,9 12 Số hộ 5 8 4 6 1 1 Hãy ước lượng mức thu nhập trung bình trong vùng với độ tin cậy 95%, 95% biết rằng thu nhập là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Giải: Gọi X là thu nhập của một hộ gia đình trong vùng. T có: Ta ó X ~ N(;  2 ) x  11, 672, s'2  0,0188, s'  0,137 tra bảng ra rút ra t n/12  t 0,025 24  2,06 Vậy khoảng ước lượng cho thu nhập trung bình: Khoảng tin cậy phải   (1,625; ) Khoảng ợ g trái   (;;11,719) g ước lượng , )với t n1  t 0,05 24 0 05  1,71. Chú ý: Hoặc dùng lệnh tinv(0.05,24) 13 v1.0012107210
2.1. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN (tiếp theo) Xác định cỡ mẫu: Cho khoảng ước lượng     (x  u / 2 ; x  u / 2 ) n n • Nếu σ đã được biết trước: Nếu cho trước độ chính xác của ước lượng là 0 thì cỡ mẫu tối thiểu là     2 n0    u  / 2   ký hiệu [ ] là phần nguyên    0   • Nếu σ chưa được biết: Cỡ mẫu tối thiểu với độ chính xác của ước lượng là 0  s '  2  n0   t  / 2   n 1  0   15 v1.0012107210
2.2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN Cho biến ngẫu nhiên X : N(; 2 ) 2 (n  1)S '2 T có Ta ó thống thố kê x  2 có phân phối khi bình phương với n-1 bậc tự do  2 2 (n  1)S'2 2  P  x1 / 2,n 1  x  2  x  / 2,n 1   1       (n  1)S '2 2 (n  1)S '2  P 2   2  1  x  / 2,n1 x1 / 2,n1   (n  1)s '2 (n  1)s '2  • Ước lượng hai phía: 2   2 ; 2   x x1 / 2,n 1    / 2,n1  (n  1)s '2  • Ước lượng giá trị tối thiểu:    2 ;    2    ,n  1   (n  1)s '2  • Ước lượng giá trị tối đa: 2    0; 2   x1 ,nn 1   Chú ý: Ngoài cách tra bảng, ta dùng lệnh trong Excel: chiinv(p,n-1). Tham khảo phần phụ lục. 17 v1.0012107210
2.2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN (tiếp theo) Ví dụ: Kiểm tra ngẫu nhiên 20 bao gạo do một may đóng bao tự động đóng ta có phương sai hiệu chỉnh s '2  0,0153(kg)2. Hãy tìm ước lượng khoảng tối đa cho độộ chính í xác á của ủ trọng lượng các á bao gạo với ớ độ ộ tin cậy ậ 95%. Biết ế rằng trọng lượng các bao gạo do máy tự động đóng là biến ngẫu nhiên có phân p p phối chuẩn. Giải: Gọi X là trọng lượng một bao gạo X ~ N(; 2 ) Ta có: s '2  0,0153, 1    0, 95    0,05 Tra bảng phân phối khi bình phương ta có x 20,95,19  10,117 2  (20  1)s '2   19.0,0153     0;    0;   x 2   10,117   0,95,19   2  (0; 0,17) Chú ý: Hoặc dùng lệnh chiinv(0.95,19) 18 v1.0012107210
2.3. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO XÁC SUẤT Bài toán: Cho biến ngẫu nhiên A với xác suất p chưa biết Thực hiện n lần thử về biến cố A, m là số lần A xuất hiện. Xác định khoảng ước ợ g cho p với độ lượng ộ tin cậy ậy 1-α. m Ta có tần suất biến cố A: f  n Ta có thống kê U  f p n ~ N(0;1) f(1  f) Vậ tta có Vậy ó khoảng kh ả ước ướ lượng lượ hai h i phía hí của ủ p  f(1  f) f(1  f)  pf  u / 2 ; f  u / 2   n n    Tương tự ta có khoảng ước lượng một phía của p  f(1  f)  • Ước lượng giá trị tối thiểu: p   f  u ;    n     f(1  f)  • Ước lượng giá trị tối đa: p   ; f  u   n    19 v1.0012107210
2.3. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CHO XÁC SUẤT (tiếp theo) Víí dụ: Kiểm ể tra ngẫu ẫ nhiên ê 100 sảnả phẩm ẩ do một ộ nhà à máyá sản ả xuất ấ thấy ấ có 12 phế phẩm. Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng tỷ lệ phế phẩm của nhà máyy đó. Giải: Gọi p là tỷ lệ phế phẩm của nhà máy, máy ta có n=100; n 100; m=12; m 12; f = m/n = 12/100 = 0,12. 1    0.95   / 2  0,025 Tra bảng phân phối chuẩn ta có u0,025 0 025  1, 96 0,12.0,88 0,12.0,88 p  (0,12  1,96; 0,12  1,96) 100 100  p  (0,056; 0,184) Chú ý: Hoặc dùng lệnh normsinv(0.975) 20 v1.0012107210