Bài giảng Nhập môn Kinh tế lượng với các ứng dụng - Chương 8: Phương sai của sai số thay đổi

Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright<br /> Nieân khoùa 2003-2004<br /> <br /> Phöông phaùp phaân tích<br /> Baøi ñoïc<br /> <br /> Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng<br /> Chöông 8: Phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi<br /> <br /> CHÖÔNG 8<br /> <br /> Phöông Sai Cuûa Sai Soá Thay Ñoåi<br /> Trong vieäc tính toaùn caùc giaù trò öôùc löôïng bình phöông toái thieåu thoâng thöôøng (OLS) cuõng<br /> nhö caùc giaù trò öôùc löôïng thích hôïp cöïc ñaïi (MLE), chuùng ta ñaõ thieát laäp giaû thuyeát cho<br /> raèng caùc soá haïng sai soá ui coù phaân phoái gioáng nhau vôùi trò trung bình baèng khoâng vaø<br /> phöông sai σ2nhö nhau (Xem Giaû Thuyeát 3.5 cuûa Chöông 3 ñaõ phaùt bieåu raèng Var(ui|xt =<br /> σ2 cho taát caû caùc t). Giaû thuyeát phöông sai baèng nhau ñöôïc hieåu laø phöông sai cuûa sai soá<br /> khoâng ñoåi (coù nghóa laø phaân taùn nhö nhau). Phöông sai σ2laø moät ñaïi löôïng ño löôøng möùc<br /> ñoä phaân taùn cuûa caùc soá haïng sai soá t, xung quanh giaù trò trung bình zero. Moät caùch töông<br /> ñöông, ñoù laø moät ñaïi löôïng ño löôøng möùc ñoä phaân taùn cuûa giaù trò bieán phuï thuoäc quan saùt<br /> ñöôïc (Y) xung quanh ñöôøng hoài qui β1 + β2X2 +… +βkXk. Phöông sai cuûa sai soá khoâng ñoåi<br /> coù nghóa laø möùc ñoä phaân taùn nhö nhau cho taát caû caùc quan saùt.<br /> Tuy nhieân, trong nhieàu tröôøng hôïp thoâng thöôøng coù lieân quan ñeán nhöõng döõ lieäu<br /> cheùo, giaû thuyeát naøy coù theå sai. Ví duï, giaû söû nhö chuùng ta tieán haønh ñieàu tra moät maãu<br /> ngaãu nhieân caùc hoä gia ñình vaø thu ñöôïc thoâng tin veà toång chi phí tieâu duøng cuûa töøng hoä<br /> gia ñình vaø thu nhaäp cuûa hoï trong moät naêm cho tröôùc. Nhöõng hoä gia ñình vôùi möùc thu<br /> nhaäp thaáp khoâng coù nhieàu linh ñoäng trong chi tieâu. Phaàn lôùn thu nhaäp seõ taäp trung vaøo<br /> caùc nhu caàu caên baûn chaúng haïn nhö thöùc aên, choã ôû, quaàn aùo, vaø ñi laïi. Do vaäy, maãu hình<br /> chi tieâu giöõa nhöõng hoä gia ñình coù thu nhaäp thaáp nhö theá seõ khoâng khaùc nhau nhieàu laém.<br /> Maët khaùc, nhöõng gia ñình giaøu coù coù söï linh ñoäng raát lôùn trong chi tieâu. Moät vaøi gia ñình<br /> laø nhöõng ngöôøi tieâu duøng lôùn; nhöõng ngöôøi khaùc coù theå laø nhöõng ngöôøi tieát kieäm nhieàu vaø<br /> ñaàu tö nhieàu vaøo baát ñoäng saûn, thò tröôøng chöùng khoaùn, …. Ñieàu naøy haøm yù raèng tieâu duøng<br /> thöïc coù theå khaùc nhieàu so vôùi möùc thu nhaäp trung bình. Hay noùi caùch khaùc, raát coù khaû<br /> naêng nhöõng hoä gia ñình coù thu nhaäp cao coù möùc ñoä phaân taùn xung quanh giaù trò tieâu duøng<br /> trung bình lôùn hôn nhöõng hoä gia ñình coù thu nhaäp thaáp. Trong tröôøng hôïp nhö theá, bieåu<br /> ñoà phaân taùn giöõa tieâu duøng vaø thu nhaäp seõ chæ ra nhöõng ñieåm cuûa maãu gaàn vôùi ñöôøng hoài<br /> qui hôn cho nhöõng hoä gia ñình thu nhaäp thaáp nhöng nhöõng ñieåm phaân taùn roäng hôn cho<br /> nhöõng hoä gia ñình thu nhaäp cao (xem Hình 8.1). Hieän töôïng nhö vaäy ñöôïc goïi laø phöông<br /> sai cuûa sai soá thay ñoåi (coù nghóa laø phaân taùn khoâng nhö nhau). Hình 3.A.2 trong Phuï luïc<br /> Chöông 3 coù moät ñoà thò veà phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi trong toång theå.<br /> Ví duï thöù hai xeùt ñeán moät maãu ngaãu nhieân cuûa nhöõng thaønh phoá maø chuùng ta seõ lieân<br /> heä möùc ñoä toäi phaïm thöôøng gaëp cuûa nhöõng thaønh phoá ñoù vôùi soá löôïng nguoàn löïc saün coù<br /> cuûa töøng thaønh phoá trong vieäc choáng toäi phaïm. Chuùng ta coù theå kyø voïng raèng söï phaân taùn<br /> cuûa nhöõng ñieåm quan saùt ñöôïc coù theå phaân taùn roäng hôn ñoái vôùi nhöõng thaønh phoá lôùn hôn<br /> khi so saùnh vôùi nhöõng thaønh phoá nhoû hôn. ÔÛ ñaây moät laàn nöõa giaû thuyeát veà phöông sai<br /> cuûa sai soá khoâng ñoåi coù theå bò vi phaïm.<br /> Phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi cuõng xuaát hieän khi söû duïng döõ lieäu nhoùm thay vì söû<br /> duïng döõ lieäu caù nhaân. Ví duï, chuùng ta coù theå khoâng coù döõ lieäu cuûa töøng coâng ty nhöng<br /> Ramu Ramanathan<br /> <br /> 1<br /> <br /> Thuïc Ñoan/Haøo Thi<br /> <br /> Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright<br /> Nieân khoùa 2003-2004<br /> <br /> Phöông phaùp phaân tích<br /> Baøi ñoïc<br /> <br /> Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng<br /> Chöông 8: Phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi<br /> <br /> thay vaøo ñoù chuùng ta coù theå söû duïng döõ lieäu trung bình cuûa ngaønh. Trong tröôøng hôïp naøy,<br /> moâ hình coù theå laø Yt = α + β X t + ut , vôùi nhöõng thanh ngang bieåu thò giaù trò trung bình<br /> <br /> cho ngaønh coâng nghieäp thöù t. Phöông sai cuûa soá haïng sai soá giôø ñaây seõ laø Var( ut ) =<br /> <br /> σ2/nt, vôùi nt laø soá löôïng coâng ty trong ngaønh coâng nghieäp thöù t. Bôûi vì soá löôïng coâng ty coù<br /> <br /> theå khaùc nhau, neân phöông sai cuûa caùc soá haïng sai soá cuõng seõ khaùc nhau, do ñoù daãn ñeán<br /> hieän töôïng phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi.<br /> Hình 8.1 Moät Ví Duï Veà Phöông Sai Cuûa Sai Soá Thay Ñoåi<br /> Tieâu duøng<br /> <br /> Thu nhaäp<br /> <br /> Trong chöông naøy, chuùng ta nôùi loûng giaû thuyeát phöông sai cuûa sai soá coù giaù trò<br /> khoâng ñoåi vaø giaû thuyeát coù phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi. Chính thöùc hôn, chuùng ta hieäu<br /> chænh Giaû Thuyeát 3.5 nhö sau:<br /> GIAÛ THUYEÁT 3.5a<br /> <br /> ut laø moät bieán ngaãu nhieân vôùi E(ut|Xt) = 0 vaø Var(ut | Xt) = E( ut2 | Xt) = σ t2 , vôùi t = 1, 2, …,<br /> n.<br /> <br /> Do ñoù, moãi quan saùt coù moät phöông sai sai soá khaùc nhau. Taát caû caùc giaû thuyeát khaùc<br /> veà soá haïng nhieãu ngaãu nhieân vaãn ñöôïc giöõ laïi. Hình 3.A.2 minh hoïa moät bieåu dieãn ba<br /> chieàu veà phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi vaø Hình 3.A.1 cuõng minh hoïa bieåu dieãn ba chieàu<br /> veà phöông sai cuûa sai soá khoâng ñoåi.<br /> Ramu Ramanathan<br /> <br /> 2<br /> <br /> Thuïc Ñoan/Haøo Thi<br /> <br /> Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright<br /> Nieân khoùa 2003-2004<br /> <br /> Phöông phaùp phaân tích<br /> Baøi ñoïc<br /> <br /> Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng<br /> Chöông 8: Phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi<br /> <br /> Phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi cuõng coù theå xuaát hieän trong döõ lieäu chuoãi thôøi gian.<br /> Vaán ñeà naøy seõ ñöôïc thaûo luaän trong chöông keá tieáp.<br /> VÍ DUÏ 8.1<br /> DATA3-11 cho bieát möùc löông haøng naêm vaø soá naêm coù baèng tieán só cuûa 222 giaùo sö töø<br /> baûy tröôøng ñaïi hoïc. Chuùng ta thaáy raèng moâ hình loâgarít-wage laø moâ hình thích hôïp ñoái<br /> vôùi moâ hình tieàn coâng (wages) vaø tieàn löông (salaries). Ñoà thò trong Hình 8.2 bieåu dieãn<br /> loâgarít cuûa tieàn löông ñoái vôùi soá naêm nhaän ñöôïc baèng tieán só töông öùng. Chuùng ta löu yù<br /> ñoä roäng xung quanh quan heä ñöôøng thaúng trung bình laø khoâng ñoàng daïng, daãn ñeán vi<br /> phaïm giaû thuyeát thoâng thöôøng veà phöông sai cuûa sai soá khoâng ñoåi cuûa caùc soá haïng sai<br /> soá. Ñieàu ñaùng chuù yù ôû ñaây laø phöông sai xung quanh quan heä trung bình coù ñieàu kieän<br /> môùi ñaàu taêng khi soá naêm taêng nhöng sau ñoù giaûm daàn. Khoâng coù gì ngaïc nhieân caû, bôûi vì<br /> möùc löông hieän thôøi cuûa caùc tieán só khaù caïnh tranh treân thò tröôøng vieäc laøm vaø do vaäy<br /> chuùng ta khoâng theå mong ñôïi nhöõng cheânh leäch cao veà möùc löông. Tuy nhieân, möùc<br /> löông cuûa nhöõng giaùo sö trong bieân cheá coù theå khaùc nhau nhieàu phuï thuoäc vaøo naêng löïc<br /> vaø uy tín cuûa hoï. Sau moät soá naêm, möùc löông taêng theo chieàu höôùng oån ñònh vaø do ñoù<br /> phöông sai coù khaû naêng giaûm bôùt. Chuùng ta seõ ñi saâu vaøo ví duï naøy moät caùch chi tieát hôn<br /> trong Phaàn 8.2 veà vieäc kieåm ñònh phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi.<br /> Hình 8.2 Phöông Sai Cuûa Sai Soá Thay Ñoåi Trong Loâgarít-Salary<br /> Loâgarít cuûa tieàn löông<br /> <br /> Soá naêm coù baèng Tieán Só<br /> <br /> Giaû söû chuùng ta boû qua phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi vaø söû duïng thuû tuïc OLS ñeå<br /> öôùc löôïng caùc tham soá. Tính chaát cuûa chuùng laø gì? Chuùng coù bò thieân leäch, khoâng hieäu<br /> quaû hay khoâng nhaát quaùn khoâng? Nhöõng kieåm ñònh thoáng keâ coù tieáp tuïc coøn hieäu löïc hay<br /> khoâng? Coù moät thuû tuïc naøo ñoù maø coù löu yù moät caùch roõ raøng ñeán phöông sai cuûa sai soá<br /> Ramu Ramanathan<br /> <br /> 3<br /> <br /> Thuïc Ñoan/Haøo Thi<br /> <br /> Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright<br /> Nieân khoùa 2003-2004<br /> <br /> Phöông phaùp phaân tích<br /> Baøi ñoïc<br /> <br /> Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng<br /> Chöông 8: Phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi<br /> <br /> thay ñoåi vaø cho ra nhöõng giaù trò öôùc löôïng toát hôn? Nhöõng vaán ñeà naøy laàn löôït seõ ñöôïc ñeà<br /> caäp ngay sau ñaây.<br /> 8.1 Caùc Keát Quaû Cuûa Vieäc Boû Qua Phöông Sai Cuûa Sai Soá Thay Ñoåi<br /> Ñaàu tieân chuùng ta nghieân cöùu ñeán nhöõng quan heä cuûa vieäc söû duïng thuû tuïc OLS ñeå öôùc<br /> löôïng caùc heä soá hoài qui khi coù söï hieän dieän phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi. Moâ hình laø<br /> <br /> Yt = β1 + β2Xt2 + … + β kXtk + ut<br /> vôùi Var (ut|xt) = σ t2 vaø t = 1, 2, …, n. Thay ñoåi duy nhaát laø caùc phöông sai cuûa sai soá seõ<br /> khaùc nhau ñoái vôùi nhöõng giaù trò t khaùc nhau vaø nhöõng giaù trò naøy chöa bieát.<br /> Taùc Ñoäng Leân Tính Chaát Cuûa Caùc Öôùc Löôïng<br /> Nhöõng chöùng minh cuûa Tính Chaát 3.1 vaø 3.2 (phaùt bieåu raèng caùc öôùc löôïng OLS laø<br /> khoâng thieân leäch vaø nhaát quaùn) chæ phuï thuoäc vaøo Giaû Thuyeát 3.3 vaø 3.4 (maø ut coù giaù trò<br /> trung bình baèng khoâng vaø khoâng töông quan vôùi Xt) vaø khoâng phuï thuoäc vaøo Giaû Thuyeát<br /> 3.5 hay 3.5a. Do vaäy, caùc tính chaát cuûa söï khoâng thieân leäch vaø söï nhaát quaùn khoâng bò vi<br /> phaïm do vieäc boû qua hieän töôïng phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi vaø söû duïng OLS ñeå öôùc<br /> löôïng α vaø β. Tuy nhieân, trong khi chöùng minh ñònh lyù Gauss-Markov, chuùng ta ñaõ söû<br /> duïng giaû thuyeát cho raèng Var (ut|xt) = σ 2 nhaèm laøm cöïc tieåu phöông sai cuûa moät keát hôïp<br /> tuyeán tính giöõa caùc giaù trò Y. Bôûi vì giaû thuyeát ñoù khoâng coøn ñuùng nöõa, neân khoâng theå<br /> khaúng ñònh raèng öôùc löôïng OLS hieäu quaû hôn. Ñieàu naøy coù nghóa laø öôùc löôïng OLS hieän<br /> giôø laø khoâng hieäu quaû. Coù theå tìm moät öôùc löôïng tuyeán tính khoâng thieân leäch khaùc maø<br /> coù giaù trò phöông sai thaáp hôn öôùc löôïng OLS. Phaàn phuï luïc cuûa chöông naøy minh hoïa<br /> ñieàu naøy ñoái vôùi moâ hình hoài qui tuyeán tính ñôn.<br /> Taùc Ñoäng Leân Caùc Kieåm Ñònh Giaû Thuyeát<br /> Coù theå thaáy raèng (xem Phuï Luïc 8.A) caùc phöông sai vaø ñoàng phöông sai öôùc löôïng cuûa<br /> caùc öôùc löôïng OLS cho caùc giaù trò βi laø thieân leäch vaø khoâng nhaát quaùn khi phöông sai<br /> cuûa sai soá thay ñoåi hieän höõu nhöng bò boû qua (xem Kmenta, 1986, tr. 276–279). Do ñoù,<br /> caùc kieåm ñònh giaû thuyeát khoâng coøn giaù trò nöõa.<br /> Taùc Ñoäng Leân Vieäc Döï Baùo<br /> Chuùng ta vöøa chöùng toû raèng caùc öôùc löôïng OLS vaãn khoâng thieân leäch. Töø ñoù daãn ñeán<br /> caùc döï baùo döïa treân nhöõng giaù trò öôùc löôïng naøy cuõng seõ khoâng thieân leäch. Nhöng vì lyù<br /> do caùc öôùc löôïng laø khoâng hieäu quaû, neân caùc döï baùo cuõng seõ khoâng hieäu quaû. Noùi caùch<br /> <br /> Ramu Ramanathan<br /> <br /> 4<br /> <br /> Thuïc Ñoan/Haøo Thi<br /> <br /> Chöông trình Giaûng daïy Kinh teá Fulbright<br /> Nieân khoùa 2003-2004<br /> <br /> Phöông phaùp phaân tích<br /> Baøi ñoïc<br /> <br /> Nhaäp moân kinh teá löôïng vôùi caùc öùng duïng<br /> Chöông 8: Phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi<br /> <br /> khaùc, ñoä tin caäy cuûa nhöõng döï baùo naøy (ño löôøng baèng phöông sai cuûa chuùng) seõ keùm<br /> hôn moät öôùc löôïng thay theá khaùc coù hieäu quaû hôn.<br /> Keát quaû nhaän ñöôïc trong phaàn naøy ñöôïc toùm taét trong Tính Chaát 8.1.<br /> Tính Chaát 8.1<br /> <br /> Neáu ta boû qua phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi giöõa nhöõng soá haïng nhieãu ngaãu<br /> nhieân trong moät moâ hình hoài qui vaø söû duïng thuû tuïc OLS ñeå öôùc löôïng caùc tham<br /> soá, thì caùc tính chaát sau coù hieäu löïc:<br /> a. Caùc öôùc löôïng vaø döï baùo döïa treân caùc öôùc löôïng ñoù vaãn khoâng thieân leäch vaø<br /> nhaát quaùn<br /> b. Öôùc löôïng OLS khoâng coøn laø BLUE vaø seõ khoâng hieäu quaû. Caùc döï baùo cuõng<br /> seõ khoâng hieäu quaû<br /> c. Phöông sai vaø ñoàng phöông sai öôùc löôïng cuûa caùc heä soá hoài qui seõ thieân leäch<br /> vaø khoâng nhaát quaùn, vaø do ñoù caùc kieåm ñònh giaû thuyeát (töùc laø kieåm ñònh t vaø<br /> F) khoâng coøn hieäu löïc)<br /> <br /> 8.2 Kieåm Ñònh Phöông Sai Cuûa Sai Soá Thay Ñoåi<br /> Bôûi vì chuùng ta bieát raèng phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi laøm maát hieäu löïc cuûa caùc keát<br /> quaû kieåm ñònh, neân ta seõ mong muoán kieåm ñònh moät caùch chính thöùc vieäc phöông sai<br /> cuûa sai soá thay ñoåi coù hieän höõu hay khoâng. Trong phaàn naøy, chuùng ta giôùi thieäu caùc kieåm<br /> ñònh ñöôïc söû duïng phoå bieán nhaát ñoái vôùi phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi.<br /> Tuy nhieân, tröôùc khi ñi vaøo thöïc hieän baát kyø kieåm ñònh chính thöùc naøo, khaù laø höõu<br /> ích khi kieåm tra nhöõng phaàn dö cuûa moâ hình baèng caùi nhìn beà ngoaøi ñeå coù ñöôïc moät caûm<br /> giaùc töï tìm xem phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi coù hieän höõu hay khoâng. Thöïc hieän vieäc<br /> naøy baèng caùch bieåu dieãn treân ñoà thò bình phöông cuûa caùc phaàn dö coù ñöôïc töø vieäc aùp<br /> duïng OLS vaøo moâ hình ñang xem xeùt. Söû duïng bình phöông caùc phaàn dö OLS bôûi vì<br /> )<br /> trong moät moâ hình hoài qui, phaàn dö ut laø moät giaù trò öôùc löôïng khoâng thieân leäch cuûa soá<br /> haïng sai soá toång theå ut, ngay caû ñoái vôùi söï hieän dieän cuûa phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi.<br /> Do ñoù, moät giaù trò öôùc löôïng deã nhaän thaáy, maëc duø khoâng hoaøn haûo, cuûa phöông sai sai<br /> ˆ<br /> soá σ t2 = E( ut2 | xt) laø ut2 . Noùi caùch khaùc, caùc phaàn dö bình phöông coù theå ñöôïc söû duïng<br /> ñeå öôùc löôïng σ t2 . Tieáp ñeán chuùng ta theå hieän chuùng treân ñoà thò theo moät bieán maø bieán<br /> naøy ñöôïc nghi ngôø laø nguyeân nhaân gaây ra phöông sai cuûa sai soá thay ñoåi. Neáu moâ hình<br /> ˆ<br /> coù nhieàu bieán giaûi thích, ta coù theå veõ ut2 theo töøng bieán naøy hoaëc toát hôn laø veõ chuùng<br /> )<br /> theo Yt , laø giaù trò thích hôïp cuûa bieán phuï thuoäc söû duïng giaù trò öôùc löôïng OLS. Tuy<br /> nhieân, ta neân thaáy raèng kyõ thuaät ñoà thò naøy chæ coù tính gôïi yù veà phöông sai cuûa sai soá<br /> thay ñoåi vaø khoâng thay theá ñöôïc kieåm ñònh chính thöùc.<br /> VÍ DUÏ 8.2<br /> <br /> Ramu Ramanathan<br /> <br /> 5<br /> <br /> Thuïc Ñoan/Haøo Thi<br /> <br />