Bài giảng Toán cao cấp 2: Bài 1.2

Chia sẻ: Minh Minh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

Thêm vào BST

Báo xấu

145
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Bài 1.2: Chuỗi số dương trình bày về các định lí so sánh; quy tắc D’Alembert; quy tắc Cauchy; quy tắc tích phân;...Đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn đọc nghiên cứu và học tập lĩnh vực Toán học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 2: Bài 1.2

Bài 1.2: CHUỖI SỐ DƯƠNG
NỘI DUNG: 1.2.1. Các định lí so sánh 1.2.2. Quy tắc D’Alembert 1.2.3. Quy tắc Cauchy 1.2.4. Quy tắc tích phân
Định nghĩa:  Chuỗi số  u n được gọi là chuỗi số dương nếu n 1 un  0, n  1,  Ví dụ:  2  2  1 n n 1 n n 1  (n  1)!2 n n 1  n 1 n 1 Các chuỗiitrên có phữi là Các chuỗ trên là nhả ng chuỗchuỗdương không ? i số i số dương
Điều kiện đủ để chuỗi số dương hội tụ Nếu dãy số S n bị chặn trên , n  1,  tức là A  0  sao cho S n  A,  n thì chuỗi số dương  u n hội tụ. n 1 Nếu dãy số Sn không bị chặn trên, Sn ∞ khi n∞ thì chuỗi số phân kì
1.2.1 Các định lí so sánh a. Định lí 1.2: (Tiêu chuẩn so sánh 1)   Cho hai chuỗi số dương  u n và  vn n 1 n 1 trong đó u n  v n ,  n  1 Khi đó ta có:   - Nếu  v n hội tụ thì  u n hội tụ. n 1 n 1   - Nếu  u phân kì thì  v n phân kì n n 1 n 1
Ví dụ: Xét sự hội tụ của các chuỗi số dương sau   1 1 a) 3 n .3 n b)  3 n 1 n 1 n   1 n  1  n 1 c)  n d)  3 n n 1 2  1 n 1
b. Định lí 1.3: (Tiêu chuẩn so sánh 2)   un Cho 2 chuỗi số dương  u n và  vn . Giả sử n  K lim n 1 n 1 vn Khi đó ta có:   - Nếu 0 < K < +∞ thì  u và  v cùng hội tụ n 1 n n 1 n hoặc cùng phân kì   - Nếu K = 0 và nếu  v hội tụ thì  u hội tụ. n 1 n n n 1   - Nếu K = +∞ và nếu v n 1 n phân kì thì  u n phân kì. n 1
Ví dụ: Xét sự hội tụ hay phân kì của chuỗi số.   1 1 a)  n b)  3 n 1 2  1 n 1 n    1  c)  ln1   d)  sin 2n n 1  n n 1
Chú thích  Cho chuỗi số dương  un , trong đó un n 1  0 khi n  ∞. Nếu tồn tại 1 VCB vn  tương đương với VCB un thì  un hội n 1  tụ (phân kì) nếu  vn hội tụ (phân kì) n 1
1.2.2 Quy tắc D’Alembert  un1 Cho chuỗi số dương  u n . Giả sử lim l n 1 n un Khi đó:  * Nếu l < 1 thì u n 1 n hội tụ  * Nếu l > 1 thì  un phân kì (l có thể = +∞) n 1
Ví dụ Xét sự hội tụ hay phân kì của chuỗi số   n 2n  1 3 a ) n b)  3 n 1 3 n 1 n  n!  (n!) c) n d ) n (  R) n 1 n n 1 n
1.2.3 Quy tắc Cauchy  Cho chuỗi số dương  u n . Giả sử n n un  l lim n 1  Khi đó: * Nếu l < 1 thì  u hội tụ n n 1  * Nếu l > 1 thì  u n phân kì. n 1 Ví dụ Xét sự hội tụ hay phân kì của chuỗi số: n   n2  2n  1  2  5n  1  a)    b)    n1  3n  5  n 1  2 n  3 
1.2.4 Quy tắc tích phân Nếu hàm f(x) liên tục, dương, giảm trong [a, +∞) với a ≥ 1, f(x)  0 khi x  +∞ và chuỗi số dương  u n 1 n có u n  f (n), n  1, Khi đó:   - Nếu  f ( x) dx hội tụ thì chuỗi số  u n hội tụ 1 n 1   - Nếu  f ( x) dx phân kì thì chuỗi số  u n phân kì 1 n 1
Ví dụ: Xét sự hội tụ hay phân kì của chuỗi số:  1  1 a)  b)  2 n n2 n (lnn) n 1
Chú ý Một số chuỗi số đặc biệt thường dùng để so sánh khi xét sự hội tụ hay phân kì của chuỗi số  1  Hội tụ khi   1 1)   n 1 n  Phân kì khi   1  n  Hội tụ khi q  1  2)  q  n 1  Phân kì khi q  1 