Bài giảng Toán tài chính - Chương 5b: Quy hoạch tuyến tính hai biến

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:78

Thêm vào BST

Báo xấu

64
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán tài chính - Chương 5b: Quy hoạch tuyến tính hai biến" cung cấp cho người học các kiến thức: Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát, dạng ma trận của bài toán quy hoạch tuyến tính, bài toán dạng chuẩn tắc,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán tài chính - Chương 5b: Quy hoạch tuyến tính hai biến

QUY HOẠCH CHƯƠNG TUYẾN TÍNH HAI BIẾN + … 5B
VÍ DỤ 1 Một xí nghiệp cần sản xuất 3 loại bánh: bánh đậu xanh, bánh thập cẩm và bánh dẻo. Lượng nguyên liệu đường, đậu cho một bánh mỗi loại, lượng dự trữ nguyên liệu, tiền lãi cho một bánh mỗi loại được cho trong bảng sau: Hãy lập mô hình bài toán tìm số lượng mỗi loại bánh cần sản xuất sao cho không bị động về nguyên liệu mà lãi đạt được cao nhất.
VÍ DỤ 1 Gọi x1,x2,x3 lần lượt là số bánh đậu xanh, bánh thập cẩm, bánh dẻo cần phải sản xuất. Điều kiện: xj ≥ 0 = 1,2,3 Tiền lãi thu được (ngàn đồng) f  x   f  x1 , x2 , x3   3 x1  2 x2  2,5 x3 Lượng đường sử dụng và điều kiện: 0,04 x1  0,06 x2  0,05 x3  500 Lượng đậu sử dụng và điều kiện: 0,07 x1  0,02 x3  300
VÍ DỤ 1 Vậy ta có mô hình bài toán: f  x   f  x1 , x2 , x3   3 x1  2 x2  2,5 x3  max 0,04 x1  0,06 x2  0,05 x3  500  0,07 x1  0,02 x3  300  x  0 j  1, 2,3  j   Đây là bài toán quy hoạch tuyến tính 3 biến, tìm giá trị lớn nhất của hàm mục tiêu.
VÍ DỤ 2 Giả sử yêu cầu tối thiểu mỗi ngày về các chất dinh dưỡng đạm, đường, khoáng cho một loại gia súc tương ứng là 90g, 130g, 10g. Cho biết hàm lượng các chất dinh dưỡng trên có trong 1g thức ăn A, B, C và giá mua 1kg thức ăn mỗi loại được cho trong bảng sau: Hãy lập mô hình toán học của bài toán xác định khối lượng thức ăn mỗi loại phải mua để tổng số tiền chi cho mua thức ăn ít nhất nhưng đáp ứng được nhu cầu dinh dưỡng mỗi ngày.
VÍ DỤ 3 Một cơ sở sản xuất đồ gỗ dự định sản xuất ba loại sản phẩm là bàn, ghế và tủ. Định mức sử dụng lao động, chi phí sản xuất và giá bán mỗi sản phẩm mỗi loại ước tính trong bảng sau: Hãy lập mô hình toán học của bài toán xác định số sản phẩm mỗi loại cần phải sản xuất sao cho không bị động trong sản xuất và tổng doanh thu đạt được cao nhất, biết rằng cơ sở có số lao động tương đương với 500 ngày công, số tiền dành cho chi phí sản xuất là 40 triệu đồng và số bàn, ghế phải theo tỉ lệ 1/6.
VÍ DỤ 4 Một trại cưa các khúc gỗ thành các tấm ván. Có hai loại ván: ván thành phẩm và ván sử dụng trong xây dựng. Giả sử, đối với: Ván thành phẩm cần 2 giờ để cưa và 5 giờ để bào 10m ván Ván xây dựng cần 3 giờ để cưa và 3 giờ để bào 10m ván Máy cưa làm việc tối đa 8 giờ trong ngày và máy bào làm việc tối đa 15 giờ trong ngày. Nếu lợi nhuận của 10m ván thành phẩm là 120 (ngàn đồng) và lợi nhuận của 10m ván xây dựng là 100 (ngàn đồng). Trong ngày, trại cưa phải cưa bao nhiêu ván mỗi loại để lợi nhuận lớn nhất.
BÀI TOÁN QHTT TỔNG QUÁT 1 f  x   c1 x1  c2 x2  ...  cn xn  min (max)    2  ai1 x1  ai 2 x2  ...  ain xn   bi  i  1, 2,.., m      0   3 x j  0  j  1, 2,..., n tuy y  (1) Hàm f(x) gọi là hàm mục tiêu (2) là hệ ràng buộc chính (3) là hệ ràng buộc dấu (2) Và (3) gọi chung là hệ ràng buộc của bài toán
DẠNG MA TRẬN CỦA BÀI TOÁN QHTT Xét bài toán QHTT dạng: f  x   c1 x1  c2 x2  ...  cn xn  min (max) a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1  a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn  b2  .......................................... am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm xj  0
DẠNG MA TRẬN CỦA BÀI TOÁN QHTT Đặt:  a11 a12 ... a1n   b1   x1   c1          a a ... a b2  x2  c2  A   21 22 2n  b  x  c   ....................   ...   ...   ...           am1 am 2 ... amn   bm   xn   cn  Ta có dạng ma trận của bài toán QHTT: f  cT x  min  max   Ax  b  x  0
BÀI TOÁN DẠNG CHÍNH TẮC: n f  x    cj x j  min (max) • Các ràng buộc j 1 chính đều là n phương trình  aij x j  bi (i  1,m) • Các ẩn đều  j1 không âm x  0 (j  1,n)  j Mọi bài toán quy hoạch tuyến tính đều có thể quy về bài toán dạng chính tắc tương đương theo nghĩa trị tối ưu của hàm mục tiêu trong hai bài toán là trùng nhau và từ phương án tối ưu của bài toán này suy ra phương án tối ưu của bài toán kia
BÀI TOÁN DẠNG CHUẨN TẮC n • Các hệ số tự do bi f  x    cj x j  min (max) j 1 không âm (bi ≥ 0) • Trong ma trận hệ số  n  aij x j  bi (i  1,m) có đủ m vecto cột  j 1 đơn vị: e1, e2,…,em x  0 (j  1,n)  j 1  0  0  0  1  0  e1    e2    em     ...   ...   ...        0  0  1 
VÍ DỤ 5 Bài toán sau có dạng chính tắc: 260 x1  120 x2  600 x3  max 2 x1  x2  3 x3  500  100 x1  40 x2  250 x3  40000  6 x1  x2  x1 , x2 , x3  0
VÍ DỤ 6 Xét bài toán QHTT sau: f  x   2 x1  4 x2  x3  6 x4  max  x1  x4  x5  12 12 x  x  x  3  1 3 6 x  x  x  x  6  1 2 3 4  x j  0  j  1, 2,...,6   Bài toán trên có dạng chính tắc hay chuẩn tắc
VÍ DỤ 6 Ma trận hệ số tự do: • Ma trận hệ số A: 12   1 0 0 1 1 0     b  3  A  12 0 1 0 0 1  6   1 1 1 1 0 0      e3 e1 e2 • Ẩn cơ bản thứ nhất là x5. • Ẩn cơ bản thứ 2 là x6. • Ẩn cơ bản thứ 3 là x2.
CÁC LOẠI PHƯƠNG ÁN Định nghĩa. Vec tơ ∈ thỏa tất cả các ràng buộc của bài toán quy hoạch tuyến tính được gọi là phương án chấp nhận được. Định nghĩa. Phương án chấp nhận được làm cho hàm mục tiêu có giá trị lớn nhất (nếu là bài toán max) hay nhỏ nhất (nếu là bài toán min) thì được gọi là phương án tối ưu (PATU).
VÍ DỤ 7 Cho bài toán QHTT: f  x   120 x1  100 x2  max 2 x1  3x2  8  5 x1  3x2  15  x  0, x  0  1 2 Trong các phương án sau phương án nào là phương án chấp nhận được. 1   2 1   2 u1    u2    u3    u4     2  2  3 1 
PHƯƠNG ÁN CƠ BẢN Trong bài toán chính tắc. Xét phương án  x  x1 , x2 ,..., xn   Hệ vectơ liên kết với phương án A  A j | x j  0  Trong đó Aj là vec tơ cột thứ j trong ma trận hệ số Amn Định nghĩa. Phương án cơ bản nếu hệ vecto liên kết với phương án độc lập tuyến tính Ẩn xj gọi là cơ bản nếu >0
PACB TRONG BÀI TOÁN CHUẨN TẮC Cho ẩn cơ bản thứ k bằng hệ số tự do thứ k, còn các ẩn không cơ bản bằng 0, nghĩa là: x1  0; x2  6; x3  0; x4  0; x5  12; x6  3 Ta được một phương án cơ bản x = (0,6,0,0,12,3) . Phương án này không suy biến vì có đủ 3 thành phần dương. Đây là phương án cơ bản ban đầu của bài toán. Tổng quát, trong bài toán QHTT dạng chuẩn bất kì, khi cho ẩn cơ bản thứ k bằng hệ số tự do thứ k ( k = 1,2,…,m ), còn các ẩn không cơ bản bằng 0, ta được phương án cơ bản ban đầu của bài toán. Nếu sắp xếp lại ta có dạng sau. 0 x   b1 , b2 ,..., bm ,0,0,...,0 
ĐƯA BÀI TOÁN VỀ DẠNG CHÍNH TẮC Bước 1. Kiểm tra ràng buộc chính • Ràng buộc dạng nhỏ hơn: • ai1 x1  ai 2 x2  ...  ain xn  bi • Ta cộng thêm ẩn phụ: ai1 x1  ai 2 x2  ...  ain xn  xn k  bi • Ràng buộc dạng lớn hơn: ai1 x1  ai 2 x2  ...  ain xn  bi • Ta trừ đi ẩn phụ: ai1 x1  ai 2 x2  ...  ain xn  xn  k  bi