Bài tập ma trận đại số tuyến tính A2 - ĐH Công nghiệp Tp.HCM

Chia sẻ: Lê Yến | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:21

Thêm vào BST

Báo xấu

411
lượt xem 59
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Toán cao cấp là môn học Đại cương của khối kinh tế, các ngàng kỹ thuật. Môn này là 1 môn toán học, ứng dụng các phương pháp toán học trong phân tích kinh tế để sinh viên tiếp cận với phương pháp mô hình trong Kinh tế học thực...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập ma trận đại số tuyến tính A2 - ĐH Công nghiệp Tp.HCM

ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BÀI TẬP THƯỜNG KỲ MÔN TOÁN CAO CẤP A2 – C2 ĐẠI HỌC (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH) GVHD: ThS. Đoàn Vương Nguyên Lớp học phần:………………………..Khoa: KHCB Học kỳ:………Năm học: 2011 – 2012 Danh sách nhóm: (ghi theo thứ tự ABC) 1. Nguyễn Văn A 2. Lê Thị B ……….. HƯỚNG DẪN TRÌNH BÀY 1) Trang bìa như trên (đánh máy, không cần in màu, không cần lời nói đầu). 2) Trong phần làm bài tập, chép đề câu nào xong thì giải rõ ràng ngay câu đó. 3) Trang cuối cùng là Tài liệu tham khảo: 1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp A2 – ĐH Công nghiệp TP. HCM. 2. Đỗ Công Khanh – Toán cao cấp A2 – NXB ĐHQG TP. HCM. 3. Nguyễn Đình Trí – Toán cao cấp A2 – NXB Giáo dục. 4. Nguyễn Viết Đông – Toán cao cấp A2 – NXB Giáo dục. 5. Lê Sĩ Đồng – Toán cao cấp Đại số Tuyến tính – NXB Giáo dục. 6. Hoàng Xuân Sính – Bài tập Toán cao cấp Đại số Tuyến tính – NXB Giáo dục. 7. Bùi Xuân Hải – Đại số tuyến tính – ĐH KHTN TP. HCM. Chú ý • Phần làm bài bắt buộc phải viết tay (không chấp nhận đánh máy) trên 01 hoặc 02 mặt giấy A4 và đóng thành tập cùng với trang bìa. • Thời hạn nộp bài: Tiết học cuối cùng (sinh viên phải tự đọc trước bài học cuối để làm bài!). • Nếu nộp trễ hoặc ghi sót tên của thành viên trong nhóm sẽ không được giải quyết và bị cấm thi. • Mỗi nhóm chỉ từ 01 đến tối đa là 07 sinh viên. Sinh viên tự chọn nhóm và nhóm tự chọn bài tập. • Phần làm bài tập, sinh viên phải giải bằng hình thức tự luận rõ ràng. * Sinh viên làm đúng yêu cầu mà chỉ chọn toàn câu hỏi dễ thì điểm tối đa của nhóm là 8 điểm. • Cách chọn bài tập như sau 1) Nhóm chỉ có 1 sinh viên thì chọn làm 40 câu hỏi nhỏ (các câu hỏi nhỏ phải nằm trong các câu hỏi khác nhau) gồm: Chương 1: chọn 12 câu hỏi nhỏ trong 16 câu hỏi; Chương 2: chọn 4 câu hỏi nhỏ trong 4 câu hỏi; Chương 3: chọn 8 câu hỏi nhỏ trong 10 câu hỏi; Chương 4: chọn 10 câu hỏi nhỏ trong 11 câu hỏi; Chương 5: Nhóm A-2 chọn 4 câu hỏi nhỏ trong 7 câu của phần I và 2 câu hỏi nhỏ trong 2 câu của phần II. Nhóm C-2 chọn 6 câu hỏi nhỏ trong 7 câu của phần I. 2) Nhóm có từ 2 đến tối đa 7 sinh viên thì làm như nhóm có 1 sinh viên, đồng thời mỗi sinh viên tăng thêm phải chọn làm thêm 20 câu hỏi nhỏ khác (nằm trong các câu hỏi khác nhau). ……………………………………………………… Trang 1
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 ĐỀ BÀI TẬP CHƯƠNG I. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC Câu 1. Thực hiện các phép tính về ma trận sau    4 1 1 0 2  1 4  1 1 0 2 1       2 1       2 1 2 −3   1 2 4    1     1)  2)   0 1 1 0   0 1 1 0   ;      3 2 ;   3 0 4    −3 0 1    2    1 0 2 1 3          1 0 2 1          4 3       4   3           4 1 1 0 2   1 4   1      0 2   1 2 −3 1 1     1 2 −3     −2 1    0 −1 1 0 −2 1 ;   4)      ;     −3 0 4  0 −1 −1 0   3)         3 2   3 −2  0 3 4          1      1 0 2 1  0 2 1            4 3 4 3       −1 1 0  1 2 3 1 −1 0  1      1 − 1 0  1     2 3 1 −1 0   1                      5)  0 1 −1 3 2 1 0 1 −1  0  ; 6) 0 1 1  3 2 1 1 −1 −1  0  ;                       1 0 −1 2 1 3 1 1 −1 −1    1 −1 −1 2       1 3 0 1 −1 −1                     T T  1 −3     2 0−3 2 1 1 2 3     1 −3 −1 0 2 1 −2             7) −2 2       8)  1 5  1 −3 0 3 2 1 .  2 −1  0 −3 1 −1 0  ;                  0 1 2 1      3              Câu 2. Thực hiện các phép tính về ma trận sau 6 5 n n 1 1 2 1  3  x 1 2       ; ; 1)  2)    0 1 ; 1 3 ; 3)  4)      −4 −2 0 x                0  1 0 0 3 4  1 − 1 0   1 0 0       0   0 1 0       5) 0 1 6) 0 1 1 ;  1;  , tính AT A và AAT ;   7) Cho A =         0 0 0 1   1 0 −1 1 0 0                 0 0 0 0     0  1 0 0     0 0 1 0  2011  2011   , hãy tính: b) (A + I 4 ) ∑2 A n n 8*) Cho A =  a) ; .  0 0 0 1     n =0   0 0 0 0     Câu 3. Thực hiện các phép tính về ma trận sau 0 0   0 0  1) Cho A =  2) Cho A =  2011 2011  , tính (A − I ) ;  , tính (I − A) ;     1 0 −1 0  2 2        1 1 1   1 1 1 0  2 −1     11 1 1 , tính A4 ; 4*) Cho A =      , tính A2011 ;    3) Cho A = I 3 −       3  1 2 0 −1 −1 1   1 1 1           Trang 2
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 0  1 0     5) Cho A = 0 1 , tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để An là ma trận không;  0      0 0 0     0  0 1     6) Cho A = 0 0 , tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để An là ma trận không;  0      0 0 0     0 1 1 0      0 0 1 0     , tìm số nguyên dương n lớn nhất để An khác ma trận không. 7) Cho A =   0 0 0 0        0 0 0 0    Câu 4. Tìm phần tử aij của ma trận A2 , với A = (aij )n sau 1) Cho A = (aij )2011 , trong đó phần tử ở cột thứ j là (−1)i + j . Tìm phần tử a 32 của A2 ; 2) Cho A = (aij )2011 , trong đó phần tử ở dòng thứ i là (−1)i + j . Tìm phần tử a 32 của A2 ; 3) Cho A = (aij )2011 , trong đó phần tử ở dòng thứ i là (−1)i .i . Tìm phần tử a 32 của A2 ; 4) Cho A = (aij )2011 , trong đó phần tử ở cột thứ j là (−1)j .j . Tìm phần tử a 32 của A2 ; 5*) Cho A = (aij )2011 , trong đó phần tử ở cột thứ j là j 2 . Tìm phần tử a 32 của A2 ; 6*) Cho A = (aij )2011 , trong đó phần tử ở dòng thứ i là i 2 . Tìm phần tử a 32 của A2 ; 7*) Cho A = (aij )2011 , trong đó phần tử ở dòng thứ i là 2i −1 . Tìm phần tử a 32 của A2 ; 8*) Cho A = (aij )2011 , trong đó phần tử ở cột thứ j là 2 j −1 . Tìm phần tử a 32 của A2 ; i −1 9*) Cho A = (aij )2011 , trong đó phần tử ở dòng thứ i là C 2011 . Tìm phần tử a 32 của A2 ; j −1 10*) Cho A = (aij )2011 , trong đó phần tử ở cột thứ j là C 2011 . Tìm phần tử a 32 của A2 . n(n + 1)(2n + 1) Chú ý: 1) 12 + 22 + 32 + ... + n 2 = , n ∈ ℕ* ; 6 1 − qn 2) a + aq + aq 2 + ... + aq n = a. , n ∈ ℕ* & q ≠ 1 ; 1−q n! 3) (1 + 1)n = C n + C n + C n + ... + C n , n ∈ ℕ* & C n = 0 1 2 n k . k !(n − k )! Câu 5. Tìm hạng của các ma trận A sau 1 2 3 4 5   1  1 2 3 4 5   35 7 9          2 4 6 8 11  5 10 15 20 35 2  4 6 9 10         2) A =  3) A =  ; ;  1) A =     3 7 9 12 14  ;   3 6 9 12 14 3 5 7 9 11                   4 8 12 16 20 6 8 10 12 4 8 13 16 20 4             1  1  2 3 3 1 5  1 −1 1 3 3 2 5             −1 −2 1 −1 −3 2  4 4 6 2 10 −1 3 2        4) A =   ; 5) A =  6) A =  ;      8 6 12 4 20 ;   2 3 3 −5 4 −1  0 1 2                   7 17 4 21  10 8 15 5 26 4 1 0 2 4             Trang 3
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 1 3 8 4   4 1 5  2 −1 1 −2 1    3 4      2 −1 1 2         3 1 0 2 −1  1 5 −2   1 4          3 2 5 10  ; ;  7) A =  8) A =  9) A =   7 −1 2 −2 1  ;    5 4 5 9   1       3 − 5 − 2 − 4               2 − 5 7 13 1 2 2 −1  2 −3 1 17 18 36              2 −1 1 −2 1  1 2 − 1 1 2   3 −1 1 −2 1                 3 1 0 2 −1 3 2 4 1 0 2 −1 1 0 −2              10) A =  11) A =  12) A =   9 −2 3 −4 2  ; 4 8 − 1 2 2  ;  9 −1 2 −2 1  .                         15 0 3 0 7 15 −9 8 18  15 1 2 2 −1 2          Câu 6. Biện luận hạng của các ma trận sau theo tham số m : 1 2 1 2 1 1 m m           2 3m − 1 2 3m − 1  m +4 2 m +4 2        1) A =  2) A =  4 5m − 1 m + 4 2m + 7 ; 4 5m − 1 m + 4 2m + 7 ;                   2 2m 2 4 2 2m 2 m +4     3 1 1 2 0 1 m m          2 3m − 1 m + 2 m + 3  6   2m 2   m    ;  3) A =  4) A =  4 5m − 1 m + 4 2m + 7 ;  9   3m 0 m + 2              15 5m + 1 0 2 7 2m 2 4       1 2 1 − 1 3 4 1 m          8 −4 16 2m + 5 2 3m − 1   2 m +4      ; ; 5) A =  6) A =  4 5m − 1 m + 4 2m + 7    3 −2 7 m               4 5 − 2 9 4m 4 8 m       1 2 1 1 1 2 3 4          5 8 11 m + 15 2 5 4   5      ; ; 7) A =  8) A =    1 3 4 m + 4  2 3 4 5               4 10 9 m + 10 3 5 7 10 + m        1 2 3 4 5  m 2 1 0 1 1         2m 5 3 1 2 3   4 6 8 9 10        ;  9) A =  10) A = 3m 7 4 1 3 4  ;  5 8 11 13 16                 10 16 22 26 m  5m 12 7 2 5 m        1 2 3 4 5  2 1 3 4 2 8          4 6 8 9 10 1 0 1 1 0 0          ;  11) A =  12) A = 3 4 2 4 1 −1 ;   5 8 11 13 16              10 16 22 26 m   5 5 5 8 3 m         −1 2 1 −1 1   1 2 1 0 m 1          2 5 3 1 2m 3   m −1 1 −1 −1        ;  13) A =  14) A = 3 7 4 1 3m 4  .  1 m 0 1   1              1 5 12 7 2 5m m  2 2 −1 1        Trang 4
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 Câu 7. Tính các định thức sau 10120 2 1111 15120 01111 22270 1 2111 22272 10111 1) A = 0 7 3 4 1 và B = 1 1 2 1 1 ; 2) A = 1 5 1 4 1 và B = 1 1 0 1 1 ; 37441 1 1121 31213 11101 51135 11112 51125 11110 11003 31111 13120 41111 22275 13111 22272 14111 3) A = 1 7 3 4 1 và B = 1 1 3 1 1 ; 4) A = 0 7 3 3 1 và B = 1 1 4 1 1 ; 32340 11131 01223 11141 51135 11113 51305 11114 11003 51111 13120 61111 12273 15111 22273 16111 5) A = 1 7 3 4 3 và B = 1 1 5 1 1 ; 6) A = 2 7 3 0 3 và B = 1 1 6 1 1 ; 32212 11151 21213 11161 51135 11115 51305 11116 11223 11117 12345 11118 22275 11171 22272 11181 7) A = 1 7 3 4 1 và B = 1 1 7 1 1 ; 8) A = 0 7 3 0 1 và B = 1 1 8 1 1 . 11220 17111 01213 18111 21135 71111 12305 81111 Câu 8*. Không tính định thức, hãy chứng minh rằng: y +z z +x x +y x y z 1) y1 + z 1 z1 + x1 x 1 + y1 = 2 x 1 y1 z1 ; y2 + z 2 z2 + x2 x 2 + y2 x 2 y2 z2 1 a a3 2) 1 b b 3 = (a − b)(b − c)(c − a )(a + b + c) ; 1 c c3 a1 + b1x a1x + b1 c1 a1 b1 c1 3) a2 + b2x a2x + b2 c2 = (1 − x 2 ) a2 b2 c2 . a 3 + b3x a 3x + b3 c3 a 3 b3 c3 Câu 9. Tính các định thức cấp cao sau axx⋯x ⋯ 1 + a1 a2 a3 an ⋯ 1 + a2 xaxxx a1 a3 an 1 + a3 ⋯ 1) A = x x a x x (cấp n ); a1 a2 an 2*) A = (cấp n ); ⋮⋮⋮⋱⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ xxx⋯a ⋯ 1 + an a1 a2 a3 Trang 5
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 111⋯1 ⋯ 1 a1 a2 an 101⋯1 ⋯ 1 a1 + b1 a2 an 3*) A = 1 1 0 ⋯ 1 (cấp n ); a 2 + b2 ⋯ 4*) A = 1 a1 an (cấp n + 1 ); ⋮⋮⋮⋱⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 111⋯0 ⋯ an + bn 1 a1 a2 223⋯ 1 x1 x2 ⋯ xn n 133⋯ x2 ⋯ xn 1a n 5*) A = 1 2 4 ⋯ 6*) A = 1 x 1 a ⋯ x n (cấp n + 1 ). n (cấp n ); ⋮⋮⋮⋱ ⋮ ⋮⋮⋮⋱⋮ 1 2 3 ⋯ n +1 1 x1 x2 ⋯ a Câu 10. Giải các phương trình sau x +1 11 1 −1 −1 x111 x x 2 2 1x 11 2 11 1x −1 −1 x = 0; = 0; = 0; 1) 2) 3) 11x 1 1 0 1 0 1 1 1 x 111x 0 1x 0 2 0 2 x − 1 −1 1 2x −1 −1 1 x −1 −1 x x 1 x2 1 −1 −1 1x 1 1 1 1 x = 0; = 0; = 0; 4) 5) 6) 3 1 1 1 01 1 1 1 1 1 1 0 2 0 2 02 0 2 1 0 1 1 1x x −1 x +2 1x 10 x x x x 2 0 0 x −1 0 111 1211 x = 0. = 0; = 0; 7) 8) 9) x1 x −2 21 2212 x x x 0 0 x5 +1 x 100 13 2x x x x x Câu 11. Tìm điều kiện của m để ∆ ≥ 0 m +8 7 6 m +8 7 6 1) ∆ = m + 1 2m − 1 ; 2) ∆ = m + 1 2m − 1 ; m m m −1 m −1 m −1 m +1 m +1 m +1 m +8 7 6 11 3 3) ∆ = m + 1 2m − 1 ; 4) ∆ = 1 2 m ; m m +1 m +1 m +1 11m 10 12 m m 5) ∆ = 2 1 2m − 2 ; 6) ∆ = 2 5 m + 1 ; 10 2 3 7 m +2 2 m +2 4 2 2m + 2 4 7) ∆ = m 0; 8) ∆ = m + 1 2m + 1 2 ; m 1 2 1 2 2m m Trang 6
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 2 + 2m 1 4 2 + 2m −5 12 9) ∆ = −3 −1 −m ; 10) ∆ = m − 3 m + 1 −3m . m +3 1 m +3 −m − 1 3m m Câu 12. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau bằng phương pháp biến đổi sơ cấp trên dòng 1 0 3  0 1 2  1 3 2  1 3 5                  1) A = 2 1 1 ; 2) A = 1 1 0 ; 3) A = 2 1 3 ; 4) A = 5 0 1 ;                        3 1 0 3 2 2 2 0 1 3 2 1                  4 1 −1  1 2 1  1 1  3 6 2   2                 5) A = 2 1 −3 ; 6) A = 2 6 3 ; 7) A = 2 −1 −3 ; 8) A = 4 9 4 ;                      3 2 −4  1 5 3  1 3 1  4 1     3                 1 2 0 1 2 1 0 2  1 1 0 1 1 1 0 1                     1 1 2 0 2 2 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0             ;  ; 11) A =   ; 12) A =  . 9) A =  10) A =      0 1 1 2   0 2 2 1  0 0 1 1 1 0 1 1                             2 0 1 1 1 0 2 2   1 0 0 1 0 1 0 1             Câu 13. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau bằng phương pháp dùng ma trận phụ hợp ( adj A ) 1 0 3 0 1 2 1 3 2  1 3 5                 1) A = 2 1 1 ; 2) A = 1 1 0 ; 3) A = 2 1 3 ; 4) A = 5 0 1 ;                     3 2 2 2 0 1 3 2 1 3 1 0                     4 1 −1  1 2 1 1 1  3 6 2   2                 5) A = 2 1 −3 ; 6) A = 2 6 3 ; 7) A = 2 −1 −3 ; 8) A = 4 9 4 ;                      3 2 −4  1 5 3  1 3 1  4 1   3                  1 2 0 0 1 2 1 3 2  1 2 5                 9) A = 3 1 1 ; 10) A = 1 1 2 ; 11) A = 2 1 3 ; 12) A = 5 0 1 ;                     4 2 2  2 0 3 0 2 1 2 1 2                     2 3 3  1 3 −4  2 − 1 2   1 1 1                 13) A = 1 −2 5 ; 14) A = 1 −2 1  ; 15) A = 3 −2 −1 ; 16) A = 2 3 1 .                     3 1 4 1 2 −3 4 − 3 1  3 4 3                     Câu 14. Tính det A , cho biết −1 −1 −1 −1 T T 1 0 3  0 1 2 1 3 2   1 0 3  0 1 2 1 3 5                    1 1 0 2 1 3 ;  1 1 0 5 0 1 ; 1) A = 2 1 1 2) A = 2 1 1                             3 2 2 2 0 1 3 2 1  3 2 2 2 0 1 3 1 0                          −1 −1 −1 −1 T T 1 0 3  0 1 2 1 2 0   1 0 3  0 1 2 0 1 2                       3) A = 2 1 1 1 1 0 3 1 1 ; 4) A = 2 1 1 1 1 0 1 1 2 ;                       2 0 1 4 2 2   2 0 1 2 0 3 3 2 2 3 2 2                           Trang 7
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 −1 −1 −1 −1 T T 1 0 3  0 1 2 1 3 2   1 0 3  0 1 2 1 2 5                    1 1 0 2 1 3 ;  1 1 0 5 0 1 ; 5) A = 2 1 1 6) A = 2 1 1                             3 2 2 2 0 1 0 2 1  3 2 2 2 0 1 2 1 2                          −1 −1 −1 −1 T T 1 3 2   0 1 2 1 3 2   1 3 5  0 1 2 1 2 5                       7) A = 2 1 3 1 1 0 2 1 3 ; 8) A = 5 0 1 1 1 0 5 0 1 ;                           3 2 1 2 0 1 0 2 1 3 1 0 2 0 1 2 1 2                         −1 −1 −1 −1 T T 1 2 0     0 1 2 0 1 2 1 2 5    0 1 2 1 3 2               1 1 0 2 1 3 ;    9) A = 3 1 1 10) A = 1 1 2 1 1 0 5 0 1 .                        2 0 3 2 0 1 2 1 2 4 2 2 2 0 1 0 2 1                          0 −1  1  −1 0 1         Câu 15. Cho hai ma trận P = 1 2 1  v à P −1 =  0 1 −1 . Tính det A và A−1 , biết            −1 −1 1  1 1   1        −1 −1 3) A = P −1.dig(1 1 −1).P ; 1) A = P .dig(1 −1 1).P ; 2) A = P .dig(−1 1 1).P ; 4) A = P .dig(1 −1 1).P −1 ; 5) A = P .dig(−1 1 1).P −1 ; 6) A = P .dig(1 1 −1).P −1 ; 7) A = P −1.dig(1 2 3).P ; 8) A = P −1.dig(1 3 2).P ; 9) A = P −1.dig(3 1 2).P ; 10) A = P .dig(1 2 3).P −1 ; 11) A = P .dig(1 3 2).P −1 ; 12) A = P .dig(3 1 2).P −1 .  0 −1  1  −1 0 1         Câu 16. Cho hai ma trận P = 1 2 1  và P − 1 =  0 1 −1 . Tính A2011 , biết            −1 −1 1  1 1   1        1) A = P −1.dig(1 −1 1).P ; A = P −1 .dig(−1 1 1).P ; 3) A = P −1.dig(1 1 −1).P ; 2) 4) A = P .dig(1 −1 1).P −1 ; 5) A = P .dig(−1 1 1).P −1 ; 6) A = P .dig(1 1 −1).P −1 ; 7) A = P −1.dig(1 −1 −1).P ; 8) A = P −1.dig(−1 −1 1).P ; 9) A = P −1.dig(−1 1 −1).P ; 10) A = P .dig(1 −1 −1).P −1 ; 11) A = P .dig(−1 −1 1).P −1 ; 12) A = P .dig(−1 1 −1).P −1 . .................................................................................... CHƯƠNG 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Câu 1. Giải các hệ phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp Cramer và Gauss       4x + y − z = 2 x + 2y + z = 1 x + y + 2z = 3    2x + y − 3z = 1 2x + 6y + 3z = 2 2x − y − 3z = −1 1)  2)  3)     3x + 2y − 4z = 3 x + 5y + 3z = 0 4x + y + 3z = 2           2x + 3y + 3z = 0     3x + 6y + 2z = 11 x + 3y − 4z = 4     4) 4x + 9y + 4z = 17 5) x − 2y + 5z = 7 6) x − 2y + z = −11       x + 3y + z = 5 3x + y + 4z = 1 x + 2y − 3z = 3          Trang 8
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012       2x − y + 2z = 1 x + y + z = 12 x − y − 2z = 3    7) 3x − 2y − z = −3 8) 2x + 3y + z = 4 9) x + y + 4z = 2       4x − 3y + z = 5 3x + 4y + 3z = 1 2x − 2y − 5z = 1            3x + 4y − 3z = 2    x − 3y + 4z = 1 x − 3y − z = 13     2x − 5y + z = 2 2x + y − 2z = 6 12) 5x + 2y − 4z = 6 10)  11)      5x − 13y + 6z = 0 5x + y − 5z = 12 2x + 3y − 2z = 2          Câu 2. Tìm nghiệm riêng và nghiệm tổng quát của các hệ phương trình tuyến tính sau       x + y − z = 2 x + 2y + z = 1 x + y + 2z = 3    1) 2x + y − 3z = 1 2) 3x + 12y + 7z = 1 3) 2x − y − z = −4       3x + 2y − 4z = 3 x + 5y + 3z = 0 4x + y + 3z = 2              2x + 3y + 3z = 0  3x + 6y + 2z = 11 x + 3y − 4z = 4     4) 4x + 9y + 3z = 1 5) x − 2y + z = 1 6) x − 2y + z = −11       x + 3y + z = 5 3x + y + 4z = 1 2x + y − 3z = 13          x − y + 2z = 1 x + y + 2z = 12     x − y − 2z = 3      7) 3x − 2y − z = −3 8) 2x + 3y + z = 4 9) x − y − 3z = 12       4x − 3y + z = 5 3x + 4y + 3z = 1 2x − 2y − 5z = 1            x + y + z + t + u = 7 2x + y − z − t + u = 1     3x + 2y + z + t − 3u = −2 x − y + z + t − 2u = 0    11*)  10*)   y + 2z + 2t + 6u = 23 3x + 3y − 3z − 3t + 4u = 2     5x + 4y + 3z + 3t − u = 12 4x + 5y − 5z − 5t + 7u = 3       2x − 2y + z − t + u = 1 3x + y − 2z + t − u = 1       x + 2y − z + t − 2u = 1 2x − y + 7z − 3t + 5u = 2   12*)  13*)    4x − 10y + 5z − 5t + 7u = 1 x + 3y − 2z + 5t − 7u = 3     2x − 14y + 7z − 7t + 11u = −1 3x − 2y + 7z − 5t + 8u = 3       x + y + z + t + u = 0 2x + y − z − t + u = 0       3x + 2y + z + t − 3u = 0 x − y + z + t − 2u = 0    15*)  14*)   y + 2z + 2t + 6u = 0 3x + 3y − 3z − 3t + 4u = 0     5x + 4y + 3z + 3t − u = 0 4x + 5y − 5z − 5t + 7u = 0       2x − 2y + z − t + u = 0 3x + y − 2z + t − u = 0       x + 2y − z + t − 2u = 0 2x − y + 7z − 3t + 5u = 0   16*)  17*)    4x − 10y + 5z − 5t + 7u = 0 x + 3y − 2z + 5t − 7u = 0     2x − 14y + 7z − 7t + 11u = 0 3x − 2y + 7z − 5t + 8u = 0       Câu 3. Biện luận số nghiệm của các hệ phương trình tuyến tính theo tham số m   mx + y + z = 0    2x + 3y − z = 1 x + 2y − 2z = m     1) 4x + my + z = 2 2) 2x + my − 5z = 1  3) x + 2y − mz = 1      8x + 12y + (m + 6)z = 5 3x + 6y + mz = 1 2x + 3y + 2z = 1          Trang 9
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012  mx + 2y − 2z = 2 mx + y + 2z = 3    x + 2y − 2z = 2m      4) 3x + 7y − z = 5 2x + 4y − 5z = 5  6) 2x − my − z = −4 5)      2x + 4y + mz = 7 3x + 6y − mz = 7 4x + y + 3z = 2m              2x + 3y − z = 0 2x + 3y − z = 0   4x + (m + 5)y + (m − 3)z = 0 4x + (m + 5)y + (m − 3)z = 0 7)  8)    8x + (m + 11)y + (m − 5)z = 0 8x + 12y + (m − 4)z = 0           2x + 3y − z = 0 x + 4y + (7 − m )z = 0   9) 4x + (m + 5)y + mz = 0 10) 2x + (m + 4)y − 5z = 0     8x + 12y + (m − 4)z = 0 5x + 10y + (m − 5)z = 0        (3m − 1)x + 2my + (3m + 1)z = 0   (m + 3)x + y + 2z = 0    mx + (m − 1)y + z = 0 12) 2mx + 2my + (3m + 1)z = 0 11)     3(m + 1)x + my + (m + 3)z = 0 x + y + 2z = 0           x − 2y + z + 2t = m x + 2y − z + t = m   13) x + y − 2z + t = 2m + 1 14) 2x + 5y − 2z + 2t = 2m + 1     2x − y − mz + 3t = −m 3x + my − 3z + 3t = 1         x − y + 2z − 2t = 0 2x − y + z − 2t + 3u = 3     2x + y − z + t = 3 x + y − z − t + u = 1   15)  16)    3x + z − t = 3 3x + y + z − 3t + 4u = 6     5x + y = m 5x + 2z − 5t + 7u = 9 − m       2x − y + z + t = 1 2x + y − z + 2t = 4       x + 2y − z + 4t = 2 x − y + z + 2t = 3   17)  18)    x + 7y − 4z + 11t = m 2x + 2y − 2z + t = 3     4x + 8y − 4z + 16t = m + 1 x + y − 2z + t = m       Câu 4. Tìm điều kiện của tham số m để hai hệ phương trình tuyến tính (trong mỗi câu) có nghiệm chung x + y − z + t = 2m + 1 x + 2y − z + t = m   1)   và ;   x + 7y − 5z − t = −m 2x + 5y − 2z + 2t = 2m + 1     x − 2y + z + 2t = m x + 2y − z + t = m   2)   và ;   x + 7y − 5z − t = −m 3x + 7y − 3z + 3t = 1     x − 2y + z + 2t = m 2x + 5y − 2z + 2t = 2m + 1   3)   và ;   x + y − z + t = 2m + 1 3x + 7y − 3z + 3t = 1     x − y + 2z − 2t = 0 2x − y + z − 2t + 3u = 3   4)   và ;   2x + my − z + t = 3 x + y − z − t + u = m     x − y + 2z − 2t = 0 2x − y + z − 2t + 3u = 3   5)   và ;   5x + y = m 5x + 2z − 5t + 7u = 9 − m     Trang 10
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 2x + y − z + t = m x + y − z − t + u = 1   6)   và ;   3x + z − t = 3 3x + y + z − 3t + 4u = 2m     x + 2y − z + 4t = 2 2x + y − z + 2t = 4   7)   và ;   x + 7y − 4z + 11t = m x + y − 2z + t = m     x + 2y − z + 4t = 2 2x + 2y − 2z + t = 3   8)   và ;   4x + 8y − 4z + 16t = m + 1 x + y − 2z + t = m     2x − y + z + t = 1 2x + 2y − 2z + t = 3   9)   và ;   x + 7y − 4z + 11t = m x + y − 2z + t = m     2x − y + z + t = 1 2x + y − z + 2t = 4   10)   và ;   4x + 8y − 4z + 16t = m + 1 x + y − 2z + t = m       x + 2y − z + t = m x − 2y + z + 2t = m   11)  2x + 5y − 2z + 2t = 2m + 1 ; và   x + y − z + t = 2m + 1  3x + 7y − 3z + 3t = 1        x − 2y + z + 2t = m x + 2y − z + t = m    x + y − z + t = 2m + 1 12)  và ;   3x + 7y − 3z + 3t = 1 x + 7y − 5z − t = −m        2x − y + z − 2t + 3u = 3 x − y + 2z − 2mt = 0   13)  x + y − z − t + u = 1 và ;   2x + y − z + t = m  3x + y + z − 3t + 4u = 2m        x − y + 2z − 2t = 0 2x − y + z − 2t + 3u = 3m    2x + y − z + t = 3m 14)  và ;   x + y − z − mt + u = 1 3x + z − mt = 3        2x − y + z + t = 1 2x + 2y − 2z + t = 3    15) x + 2y − z + 4t = 2 và ;    x + y − 2z + t = m x + 7y − 4z + 11t = m        2x − y + z + t = 1 2x + y − z + 2t = 4    x + 2y − z + 4t = 2 16)  và ;   x + y − 2z + t = m 4x + 8y − 4z + 16t = m + 1        2x + y − z + 2t = 4 x + 7y − 4z + 11t = m   17)  2x + 2y − 2z + t = 3 . và   4x + 8y − 4z + 16t = m + 1  x + y − 2z + t = m      ........................................................................................ Trang 11
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 CHƯƠNG III. KHÔNG GIAN VECTOR Câu 1. Xét xem các tập hợp với các phép toán xác định sau đây, tập hợp nào là không gian vector trên ℝ ? 1) Tập hợp các đa thức hệ số thực, có bậc tùy ý với phép cộng đa thức và phép nhân một số với một đa thức; 2) Tập hợp ℝ 2 với phép cộng và phép nhân vô hướng: (a; b) + (c; d ) = (a + c; d ), λ(a; b) = (λa; λb) ∀a, b, c, d, λ ∈ ℝ ; 3) Tập hợp ℝ 2 với phép cộng và phép nhân vô hướng: (a; b) + (c; d ) = (a + c; b − d ), λ(a; b) = (a + λ; b) ∀a, b, c, d, λ ∈ ℝ ; 4) Tập hợp ℝ 2 với phép cộng và phép nhân vô hướng: (a; b) + (c; d ) = (a; d ), λ(a; b) = (a; λb) ∀a, b, c, d, λ ∈ ℝ ; 5) Tập hợp ℝ 2 với phép cộng và phép nhân vô hướng: (a; b) + (c; d ) = (ac; bd ), λ(a; b) = (a + λ; b) ∀a, b, c, d, λ ∈ ℝ ; 6) Tập hợp ℝ 2 với phép cộng và phép nhân vô hướng: (a; b) + (c; d ) = (ac + bd; ad − bc), λ(a; b) = (λa; λb) ∀a, b, c, d, λ ∈ ℝ . Câu 2. Xét xem các tập hợp xác định sau đây, tập hợp nào là không gian vector con của ℝ n ? { } 1) Tập hợp A = (x 1; x 2 ;...; x n ) ∈ ℝ n x 1 = 2x n ; 2) Tập hợp B = {(x ; x ;...; x ) ∈ ℝ = x }; 2 n x1 1 2 2 n 3) Tập hợp C = {(x ; x ;...; x ) ∈ ℝ } n x i +1 = x i + 1, i = 1, 2,..., n − 1 ; 1 2 n 4) Tập hợp D = {(x ; x ;...; x ) ∈ ℝ } n x1 = xn = 0 ; 1 2 n 5) Tập hợp E = {(x ; x ;...; x ) ∈ ℝ = 1} ; 2 2 n x1 = x 2 1 2 n 6) Tập hợp C = {(x ; x ;...; x ) ∈ ℝ } n x i ∈ ℚ, i = 1, 2,..., n . 1 2 n Câu 3. Trong ℝ 3 , xét xem vector u có phải là tổ hợp tuyến tính của u1 , u2 , u 3 không? 1) u1 = (−2; 1; 0) , u2 = (3; −1; 1) , u 3 = (2; 0; −2) ; u = (1; 1; 1) ; 2) u1 = (2; −1; 3) , u2 = (0; −1; 1) , u 3 = (2; 2; 2) ; u = (2; −1; 5) ; 3) u1 = (2; 4; 3) , u2 = (1; −1; 0) , u 3 = (3; 3; 3) ; u = (−1; 2; 0) ; 4) u1 = (−2; 1; 0) , u2 = (3; −2; 1) , u 3 = (1; 2; −3) ; u = (2; −1; 1) ; 5) u1 = (2; −1; 3) , u2 = (3; −1; 2) , u 3 = (1; −2; 2) ; u = (2; −4; 3) ; 6) u1 = (2; 4; 3) , u2 = (1; −1; 3) , u 3 = (1; 3; −3) ; u = (−1; 2; 4) . Câu 4. Trong P3 [x ] , xét xem vector u có phải là tổ hợp tuyến tính của u1 , u2 , u 3 không? 1) u1 = x 3 − 3x 2 + 1 , u2 = x 3 − 2x + 1 , u 3 = −2x 2 + 3 ; u = 5x 2 − 4x 2 − 2x ; 2) u1 = x 3 + 2x 2 − 2x + 1 , u2 = x 3 + 3x 2 − x + 4 , u 3 = 2x 3 + 5x 2 − 3x + 5 ; u = x 2 − 3x + 2 ; 3) u1 = 5x 2 − 4x 2 − 2x , u2 = x 3 − 2x + 1 , u 3 = −2x 2 + 3 ; u = x 3 − 3x 2 + 1 ; 4) u1 = x 2 − 3x + 2 , u2 = x 3 + 3x 2 − x + 4 , u 3 = 2x 3 + 5x 2 − 3x + 5 ; u = x 3 + 2x 2 − 2x + 1 ; 5) u1 = x 3 − 3x 2 + 1 , u2 = 5x 2 − 4x 2 − 2x , u 3 = −2x 2 + 3 ; u = x 3 − 2x + 1 ; 6) u1 = x 3 + 2x 2 − 2x + 1 , u2 = x 2 − 3x + 2 , u 3 = 2x 3 + 5x 2 − 3x + 5 ; u = x 3 + 3x 2 − x + 4 ; 7) u1 = x 3 − 3x 2 + 1 , u2 = x 3 − 2x + 1 , u 3 = 5x 2 − 4x 2 − 2x ; u = −2x 2 + 3 ; Trang 12
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 8) u1 = x + 2x − 2x + 1 , u2 = x + 3x − x + 4 , u 3 = x 2 − 3x + 2 ; u = 2x 3 + 5x 2 − 3x + 5 . 3 2 3 2 Câu 5. Trong ℝ 3 , tìm m để u là tổ hợp tuyến tính của u1 , u2 , u 3 trong các trường hợp sau 1) u1 = (m; 2; −1) , u2 = (−2; 1; 3) , u 3 = (0; 1; −1) ; u = (1; m; 2) ; 2) u1 = (1; −2; 3) , u2 = (0; −1; m ) , u 3 = (1; −3; 1) ; u = (m; −1; 2) ; 3) u1 = (1; −2; m ) , u2 = (−2; 1; 3) , u 3 = (1; 3; 1) ; u = (m; −1; 1) ; 4) u1 = (m; 2; −1) , u2 = (1; m; 2) , u 3 = (0; 1; −1) ; u = (−2; 1; 3) ; 5) u1 = (1; −2; 3) , u2 = (0; −1; m ) , u 3 = (m; −1; 2) ; u = (1; −5; 1) ; 6) u1 = (1; −2; m ) , u2 = (−2; 1; 3) , u 3 = (1; −1; 1) ; u = (m; −1; m ) ; 7) u1 = (3; −2; 3) , u2 = (2; −m; m ) , u 3 = (m; −1; 2) ; u = (0; 2; 1) ; 8) u1 = (1; −m; m ) , u2 = (−2; 1; 1) , u 3 = (2; −1; −1) ; u = (m + 1; −1 + m; m ) . Câu 6. Trong ℝ 3 , xác định a, b, c để u = (a; b; c) là tổ hợp tuyến tính của u1 , u2 , u 3 1) u1 = (1; 2; −1) , u2 = (−2; 1; 3) , u 3 = (0; 1; −1) ; 2) u1 = (1; −2; 3) , u2 = (0; −1; 3) , u 3 = (1; 2; 1) ; 3) u1 = (1; −3; 0) , u2 = (−3; 1; 2) , u 3 = (1; −4; 1) ; 4) u1 = (0; 2; −1) , u2 = (1; −5; 2) , u 3 = (2; 1; −1) ; 5) u1 = (1; −2; 3) , u2 = (2; −1; 4) , u 3 = (−1; −1; 2) ; 6) u1 = (1; −2; −3) , u2 = (5; 1; 3) , u 3 = (1; −1; 1) ; 7) u1 = (0; −2; 3) , u2 = (2; −3; 4) , u 3 = (7; −1; 2) ; 8) u1 = (1; −2; 7) , u2 = (−2; 1; 3) , u 3 = (3; −1; −2) . Câu 7. Trong ℝ 4 , biện luận sự độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính của hệ các vector sau theo m 1) A = {(m; 1; 3; 4), (m; m; m + 2; 6), (2m; 2; 6; 10)} ; 2) B = {(2; 8; 4; 7), (2; 3; 1; 4), (4; 11; 5; 10), (6; 14; m + 5; 18)} ; 3) C = {(1; 2; 1; 4), (2; 3; m; 7), (5; 8; 2m + 1; 19), (4; 7; m + 2; 15)} ; 4) D = {(m + 2; 3; 2), (1; m; 1), (m + 2; 2m + 1; m + 2)} ; 5) E = {(2; 1; 1; m ), (2; 1; −1; m ), (10; 5; −1; 5m )} ; 6) F = {(2; 3; 1; 4), (3; 7; 5; 1), (8; 17; 11; m ), (1; 4; 4; −3)} ; 7*) G = {(m; 2m; 3; 4), (1; 2; 3m; 4m ), (1; 2m; 3; 4m ), (m; 2; 3; 4m )} ; 8*) H = {(m; 2m; 3; 4), (1; 2m; 3m; 4), (1; 2m; 3; 4m ), (1; 2; 3m; 4m )} . Câu 8. Trong ℝ 3 , tìm ma trận chuyển từ cơ sở U = {u1, u2 , u 3 } sang cơ sở V = {v1, v2 , v 3 } và tìm [x ]V trong các trường hợp sau 1) U = {u1 = (1; 1; −1), u2 = (1; 1; 0), u 3 = (2; 0; 0)} , [x ]U = (1 0 0)T và V = {v1 = (1; 1; 0), v2 = (1; 0; −1), v 3 = (1; 1; 1)} ; 2) U = {u1 = (1; 1; −1), u2 = (1; 1; 0), u 3 = (2; 0; 0)} , [x ]U = (1 0 2)T và V = {v1 = (1; −1; 0), v2 = (2; −1; 0), v 3 = (1; 1; −1)} ; 3) U = {u1 = (3; 2; 1), u2 = (1; −2; 1), u 3 = (2; 2; 3)} , [x ]U = (3 2 1)T và Trang 13
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 V = {v1 = (1; 1; 0), v2 = (1; 0; −1), v 3 = (1; 1; 1)} ; 4) U = {u1 = (2; 0; 0), u2 = (1; 1; 0), u 3 = (1; 1; −1)} , [x ]U = (1 0 0)T và V = {v1 = (1; 1; 1), v2 = (1; 0; −1), v 3 = (1; 1; 0)} ; 5) U = {u1 = (1; 1; −1), u2 = (2; 0; 0), u 3 = (1; 1; 0)} , [x ]U = (1 0 2)T và V = {v1 = (1; −1; 0), v2 = (1; 1; −1), v 3 = (2; −1; 0)} ; 6) U = {u1 = (3; 2; 1), u2 = (2; 2; 3), u 3 = (1; −2; 1)} , [x ]U = (3 2 1)T và V = {v1 = (1; 1; 0), v2 = (1; 1; 1), v 3 = (1; 0; −1)} ; 7) U = {u1 = (1; −1; 0), u2 = (1; 1; −1), u 3 = (2; −1; 0)} , [x ]U = (1 0 2)T và V = {v1 = (1; 1; −1), v2 = (2; 0; 0), v 3 = (1; 1; 0)} ; 8) U = {u1 = (1; 1; 0), u2 = (1; 1; 1), u 3 = (1; 0; −1)} , [x ]U = (3 2 1)T và V = {v1 = (3; 2; 1), v2 = (2; 2; 3), v 3 = (1; −2; 1)} . Câu 9. Tìm 1 cơ sở và số chiều của các không gian con W sinh bởi hệ vector sau trong ℝ n 1) u1 = (2; 3; 4) , u2 = (5; −4; 0) , u 3 = (7; −1; 5) , u 4 = (3; −2; 6) trong ℝ 3 ; 2) u1 = (−2; 1; 1) , u2 = (2; −3; 1) , u 3 = (0; −1; 4) , u 4 = (1; −2; 7) trong ℝ 3 ; 3) u1 = (1; 0; 0; −1) , u2 = (2; 1; 1; 0) , u 3 = (1; 1; 1; 1) trong ℝ 4 ; 4) u1 = (1; 0; 0; −1) , u2 = (2; 1; 1; 0) , u 3 = (1; 2; 3; 4) trong ℝ 4 ; 5) u1 = (1; 1; 1; 1) , u2 = (1; 2; 3; 4) , u 3 = (0; 1; 2; 3) trong ℝ 4 ; 6) u1 = (1; 1; 1; 1; 0) , u2 = (1; 1; −1; −1; −1) , u 3 = (2; 2; 0; 0; −1) trong ℝ 5 ; 7) u1 = (1; 1; 1; 1; 0) , u2 = (2; 2; 0; 0; −1) , u 3 = (1; 1; 5; 5; 2) trong ℝ 5 ; 8) u1 = (2; 2; 0; 0; −1) , u2 = (1; 1; 5; 5; 2) , u 3 = (1; −1; − 1; 0; 0) trong ℝ 5 . Câu 10. Tìm một cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của các hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau 2x + 3y + 3z = 0 x + 3y − 4z = 0 5x + 12y − 12z = 0           x − 2y + z = 0 x − 2y + z = 0 3)  2x + 5y − 5z = 0 1)  2)       3x + y + 4z = 0  3x − y − 2z = 0  3x + 7y − 7z = 0           x − y + 2z = 0  x +y +z = 0  3x − y − z = 0          3x − 2y − z = 0 2x + 3y + z = 0 6) x + y + 4z = 0 4)  5)      4x − 3y + z = 0 3x + 4y + 2z = 0 2x − 2y − 5z = 0          3x + 5y + 2z = 0 x + 3y + 2z = 0 3x + 5y + 2z = 0          4x + 7y + 5z = 0 2x + y + 5z = 0 x + 7y + 15z = 0      9)  7)  8)   2x + 9y + 6z = 0 2x + 7y + 6z = 0 2x + 7y + 6z = 0        x + y − 4z = 0  x + 2y − 4z = 0 5x − 3 y − 4z = 0          x + 2y − 2z + 2t − u = 0 x + 2y − z + 3t − 4u = 0 x + 2y − z + 3t − 4u = 0          x + 2y − z + 3t − 2u = 0 2x + 4y − 2z − t + 5u = 0 12) x + 2y − z + t + 2u = 0 10)  11)      2x + 4y − 7z + t + u = 0 x + 2y − z + 2t − u = 0 x + 2y − z + 2t − u = 0          ……………………………………………………. Trang 14
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Câu 1. Tìm biểu thức của các ánh xạ tuyến tính f : ℝn → ℝm , biết ảnh của các vector trong các không gian tương ứng như sau: 1) f (1; 1) = (1; −2; −2) và f (3; 5) = (1; 0; −3) ; 2) f (1; 2) = (1; −2; 8) và f (2; −3) = (2; 3; −5) ; 3) f (1; −1) = (3; −1; −2) và f (−3; 5) = (1; 2; −3) ; 4) f (1; −2) = (1; −2; 1) và f (1; −3) = (2; 0; −5) ; 5) f (1; 1; 0) = (1; 2) , f (1; 0; 1) = (2; −1) và f (0; 1; 1) = (−1; −1) ; 6) f (1; 1; 0) = (3; −1; 2) , f (1; 0; 1) = (1; 2; 2) và f (0; 1; 1) = (0; −1; 2) ; 7) f (1; 1; 1) = (1; 2) , f (1; 1; 0) = (2; −1) và f (1; 0; 0) = (−1; −1) ; 8) f (1; 0; 0) = (3; −1; 2) , f (1; 1; 0) = (1; 2; 2) và f (1; 1; 1) = (0; −1; 2) . Câu 2. Tìm Ker( f ) , d ( f ) , Im( f ) và r ( f ) của các ánh xạ tuyến tính sau: 1) f : ℝ 2 → ℝ 3 , f (x ; y ) = (x − y; x + 2y; 2x + y ) ; 2) f : ℝ 2 → ℝ 3 , f (x ; y ) = (2x − y; x + 2y; x − y ) ; 3) f : ℝ 3 → ℝ 2 , f (x ; y; z ) = (x + y; 2x − y − 3z ) ; 4) f : ℝ 3 → ℝ 2 , f (x ; y; z ) = (2x − y − 3z ; x + y ) ; 5) f : ℝ 3 → ℝ 3 , f (x ; y; z ) = (3x ; x − z ; x + y + 2z ) ; 6) f : ℝ 3 → ℝ 3 , f (x ; y; z ) = (x + y + z ; x − y + z ; x + y − z ) ; 7) f : ℝ 3 → ℝ 3 , f (x ; y; z ) = (x + y + z ; x + y + z ; x − y − z ) ; 8) f : ℝ 3 → ℝ 3 , f (x ; y; z ) = (x + 2y + 3z ; 4x + 5y + 6z ; 7x + 8y + 9z ) . Câu 3. Tìm m để các toán tử tuyến tính sau là song ánh: 1) f : ℝ 3 → ℝ 3 , f (x ; y; z ) = (x − 2y + mz ; my + z ; x + y − 2mz ) ; 2) f : ℝ 3 → ℝ 3 , f (x ; y; z ) = (3x + 5y + 2z ; 4x + 7y + (m + 1)z ; x + y − 4mz ) ; 3) f : ℝ 3 → ℝ 3 , f (x ; y; z ) = (x − 2y + 3z ; mx − y + z ; x + y − 2mz ) ; 4) f : ℝ 3 → ℝ 3 , f (x ; y; z ) = (x + 5y + 2mz ; 4x + 7y + mz ; x + y − z ) ; 5) f : ℝ 3 → ℝ 3 , f (x ; y; z ) = (x − 2y − z ; y + mz ; x + my − 2z ) ; 6) f : ℝ 3 → ℝ 3 , f (x ; y; z ) = (3x + my + 2z ; x + 3y + (m + 1)z ; x + y − z ) ; 7) f : ℝ 4 → ℝ 4 , f (x ; y; z ; t ) = (x + y + mz ; x + my + z ; y + z + mt; mz + t ) ; 8) f : ℝ 4 → ℝ 4 , f (x ; y; z ; t ) = (mx + y + z ; x + my + z ; my + z + t; mz + t ) . Trang 15
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 2 Câu 4. Trong ℝ cho cơ sở chính tắc E 2 và cơ sở B = {u1 = (3; 1), u2 = (1; −2)} . Cho toán tử tuyến tính f : ℝ 2 → ℝ 2 và vector v . Tìm [ f −1(v )]B trong các trường hợp sau: 1 2  −2 1 4  2 4 1 −1   và [v ] =   ;   và [v ] =   ;   và [v ] =   ; f  =  f  =  f  =        1)   2)   3)    3 4 1 3 2  −1 3 2 2       E2 E2 E2            B B B        1 3 1  3 1 3 4 2  1   và [v ] =   ;   và [v ] =   ;   và [v ] =   ; f  =  f  =  f  =        4) 5) 6)   B 2 4 −2   B 2 4  1   B 3 1 3       E2 E2 E2                   1 5  2 5 1  0 1 2 0   và [v ] =   ;   và [v ] =   ;   và [v ] =   ;    7)  f  =  8)  f  =  9)  f  =      0   1  −1  3 4  3 4 5 4    E2 E2 E2             B B B       1 3 0 1 7   1 7 1 0   và [v ] =   ;   và [v ] =   ;   và [v ] =   .    10)  f  =  11)  f  =  12)  f  =     5 7  1  3 5 0 5 3  1       E2 E2 E2             B B B       Câu 5. Trong ℝ 3 , xét cơ sở chính tắc E = {e1 = (1; 0; 0), e2 = (0; 1; 0), e3 = (0; 0; 1)} . Toán tử tuyến tính 2 −1 0       f : ℝ 3 → ℝ 3 có [ f ]E = 0 1 −1 . Tìm [ f ]B trong các trường hợp cơ sở B sau:       0 0 1    1) B = {u1 = 2e1 + e2 , u2 = −e2 + 2e3 , u 3 = 3e1 + e3 } ; 2) B = {u1 = 2e1 + e3 , u2 = −e1 + 2e3 , u 3 = 3e1 + e3 } ; 3) B = {u1 = 2e1 + e2 , u2 = −e1 + 2e3 , u 3 = 3e2 + e3 } ; 4) B = {u1 = 2e1 + e2 + e3 , u2 = −e2 + 2e3 , u 3 = 3e1 + e3 } ; 5) B = {u1 = 2e1 + e2 , u2 = e1 − e2 + 2e3 , u 3 = 3e1 + e3 } ; 6) B = {u1 = 2e1 + e2 , u2 = −e2 + 2e3 , u 3 = 3e1 − e2 + e3 } ; 7) B = {u1 = 2e1 + e2 − e3 , u2 = e1 − e2 + 2e3 , u 3 = 3e1 + e3 } ; 8) B = {u1 = 2e1 + e2 − e3 , u2 = e1 − e2 + 2e3 , u 3 = 3e1 − e2 + e3 } . Câu 6. Trong ℝ 4 cho cơ sở B = {(1; −1; 0; 0), (0; 1; −1; 0), (0; 0; 1; −1), (0; 0; 0; 1)} . Cho ánh xạ tuyến tính f : ℝ 3 → ℝ 4 , tìm [ f ]B trong các trường hợp sau: E 3 1) f (x ; y; z ) = (x + y + z ; x + y; x + z ; y − z ) ; 2) f (x ; y; z ) = (x + y; x + y + z ; x + z ; y − z ) ; 3) f (x ; y; z ) = (x + y + z ; x − y; x − z ; y + z ) ; 4) f (x ; y; z ) = (x − y; x − y + z ; x + z ; y − z ) ; 5) f (x ; y; z ) = (x − y + z ; x − z ; x + z ; y − z ) ; 6) f (x ; y; z ) = (x − y; x + y + z ; x − z ; y − z ) ; 7) f (x ; y; z ) = (x + y − z ; x − y; x + z ; y + z ) ; 8) f (x ; y; z ) = (x + y; x − y − z ; x + z ; y − z ) ; 9) f (x ; y; z ) = (x − y − z ; x − y; x + z ; y − z ) ; 10) f (x ; y; z ) = (x + y; x − y − z ; x − z ; y + z ) ; 11) f (x ; y; z ) = (y − z ; x − y; y + z ; x − y − z ) ; 12) f (x ; y; z ) = (x + y; y − z ; x + y − z ; x + z ) . Trang 16
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 2 3 2 3 Câu 7. Cho các ánh xạ tuyến tính f : ℝ → ℝ và g : ℝ → ℝ . Xác định ánh xạ tuyến tính 2 f − g biết: 1) f (x ; y ) = (x ; x + 2y; x − y ) và g(x ; y ) = (x + y; x − 2y; 3y ) ; 2) f (x ; y ) = (x + 2y; x + y; x − y ) và g(x ; y ) = (x + y; x − 2y; 3y ) ; 3) f (x ; y ) = (x ; x + 2y; x − y ) và g(x ; y ) = (x + y; x − 2y; x + 3y ) ; 4) f (x ; y ) = (x − y; x + 2y; x ) và g(x ; y ) = (x + y; x − 2y; 3y ) ; 5) f (x ; y ) = (x ; x + 2y; x − y ) và g(x ; y ) = (x − y; x − 2y; x + y ) ; 6) f (x ; y ) = (x + y; x + 2y; x − y ) và g(x ; y ) = (x + y; x − 2y; x − y ) ; 7) f (x ; y ) = (x − 4y; x + 2y; x − y ) và g(x ; y ) = (x + 2y; x − y; 2x ) ; 8) f (x ; y ) = (2y; 3x − y; 5x − 2y ) và g(x ; y ) = (3x + y; 2x − 3y; 3x + 5y ) . Câu 8. Tìm trị riêng và vector riêng của các toán tử tuyến tính sau: 1) f (x ; y; z ) = (x − y; 2x + 3y + 2z ; x + y + 2z ) ; 2) f (x ; y; z ) = (x + y; y + z ; − 2y − z ) ; 3) f (x ; y; z ) = (x − y + 2z ; 2x + 3y + 2z ; x + y ) ; 4) f (x ; y; z ) = (x + y; y + z ; x − 2y − z ) ; 5) f (x ; y; z ) = (x − y; 2x + 3y + 2z ; y + 2z ) ; 6) f (x ; y; z ) = (x + y − z ; y + z ; x − 2y − z ) ; 7) f (x ; y; z ) = (x − y − z ; 2x + 3y + z ; x + y + z ) ; 8) f (x ; y; z ) = (x + 2y − 3z ; y + 2z ; − 2y − z ) ; 9) f (x ; y; z ) = (x − 2y; 2y − 3z ; 3y + 5z ) ; 10) f (x ; y; z ) = (3y − z ; y + 3z ; 2x − 2y − z ) ; 11) f (x ; y; z ) = (2x − 3z ; 2x − 5z ; x + 2y + 3z ) ; 12) f (x ; y; z ) = (y − 3z ; 3y + 2z ; x − 2y − z ) . Câu 9. Tìm trị riêng và một cơ sở của các không gian con riêng của toán tử tuyến tính f : ℝ 3 → ℝ 3 , biết:  2 −1 2    0 1 0   1 −3  3           5 −3 3  ; −4 4 0 ;  3) [ f ]E = −2 −6   13 ; 1) [ f ]E =  2) [ f ]E =               −1 0 −2 −2 1 2  3 3 3 −1 −4   8             4 − 5 2   1 −3 4   7 −12 6               4) [ f ]E = 5 −7 3 ; 5) [ f ]E = 4 −7 8 ; 6) [ f ]E = 10 −19 10 ;                6 −9 4 6 − 7 7  12 −24 13 3 3 3                 1 −4 −8   15 −18 −16          7) [ f ]E = −4 7 −4 ; 8) [ f ]E =  9 −12 −8  .           −8 −4 1   4 − 4 −6  3 3           Câu 10. Dùng định lý Cayley – Hamilton để tính det B trong các trường hợp sau: 1 1 0       1) B = A8 − 3A6 + 3A5 − 3A3 + A , với A = 0 1 0  ;      5 3 −2      Trang 17
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 4  2 −1     2) B = A5 − 5A4 + 8A3 − 3A2 + 7A , với A = −6 −4 3  ;      −6 −6 5       4  2 −1     3) B = A5 − 5A4 + 8A3 + 4A2 − 7I 3 , với A = −6 −4 3  ;      −6 −6 5       2  4 3     4) B = A5 + 3A4 − 6A2 − 7I 3 , với A = −4 −6 −3 ;       3 1 3     2  4 3     5) B = A5 + 3A4 + 2A2 − 7A , với A = −4 −6 −3 ;       3 1 3     3 1 −1      6) B = A5 − 5A4 + 8A3 − 3A2 − 7I 3 , với A = 2 2 −1 ;      2 2 0       3 1 −1      7) B = A5 − 5A4 + 8A3 + 3A2 − 2A , với A = 2 2 −1 ;      2 2 0       1  3 3     8) B = −A6 − 3A5 + 4A3 + 3A2 − A , với A = −3 −5 −3 .       3 1 3     Câu 11*. Chéo hóa các ma trận vuông sau: −1 4 −2  2  1  2 −1 −3 3             1) A = −3 4 0  ; 2) B =  1 3) C = 3 3 −1 ; −5 3 ;                −3 1 3  −1 −2 2   6   −6 4             1 1 1 1    3 1 −1  1    3 3    1   1 −1 −1     −3 −5 −3 ;  4) D = −1 1 1  ;   .  5) E =  6) F =         1 −1 1 −1   1 1 1    3  1   3            1 −1 −1 1     ......................................................................................... Trang 18
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 CHƯƠNG V. DẠNG TOÀN PHƯƠNG PHẦN I. PHẦN CHUNG CHO A-2 VÀ C-2 2 Câu 1. Trong ℝ , cho x = (x 1 ; x 2 ) và y = (y1; y2 ) . Xét xem các ánh xạ sau đây có phải là dạng song tuyến tính trên ℝ 2 không. Nếu có, hãy lập ma trận của dạng song tuyến tính đó trong cơ sở chính tắc. 1) f (x , y ) = 3x 1x 2 + y1y2 − 3x 2y1 ; 2) f (x , y ) = 3x 1y1 + x 1y2 − 3x 2y1 ; 2 2 3) f (x , y ) = 3x 1y1 − 5x 2y2 + x 1y2 + 7x 2y1 ; 4) f (x , y ) = 3x 1 − 5x 2y2 + x 1y2 + y2 ; 2 5) f (x , y ) = 3x 1y1 − 2x 1y2 + x 2y1 − x 2y2 ; 6) f (x , y ) = 3x 1y1 + x 1y2 − 3x 2y1 + 2y1 ; 2 2 2 7) f (x , y ) = 3x 1y1 − 5x 1y2 + x 2y2 + y2 ; 8) f (x , y ) = 3x 1 − 5x 2y1 + x 2y1 − 4y2 . Câu 2. Trong ℝ 2 , cho hai cơ sở A và B . Cho dạng song tuyến tính trên ℝ 2 xác định như sau: f ((x 1; x 2 ), (y1; y2 )) = x 1y1 − 2x 2y2 + 5x 1y2 + 5x 2y1 . Chứng tỏ rằng f là đối xứng và kiểm chứng [ f ]B = P T [ f ]A P , với P = PA→B trong các trường hợp sau: 1) A = {(1; 1), (2; −1)} và B = {(1; −1), (2; 1)} ; 2) A = {(2; −1), (−1; 1)} và B = {(2; −3), (2; 5)} ; 3) A = {(1; 2), (2; −1)} và B = {(1; −1), (2; 1)} ; 4) A = {(2; −1), (−1; 1)} và B = {(2; 5), (2; −3)} ; 5) A = {(1; 3), (2; −1)} và B = {(1; −1), (2; 1)} ; 6) A = {(2; −1), (−1; 1)} và B = {(1; −3), (3; −5)} ; 7) A = {(1; 4), (2; −1)} và B = {(1; −1), (2; 1)} ; 8) A = {(2; −1), (−1; 1)} và B = {(3; −5), (1; −3)} ; 9) A = {(3; 1), (2; −1)} và B = {(1; −1), (2; 1)} ; 10) A = {(2; −1), (−1; 1)} và B = {(2; −5), (3; 4)} ; 11) A = {(4; 1), (1; 2)} và B = {(1; −1), (2; 1)} ; 12) A = {(2; −1), (−1; 1)} và B = {(3; 4), (2; −5)} . Câu 3. Tùy theo m , hãy biện luận tính suy biến hay không suy biến của các dạng toàn phương trên ℝ 3 xác định như sau: 1) f (x ; y; z ) = x 2 + y 2 + z 2 + 2xz + 2myz ; 2) f (x ; y; z ) = x 2 + y 2 + z 2 + 2mxz + 2yz ; 3) f (x ; y; z ) = x 2 + y 2 + mz 2 + 2xz + 2yz ; 4) f (x ; y; z ) = x 2 + my 2 + z 2 + 2xz + 2yz ; 5) f (x ; y; z ) = 2x 2 + 3y 2 + z 2 + 2xy + 2mxz ; 6) f (x ; y; z ) = 2x 2 + 3y 2 + z 2 + 2mxy + 2xz ; 7) f (x ; y; z ) = 2x 2 + 3y 2 + mz 2 + 2xy + 2xz ; 8) f (x ; y; z ) = 2x 2 + my 2 + z 2 + 2xy + 2xz ; 9) f (x ; y; z ) = 3x 2 + 2y 2 + mz 2 + 4xy + 2xz ; 10) f (x ; y; z ) = 3x 2 + my 2 + z 2 + 4xy + 2xz ; 11) f (x ; y; z ) = 3x 2 + 2y 2 + z 2 + 2mxy + 2xz ; 12) f (x ; y; z ) = 3x 2 + 2y 2 + z 2 + 4xy + 2mxz . Câu 4. Tìm ma trận trực giao P làm chéo hóa các ma trận A sau:  5 −4 −2  3 1   6 −2 2   1             −4 5 2) A = 1 3 3) A = −2 5 0 ; ; 1 ; 1) A =    2               −2 2 1 1 2  3 0 7 2             1 −3 1   3 2   7 −2 1   0          −3 1 −1 ;   5) A = 2 2 6) A = −2 10 −2 .  2 ;    4) A =                1 −2 7   1 −1 5  0 2 1              Trang 19
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012 Câu 5. Dùng thuật toán chéo hóa trực giao để đưa các dạng toàn phương f ≡ f (x ; y; z ) trên ℝ 3 xác định như sau về dạng chính tắc: 1) f = 5x 2 + 5y 2 + 2z 2 − 8xy − 4xz + 4yz ; 2) f = 6x 2 + 5y 2 + 7z 2 − 4xy + 4xz ; 3) f = 3x 2 + 3y 2 + 3z 2 + 2xy + 2xz + 2yz ; 4) f = −3x 2 − 3y 2 − 3z 2 + 2xy + 2xz + 2yz ; 5) f = 5x 2 + 5y 2 + 5z 2 + 2xy + 2yz + 2xz ; 6) f = −5x 2 − 5y 2 − 5z 2 + 2xy + 2yz + 2xz ; 7) f = −9x 2 − 9y 2 − 9z 2 + 2xy + 2yz + 2xz ; 8) f = 9x 2 + 9y 2 + 9z 2 + 2xy + 2yz + 2xz ; 9) f = −8x 2 − 8y 2 − 8z 2 + 2xy + 2yz + 2xz ; 10) f = 8x 2 + 8y 2 + 8z 2 + 2xy + 2yz + 2xz ; 11) f = 10x 2 + 10y 2 + 10z 2 + 2xy + 2yz + 2xz ; 12) f = −10x 2 − 10y 2 − 10z 2 + 2xy + 2yz + 2xz ; 13) f = 6x 2 + 3y 2 + 3z 2 + 4xy − 8yz + 4xz ; 14) f = 2x 2 + 5y 2 + 2z 2 − 4xy + 4yz − 2xz ; 15) f = −3y 2 + 4xy − 4yz + 10xz ; 16) f = −x 2 + y 2 − 5z 2 + 4yz + 6xz . Câu 6*. Dùng thuật toán Lagrange để đưa các dạng toàn phương f ≡ f (x 1; x 2 ; x 3 ) trên ℝ 3 xác định như sau về dạng chính tắc và tìm ma trận đổi biến P : 2 2 2 2) f = x 1x 2 + x 2x 3 + x 1x 3 ; 1) f = x 1 + 5x 2 − 4x 3 + 2x 1x 2 − 4x 1x 3 ; 2 2 2 3) f = x 1x 2 + 2x 2x 3 + 4x 1x 3 ; 4) f = 4x 1 + x 2 + x 3 − 4x 1x 2 − 3x 2x 3 + 4x 1x 3 ; 2 2 2 2 2 2 5) f = 2x 1 + x 2 + 2x 3 − 4x 1x 2 − 2x 2x 3 ; 6) f = x 1 + 3x 2 + 6x 3 + 2x 1x 2 + 2x 1x 3 − 2x 2x 3 ; 2 2 2 2 2 7) f = −x 1 + 2x 3 − 2x 1x 2 + 2x 1x 3 + 4x 2x 3 ; 8) f = −x 1 − 2x 2 − 3x 3 + 2x 1x 2 + 2x 1x 3 − 2x 2x 3 . Câu 7. Dùng thuật toán Jacobi hoặc thuật toán biến đổi sơ cấp ma trận đối xứng để đưa các dạng toàn phương xác định như sau về dạng chính tắc: 1) q(x ; y ) = 2x 2 + y 2 − 6xy ; 2) q(x ; y ) = x 2 − 3y 2 + 8xy ; 3*) q(x ; y; z ) = x 2 + 4xy − 2yz ; 4*) q(x ; y; z ) = −x 2 + 2z 2 − 2xy + 2xz + 4yz ; 5*) q(x ; y; z ) = x 2 + 7y 2 + 8z 2 − 6xy + 4xz − 10yz ; 6*) q(x ; y; z ) = x 2 + 6y 2 + 4z 2 − 4xy + 6xz − 18yz ; 7*) q(x ; y; z ; t ) = x 2 + 2y 2 + 6z 2 + 11t 2 +2xy − 4xz − 6xt − 10yz − 2yt + 18zt . …………………………………. PHẦN II. PHẦN RIÊNG CHO A-2 Câu 1. Nhận dạng và lập phương trình chính tắc (nếu đường không suy biến) các đường bậc hai cho bởi phương trình tổng quát sau: 1) 2x 2 − y 2 − 4xy + 8 = 0 ; 2) 11x 2 + 4y 2 + 24xy − 15 = 0 ; 3) x 2 + y 2 + 2xy + 8x + y = 0 ; 4) x 2 − 2y 2 − 4xy − 6x + 8y − 25 = 0 ; Trang 20