intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE

Bài tập toán cao cấp

Chia sẻ: Le Ngoc Huyen | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:3

2.071
lượt xem
563
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Toán cao cấp là môn học Đại cương của khối kinh tế, các ngàng kỹ thuật. Môn này là 1 môn toán học, ứng dụng các phương pháp toán học trong phân tích kinh tế để sinh viên tiếp cận với phương pháp mô hình trong Kinh tế học thực chứng.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài tập toán cao cấp

  1. Câu 1: Tính giới hạn bội: x3 + y 3 a ) lim 2 x →0 x + y 2 y →0 x3 + y 3 x3 y3 x3 y3  Có : 0 ≤ 2 ≤ 2 + 2 ≤ 2 + 2 ≤ x + y x +y 2 x +y 2 x +y 2 x y  x3 + y 3  ⇒ lim 2 =0 Mà : lim( x + y ) = 0 x→0 x + y 2  y →0 x →0 y →0   x +y 3 3 ⇒ lim 2 =0 x →0 x + y 2 y →0 b) lim ( xSin y 3 x ) x→ y→ 0 0 x2 + y2 Có : lim xSin y 3 x = lim  ( Sin y 3 x . 2 ) y3x2  = lim y3x2 ( ) x→ y→ 0 0 x2 + y2 x→ y→  0 0 y3x x + y 2  x→0 x 2 + y 2  y→ 0 y3x2 y3x2  Mà : 0 ≤ ≤ = y3  y3x2 x2 + y2 x2  y3 x2  ⇒lim 2 = 0 ⇒lim 2 =0 x→ x + y 2 0 x→ x + y 2 0 Mặt khác: lim y 3 = 0  y→ 0 y→ 0 x→ y→ 0 0   ⇒lim ( xSin y 3 x =0 ) x→ y→ 0 0 x2 + y2 Câu 2: Xét sự hội tụ, phân kì của tích phân suy rộng loại 1: +∞ a ) ∫ xα e −βx dx ( α , β > 0) 1 xα (1 + x 2 ) lim = 0 (Vì sự nhân lên của hàm lũy thừa chậm hơn của hàm x →+∞ e βx mũ) xα (1 + x 2 ) ⇒ ∃ A > 0 sao cho v ∀x > A ta có : 0 sao cho v ∀x > A ta có : βx < e 1 + x2 +∞ dx Mà tích phân ∫1 + x 1 2 hội tụ vì: +∞  π a dx dx  a ∫ 1 + x 2 = alim ∫ 1 + x 2 = alim  arctan 1 →+∞ 1 →+∞ x = 1 4 +∞ ⇒ ∫x α e − βx dx ( α , β > 0) hội tụ 1
  2. +∞ −2 x +∞ e .Cosx  1 e −2 x .Cosx  b) ∫ dx = ∫  (1 + x 2 ) (1 + x 2 ) dx  .  1 (1 + x 2 ) 2 1  + ∞ 1 ∫ dx hội tụ  1 (1 + x ) 2 Có :  −2 x  e .Cosx = Cosx ≤1  (1 + x 2 ) (1 + x 2 )e 2 x  +∞ −2 x e .Cosx ậ Theo tiêu chuẩn dirichlet thì tích phân ∫ (1 + x 2 ) 2 dx hội tụ 1 Câu 3: Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng loại 2: 1 dx a) K =∫ α 0 x Với mọi t ∈ (0;1) ta có:  1 1 dx  (1 − t 1−α ) khi α ≠ 1 I(t) = ∫ α =  1−α t x − ln t khi α = 1  1 1 Với α < 1 : K = tlim I (t ) = tlim →0+ →0+ (1 − t 1−α ) = ; 1−α 1−α 1 Với α > 1 : K = tlim I (t ) = tlim →0+ →0+ (1 − t 1−α ) = +∞ ; 1−α lim I (t ) = lim (− ln t ) = + ∞ ; Với α = 1 : K = t →0+ t →0 + 1 dx Kết luận: Tích phân suy rộng K = ∫ : + hội tụ khi α < 1 0 xα + phân kỳ khi α ≥ 1 2 dx b) I = ∫ 0 8 − x3 1 1 1 Xét : = tương đương với 12 ( 2 − x ) 1 8 − x3 ( 2 − x)(4 + 2 x + x 2 ) 2 2 2 dx 1 dx 1 Ta có: ∫ 0 12 ( 2 − x ) 1 2 = ∫ (2 − x) 12 hội tụ vì 2 < 1 12 0 < I hội tụ. Câu 4: Bài toán ứng dụng tích phân Giả sử doanh thu cận biên (marginal revenue) ở mỗi mức sản lượng Q được xác định dưới dạng hàm số: MR = 60 – 2Q – 2Q2 Hãy xác định hàm tổng doanh thu (total revenue) va hàm cầu (command) đối với sản phẩm. Lời giải: Hàm tổng doanh thu TR là nguyên hàm của doanh thu cận biên MR : 2 3 TR = ∫ (60 − 2Q − 2Q )dQ = 60Q − Q − Q + R0 . 2 2 3 Hiển nhiên doanh thu bán hàng khi Q = 0 là R0 = 0. Vậy
  3. 2 3 TR= 60Q – Q2 - Q . 3 Gọi p = p(Q) là hàm cầu đảo, tức là hàm ngược của hàm cầu Q = D(p). Ta có: R = p(Q)Q. Từ đây suy ra: R 2 P(Q) = =60 – Q – Q2 Q 3 Câu 5: Cho f(x,y) = xSiny (với x = S – t ; y = 2S + t ) 2 Tìm df theo biến S,t tại S =π , t = 0. Bài làm: • F(S,t) = (S2 – t)Sin(2S + t) • df = [2S.Sin(2s + t) + 2(S2 – t)Cos(2S + t)]dS + [-Sin(2S + t) + (S2 – t)Cos(2S + t)]dt • df(π,0) = [2π.Sin(2π) + 2π2.Cos(2π)]dS + [-Sin2π + π2.Cos(2π)]dt = 2π2dS + π2dt
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2