Đ TÀI 5Ề
15- Câu 1: Cho hàm z = x2 – 2xy + 1. Tìm c c trự ị
Gi i:ả
Ta có: z = x2 – 2xy + 1 = f(x,y)
2 2 0
2 0
x
y
f x y
f x
′= − =
′= − =
⇒
0
0
x y
x
− =
=
⇒
0
0
x
y
=
=
V y đi m d ng là (0,0).ậ ể ừ
Ta có:
22
x
A f ′′
= =
mà
2
AC B∆ = −
2
xy
B f ′′
= = −
2
0 ( 2)= − −
4 0= − <
⇒
T i (0,0) không có c c trạ ự ị
24 - Câu 2: Cho hàm z = x6 – y5 – cos2x – 32y. Tìm c c tr .ự ị
Gi i:ả
Ta có: z = x6 – y5 – cos2x – 32y = f(x,y)
5
4
6 2sin cos 0
5 32 0
x
y
f x x x
f y
′ = + =
′= − − =
⇒
5
4
3 sin cos
5 32
x x x
y
= −
− =
x = 0 (vì sinx và cosx đ i nhau)ố
4
32
5
y= −
(vô nghi m)ệ
V y hàm z không có đi m d ngậ ể ừ
33- Câu 3: Cho hàm z = x2 + 4xy + 10y2 +2x + 16y. Tìm c c trự ị
Gi i:ả
Ta có: z = x2 + 4xy + 10y2 +2x + 16y = f(x,y)
2 4 2 0
4 20 16 0
x
y
f x y
f x y
′= + + =
′= + + =
⇒
2 1 0
5 4 0
x y
x y
+ + =
+ + =
⇒
1
1
x
y
=
= −
V y đi m d ng là (1,-1).ậ ể ừ
Ta có:
22
x
A f ′′
= =
mà
2
AC B∆ = −
4
xy
B f ′′
= =
40 16= −
220
y
C f ′′
= =
24 0= >
mà
2 0A
= >
⇒
(1,-1) là đi m c c ti u.ể ự ể
59 - Câu 4: Xác đ nh c n c a tích phân: I =ị ậ ủ
∫ ∫
D
yxf ,(
dxdy trong đó D là mi n gi i h n b iề ớ ạ ở
các đ ng: D: x + y ườ
≤
1, x – y
≤
1, x
≥
0.
Gi i:ả
Ta có
( , )
D
I f x y dxdy=∫∫
(*)
Ta có: x + y
≤
1
1y x⇒ = −
x – y
≤
1
1y x⇒ = −
mà x
≥
0
T (*)ừ
( )
1 1
0 1
,
x
x
I dx f x y dy
−
−
⇒ = ∫ ∫
68 - Câu 5: Đ i th t tính tích phân I = ổ ứ ự
1
0
dx
∫
.
Gi i:ả
Ta có:
33
0 1
0 1
01
y
x
y x y x
≤ ≤
≤ ≤
⇒
≤ ≤ ≤ ≤
()
3
1 1 1 13
0 0
1
y
I dy dx y dy⇒ = = −
∫ ∫ ∫
1
43
0
3 3 1
1
4 4 4
y y
= − = − =
78 - Câu 6: Thay đ i th t tính tích phân: I = ổ ứ ự
2 2
1
( , )
x
x
dx f x y dy
∫ ∫
.
Gi i:ả
[ ] [ ]
[ ]
1 1, 1,2
2 ,2 2,4
2
D y x
y
D x
=
=
2 4 2
1 1 2 2
( , ) ( , )
y
y
JK
I dy f x y dx dy f x y dx= +
∫ ∫ ∫ ∫
1 442 4 43 1 4 42 4 43
( )
( )
2
2 2 2
1
1 1 1
4 1 1
| 1 2 1
2 2 2 2
yy
J x dy y dy y
= = − = − = − − − =
∫ ∫
y = x
x = 2
x = 1
y = 2x
1
2
O
x
y
D2
D1
x = 1
O
x
y
D
1
-1
-1
O
1
x
y
y = x-1
y = 1-x
2
1
-1
4
4 4 2
2
2
2 2 2
16 4
| 2 2 8 4 1
2 4 4 4
y
y y
K x dy dy y
= = − = − = − − − =
∫ ∫
1 3
1
2 2
I J K= + = + =
87 - Câu 7: Tính tích phân
2
1
3
0 0
3
y
xy
I dy y e dx=∫ ∫
Gi i:ả
2
1
3
0 0
3
y
xy
I dy y e dx=∫ ∫
2
1
2
0
0
3 |
xy y
y e dy
=
∫
=
3
1 1
2 2
0 0
3 3
y
J K
y e dy y dy−
∫ ∫
142 43 142 43
J
=
3
1
2
0
3y
y e dy
∫
đ t ặ
3
t y=
2
3
dt y dy⇒ =
1
1
0
0
| 1
t t
J e dt e e= = = −
∫
(1)
1
2 3 1
0
0
3 | 1K y dy y= = =
∫
(2)
(1)(2)
→
1 1 2I e e
= − − = −
105 - Câu 8: Tính
cos
D
y
I dxdy
x
=∫∫
D là mi n gi i h n b i ề ớ ạ ở
1, 2, 0, 2
x x y y
π
= = = =
Gi i:ả
22
1 0
cos cos
D
y y
I dxdy dy dx
x x
π
= =
∫∫ ∫ ∫
2 2
2
0
1 1
sin x dx
dx
x x
π
= =
∫ ∫
2
1
ln | ln 2x= =
115 - Câu 9: Tính tích phân:
( )
2
D
I x y dxdy= +
∫∫
D là tam giác OAB v i O(0,0); A(1,0);ớ
B(0,1).
Gi i:ả
( ) ( )
1 1
0 0
2
22
D
x y
I x y dxdy dxdy
+
= + =
∫∫ ∫∫
1
1 1
2
0 0
0
1
2 2
xxy dy y dy
= + == +
∫ ∫
O
D
x
y
A(1,0)
B(0,1)
O
x
y
x = 1
x = 2
2
y
π
=
D
2
1 1
0 0
1 1 1
| | 1
2 2 2 2
y
y= + == + =
125 - Câu 10: Tính tích phân:
2 2
D
dxdy
I
x y
=+
∫∫
trong đó D là hình tròn
2 2 9x y+ ≤
Gi i:ả
Ta có
0 2
φ π
≤ ≤
vì
2 2 9x y+ ≤
0 3r
⇒ ≤ ≤
Ta đ t ặ
2 3 2
3 2
0 0
2
0 0 0
| 3 | 6
rdr
I d r d
r
π π π
φ φ φ π
⇒ = = = =
∫ ∫ ∫
Câu 11: G i S là di n tích mi n gi i h n b i các đ ng ọ ệ ề ớ ạ ở ườ
y x=
và
y x=
. Tính S.
Gi iả:
Ta có
0 1x
x y x
≤ ≤
≤ ≤
V y ậ
1
0
x
D x
I dxdy dy dx
= =
∫∫ ∫ ∫
( )
1 1 1 1
0 0 0 0
|x
x
y dx x x dx xdx xdx= = − = −
∫ ∫ ∫ ∫
2
3 2 1 1
0 0
2 2 1 1
| |
3 2 3 2 6
x
x= − = − =
149 - Câu 12: Xét tích phân b i ba ộ
( , , )f x y z dxdydz
Ω
∫∫∫
trong đó
Ω
là mi n trong không gianề
đ c gi i h n b i các m t x = 0, y = 0, x + y = 2, z = 0 và z = 2, tìm c n ượ ớ ạ ở ặ ậ
Ω
.
Gi i:ả
T hình v ta có c n ừ ẽ ậ
Ω
= [0;2]x[0;2-x]x[0;2]
( )
2 2 2 2 2 2 2
0
0 0 0 0 0 0
( , , ) 2 2
x x
x
I dx dy f x y z d z dydx y dx
− − −
= = =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
=
( )
2
0
4 2 4x dx− =
∫
2
O
2
D
x
y
y = 2-x
O
x
y
y x=
y x
=
1
1
O
3
x
y
159 - Câu 13: Tính tích phân b i ba ộ
z
xye dxdydz
Ω
∫∫∫
, trong đó
Ω
là mi n:ề
0 1;0 2;0 ln 3x y z≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
.
Gi i:ả
( )
1 2 ln 3 1 2 1 2
ln 3 ln 3
0
0 0 0 0 0 0 0
|
z z
I xye dzdydx xye dydx xye xy dydx= = = −
∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫
=
( )
2
1 1 1
2 ln 3 2 ln 3 ln 3
0 0 0
0
4 4 2 2
2 2 2 2
xy e xy xe x
dx dx xe x dx
− = − = −
∫ ∫ ∫
2 ln3 2 1 ln3
0
( ) | 1x e x e= − = −
= 2
170 - Câu 14: Tính
cosI xy zdxdydz
Ω
=∫∫∫
,
Ω
là hình h p ộ
0 1;0 2;0 2
x y z
π
≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
Gi i:ả
1 2 1 2 1 2
2
2
0
0 0 0 0 0 0 0
cos sin |I xy zdzdydx xy z dydx xydydx
ππ
= = =
∫∫∫ ∫∫ ∫∫
=
2
1 1
22 1
0
0 0
0
2 | 1
2
xy dx xdx x
= = =
∫ ∫
180 - Câu 15: Cho
Ω
là ph n hình tr : ầ ụ
2 2
1;1 4x y z+ ≤ ≤ ≤
.Đ t ặ
( , , )I f x y z dxdydz
Ω
=∫∫∫
Chuy n sang t a đ tr và xác đ nh c n tích phân.ể ọ ộ ụ ị ậ
Gi i:ả
Ta có
2 2 1 0 1x y r+ ≤ ⇒ < ≤
Đ t ặ
cos 0 1
sin 0 2
1 4
x r r
y r
z z z
ϕ
φ φ π
= < ≤
= ⇔ ≤ ≤
= ≤ ≤
V y I = ậ
( )
4 2 1
1 0 0
.cos , .sin ,f r r z dz d rdr
π
φ φ φ
∫ ∫ ∫
202 - Câu 16: Tính tích phân đ ng ườ
( )
C
I x y dl= −
∫
, trong đó C có ph ng trìnhươ
1;0 1x y x+ = ≤ ≤
.
Gi i:ả
Ta có:
'
1 1 1
0 1 0 1 0 1
x
x y y x y
x x x
+ = = − = −
⇒ ⇒
≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
2
1 ( ) 1 1 2
x
dl y dx dx dx
′
= + = + =
( )
1
1 1
2
0 0 0
1 2 2 (2 1) 2 0I x x dx x dx x x
= − + = − = − =
∫ ∫