Đề kiểm tra chất lượng học kỳ I môn Toán lớp 12 - Đề 7

TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ BỘ MÔN : TOÁN GIÁO VIÊN ĐẶNG VĂN HIỂN<br /> <br /> KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ I Năm học: 2013-2014 Môn thi: TOÁN- Lớp 12 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ SỐ 07 (Đề gồm có 01 trang)<br /> <br /> I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm). Cho hàm số y   x 4  x 2  2 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 2) Với giá trị nào của m thì phương trình  x 4  x 2  m  0 có 4 nghiệm. Câu II (2,0 điểm). 1) Tính giá trị biểu thức A  log 1 8  9<br /> 2 log3 2  1,5<br /> <br /> 1 2<br /> <br /> 1 2<br /> <br />  1     25 <br /> <br /> .<br /> <br /> 2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x    x 2  3 e  x trên đoạn  2;1   Câu III (2,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng<br /> <br /> a 2 . Cạnh SA vuông góc với mặt đáy, góc giữa cạnh SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 600.<br /> 1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 2) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. II. PHẦN RIÊNG – PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm) Học sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2) 1. Theo chương trình Chuẩn Câu IV.a (1,0 điểm). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = hoành độ bằng 2. Câu V.a (2,0 điểm).<br /> 2x - 3 tại điểm có x- 1<br /> <br /> 1 2x x  3.   1) Giải phương trình: 9 3 2) Giải bất phương trình: log 3  x  1  log 1  5 x  1  1<br /> 2<br /> <br /> 2 x2  x<br /> <br /> 3<br /> <br /> 2. Theo chương trình Nâng cao Câu IV.b (1,0 điểm). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = tung độ bằng 7. Câu V.b (2,0 điểm). 1) Cho hàm số y  xe  x . Chứng minh y '' 2 y ' y  0 . 2) Tìm m để đường thẳng  d  : y  m  x cắt đồ thị (C) của hàm số y  biệt A và B sao cho AB ngắn nhất. Hết.<br /> 2x 1 tại hai điểm phân x 1<br /> 2x - 3 tại điểm có x+ 1<br /> <br /> HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ 07 (Hướng dẫn chấm gồm có 5 trang) Câu I 1 (3đ) 2đ Nội dung Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y   x 4  x 2  2 TXĐ: D = R<br /> x <br /> <br /> Điểm<br /> 1 2<br /> <br /> lim y  , lim y  <br /> x <br /> 3<br /> <br /> 0,25 0,25<br /> <br /> y '  2 x  2 x x  0; y (0)  2 y' 0  5 x  1; y ()  2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Bảng biến thiên: x y’ y<br /> ∞<br /> <br /> <br /> <br /> ∞<br /> <br /> -1 0 5 2<br /> <br /> <br /> <br /> 0 0<br /> <br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> +∞ 0,25 -∞<br /> <br /> 2<br /> <br /> 5 2<br /> <br /> Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-1;0) và (1;+∞). Hàm số đồng biến trên các khoảng (  ∞;-1) và (0;1). Hàm số đạt cực đại tại x = -1, x = 1 , yCĐ  . Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT  2 . Điểm khác:  2; 2  ,  2; 2 <br /> Đồ thị:<br /> <br /> 5 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2<br /> <br /> Với giá trị nào của m thì phương trình  x 4  x 2  m  0 có 4 nghiệm.<br /> 1  x 4  x 2  m  0 (*) 2 1 4   x  x2  2  m  2 2<br /> <br /> 1 2<br /> <br /> 1đ<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Số nghiệm phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đường<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 1 (C ) : y   x 4  x 2  2 và (d): y  m  2 2<br /> <br /> Phương trình đã cho có 4 nghiệm khi 2  m  2  Vậy: 0  m  1 II (2đ) 1đ Tính giá trị biểu thức: A  log 1 8  9<br /> 2 log3 2<br /> <br /> 5 1 0m 2 2<br /> <br /> 0,25 0,25<br /> <br /> 1 2<br /> <br />  1     25 <br /> <br /> 1,5<br /> <br /> log 1 8  log 21 2  3<br /> 2<br /> <br /> 3<br /> <br /> 9<br /> <br /> log3 2<br /> <br />  32<br /> 1,5<br /> <br />  <br /> <br /> log3 2<br /> <br />  3<br /> <br /> <br /> <br /> log3 2<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br />  22  4<br /> <br /> 0,25 0,25 0,25 0,25<br /> 2 x<br /> <br /> 3   1  2 2  53  125    5  25  A  3  4  125  126<br /> <br />  <br /> <br /> 2<br /> <br /> Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x    x  3  e trên đoạn  2;1   Hàm số liên tục trên đoạn  2;1  <br /> f '  x   2 xe  x  3 e<br /> x 2<br /> <br /> 1đ<br /> <br /> 0,25<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> x<br /> <br /> e<br /> <br /> x<br /> <br />  x<br /> <br />  2x  3<br /> <br /> <br /> 0,25 0,25 0,25<br /> <br />  x  1   2;1   f ' x   0  x2  2x  3  0    x  3   2;1   <br /> f  2   e2 , f  1  2e, f 1  2e 1<br /> <br /> Vậy: ma x f  x   f  2   e2 , min f  x   f  1  2e<br /> 2;1   2;1  <br /> <br /> III (2đ)<br /> <br /> 1 1đ<br /> <br /> Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.<br /> <br /> SA   ABCD   SA là chiều cao của hình chóp S.ABCD và AC là<br /> <br /> hình chiếu của SC trên mp(ABCD). Suy ra góc giữa SC và mp(ABCD) là SCA bằng 60 0.<br /> ABC vuoâng taïi B : AC  AB2  BC 2  2a SAC vuoâng taïi A : SA  AC.tan SCA  2a 3<br /> S ABCD  2a2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25 0,25<br /> <br /> VS . ABC<br /> <br /> 1 1 2 4 a3 3  SABCD .SA  .2a .2a 3  3 3 3<br /> <br /> 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25<br /> <br /> 2 1đ<br /> <br /> Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Gọi I là trung điểm của SC Ta có: SAC vuông tại A nên IS = IA = IC Tương tự : SBC vuông tại B nên IS = IC = IB SDC vuông tại D nên IS = IC = ID Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Bán kính mặt cầu R <br /> R  2a<br /> <br /> SC SA 2  AC 2  2 2<br /> <br /> IVa (1đ)<br /> <br /> 1<br /> <br /> 2x - 3 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = tại x- 1<br /> <br /> điểm có hoành độ bằng 2. 1đ<br /> y'= 1<br /> <br /> 0,25<br /> 2<br /> <br /> (x - 1)<br /> <br /> Ta có: x0 = 2 Þ y0 = 1<br /> k = y '(2)= 1<br /> <br /> 0,25 0,25 0,25<br /> <br /> Phương trình tiếp tuyến có dạng y = k (x - x0 )+ y0 Vậy phương trình tiếp tuyến là: y = 1(x - 2)+ 1 hay y = x - 1 Va (2đ) 1<br /> Giải phương trình 9<br /> 2 x2  x 2 x2  x<br /> <br /> 1  3.    3<br /> Û 32(2x<br /> <br /> 1đ<br /> <br /> 9<br /> <br /> 2 x2  x<br /> <br /> 1  3.    3<br /> <br /> 2 x2  x<br /> 2- x)<br /> <br /> = 3- 2x<br /> <br /> 2- x + 1<br /> <br /> 0,25 0,25<br /> <br /> Û 2 2x 2 - x = - 2x 2 - x + 1 Û 6x - x - 1 = 0<br /> 2<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> é ê =- 1 x ê 3 Û ê ê = 1 x ê ë 2<br /> Vậy phương trình có nghiệm: x   , x  2 1đ<br /> 1 3 1 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Giải bất phương trình log 3  x  1  log 1  5 x  1  3<br /> 3<br /> <br /> Điều kiện <br /> <br />  x  1 1   1 x 5 5 x  1  0 x  5  x 1  0<br /> 3<br /> <br /> 0,25 0,25 0,25 0,25<br /> <br /> Khi đó: log 3  x  1  log 1  5 x  1  3  log3  x  1 5 x  1   3  <br /> <br />  5 x 2  4 x  28  0  <br /> <br /> 14 x2 5<br /> <br /> Kết hợp với điều kiện (*) ta có nghiệm của bất phương trình là:<br /> <br /> 1 x2 5<br /> IVb (1đ) 1 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = điểm có tung độ bằng 7. 1đ<br /> y'= 5<br /> 2x - 3 tại x+ 1<br /> <br /> (x + 1)<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> 2 x0 - 3 = 7 Û x0 = - 2 x0 + 1<br /> <br /> Ta có: y0 = 7 Û<br /> k = y '(- 2)= 5<br /> <br /> 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25<br /> <br /> Phương trình tiếp tuyến có dạng y = k (x - x0 )+ y0 Vậy phương trình tiếp tuyến là: y = 5 (x + 2)+ 7 hay y = 5 x + 17 Vb (2đ) 1 1đ Cho hàm số y  xe x . Chứng minh y '' 2 y ' y  0 .<br /> y '  e  x 1  x <br /> y ''  e x  x  2  y '' 2 y ' y   x  2  e  2e<br /> x x<br /> <br /> 1  x   xe<br /> <br /> x<br /> <br /> e<br /> <br /> x<br /> <br />  x  2  2  2x  x  0<br /> <br /> 0,25 0,25<br /> <br /> Vậy y '' 2 y ' y  0<br /> <br /> 2<br /> <br /> Tìm m để đường thẳng d : y  m  x cắt đồ thị (C) của hàm số<br /> y 2x  1 tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB ngắn nhất. x 1<br /> <br /> 1đ<br /> <br /> Hoành độ giao điểm của  d  và (C) là nghiệm của phương trình:<br /> <br />  x  1 2x 1  mx   2 x 1  g  x   x   3  m  x  1  m  0 (1) <br /> Do (1) có    m  1  12  0 và g  1  3  0 , m nên đường thẳng  d  luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Ta có : x A  x B  m  3, x A .x B  1  m<br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> y A  m  x A , yB  m  xB<br /> Khi đó AB <br /> <br /> 0,25<br /> 2 2  2  m  1  12   24    <br /> <br /> x<br /> <br /> B<br /> <br />  x A    yB  y A <br /> <br /> 2<br /> <br /> Suy ra AB ngắn nhất bằng<br /> <br /> 24 khi m = 1<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  Ghi chú: 1. Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 2. Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm thì phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong toàn tổ chấm thi.<br /> <br />