Dự thảo tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Dáng điệu tiệm cận của một số mô hình quần thể trong hệ sinh thái với môi trường ngẫu nhiên

Chia sẻ: Acacia2510 _Acacia2510 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

21
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của luận án là nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của một số mô hình quần thể trong hệ sinh thái với môi trường ngẫu nhiên dưới góc nhìn khác. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Dự thảo tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Dáng điệu tiệm cận của một số mô hình quần thể trong hệ sinh thái với môi trường ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN ĐÌNH TƯỚNG DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ MÔ HÌNH QUẦN THỂ TRONG HỆ SINH THÁI VỚI MÔI TRƯỜNG NGẪU NHIÊN Mã số: 9460101.03 Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2019
Công trình này được hoàn thành tại: Bộ môn Phương trình Vi phân và Hệ động lực, Khoa Toán Cơ Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: GS. TS. Nguyễn Hữu Dư : TS. Nguyễn Thanh Diệu Phản biện 1: ... Phản biện 2: ... Luận án được bảo vệ tại Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội Vào hồi ...., ngày .... tháng .... năm 2019 Luận án được công khai tại: - Trung tâm Thông tin-Thư viện, Đại học Quốc Gia Hà Nội. - Thư viện trường Đại học Khoa học Tự nhiên. 2
Mở đầu Toán sinh học là ngành khoa học thuộc nhánh của sinh học nhằm nghiên cứu hệ động lực các quần thể. Bằng các công cụ toán học, ngành khoa học này mô hình hóa các quá trình sinh học, kiểm tra các giả thiết, trừu tượng hóa các quá trình sinh học để nghiên cứu các nguyên tắc chi phối cấu trúc, sự phát triển và hành vi của các hệ thống. Ngành khoa học này nhấn mạnh đến yếu tố toán học trong khi Lý thuyết sinh học lại nhấn mạnh đến yếu tố sinh học nhiều hơn. Với sự phức tạp của các hệ sinh học, toán sinh học đã trở thành công cụ hữu dụng để nghiên cứu lý thuyết và còn đóng góp có ý nghĩa trong thực nghiệm. Luận án này thuộc ngành khoa học trên. Ta có thể thấy rằng, việc nghiên cứu hệ động lực quần thể có lịch sử khá đồ sộ. Ngay từ những năm 1798 trong cuốn sách với tiêu đề “Bài luận về nguyên lý của quần thể”, Malthus đã quan sát rằng sự gia tăng sản xuất lương thực của một quốc gia sẽ dẫn đến sự thịnh vượng của người dân. Nhưng sự cải thiện trên chỉ mang tính tạm thời vì nó dẫn đến tăng dân số, từ đó sẽ khôi phục lại mức sản xuất bình quân đầu người như ban đầu. Từ đó ông đề xuất quần mô hình dân số đơn giản nhất không có sự di cư. Sau đó vào những năm 1838, 1845 Verhulst giới thiệu mô hình logistic. Năm 1910, Lotka trong nghiên cứu về lý thuyết tự động và lý thuyết cạnh tranh giữa các loài mà sau này được tiếp tục phát triển bởi Volterra (1928) đã giới thiệu mô hình Lotka-Volterra đơn giản nhất mà ngày nay người ta thường gọi là mô hình thú mồi. Tiếp tục trên hướng nghiên cứu này, mô hình tăng trưởng tổng quát với dạng Kolmogorov đã được giới thiệu bởi nhà toán học người Nga Kolmogorov vào năm 1936 và từ đó còn rất nhiều học giả khác cũng đã tập trung hoàn thiện lý thuyết này. Mặt khác, các mô hình dạng Kolmogorov có thể được áp dụng cho các mô hình phát triển quần thể trong dịch tễ học. Ngày nay, các mô hình nghiên cứu sự lan truyền dịch bệnh trong quần thể người ta gọi là các mô hình phân lớp được đề xuất bởi Kermack và Mckendrick (1927) và còn được tiếp tục được nghiên cứu bởi các học giả khác. Mô hình đó thường được gọi là mô hình SIR. Theo đó 1
các cá thể trong quần thể được chia làm 3 lớp. Lớp (S) là lớp các cá thể mẫn cảm với dịch bệnh; Lớp (I) là lớp cá thể bị nhiễm bệnh và lớp (R) là lớp cá thể đã phục hồi, miễn nhiễm hay chết đi. Ta còn thấy rằng, trong một số trường hợp cá thể sau khi miễn nhiễm lại quay trở lại lớp (S). Mô hình để mô tả hiện tượng trên thường được gọi là mô hình tái nhiễm SIRS. Người ta nhận thấy rằng, theo thời gian các quần thể sinh học trên thường chịu tác động bởi các yếu tố ngẫu nhiên. Với sự tham gia các yếu tố này, các mô hình mô tả sát thực với thực tế hơn. Chẳng hạn, quá trình khuếch tán với bước chuyển trạng thái (còn gọi là bước chuyển Markov) thu hút được được sự quan tâm nghiên cứu bởi nhiều ứng dụng trong hệ sinh thái, tài chính, kỹ thuật, mô hình hóa, phân tích, điều kiển, tối ưu hóa,... . Quá trình này có thể được xem như phức hợp của nhiều quá trình khuếch tán có bước nhảy được điều chỉnh thông qua một thiết bị chuyển đổi ngẫu nhiên. Quá trình này gồm có hai phần: thành phần liên tục X(t) và thành phần rời rạc ξt mô tả cho quá trình chuyển đổi giữa các trạng thái với thời điểm ngẫu nhiên. Hệ mô tả quá trình trên thường được gọi là hệ lai khuếch tán có bước chuyển trạng thái. Mặt khác hệ sinh thái còn chịu tác động bởi các hiện tượng xảy ra đột ngột như động đất, sóng thần hoặc sự di cư ồ ạt giữa các loài trong quần thể. Dưới tác động này, hệ quả tất yếu dẫn đến là sự ổn định của hệ sinh thái trở nên khó dự đoán, quỹ đạo của các loài có thể không liên tục và các mô hình trước đây không thể minh họa được hiện tượng trên. Từ đó các mô hình hỗn hợp của quá trình bước nhảy và quá trình khuyếch tán được điều khiển bởi nhiễu trắng được xem xét. Mô hình này có thể xem như là sự tham gia hỗn hợp của hai thành thành phần: Thành phần tất định và thành phần ngẫu nhiên có sự tham gia của các bước nhảy. Mô hình này, ngay từ khi ra đời và phát triển đã có những ứng dụng phong phú: sinh học, lý thuyết điều khiển, tự động hóa, toán tài chính, vv... Khi nghiên cứu về hệ sinh thái, lớp các câu hỏi đến tự nhiên là: khi nào một loài trong quần thể phát triển mãi mãi hay diệt vong? Xa hơn nữa là dáng điệu tiệm cận nghiệm của quẩn thể sẽ như thế nào? Lớp câu hỏi này đã thu hút nhiều nhà nghiên cứu trong lĩnh vực tập trung giải đáp. Kỹ thuật thường được sử dụng để giải quyết các bài toán trên là lý thuyết giới hạn của các quá trình martingale và các bất đẳng thức đại số để tìm ra lời giải cho sự tuyệt chủng của các loài. Hơn nữa, để tìm điều kiện cho hệ phát triển bền vững, kỹ thuật thường dùng là sử dụng các hàm Lyapunov hoặc số mũ Lyapunov, vv... Tuy nhiên các 2
kết quả họ thu được thường là các điều kiện rất chặt và chỉ là điều kiện đủ. Vấn đề trên được nhóm tác giả Nguyễn Hữu Dư và cộng sự giải quyết cho mô hình thú mồi ngẫu nhiên có đáp ứng chức năng dạng Beddington-DeAngelis vào năm 2016. Họ không những thu được điều kiện cần mà còn rất gần với điều kiện đủ cho sự phát triển bền vững cũng như là tính ergodic của loài nào đó trong quần thể thông qua ngưỡng tham số. Tiếp tục với ý tưởng trên, trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của một số mô hình quần thể trong hệ sinh thái với môi trường ngẫu nhiên dưới góc nhìn khác. Sử dụng kỹ thuật từ bài báo Nguyễn Hữu Dư và cộng sự (2016) chúng tôi mong muốn tìm ra điều kiện đủ và rất gần với điều kiện cần cho sự phát triển bền vững cũng như tính ergodic của hệ thông qua dấu của giá trị ngưỡng. Ngoài ra chúng tôi còn chứng minh được sự hội tụ của xác suất chuyển đến độ đo xác suất bất biến khi hệ không suy biến. Cụ thể, chúng tôi xét hai chủ đề tương ứng với 2 chương kết quả chính của luận án. 1. Dáng điệu tiệm cận của một số hệ thú mồi ngẫu nhiên. Trong chương này chúng tôi xét 2 mô hình thú mồi. Trong mô hình thứ nhất chúng tôi xét hệ thú mồi có bước chuyển trạng thái, bị nhiễu bởi nhiễu trắng. Xuất phát từ bài toán được Nguyễn Hải Đăng và cộng sự giải quyết năm 2011, ( dx(t) = x(t) a1 − b1 y(t) − c1 x(t) dt + σx2 (t)dB1 (t), (0.1) dy(t) = y(t) − a2 + b2 x(t) − c2 y(t) dt + ρy 2 (t)dB2 (t), trong đó x(t), y(t) lần lượt là mật độ của mồi và thú, các tham số dương a1 , b1 , c1 , σ, a2 , b2 , c2 , ρ; B1 (.), B2 (.) là các quá trình Brown 1 chiều. Trong bài báo này, họ đã phát triển kết quả từ bài báo của Rudnicki (2013) trở thành hệ thú mồi có hệ số nhiễu của chuyển động Brown phi tuyến. Họ đã chứng minh rằng nghiệm của mô hình có hàm mật độ dương và từ đó họ nghiên cứu sâu hơn về dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ bằng việc xét sự hội tụ của hàm mật độ này. Trong luận án này chúng tôi tiếp tục mở rộng kết quả trên cho hệ lai khuếch tán có bước chuyển trạng thái ( dx(t) = x(t) a1 (ξt ) − b1 (ξt )y(t) − c1 (ξt )x(t) dt + σ(ξt )x2 (t)dB1 (t), dy(t) = y(t) − a2 (ξt ) + b2 (ξt )x(t) − c2 (ξt )y(t) dt + ρ(ξt )y 2 (t)dB2 (t), (0.2) trong đó {ξt , t > 0} là xích Markov liên tục phải nhận giá trị trong không gian 3
trạng thái hữu hạn S = {1, 2, ..., N }. Ngoài ra giả sử rằng các hệ số của phương trình (0.2) dương với mọi i ∈ S. Bài toán còn lại trong chương 2 của luận án đến từ mô hình thú mồi tất định được giới thiệu bởi Kooij và cộng sự (1996) ( −γx(t) dx(t) = x(t)[a1 − b1 x(t)] − c1 y(t)[1 − e ] dt dy(t) = y(t) − a2 + c2 [1 − e−γx(t) ] dt, trong đó x(t), y(t) lần lượt là mật độ của mồi và thú tương ứng. Các tham số dương a1 , b1 , a2 , c1 , c2 ; 1 − e−γx(t) là đại lượng thể hiện đáp ứng chức năng dạng Ivlev. Trong bài báo này, Kooij và cộng sự đã chứng minh sự tồn tại duy nhất của chu trình giới hạn đối với hệ trên. Ngoài ra họ còn chứng minh được những điều kiện của lý thuyết Zhang có thể được giảm nhẹ hơn. Sử dụng ý tưởng từ báo bài năm 2016 của Nguyễn Hữu Dư và cộng sự, chúng tôi muốn thiết lập điều kiện đủ và rất gần với điều kiện cần cho sự phát triển bền vững của hệ có đáp ứng chức năng dạng Ivlev trong điều kiện hệ chịu đồng thời cả nhiễu trắng và nhiễu Lévy. Cụ thể:  −γx(t)    dx(t) = x(t)[a 1 − b 1 x(t)] − c1 y(t)[1 − e ] dt + αx(t)dB1 (t)   R  + U x(t− )f1 (u)N e (dt, du) (0.3) −γx(t)    dy(t) = y(t) − a2 − b 2 y(t) + c2 [1 − e ] dt + βy(t)dB 2 (t)  R + U y(t− )f2 (u)N e (dt, du),   trong đó α, β là các hằng số dương; B1 (·), B2 (·) là các quá trình Brown 1 chiều. Ngoài ra các đại lượng còn lại sẽ được giới thiệu trong Chương 2 của luận án. Trong chương này, luận án sẽ tập trung giải quyết cho các vấn đề chính sau: • Tìm điểu kiện để nghiệm các hệ tồn tại và duy nhất. Liệu rằng tập R2,0 + có là tập bất biến? • Tìm ngưỡng tham số để phân loại dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ. Từ đó tìm ra điều kiện đủ và rất gần với điều kiện cần cho sự phát triển bền vững cũng như là tính ergodic của hệ. • Đánh giá (cải tiến) tốc độ hội tụ của loài thú x(t) đến nghiệm của hệ trên biên. • Tìm điều kiện để hệ tồn tại phân phối dừng cũng như là điều kiện để luật số lớn có hiệu lực. 4
2. Sự tuyệt chủng và bền vững của mô hình tái nhiễm SIRS ngẫu nhiên với tốc độ truyền bệnh tổng quát có bước chuyển trạng thái. Chương 3 của luận án đề cập đến mô hình tái nhiễm SIRS ngẫu nhiên với tốc độ truyền bệnh tổng quát có bước chuyển trạng thái. Ta có thể thấy rằng, nhiều nghiên cứu trên mô hình này sử dụng các hàm mô tả sự truyền bệnh khác nhau với sự tham gia và/hoặc của nhiễu trắng và bước chuyển trạng thái. Tuy nhiên, việc sử dụng các hàm khác nhau trong từng mô hình có nhiểu điểm hạn chế như các hàm khác nhau dẫn đến kết quả đánh giá khác nhau. Hơn nữa để tìm ra điều kiện cần của sự tuyệt chủng, xấp xỉ thường dùng là dùng lý thuyết giới hạn của các quá trình martingale và các bất đẳng thức đại số. Các công cụ trên chỉ thỏa mãn cho một số lớp các hàm riêng biệt. Bên cạnh đó, việc sử dụng các hàm Lyapunov để đạt điều kiện đủ cho tính bền vững thường gặp khó khăn khi các điều kiện này thường rất chặt và khó kiểm chứng. Việc sử dụng các hàm Lyapunov trong các mô hình với hàm truyền bệnh khác nhau còn dẫn đến việc áp đặt các điều kiện khác nhau trên các hàm Lyapunov đó. Trong luận án này chúng tôi mong muốn giải quyết bài toán trên cho hàm truyền bệnh tổng quát bằng kỹ thuật mới. Cụ thể, chúng tôi xét     dS(t) = − S(t)I(t)F1 (S(t), I(t), ξt ) + µ(ξt )(K − S(t)) + γ (ξ 1 t )R(t) dt  −S(t)I(t)F2 (S(t), I(t), ξt )dB(t)     dI(t) = S(t)I(t)F1 (S(t), I(t), ξt ) − (µ(ξt ) + ρ(ξt ) + γ2 (ξt ))I(t))dt       +S(t)I(t)F2 (S(t), I(t), ξt )dB(t)  dR(t) = (γ2 (ξt )I(t) − (µ(ξt ) + γ1 (ξt ))R(t))dt,  trong đó S(t), I(t), R(t) lần lượt là lớp các cá thể mẫn cảm với dịch bệnh, nhiễm bệnh và khỏi bệnh. Quá trình ξt , t > 0 là xích Markov liên tục phải nhận giá trị trên không gian hữu hạn trạng thái S = {1, 2, . . . , N }. Các hàm dương F1 (·), F2 (·) Lipchitz địa phương trên [0, ∞)2 × S, B(t) là quá trình Brown một chiều, các tham số dương K, µ(i), ρ(i), γ1 (i), γ2 (i) ứng với mỗi i ∈ S. Trọng tâm trong chương này luận án sẽ giải quyết các vấn đề chính sau • Tìm điều kiện để hệ tồn tại và duy nhất nghiệm. • Xây dựng ngưỡng tham số để phân loại trạng thái của hệ. Điều kiện này không chỉ là điều kiện đủ mà còn rất gần với điều kiện cần cho sự bền vững của hệ. 5
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Quá trình ngẫu nhiên 1.1.1. Quá trình martingale Quá trình khả tích {Ft }-phù hợp Rn -giá trị {Mt }t>0 gọi là martingale đối với {Ft } (ta gọi tắt là martingale) nếu E(Mt |Fs ) = Ms hầu chắc chắn với mọi 0 6 s < t < ∞. Quá trình khả tích {Ft }-phù hợp nhận giá trị thực {Mt }t>0 gọi là martingale dưới với {Ft } (martingale dưới) nếu E(Mt |Fs ) > Ms hầu chắc chắn với mọi 0 6 s < t < ∞. Quá trình liên tục phải phù hợp M = {Mt }t>0 gọi là martingale địa phương nếu tồn tại dãy hàm không giảm {τk }k>1 của thời điểm dừng với τk ↑ ∞ sao cho mỗi {Mτk ∧t − M0 } là martingale. Chú ý 1.1.1. Theo khai triển Doob-Meyer, nếu Y là martingale dưới, sẽ tồn tại quá trình tăng khả đoán duy nhất (A(t), t > 0) với A(0) = 0 hầu chắc chắn sao cho Y (t) − Y (0) − A(t) với mỗi t > 0, là martingale khả tích đều. Hơn nữa, nếu với mỗi Y (t) = M 2 (t) trong đó M là martingale bình phương khả tích, ta có thể nói rằng hM, M i(t) = A(t) với mỗi t > 0. Trong trường hợp này hM, M i(t) gọi là đặc trưng của M . Trong một số trường hợp, đặc trưng này có thể xác định như sau nếu M = B(·), trong đó B(·) quá trình Brown một chiều thì hM, M i(t) = t; Nếu M = N e (·, ·), với N e (·, ·) là quá trình Poisson bù với cường độ λ khi đó hM, M i(t) = λt với mỗi t > 0. Từ đó ta có Định lý 1.1.1. Cho M = {Mt }t>0 là martingale địa phương nhận giá trị thực triệt tiêu tại t = 0. Khi đó Mt lim hM, M it = ∞ hầu chắc chắn =⇒ lim = 0, hầu chắc chắn, t→∞ t→∞ hM, M it và ta cũng thu được hM, M it Mt lim sup < ∞ hầu chắc chắn =⇒ lim = 0 hầu chắc chắn. t→∞ t t→∞ t 6
1.1.2. Quá trình Markov Quá trình Ft -phù hợp n chiều X = {X(t)}t>0 gọi là quá trình Markov nếu tính chất Markov được thỏa mãn: với mọi 0 6 s 6 t < ∞ và A ∈ B(Rn ) P(X(t) ∈ A|Fs ) = P(X(t) ∈ A|X(s)). Định nghĩa 1.1.2. Quá trình Markov X gọi là ergodic nếu tồn tại độ đo xác suất bất biến π sao cho lim kP (t, x, ·) − πk = 0, (1.1) t→∞ trong đó chuẩn trong (1.1) là chuẩn biến phân toàn phần, nghĩa là, với mỗi độ đo µ và mọi hàm đo được f từ (X, B(X)) đến (Rn , B(Rn )), ta có kµk := R sup |f (x)|61 f (x)µ(dx) Định nghĩa 1.1.3. Quá trình Markov X gọi là ergodic mũ nếu nó là quá trình f -ergodic mũ với ít nhất f > 1 sao cho kP (t, x, ·) − πk 6 M (x)ρt , ∀t > 0, 1.1.3. Quá trình Lévy Cho ν(·) là độ đo Borel xác định trên Rn \{0}, độ đo ν(·) gọi là độ đo Lévy nếu Rn \{0} |y|2 ∧ 1 ν(dy) < ∞. R Quá trình bước nhảy tương ứng với quá trình Lévy X = {Xt }t>0 được xác định như sau ∆X = (∆X(t), t > 0) trong đó ∆X(t) = X(t) − X(t− ), với mỗi t > 0. Để đếm số bước nhảy của quá trình Lévy X = {Xt }t>0 , với mỗi A ∈ B(Rn \{0})), ta xác định N (t, A) = #{0 6 s 6 t; ∆X(s) ∈ A} = P 06s6t 1A (∆X(s)). Theo khai triển Doob-Meyer, ta có thể xây dựng độ đo ngẫu nhiên Poisson bù xác định bởi N e (t, A) = N (t, A) − ν(A)t. 1.2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 1.2.1. Phương trình vi phân ngẫu nhiên với bước chuyển Markov Cho ξt , t > t0 (t0 > 0) là xích Markov liên tục phải trên không gian xác suất nhận giá trị trong tập hữu hạn trạng thái S = {1, 2, 3, ..., N } với ma trận chuyển Γ = (qij )N ×N ( qij δ + o(δ) if i 6= j, P{ξt+δ = j|ξt = i} = 1 + qii δ + o(δ) if i = j, 7
trong đó δ → 0. qij là cường độ chuyển từ trạng thái i đến trạng thái j và qij > 0 P nếu i 6= j, trong khi qii = − i6=j qij . Xuyên suốt luận án, ta giả sử rằng ξt , t > t0 là bất khả qui. Ngoài ra ta còn giả sử rằng xích Markov ξt , t > t0 là Ft -phù hợp nhưng độc lập với các quá trình Brown B(t) = (B1 (t), B2 (t), ..., Bm (t))T , t > 0. Xét hệ lai khuyếch tán có bước chuyển Markov dx(t) = f (x(t), t, ξt )dt + g(x(t), t, ξt )dB(t), t0 6 t 6 T (1.2) Định nghĩa 1.2.1. Nghiệm tầm thường của (1.2), x(t) ≡ 0 gọi là • Ổn định theo xác suất, nếu với mỗi bộ 3, ε ∈ (0, 1), ρ > 0, t0 > 0, tồn tại δ = δ(ε, ρ, t0 ) > 0 sao cho P {|x(t; t0 , x0 , i)| < ρ for all t > t0 } > 1 − ε, với điều kiện ban đầu (x0 , i) ∈ Bδ × S. • Ổn định tiệm cận theo xác suất, nếu nó ổn định theo xác suất, hơn nữa, với mỗi cặp ε ∈ (0, 1) và t0 > 0, tồn tại δ0 = δ0 (ε, t0 ) sao cho P {limt→∞ x(t; t0 , x0 ) = 0} > 1 − ε, với mọi (x0 , i) ∈ Bδ0 × S. Định lý 1.2.1. Nếu V ∈ C 2,1 (Rn × R+ × S) khi đó với mọi t > 0 ta có Z t V (x(t), t, ξt ) = V (x(t), t, ξt )) + LV (x(s), s, ξs )ds 0 Z t + Vx (x(s), s, ξs )g(x(s), s, ξs )dB(s) Z0 t Z + [V (x(s), s, i0 + (h(ξs ), l)) − V (x(s), s, ξs )] µ(ds, dl). 0 R 1.2.2. Phương trình vi phân ngẫu nhiên có bước nhảy Xét phương trình tích phân ngẫu nhiên dạng Lévy-Itô Z dx(t) = F (t)dt + G(t)dBj (t) + H(t, u)N e (dt, du) |u|c với t > t0 , 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 m, x(t) là quá trình ngẫu nhiên Rn -giá trị, 1 (F i ) 2 , Gij ∈ P2 (t), H i ∈ P2 (t, E) và K khả đoán và 0 6 c 6 ∞. Xuyên suốt luận án, ta giả sử rằng, quá trình Brown m-chiều Ft -phù hợp B(t) = (B1 (t), B2 (t), ..., Bm (t)) với mỗi B(t) độc lập với độ đo Poisson ngẫu nhiên Ft - phù hợp N (·, ·) xác định trên R+ × Rn \{0} với độ đo bù N e (·, ·) và cường độ đo ν(·) trong đó ν(·) là độ đo Lévy. 8
Định lý 1.2.2. Nếu x là tích phân ngẫu nhiên Lévy-Itô có dạng (1.3). Khi đó với mỗi hàm f ∈ C 2 (Rn ), t > t0 , hầu chắc chắn, ta có f (x(t) − f (x(0)) Z t 1 t Z = i ∂i f (x(s− ))dx(c) (s) + ∂i ∂j f (x(s− ))d[xi(c) , xj(c) ](s) t 2 t0 Z 0t Z + [f (x(s− ) + K(s, u)) − f (x(s− ))] N (ds, du) t0 |u|>c Z tZ + [f (x(s− ) + H(s, u)) − f (x(s− ))] N e (ds, du) t |u|6c Z 0t Z f (x(s− ) + H(s, u) − f (x(s− )) − H i (s, u)∂i f (x(s− )) ν(du)ds. + t0 |u|6c 1.3 Một vài khái niệm thường dùng của hệ sinh thái Xét hệ ngẫu nhiên Kolmogorov tổng quát dxi (t) = xi (t)fi (x(t)) dt + xi (t)gi (x(t)) dEi (t), i = 1, . . . , n (1.4) nhận giá trị trên [0, ∞)n , trong đó x(t) = (x1 (t), . . . , xn (t), t > t0 ) với giá trị ban đầu x = (x1 (0), . . . , xn (0)). Giả sử rằng E(t) = (E1 (t), . . . , En (t))T = Γ> B(t), trong đó B(t) = (B1 (t), . . . , Bn (t)) là véc tơ của quá trình Brown độc lập, Ft -phù hợp; Γ là ma trận n × n thỏa mãn Γ> Γ = (σij )n×n . Định nghĩa 1.3.1. Quá trình x(t) gọi là bền vững ngẫu nhiên mạnh nếu nó có độ đo xác suất bất biến π ∗ trên Rn,◦ + và lim kP (t, x, ·) − π ∗ (·)k = 0, (1.5) t→∞ trong đó chuẩn trong (1.5) là chuẩn biến phân toàn phần và P (t, x, ·) là xác suất chuyển của x(t). Định nghĩa 1.3.2. Loài xi gọi là tuyệt chủng nếu với mọi x ∈ Rn,◦ + n o Px lim xi (t) = 0 = 1. t→∞ Định nghĩa 1.3.3. Hệ (1.4) gọi là bền vững ngẫu nhiên nếu với mọi ε > 0, tồn tại tập compact K ⊂ Rn,◦ + sao cho lim inf P t→∞ x (x 1 (t), . . . , x n (t)) ∈ K > 1 − ε. 9
Chương 2 Dáng điệu tiệm cận của hệ thú mồi ngẫu nhiên 2.1 Dáng điệu tiệm cận của mô hình thú mồi ngẫu nhiên có bước chuyển trạng thái Xét hệ lai khuyếch tán có bước chuyển trạng thái ( dx(t) = x(t) a1 (ξt ) − b1 (ξt )y(t) − c1 (ξt )x(t) dt + σ(ξt )x2 (t)dB1 (t), dy(t) = y(t) − a2 (ξt ) + b2 (ξt )x(t) − c2 (ξt )y(t) dt + ρ(ξt )y 2 (t)dB2 (t), (2.1) trong đó {ξt , t > 0} là xích Markov liên tục phải nhận giá trị trên không gian hữu hạn trạng thái S = {1, 2, ..., N }. x(t) và y(t) lần lượt là mật độ của mồi và thú, các hệ số dương: a1 (i) là cường độ phát triển nội tại của mồi; b1 (i), b2 (i) biểu thị cho các cường độ tương tác giữa 2 loài. c1 (i), c2 (i) là cường độ cạnh tranh nội tại của từng loài; a2 (i) cường độ chết của thú khi không có mồi; Các hệ số σ(i) và ρ(i) biểu thị cho cường độ nhiễu của môi trường lên từng loài, với mọi i ∈ S; B1 (t) và B2 (t) các quá trình Brown 1 chiều. 2.1.1. Điều kiện đủ và rất gần với điều kiện cần cho sự bền vững Định lý 2.1.1. Với mọi giá trị ban đầu (x(0), y(0)) ∈ R2+ , Phương trình (2.1) sẽ có nghiệm duy nhất trên t > 0 và nghiệm sẽ ở lại trong tập R2+ 2,o hầu chắc chắn. Hơn nữa, tập R+ là tập bất biến, có nghĩa là nếu x(0) > 0, y(0) > 0 thì x(t) > 0, y(t) > 0 ∀ t > 0. Khi vắng thú, ta có phương trình trên biên ( db x(t) = xb(t) a1 (ξt ) − c1 (ξt )b x2 (t)dB1 (t), x(t) dt + σ(ξt )b x b(0) = x b0 > 0, t > 0. Ta có thể chứng minh rằng {(b x(t), ξt ), t > 0} là quá trình Markov có phân phối 10
dừng µ∗ (dx, i) tập trung trên (0, ∞) × S. Do vậy, theo Định lý 1.1.1, ta có N Z 1 t Z X lim b2 (ξs )b x(s)ds = b2 (i)xµ∗ (dx, i) := m1 . t→∞ t 0 + i=1 R 1 1 Đặt z(t) = , zb(t) = và áp dụng Định lý 1.2.1 ta được x(t) x b(t) dz(t) = − a1 (ξt )z(t) + b1 (ξt )y(t)z(t) + c1 (ξt ) + σ 2 (ξt )z −1 (t) dt − σ(ξt )dB1 (t), z −1 (t) dt − σ(ξt )dB1 (t). z (t) + c1 (ξt ) + σ 2 (ξt )b z (t) = − a1 (ξt )b db Định lý so sánh nghiệm cho chúng ta z(t) > zb(t) ∀t > 0, miễn là z(0) = zb(0) > 0, y(0) > 0. Hay một cách khác, b(t) ∀t > 0, miễn là x(0) = x x(t) 6 x b(0) > 0, y(0) > 0. Tương tự, ta xét phương trình trên biên của thú khi vắng mồi ( dby (t) = yb(t) − a2 (ξt ) − c2 (ξt )b y 2 (t)dB2 (t), y (t) dt + ρ(ξt )b (2.2) yb(0) = yb0 > 0, t > 0. Định lý so sánh nghiệm cho ta y(t) > yb(t) hầu chắc chắn miễn là y(0) = yb(0) > 0, x(0) > 0. Từ hệ phương trình (2.2), ta thấy rằng limt→∞ yb(t) = 0. Gọi A1 = 1Rt PN 1Rt PN lim a 1 (ξs )ds = i=1 a 1 (i)π i ; A 2 = lim a 2 (ξs )ds = i=1 a2 (i)πi . Để t→∞ t 0 t→∞ t 0 phân loại trạng thái của hệ, chúng tôi xây dựng ngưỡng X N Z XN λ= b2 (i)xµ∗ (dx, i) − a2 (i)πi = m1 − A2 . (2.3) i=1 R+ i=1 Định lý 2.1.2. Với λ được xác định bởi (2.3), ta có (i) Nếu λ < 0 thú đến một lúc nào đó sẽ diệt vong. Trong trường hợp ln y(t) này, lim = λ hầu chắc chắn. Hơn nữa, với điều kiện ban đầu t→∞ t x(0) = x b(0) > 0, với mọi số thực thỏa mãn λ < λ, ta có 1 1 −λt −λt lim e x(t) − x b(t) = lim e − = 0. t→∞ t→∞ x(t) xb(t) (ii) Nếu λ > 0, quá trình Markov {(x(t), y(t), ξt ), t > 0} có độ đo xác suất bất biến duy nhất ψ ∗ tập trung trên R2,◦ + ×S. Hơn nữa, nếu B1 (t), B2 (t), ξt độc lập, giá của ψ ∗ là toàn bộ không gian R2,◦ + × S. 11
Để chứng minh Định lý 2.1.2, ta cần bổ đề sau. Bổ đề 2.1.3. Các khẳng định sau là đúng với xác suất 1. 1 Rt ρ2 (ξs ) 2 a) lim sup b2 (ξs )x(s) − c2 (ξs )y(s) − y (s) ds 6 A2 , t→∞ t 0 2 1 Rt ρ2 (ξs ) 2 b) lim inf b2 (ξs )x(s) − c2 (ξs )y(s) − y (s) ds > 0, t→∞ t 0 2 1 Rt σ 2 (ξs ) 2 c) lim inf b1 (ξs )y(s) + c1 (ξs )x(s) + x (s) ds > A1 , t→∞ t 0 2 1 Rt σ 2 (ξs ) 2 d) lim c1 (ξs )b x(s) + x b (s) ds = A1 . t→∞ t 0 2 Chứng minh Định lý 2.1.2. Trước hết ta chứng minh khẳng định (i). Gọi λ < λ, bằng công thức L’ Hospital, ta có thể chứng minh rằng limt→∞ e−λt (z(t) − zb(t)) = 0. Chú ý rằng x(t) 6 x b(t) ∀t > 0 và theo công thức công thức Itô ta có ln y(t) ln y(0) 1 t ρ2 (ξs ) 2 Z 6 + − a2 (ξs ) + b2 (ξs )b x(s) − c2 (ξs )y(s) − y (s) ds t t t 0 2 1 t Z + ρ(ξs )y(s)dB2 (s). t 0 ln y(t) Từ đánh giá này và định nghĩa của λ, ta dẫn đến lim supt→∞ 6 λ < 0. t Từ đó ta có ln y(t) − ln x(t) lim sup 6 λ < 0. (2.4) t→∞ t Từ (2.4) ta được limt→∞ e−λt (z(t) − zb(t)) = 0. Mặt khác, gọi λ là số thực thỏa ln x b(t) mãn λ < λ < λ. Từ limt→∞ = 0, limt→∞ e(λ−λ)t xb2 (t) = 0. Khẳng định t cuối cùng của (i) được suy ra từ Định lý 1.2.1. (ii). Với mọi hàm f xác định trên S, gọi fˇ := maxi∈S f (i) và fb := mini∈S f (i). Ta có thể chứng minh được 1 t Z λbc1 y(s) + y 2 (s) ds > lim inf , t→∞ t 0 ˇb2 ∆ 12
n cˇ1 ρˇ2 o 8m1 4m2 ˇ cˇ1 với ∆ = max b1 + b cˇ2 , b . Gọi H > max , , trong đó m2 := b2 2b2 ∇bρ2 ∇bc1 1Rt PN R ∗ lim t→∞ t 0 c (ξ 1 s )bx (s)ds = i=1 R+ c1 (i)xµ (dx, i) < ∞, ta có 1 t ∇ Z lim inf 1{(x(s),y(s),ξs )∈A} ds > hầu chắc chắn, (2.5) t→∞ t 0 2 với A = {(x, y) : 0 6 x < H, ~ 6 y 2 < H} × S. Hơn nữa, từ (2.5), theo bổ đề Fatou, ta có 1 t ∇ Z lim inf P (s, (x, y, i), A)ds > ∀(x, y, i) ∈ R2,◦ + × S. (2.6) t→∞ t 0 2 Từ M = {(x, y) : x > 0, y > 0} là bất biến đối với Phương trình (2.1), từ đó ta có thể xét quá trình Markov {(x(t), y(t), ξt ), t > 0} trên không gian trạng thái M × S. Từ bất đẳng thức (2.6) và tính compact của A trong M × S dẫn đến tồn tại độ đo xác suất bất biến ψ ∗ trên M × S. Từ sự bất biến của R2,◦ + ×S cho ta ψ ∗ là độ đo xác suất bất biến của {(x(t), y(t), ξt ), t > 0} trên không gian R2,◦ + × S. Định lý 2.1.4. Nếu λ > 0, (2.1) có duy nhất độ đo xác suất bất biến ψ ∗ với 2,◦ giá R+ × S. Hơn nữa, (i) Luật mạnh số lớn có hiệu lực, có nghĩa là với mọi ψ ∗ -khả tích f : R2,◦ + × 2,◦ S → R, với mọi (x(0), y(0), i) ∈ R+ × S, ta có N Z 1 t Z X lim f (x(s), y(s), ξs )ds = f (x, y, i)ψ ∗ (dx, dy, i) a.s. t→∞ t 0 2,◦ i=1 R+ 2,◦ (ii) Với mọi (x, y, i) ∈ R+ × S, lim kP (t, (x, y, i), ·) − ψ ∗ (·)k = 0, trong đó t→∞ P (t, (x, y, i), ·) là xác suất chuyển của (x(t), y(t), ξt ), k · k là chuẩn biến phân toàn phần. 13
2.1.2. Ví dụ Để khẳng định các kết quả trên, chúng tôi xét hai ví dụ để minh họa rằng tính chất của hệ sẽ thay đổi hoàn toàn phụ thuộc vào dấu của ngưỡng tham số của hệ được sinh từ bước chuyển Markov. Giả sử rằng S = {1, 2}. Ví dụ 2.1.1. Trong ví dụ này chúng tôi sẽ chỉ ra rằng quần thể là bền vững trong từng trạng thái. Tuy nhiên khi có bước chuyển Markov hệ sẽ tuyệt chủng. Thật vậy, xét Phương trình (2.1) tại mỗi trạng thái, giá trị các hệ số được cho trong Bảng 2.1. Tại trạng thái 1, ta có thể tính được λ1 = 0.4763 > 0; tại trạng Hệ số a1 a2 b1 b2 c1 c2 σ ρ Trạng thái 1 0.9 2.5 2 2.8 0.6 5 0.6 4 2 0.2 0.1 1 4 3 0.5 1.5 4 Bảng 2.1: Tham số của mô hình trong Ví dụ 2.1.1 thái 2, λ2 = 0.1602 > 0. Điều này có nghĩa tại mỗi trạng thái, hệ bền vững. Tuy nhiên khi có bước chuyển trạng thái với cường độ chuyển q12 = 0.2, q21 = 0.6, phân phối dừng của ξt trong trường hợp này là π = (0.75, 0.25), ta có thể tính được λ = −0.1555 < 0. Điều này thể hiện rằng loài mồi của hệ là tuyệt chủng. Ví dụ 2.1.2. Ví dụ thứ 2 minh họa trường hợp ngược lại khi có bước chuyển trạng thái tác động vào hệ. Xét hệ (2.1), giá trị các hệ số tại mỗi trạng thái được cho trong Bảng 2.2 sau. Thực hiện các tính toán như trên, tại trạng thái Hệ số a1 a2 b1 b2 c1 c2 σ ρ Trạng thái 1 0.2 0.45 1 9.5 5 1 2 4 2 1 0.85 0.5 3.6 4.2 2 1.5 4 Bảng 2.2: Tham số của mô hình trong Ví dụ 2.1.2 1, λ1 = −0.0760 < 0, λ2 = −0.0442 < 0 cho trạng thái 2. Điều này dẫn đến loài thú tại mỗi trạng thái đến một lúc nào đó sẽ diệt vong. Tuy nhiên khi xảy ra nhiễu với cường độ chuyển q12 = 0.2 và q21 = 0.6, ta có thể ước lượng λ = 0.0637 > 0 bằng luật số lớn. Điều này chứng tỏ rằng, trong trường hợp này, hệ (2.1) bền vững và tồn tại phân phối dừng. 14
2.2 Dáng điệu tiệm cận của mô hình thú mồi ngẫu nhiên với đáp ứng chức năng Ivlev có bước nhảy Xét mô hình có đáp ứng chức năng dạng Ivlev bị chịu đồng thời cả nhiễu trắng và nhiễu Lévy.  −γx(t)    dx(t) = x(t)[a1 − b1 x(t)] − c1 y(t)[1 − e ] dt + αx(t)dB1 (t)   R  + U x(t− )f1 (u)N e (dt, du) (2.7) −γx(t)    dy(t) = y(t) − a2 − b 2 y(t) + c2 [1 − e ] dt + βy(t)dB 2 (t)  R + U y(t− )f2 (u)N e (dt, du),   trong đó x(t), y(t) lần lượt là mật độ của mồi và thú. Các tham số dương: a1 là cường độ phát triển nội tại của mồi; b1 là tỷ lệ cạnh tranh nội tại của mồi; c1 là lượng mồi cực đại có thể được tiêu thụ bởi thú trong 1 đơn vị thời gian; a2 tỷ lệ tử vong của thú; c2 hiệu quả chuyển đổi; γ biểu thị sự giảm động lực săn bắt; Các hằng số dương α, β; U = R\{0} và B1 (·), B2 (·) là các quá trình Brown 1 chiều, Ft -phù hợp ; Ne (·, ·) là độ đo ngẫu nhiên Poisson, f1 (·), f2 (·) là các hàm liên tục thỏa mãn các Giả thiết 2.2.1 sau. Giả thiết 2.2.1. ∀u ∈ U và i = 1, 2, giả sử rằng • Các hàm fi (u) : U → R liên tục, fi (u) + 1 > 0. • sup U ln2 (fi (u) + 1)ν(du), U fi2 (u)ν(du) = C < ∞. Điều kiện này R R nhằm đảm bảo rằng cường độ của nhiễu Poisson lên hệ là không quá lớn. Gọi Z tZ Z tZ M1 (t) = ln(f1 (u)+1)N e (ds, du); M2 (t) = ln(f2 (u)+1)N e (ds, du); 0 U 0 U α2 Z ρ := a1 − + [ln(f1 (u) + 1) − f1 (u)]ν(du). 2 U Theo Giả thiết 2.2.1 and Định lý 1.1.1 ta có Mi (t) Bi (t) lim = 0; lim = 0, ∀i = 1, 2. t→∞ t t→∞ t Trong mục này ta giả sử rằng Giả thiết 2.2.1 luôn được thỏa mãn. Hơn thế nữa, các quá trình Brown Bi (·) và độ đo Poisson ngẫu nhiên N (·, ·) độc lập với nhau. 15
Định lý 2.2.1. Với điều kiện ban đầu (x0 , y0 ) ∈ R2,o + , (2.7) có nghiệm dương 2,o toàn cục duy nhất x(t), y(t), t > 0. Hơn nữa, R+ là tập bất biến dương với phương trình (2.7) theo nghĩa, với điều kiện ban đầu (x0 , y0 ) ∈ R2,o+ , (x(t), y(t)) ∈ R2,o + , hầu chắc chắn, với mọi t > 0. Với điều kiện ban đầu ϕ(0) = x(0) = x0 , xét phương trình trên biên Z dϕ(t) = ϕ(t)[a1 − b1 ϕ(t)]dt + αϕ(t)dB1 (t) + ϕ(t− )f1 (u)N e (dt, du) (2.8) U Mệnh đề 2.2.2. Nếu ρ < 0 thì x(t) dần đến 0 và limt→∞ y(t) = 0 với tốc độ mũ. Từ bổ đề này, từ đây về sau ta luôn giả sử ρ > 0. Bổ đề 2.2.3. Với mọi số dương p đủ nhỏ, ta có −p 2 lim sup E ϕ (t) + ϕ (t) < ∞. t→∞ Từ đó, quá trình ϕ(t), t > 0 ergodic. Hơn nữa, ln ϕ(t) lim = 0, hầu chắc chắn. t→∞ t Chú ý 2.2.2. Từ chứng minh của Bổ đề 2.1.3 và tính ergodic của ϕ(t), với mọi 0 < p < 2, 1 t p Z Z lim sup ϕ (s)ds = xp π ϕ (dx) =: Kp < ∞. t→∞ t 0 R+ 2.2.1. Điều kiện đủ và rất gần với điều kiện cần cho sự bền vững Để nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận nghiệm của Phương trình (2.7), ta xây dựng ngưỡng Z ∞ β2 Z λ := −a2 − + c2 (1 − e−γx )π ϕ (dx) + [ln(f2 (u) + 1) − f2 (u)]ν(du). 2 0 U Định lý 2.2.4. Với λ xác định như trên, ta có kết quả sau: (i) Nếu λ < 0, thú đến một lúc nào đó sẽ diệt vong. Ngoài ra với mọi số thực λ > max{−ρ, λ} ta có 1 1 −λt −λt lim e ϕ(t)−x(t) = lim e − = 0, miễn là ϕ(0) = x0 > 0. t→∞ t→∞ x(t) ϕ(t) 16
(ii) Nếu λ > 0 quá trình (x(t), y(t)) tồn tại độ đo xác suất bất biến tập trung trên R2,o + . Chứng minh. (i). Ta có thể chứng minh được 1 lim sup ln y(t) 6 λ < 0, a.s. t→∞ t Ngoài ra, khi λ < 0, nghiệm y(t) với điều kiện ban đầu y(0) = y0 , hội tụ đến 0 khi t → ∞ với tốc độ mũ. Từ đánh giá này, định lý so sánh nghiệm và Định lý 1.2.1 cho ta ln y(t) − ln x(t) lim sup 6 λ < 0. t→∞ t Gọi λ > max{−ρ, λ} tùy ý, theo công thức biên thiên hằng số, ta được 1 1 lim e−λt − = 0. t→∞ x(t) ϕ(t) Phần còn lại của khẳng định (i) được chứng minh tương tự như trong Định lý 2.1.2. Để chứng minh (ii), ta xét phương trình trên biên Z dψ(t) = ψ(t) − a2 − b2 ψ(t) + c2 dt + βψ(t)dB2 (t) + ψ(t− )f2 (u)N e (dt, du). U Dễ thấy y(t) 6 ψ(t) hầu chắc chắn khi ψ(0) = y0 > 0. Ngoài ra từ giả thiết λ > 0 ta được β2 Z −a2 − + c2 + [ln(f2 (u) + 1) − f2 (u)]ν(du) > 0. 2 U Tương tự như trong Phương trình (2.8), ta cũng thu được 1 t p Z Z lim sup ψ (s)ds = xp π ψ (dx) =: K e p < ∞, for any 0 < p < 2. t→∞ t 0 R+ Từ đó ta có, Z t 1 b1 λ lim inf y(s)ds > := κ > 0. t→∞ t 0 b1 b2 + c2 c1 γ 2 Gọi G := {(x, y) : 0 < x 6 H, ~ 6 y 6 H}, theo bổ đề Fatou 1 t (κ − ~)q K1 + K Z e1 lim inf P (s, (x, y), G)ds > q − > 0, ∀(x, y) ∈ R2,o + . t→∞ t 0 (Kp ) e p H 17
Chứng minh còn lại của phần này được thực hiện tương tự như trong Định lý 2.1.2, phần (ii). Định lý 2.2.5. Nếu λ > 0, nghiệm của Phương trình (2.7) có độ đo xác 2,◦ suất bất biến duy nhất µ∗ với giá R+ . Hơn nữa, (i) Với mọi µ∗ -khả tích f (x, y) : R2,◦ + → R, hầu chắc chắn ta có 1 t Z Z lim f (x(s), y(s))ds = f (x, y)µ∗ (dx, dy), ∀(x0 , y0 ) ∈ R2,◦ + . t→∞ t 0 (ii) Với mọi (x, y) ∈ R2,◦ ∗ + , lim kP (t, (x, y, i), ·) − µ (·)k = 0. t→∞ 2.2.2. Ví dụ Mục này chỉ ra rằng quá trình bước nhảy dường như góp phần làm cho hệ tuyệt chủng. Thật vậy, khi cường độ của bước nhảy khá nhỏ, hệ vẫn giữ được tính phát triển bền vững. Tuy nhiên, khi cường độ của bước nhảy đủ lớn, hệ có thể trở nên tuyệt chủng. Hiện tượng này được thể hiện qua ví dụ sau. Ví dụ 2.2.3. Giả sử a1 = 12; a2 = 2; b1 = 1; b2 = 2.8; c1 = 1; c2 = 12.5; γ = 1; α = 1; β = 1. Tính toán trực tiếp trên hệ không có bước nhảy ta thu được Λ = 9.9988 > 0, điều này có nghĩa là hệ (2.7) không có bước nhảy là bền vững. Tuy nhiên ta có thể thấy ngay sau đây, dấu của λ phụ thuộc vào cường độ của −0.3 sin u+3 bước nhảy. Thật vậy, gọi f1 (u) = 0.1 sin 2 u−0.1 sin u+1 , f2 (u) = 1+sin u+cos 2 u ,U = P (0, ∞) và N (t, ·) = τn 6t 1{·} (ηn ) là độ đo Poisson ngẫu nhiên, với σn = τn+1 − τn , n = 0, 1, ... là dãy độc lập các biến ngẫu nhiên cùng phân phối mũ với tham số λ1 (Kỳ vọng là nghịch đảo của λ1 ) và (ηn ) để minh họa, chúng tôi chọn là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối mũ với tham số nhận giá trị 1. Khi đó ν(du) = λ1 1{u>0} e−u du. Với λ1 = 1, ta có λ ≈ 9.6667. Điều này chứng tỏ rằng y(t) tồn tại bền vững. Hơn nữa, quá trình (x(t), y(t)) có độ đo xác suất bất biến trên không gian R2,o + . Với λ1 = 6.667 ta có λ ≈ −0.55 < 0, trong khi ρ = 1.339 > 0. Theo Định lý 2.2.4 thú sẽ dần đến 0 khi t → ∞, trong khi thú trong mô hình không bị nhiễu bởi bước nhảy vẫn còn tồn tại bền vững (Λ = 9.9988 > 0). Hơn nữa, khi λ1 = 7.6923, ta có ρ = −0.2234. Theo Mệnh đề 2.2.2, cả mồi lẫn thú đến một lúc nào đó sẽ diệt vong. 18