Dự thảo tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Dáng điệu tiệm cận và tính ổn định của điểm cân bằng một số phương trình và hệ phương trình sai phân phân thức

Chia sẻ: Acacia2510 _Acacia2510 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

30
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của luận án là nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm hai dạng phương trình sai phân phân thức cấp hai và một dạng phương trình sai phân phân thức cấp bốn. Xây dựng dạng tiệm cận nghiệm chứa hàm logarit tự nhiên của một dạng phương trình sai phân phân thức cấp ba. Phân tích sự ổn định của điểm cân bằng dương của hai dạng hệ phương trình sai phân phân thức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Dự thảo tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Dáng điệu tiệm cận và tính ổn định của điểm cân bằng một số phương trình và hệ phương trình sai phân phân thức

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Hồng Thái SỰ ỔN ĐỊNH TOÀN CỤC CỦA MỘT VÀI LỚP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN PHI TUYẾN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 62.46.01.02 (DỰ THẢO) TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2018
Công trình được hoàn thành tại: Bộ môn Giải tích, khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội. Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS.TS. Vũ Văn Khương Đại học Giao thông vận tải 2. TS. Lê Đình Định ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội Phản biện: .......................................................................... ......................................................................... Phản biện: .......................................................................... ......................................................................... Phản biện: .......................................................................... ......................................................................... Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia chấm luận án tiến sĩ họp tại ..................................................................................................... vào hồi giờ ngày tháng năm 20 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội
MỞ ĐẦU Phương trình sai phân xuất hiện trong nhiều lĩnh vực của đời sống xã hội: kinh tế, sinh học, y học, toán học, ... Thí dụ, để dự báo dân số của một tỉnh nào đó, theo dân số năm 2018 là A, tốc độ tăng dân số là a%, ta làm như sau: Gọi năm 2018 là 0, năm 2019 là 1, năm 2020 là 2, ... Gọi dân số năm thứ n a là yn , khi đó dân số năm thứ (n+1) là yn+1 = yn + a%.yn = 1 + yn và ta 100 đưa việc dự báo dân số về việc giải phương trình sai phân yn+1 = 1 + a yn ,  100 y = A. 0 Thí dụ khác, để tìm nghiệm của phương trình đại số hoặc siêu việt f (x) = 0 (1) trên (a; b), trong đó f 0 (x) và f 00 (x) không đổi dấu và f (a).f (b) < 0, ta có thể dùng phương pháp Niutơn theo công thức  xn+1 = xn − f (xn ) ,  f 0 (xn ) (2) x0 = c  có nghĩa là thay phương trình (1) bằng phương trình sai phân (2) để tìm nghiệm gần đúng xn của phương trình (1). Phương trình sai phân xuất hiện ở dạng tuyến tính hoặc phi tuyến. Đối với phương trình tuyến tính đã có những phương pháp giải để tìm được nghiệm tường minh. Đối với phương trình phi tuyến thì chưa có phương pháp chung để giải do sự đa dạng của các kiểu phương trình. Nghiên cứu các phương trình và hệ phương trình sai phân phi tuyến đã được bắt đầu từ lâu nhưng phát triển mạnh nhất là từ cuối thế kỷ XX và hơn một thập kỷ đầu của thế kỷ XXI. Việc nghiên cứu đó thu hút rất nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Ở nước ngoài, có thể kể đến các tên tuổi lớn như R. P. Agarwal, L. Berg, G. Ladas, gần đây nhất có thể kể đến các nghiên cứu của 1
Q. Din, G. Papaschinopoulos, M. A. Radin, C. J. Schinas, G. Stefanidou và các nhà toán học khác như K. Berenhaut, E. Camouzis, S. Elaydi, E. A. Grove, M. R. S. Kulenovi´c, O. Merino, M. Nurkanovi´c, Z. Nurkanovi´c, X. Li, D. Zhu, S. Stevi´c, ... Ở trong nước, có thể xem các nghiên cứu của Phạm Kỳ Anh, Đặng Vũ Giang, Đinh Công Hướng, Vũ Văn Khương. Phương trình sai phân phi tuyến cấp lớn hơn một có vai trò rất quan trọng trong ứng dụng mà ở đó thế hệ thứ (n+1) của hệ phụ thuộc vào n thế hệ trước đó, đặc biệt là các phương trình sai phân phi tuyến dạng phân thức. Các phương trình đó xuất hiện một cách tự nhiên như sự rời rạc hay như nghiệm số của các phương trình vi phân và vi phân có trễ mô tả các hiện tượng khác nhau trong các lĩnh vực: sinh học, sinh thái học, sinh lý học, vật lý, kỹ thuật và kinh tế... ví dụ như các mô hình sau: • Mô hình sản sinh tế bào máu do Mackey và Glass đề xuất: β xn+1 = αxn + , n = 0, 1, 2, ... (3) 1 + xpn−k trong đó α ∈ [0; 1), p, β ∈ (0, ∞), k ∈ Z+ và các giá trị ban đầu x−k , ..., x0 ∈ [0, ∞). • Mô hình của một loại cây hàng năm: λxn xn+1 = , n = 0, 1, 2, ... (4) (1 + axn )p + bλxn trong đó a, b, p ∈ (0, ∞), λ ∈ [1, +∞) và giá trị ban đầu x0 là số thực dương. • Mô hình mô tả mối quan hệ giữa vật chủ và ký sinh do R. M. May đề xuất: αxn  xn+1  = , 1 + βyn n = 0, 1, 2, ... (5) βxn yn yn+1 =  , 1 + βyn trong đó α, β ∈ (0, ∞) và các giá trị ban đầu x0 , y0 là các số dương tùy ý. • Mô hình tương tác giữa sâu đục cành và cây nho ở đồng bằng Texas:  xn+1 = αxn  , eyn + βyn n = 0, 1, 2, ... (6) yn+1 = γ(xn + 1)yn ,  2
trong đó α ∈ (1, ∞), β ∈ (0, ∞), γ ∈ (0; 1) và giá trị ban đầu x0 , y0 là các số dương tùy ý. Trong cuốn chuyên khảo "Dynamics of Second Order Rational Difference Equations with Open Problems and Conjectures" năm 2002, M. R. S. Kulenovíc và G. Ladas đã tổng hợp các kết quả nghiên cứu về tính giới nội, tính ổn định toàn cục và tính tuần hoàn của lớp phương trình sai phân phân thức cấp hai có dạng: α + βxn + γxn−1 xn+1 = , n = 0, 1, 2, ... (7) A + Bxn + Cxn−1 trong đó các tham số α, β, γ, A, B, C và các giá trị ban đầu x−1 , x0 là các số thực không âm sao cho A + Bxn + Cxn−1 > 0 với mọi n ≥ 0. Đến năm 2008, E. Camouzis và G. Ladas trong cuốn chuyên khảo "Dy- namics of Third Order Rational Difference Equations with Open Problems and Conjectures" đã trình bày các kết quả về tính giới nội, tính tuần hoàn của nghiệm và tính ổn định của điểm cân bằng của lớp phương trình sai phân phân thức cấp ba có dạng: α + βxn + γxn−1 + δxn−2 xn+1 = , n = 0, 1, 2, ... (8) A + Bxn + Cxn−1 + Dxn−2 trong đó các tham số α, β, γ, δ, A, B, C, D và các giá trị ban đầu x−2 , x−1 , x0 là các số thực không âm sao cho mẫu số luôn dương. Những năm gần đâu, ngoài các nghiên cứu về các dạng phương trình thuộc lớp phương trình sai phân phân thức (7) và (8) còn có rất nhiều các nghiên cứu về các dạng khác nhau của phương trình sai phân phân thức, có thể kể đến các nghiên cứu của L. Berg, S. Stevíc, K. Berenhaut, V. V. Khương, X. Li , ... Tiếp tục các nghiên cứu về phương trình và hệ phương trình sai phân phân thức thời gian vừa qua, trong luận án này chúng tôi đề xuất nghiên cứu các dạng phương trình và hệ phương trình có tính chất tổng quát hơn, hoặc các dạng mới góp phần làm phong phú thêm kết quả về mặt lý thuyết định tính các dạng phương trình sai phân. Với lý do đó, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: "Dáng điệu tiệm cận và tính ổn định của điểm cân bằng một số phương trình và hệ phương trình sai phân phân thức" cho luận án này. 3
Cụ thể, chúng tôi tập trung nghiên cứu một số vấn đề sau: 1. Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm hai dạng phương trình sai phân phân thức cấp hai và một dạng phương trình sai phân phân thức cấp bốn. 2. Xây dựng dạng tiệm cận nghiệm chứa hàm logarit tự nhiên của một dạng phương trình sai phân phân thức cấp ba. 3. Phân tích sự ổn định của điểm cân bằng dương của hai dạng hệ phương trình sai phân phân thức. Cấu trúc của luận án: ngoài các phần Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mở đầu, Kết luận, Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt, Danh mục các hình vẽ, đồ thị, Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án và Tài liệu tham khảo, luận án được trình bày trong ba chương: Chương 1 trình bày một số định nghĩa cơ bản và một vài kết quả về nghiệm của phương trình và hệ phương trình sai phân phi tuyến sẽ được dùng trong các chương tiếp theo của luận án. Chương 2 nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm của hai dạng phương trình sai phân phân thức cấp hai và một dạng phương trình sai phân phân thức cấp bốn đồng thời xây dựng dạng tiệm cận nghiệm của một dạng phương trình sai phân phân thức cấp ba. Chương 3 nghiên cứu sự ổn định của điểm cân bằng dương của hai dạng hệ phương trình sai phân phân thức. Phần cuối của mục 2.3 trong Chương 2 và Chương 3 chúng tôi đưa ra một vài ví dụ số minh họa cho các kết quả lý thuyết và dùng phần mền MATLAB để vẽ đồ thị. Các kết quả của luận án được công bố trong các công trình [1-6] của tác giả và thầy hướng dẫn. 4
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng ta sẽ nhắc lại một số khái niệm và các kết quả đã được chứng minh để sử dụng cho các chương sau của luận án. 1.1 Phương trình sai phân cấp cao 1.1.1 Các định nghĩa Phương trình sai phân cấp (k + 1) là phương trình có dạng: xn+1 = F (xn , xn−1 , ..., xn−k ), n = 0, 1, 2, . . . , (1.1) trong đó F là hàm số liên tục từ J k+1 vào J. Tập J thường là một khoảng của tập số thực, hoặc là hợp của các khoảng, hoặc là tập rời rạc như tập các số nguyên Z. Nghiệm của phương trình (1.1) là một dãy {xn }∞ n=−k thỏa mãn phương trình (1.1) với mọi n ≥ 0. Nếu ta cho một tập (k + 1) các giá trị ban đầu: x−k , x−k+1 , . . . , x0 ∈ J thì nghiệm của phương trình (1.1) là tồn tại và duy nhất xác định bởi (k + 1) giá trị ban đầu. Một nghiệm của phương trình (1.1) là hằng số với mọi n ≥ −k được gọi là nghiệm cân bằng. Nếu xn = x¯ với mọi n ≥ −k là một nghiệm cân bằng của phương trình (1.1) thì x¯ được gọi là điểm cân bằng của phương trình (1.1). 5
Định nghĩa 1.1. i) Điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1) được gọi là ổn định địa phương nếu với mỗi > 0, tồn tại δ > 0 sao cho nếu {xn }∞ n=−k là một nghiệm của phương trình (1.1) với |x−k − x¯| + |x−k+1 − x¯| + ... + |x0 − x¯| < δ, thì |xn − x¯| < , với mọi n ≥ −k. ii) Điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1) được gọi là hút địa phương nếu tồn tại γ > 0 sao cho {xn }∞ n=−k là một nghiệm của phương trình (1.1) thỏa mãn điều kiện |x−k − x¯| + |x−k+1 − x¯| + ... + |x0 − x¯| < γ, thì lim xn = x¯. n→∞ iii) Điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận địa phương nếu x¯ là ổn định địa phương và hút địa phương. iv) Điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1) được gọi là hút toàn cục nếu mọi nghiệm {xn }∞ n=−k của phương trình (1.1) ta đều có lim xn = x¯. n→∞ v) Điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận toàn cục nếu x¯ là ổn định địa phương và hút toàn cục. vi) Điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1) được gọi là không ổn định nếu x¯ không ổn định địa phương. 1.1.2 Ổn định tuyến tính hóa Giả sử hàm số F khả vi liên tục trong một lân cận mở nào đó của điểm cân bằng x¯. Đặt ∂F qi = (¯ x, x¯, ..., x¯), với i = 0, 1, ..., k ∂ui 6
Khi đó phương trình: yn+1 = q0 yn + q1 yn−1 + ... + qk yn−k , n = 0, 1, 2, . . . , (1.2) được gọi là phương trình tuyến tính hóa của phương trình (1.1) xung quanh điểm cân bằng x¯ và phương trình λk+1 − q0 λk − q1 λk−1 − ... − qk−1 λ − qk = 0, (1.3) được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (1.2) xung quanh điểm cân bằng x¯. Định lý 1.1. (Định lý ổn định tuyến tính hóa) Giả sử hàm số F khả vi liên tục xác định trong một lân cận mở nào đó của x¯. Khi đó các phát biểu sau là đúng: i) Nếu tất cả các nghiệm của phương trình (1.3) có môđun bé hơn 1 thì điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1) là ổn định tiệm cận địa phương. ii) Nếu có ít nhất một nghiệm của phương trình (1.3) có môđun lớn hơn 1 thì điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1) là không ổn định. Định lý sau đây sẽ cho ta điều kiện đủ để tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng với bậc tùy ý nằm trong hình tròn đơn vị. Định lý 1.2. Giả sử q0 , q1 , q2 , ..., qk là các số thực sao cho: |q0 | + |q1 | + ... + |qk | < 1, khi đó mọi nghiệm của phương trình (1.3) nằm trong hình tròn đơn vị. 1.1.3 Kết quả so sánh Định lý 1.3. Cho I là một khoảng của tập số thực, k là số nguyên dương và hàm F : I k+1 → I 7
là hàm tăng theo tất cả các biến. Giả sử {xn }∞ ∞ ∞ n=−k , {yn }n=−k và {zn }n=−k là các dãy số thực sao cho   x ≤ F (xn , xn−1 , ..., xn−k ), n = 0, 1, ...  n+1   yn+1 = F (yn , yn−1 , ..., yn−k ), n = 0, 1, ...    z n+1 ≥ F (zn , zn−1 , ..., zn−k ), n = 0, 1, ... và xn ≤ yn ≤ zn , với mọi − k ≤ n ≤ 0. Khi đó, ta có xn ≤ yn ≤ zn , với mọi n > 0. 1.1.4 Định lý hội tụ Định lý 1.4. Cho g : [a, b]k+1 → [a, b] là hàm liên tục, trong đó k là số nguyên dương và [a, b] là khoảng các số thực. Xét phương trình sai phân sau xn+1 = g(xn , xn−1 , ..., xn−k ), n = 0, 1, 2, ... (1.4) Giả sử hàm g thỏa mãn các điều kiện sau: (1) Với mỗi số nguyên i sao cho 1 ≤ i ≤ k + 1, hàm g(z1 , z2 , ..., zk+1 ) là hàm đơn điệu theo biến zi với các biến z1 , z2 , ...zi−1 , zi+1 , ..., zk+1 cố định; (2) Nếu m, M là nghiệm của hệ m = g(m1 , m2 , ..., mk+1 ) và M = g(M1 , M2 , ..., Mk+1 ) thì m = M , trong đó với mỗi i = 1, 2, ..., k + 1 ta đặt  m nếu g là hàm không giảm theo biến zi mi = M nếu g là hàm không tăng theo biến z i và  M nếu g là hàm không giảm theo biến zi Mi = m nếu g là hàm không tăng theo biến zi . Khi đó, tồn tại duy nhất một điểm cân bằng x của phương trình (1.4) và mọi nghiệm của phương trình (1.4) hội tụ đến x khi n → ∞. 8
1.2 Hệ phương trình sai phân 1.2.1 Các định nghĩa về ổn định Trong phần này ta sẽ trình bày khái niệm về sự ổn định của hệ phương trình sai phân phi tuyến cấp 1 tổng quát có dạng: Yn+1 = G(n, Yn ), n = 0, 1, ... (1.5) trong đó Yn = (yn1 , . . . , ynk )T ∈ Rk và G : Z+ × Rk −→ Rk , G(n, Yn ) = (g1 (n, yn1 , . . . , ynk ), . . . , gk (n, yn1 , . . . , ynk ))T , gi (n, t1 , . . . , tk ), i = 1, k là hàm liên tục theo ti , i = 1, k. Phương trình (1.5) được gọi là ôtônôm nếu biến n không xuất hiện ở vế phải của phương trình. Một điểm Y¯ ∈ Rk gọi là điểm cân bằng của phương trình (1.5) nếu Y¯ = G(n, Y¯ ) với mọi n ≥ 0. Định nghĩa 1.2. i) Điểm cân bằng Y¯ của phương trình (1.5) được gọi là ổn định nếu với mỗi > 0 và n0 ≥ 0 cho trước, tồn tại δ = δ(, n0 ) > 0 sao cho nếu {Yn }∞ ¯ n=n là một nghiệm của phương trình (1.5) thỏa mãn kYn − Y k < δ 0 0 thì suy ra kYn − Y¯ k < với mọi n ≥ n0 . Nếu δ không phụ thuộc vào n0 thì Y¯ được gọi là ổn định đều. ii) Điểm cân bằng Y¯ của phương trình (1.5) được gọi là hút nếu tồn tại K = K(n0 ) > 0 sao cho nếu {Yn }∞ n=n0 là một nghiệm của phương trình (1.5) thỏa mãn kYn − Y¯ k < K thì ta có limn→∞ Yn = Y¯ . Trong trường hợp 0 K không phụ thuộc vào n0 thì Y¯ được gọi là hút đều. iii) Điểm cân bằng Y¯ của phương trình (1.5) được gọi ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và hút, Y¯ được gọi là ổn định tiệm cận đều nếu nó ổn định đều và hút đều. iv) Điểm cân bằng Y¯ của phương trình (1.5) được gọi là hút toàn cục nếu mọi nghiệm {Yn }∞ n=n0 của phương trình (1.5) ta đều có lim Yn = Y¯ . n→∞ v) Điểm cân bằng Y¯ của phương trình (1.5) được gọi là ổn định tiệm cận toàn cục nếu Y¯ là ổn định và hút toàn cục. 9
1.2.2 Ổn định tuyến tính hóa của hệ hai phương trình sai phân a) Xét hệ phương trình sai phân sau xn+1 = f (xn , yn ), yn+1 = g(xn , yn ), n = 0, 1, .... (1.6) trong đó f : I × J → I và g : I × J → J là các hàm khả vi liên tục với I, J là các khoảng của tập số thực. Khi đó, với mọi giá trị ban đầu (x0 , y0 ) ∈ I × J, hệ phương trình (1.6) có duy nhất nghiệm {xn , yn }∞ n=0 . Cùng với hệ phương trình (1.6), ta xét ánh xạ véctơ tương ứng F : I × J → I × J xác định bởi F (xn , yn ) = (f, g). Điểm cân bằng của hệ phương trình (1.6) là điểm (x, y) thỏa mãn hệ x = f (x, y), y = g(x, y). Điểm (x, y) cũng được gọi là điểm bất động của ánh xạ véctơ F . Định nghĩa 1.3. Giả sử (x, y) là điểm bất động của ánh xạ véctơ F = (f, g) trong đó f và g là các hàm khả vi liên tục tại điểm (x, y). Hệ tuyến tính hóa của hệ phương trình (1.6) xung quanh điểm cân bằng (x, y) là Xn+1 = JF Xn , ! xn trong đó Xn = và JF là ma trận Jacobi của ánh xạ F lấy giá trị tại điểm yn cân bằng (x, y), được xác định bởi: ∂f ∂f   (x, y) (x, y)  ∂xn ∂y n JF (x, y) =  ∂g .  ∂g (x, y) (x, y) ∂xn ∂yn b) Xét hệ phương trình sai phân sau xn+1 = f (xn , xn−1 , yn , yn−1 ), yn+1 = g(xn , xn−1 , yn , yn−1 ), n = 0, 1, .... (1.7) 10
trong đó f : I 2 × J 2 → I và g : I 2 × J 2 → J là các hàm khả vi liên tục với I, J là các khoảng của tập số thực. Khi đó, với mọi giá trị ban đầu (xi , yi ) ∈ I × J, i ∈ {−1, 0} hệ phương trình (1.7) có duy nhất nghiệm {xn , yn }∞ n=−1 . Cùng với hệ phương trình (1.7), ta xét ánh xạ véctơ tương ứng F : I 2 × J 2 → I 2 × J 2 xác định bởi F (xn , xn−1 , yn , yn−1 ) = (f, xn , g, yn ). Điểm cân bằng của hệ phương trình (1.7) là điểm (x, y) thỏa mãn hệ x = f (x, x, y, y), y = g(x, x, y, y). Điểm (x, y) cũng được gọi là điểm bất động của ánh xạ véctơ F . Định nghĩa 1.4. Giả sử (x, y) là điểm bất động của ánh xạ véctơ F = (f, xn , g, yn ) trong đó f và g là các hàm khả vi liên tục tại điểm (x, y). Hệ tuyến tính hóa của hệ phương trình (1.7) xung quanh điểm cân bằng (x, y) là Xn+1 = JF Xn ,   xn   xn−1  trong đó Xn =   y  và JF là ma trận Jacobi của ánh xạ F lấy giá trị tại   n  yn−1 điểm cân bằng (x, y), được xác định bởi:   ∂f ∂f ∂f ∂f  ∂x (x, y) ∂x (x, y) ∂y (x, y) ∂y (x, y)  n n−1 n n−1   1 0 0 0  JF (x, y) =  ∂g .   ∂g ∂g ∂g  (x, y) (x, y) (x, y) (x, y)  ∂xn ∂xn−1 ∂yn ∂yn−1    0 0 1 0 Bổ đề sau đây sẽ được sử dụng trong phần sau của luận án. Bổ đề 1.1. Giả sử Xn+1 = F (Xn ), n = 0, 1, ... là hệ phương trình sai phân sao cho X là điểm bất động của ánh xạ F . Nếu tất cả các giá trị riêng của ma trận Jacobi JF xung quanh điểm bất động X nằm trong hình tròn đơn vị |λ| < 1 thì điểm X là ổn định tiệm cận địa phương. Nếu một trong các giá trị riêng của ma trận Jacobi JF có môđun lớn hơn 1 thì điểm X là không ổn định. 11
Chương 2 Dáng điệu tiệm cận của nghiệm một số dạng phương trình sai phân phân thức cấp cao 2.1 Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình sai phân phân thức cấp hai Trong phần này, chúng ta nghiên cứu sự ổn định tiệm cận của điểm cân bằng của hai dạng phương trình sai phân: bx2n + cx2n−1 1. xn+1 = axn−1 − , n = 0, 1, 2, ... (2.1) 1 − dxn + exn−1 trong đó a, b, c, d, e là các tham số dương, các giá trị ban đầu x−1 , x0 là các số thực dương bất kỳ. αxn−1 xn−1 2. xn+1 = + , n = 0, 1, 2, ... (2.2) βxn + xn−1 xn trong đó α, β > 0 và các giá trị ban đầu x−1 , x0 là các số thực dương bất kỳ. Kết quả của phần này được viết trên cơ sở một phần kết quả của bài báo [3] đã được công bố trên tạp chí Acta Mathematica Vietnamica và một phần 12
kết quả của bài báo [4] đã được công bố trên tạp chí Southeast Asian Bulletin of Mathematics. 2.1.1 Sự ổn định tiệm cận của điểm cân bằng của phương trình (2.1) Điểm cân bằng của phương trình (2.1) là nghiệm của phương trình bx2 + cx2 x = ax − . 1 − dx + ex a−1 Từ đó, ta có hai điểm cân bằng x = 0 và x = b+c−(e−d)(a−1) . a−1 Điểm x = b+c−(e−d)(a−1) là điểm cân bằng dương nếu thỏa mãn các điều kiện b+c a > 1, e < . (2.9) a−1 Kết quả chính của mục này được phát biểu trong các định lý sau. b+c Định lý 2.2. Với a ≥ 2, c ≤ min(ae, 3b + d) và e < , điểm cân bằng a−1 dương của phương trình (2.1) là không ổn định. Định lý 2.3. Khi a < 1, điểm cân bằng không của phương trình (2.1) là ổn định tiệm cận địa phương. 2.1.2 Sự ổn định tiệm cận của điểm cân bằng của phương trình (2.2) Điểm cân bằng của phương trình (2.2) là nghiệm của phương trình αx α x= +1= + 1. (β + 1)x β+1 Kết quả chính của mục này được phát biểu trong các định lý sau. Định lý 2.4. Giả sử 0 < β < 1. Khi đó, các phát biểu sau là đúng: i) Điểm cân bằng x của phương trình (2.2) là ổn định tiệm cận địa phương nếu (β + 1)2 α> (2.19) 1−β 13
ii) Điểm cân bằng x của phương trình (2.2) là không ổn định hay là điểm yên ngựa nếu (β + 1)2 α< (2.20) 1−β 2.2 Dạng tiệm cận nghiệm của phương trình sai phân phân thức cấp ba 2.2.1 Đặt vấn đề và khái niệm mở đầu Năm 2008, L. Berg đã nghiên cứu phương trình sai phân xn−3 xn = , n = 0, 1, 2, ... (2.23) 1 + xn−1 xn−2 trong đó các giá trị ban đầu x−3 , x−2 , x−1 ∈ (0, ∞). Tác giả đã chỉ ra tồn tại nghiệm của phương trình (2.23) hội tụ về không khi n → ∞ và xác định dáng điệu tiệm cận của nó. Dựa trên phương pháp tiệm cận của L. Berg, trong phần này chúng tôi nghiên cứu phương trình sai phân phân thức cấp ba sau đây: xn−3 − (xn + xn−1 )3 xn = , n = 0, 1, 2... (2.24) 1 + xn xn−1 + xn xn−2 + xn−1 xn−2 trong đó các giá trị ban đầu x−3 , x−2 , x−1 ∈ (0, ∞). Điểm cân bằng của phương trình (2.24) là x = 0. Chúng tôi sẽ chỉ ra dạng tiệm cận của nghiệm phương trình (2.24) hội tụ về điểm cân bằng x khi n → ∞. Kết quả của phần này được viết trên cơ sở kết quả của bài báo [1] đã được công bố trên tạp chí Communications in Applied Analysis. 2.2.2 Dạng tiệm cận của nghiệm của phương trình (2.24) Kết quả chính của mục này được phát biểu trong định lý sau. Định lý 2.2. Phương trình (2.24) có nghiệm hội tụ về không khi n → ∞. Hơn nữa, nghiệm đó biểu diễn dạng tiệm cận b ln n + c d ln2 n + e ln n 1 ϕn = √ a+ + n n n2 14
và các hệ số được xác định bởi √ √ √ √ √ 66 63 66 63 66 3.632 66 632 66 a= , b= , c= , d= , e= . (2.31) 22 4.222 3.222 32.223 8.223 2.3 Dáng điệu toàn cục của nghiệm của phương trình sai phân phân thức cấp bốn 2.3.1 Đặt bài toán Năm 1998, G. Ladas đã đề xuất nghiên cứu tính ổn định tiệm cận toàn cục của phương trình sai phân phân thức xn + xn−1 xn−2 xn+1 = , n = 0, 1, 2, ... (2.34) xn xn−1 + xn−2 với các giá trị ban đầu x−2 , x−1 , x0 ∈ (0, ∞). Năm 2002, X. Li, D. Zhu đã nghiên cứu phương trình xn + xn−1 xn−2 + a xn+1 = , n = 0, 1, 2, ... (2.35) xn xn−1 + xn−2 + a với a ∈ [0, ∞) và các giá trị ban đầu x−2 , x−1 , x0 ∈ (0, ∞). Tác giả đã chứng minh được điểm cân bằng dương của phương trình (2.35) là ổn định tiệm cận toàn cục. Phương trình (2.34) là trường hợp đặc biệt của phương trình (2.35) khi a = 0. Năm 2005, X. Li đã nghiên cứu dáng điệu toàn cục của phương trình sai phân phân thức cấp bốn xn xn−1 xn−3 + xn + xn−1 + xn−3 + a xn+1 = , n = 0, 1, 2, ... (2.36) xn xn−1 + xn xn−3 + xn−1 xn−3 + 1 + a với a ∈ [0, ∞) và các giá trị ban đầu x−3 , x−2 , x−1 , x0 ∈ (0, ∞). Tác giả đã chứng minh được điểm cân bằng dương của phương trình (2.36) là ổn định tiệm cận toàn cục. Năm 2007, X. Li, R. P. Agarwal đã chứng minh được điểm cân bằng dương của phương trình xbn + xn−2 xbn−3 + a xn+1 = b , n = 0, 1, 2, ... xn xn−2 + xbn−3 + a 15
với a, b ∈ [0, ∞) và các giá trị ban đầu x−3 , x−2 , x−1 , x0 ∈ (0, ∞) là ổn định tiệm cận toàn cục. Dựa trên các nghiên cứu đó, trong phần này chúng tôi nghiên cứu sự ổn định tiệm cận toàn cục của điểm cân bằng của phương trình sai phân phân thức cấp bốn g(xn , xn−1 , xn−2 , xn−3 )xα+1 n−3 + f (xn , xn−1 , xn−2 , xn−3 ) xn+1 = , g(xn , xn−1 , xn−2 , xn−3 )xαn−3 + f (xn , xn−1 , xn−2 , xn−3 ) (2.37) n = 0, 1, 2, ... trong đó f, g : (0, ∞)4 → (0, ∞) là hàm bất kỳ khả vi vô hạn, α ≥ 0 và các giá trị ban đầu x−3 , x−2 , x−1 , x0 ∈ (0, ∞). Điểm cân bằng dương x¯ của phương trình (2.37) thỏa mãn phương trình g(¯ xα+1 + f (¯ x, x¯, x¯, x¯)¯ x, x¯, x¯, x¯) x¯ = . g(¯ xα + f (¯ x, x¯, x¯, x¯)¯ x, x¯, x¯, x¯) Từ đó, phương trình (2.37) có duy nhất điểm cân bằng dương x¯ = 1. Kết quả của phần này được viết trên cơ sở một phần kết quả của bài báo [2] đã được công bố trên tạp chí International Journal of Mathematical Analysis. 2.3.2 Sự ổn định tiệm cận toàn cục của điểm cân bằng dương Để chứng minh kết quả chính của phần này ta phát biểu bổ đề sau. Bổ đề 2.1. Giả sử {xn }∞ n=−3 là nghiệm dương của phương trình (2.37). Khi đó, các khẳng định sau là đúng với n ≥ 0: (a) (xn+1 − 1)(xn−3 − 1) ≥ 0. (b) (xn+1 − xn−3 )(xn−3 − 1) ≤ 0. Định lý dưới đây là kết quả chính của phần này. Định lý 2.8. Giả sử rằng α ∈ [0, ∞), f, g : (0, ∞)4 → (0, ∞) là hai hàm dương và khả vi vô hạn. Khi đó, điểm cân bằng dương của phương trình (2.37) là ổn định tiệm cận toàn cục. 16
Chương 3 Dáng điệu tiệm cận của nghiệm một số hệ phương trình sai phân phân thức 3.1 Dáng điệu tiệm cận của nghiệm của hệ phương trình sai phân phân thức cấp một 3.1.1 Đặt bài toán Năm 2001, El-Metwally, E. A. Grove, G. Ladas, R. Levins, M. Radin đã nghiên cứu tính bị chặn, dáng điệu tiệm cận, tính tuần hoàn của nghiệm dương và sự ổn định của điểm cân bằng của phương trình sai phân: xn+1 = α + βxn−1 e−xn . (3.1) trong đó α, β là các hằng số dương và các giá trị ban đầu x−1 , x0 là các số dương. Thực tế, mô hình này được đề xuất bởi nhóm nghiên cứu của trường Y tế công cộng thuộc Đại học Harvard khi nghiên cứu sự biến động dân số của một loài có số lượng ở thời điểm n là xn , ở đó α là tỷ lệ di cư và β là tỷ lệ tăng trưởng dân số. Năm 2001, Aboutaleb, M. A. El-Sayed, A. E. Hamza đã nghiên cứu sự ổn 17
định tiệm cận toàn cục của phương trình sai phân: α − βxn xn+1 = (3.2) γ + xn−1 trong đó các hệ số α, β, γ là không âm và các giá trị ban đầu x−1 , x0 là tùy ý. Năm 206, xuất phát từ các kết quả đối với các dạng phương trình (3.1) và (3.2), Ozturk, F. Bozkurt, S. Ozen đã nghiên cứu tính bị chặn, dáng điệu tiệm cận, tính tuần hoàn và sự ổn định của nghiệm dương của phương trình sai phân: α + βe−yn yn+1 = , γ + yn−1 trong đó α, β, γ là các hằng số dương và các giá trị ban đầu y−1 , y0 là các số dương. Dựa trên nghiên cứu đó, trong phần này chúng ta nghiên cứu tính bị chặn, tính bền vững và dáng điệu tiệm cận của nghiệm dương của hệ phương trình sai phân phân thức sau: α1 + β1 e−yn α2 + β2 e−xn xn+1 = , yn+1 = , (3.3) a1 + b 1 x n a2 + b 2 y n trong đó các tham số αi , βi , ai , bi với i ∈ {1, 2} và các giá trị ban đầu x0 , y0 là các số thực dương. Kết quả của phần này được viết trên cơ sở kết quả của bài báo [5] đã được công bố trên tạp chí International Journal of Difference Equations. 3.1.2 Tính bị chặn của nghiệm Trong mục này, ta sẽ chỉ ra tính bị chặn và tập bất biến của nghiệm dương của hệ phương trình (3.3). Bổ đề 3.1. Mọi nghiệm dương {(xn , yn )} của hệ phương trình (3.3) là bị chặn. Bổ đề 3.2. Giả sử {(xn , yn )} là nghiệm dương của hệ phương trình (3.3). Khi đó, [L1 , U1 ] × [L2 , U2 ] là tập bất biến của hệ phương trình (3.3). 3.1.3 Phân tích sự ổn định của nghiệm Định lý sau đây được dùng để nghiên cứu dáng điệu của điểm cân bằng dương của hệ phương trình (3.3). 18