Dự thảo tóm tắt Luận Án Tiến sĩ Toán học: Nghiên cứu tính chất nghiệm của một số dạng phương trình và hệ phương trình sai phân phi tuyến

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN<br /> <br /> Mai Nam Phong<br /> <br /> NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NGHIỆM<br /> CỦA MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH<br /> VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN PHI TUYẾN<br /> <br /> Chuyên ngành: Toán giải tích<br /> Mã số: 62.46.01.01<br /> <br /> DỰ THẢO TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC<br /> <br /> Hà Nội - 2015<br /> <br /> Công trình được hoàn thành tại: Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Cơ - Tin học,<br /> Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội.<br /> <br /> Người hướng dẫn khoa học:<br /> 1. PGS.TS. Vũ Văn Khương<br /> Đại học GTVT<br /> 2. PGS.TS. Đặng Đình Châu<br /> ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội<br /> <br /> Phản biện :<br /> <br /> Phản biện :<br /> <br /> Phản biện :<br /> <br /> Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia chấm luận án<br /> tiến sĩ họp tại .....................................................................................................<br /> vào hồi giờ ngày tháng năm 20...<br /> <br /> Có thể tìm hiểu luận án tại:<br /> - Thư viện Quốc gia Việt Nam<br /> - Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội<br /> <br /> LỜI MỞ ĐẦU<br /> Phương trình sai phân chiếm một vị trí quan trọng trong hệ động lực rời<br /> rạc. Các phương trình sai phân xuất hiện một cách tự nhiên như các mô hình<br /> rời rạc hay nghiệm bằng số của các phương trình vi phân-mô hình của nhiều<br /> hiện tượng khác nhau trong các lĩnh vực: sinh vật học, sinh thái học, sinh lý<br /> học, vật lý, kỹ thuật và kinh tế.<br /> Việc nghiên cứu định tính các phương trình và hệ phương trình sai phân<br /> phi tuyến đã được tiến hành từ rất lâu, xong nó được phát triển mạnh mẽ từ<br /> những năm 90 của thế kỷ XX và hơn một thập kỷ đầu của thế kỷ XXI, có thể<br /> đến các nghiên cứu của R.P. Agarwal, G. Ladas, Kocic, L. Berg, S. Stevi´, M.<br /> c<br /> R. S Kulenovi´, G. Papaschinopoluos, X. Li,....<br /> c<br /> Nghiên cứu định tính phương trình sai phân tức là nghiên cứu các tính chất<br /> và dáng điệu các nghiệm của chúng mà không cần xác định công thức nghiệm<br /> tường minh. Như chúng ta đã biết, chỉ một số lớp phương trình có dạng đặc biệt<br /> mới có thể tìm được công thức nghiệm tường minh của nó. Do đó, nói chung<br /> việc xác định công thức nghiệm của một dạng phương trình sai phân nào đó<br /> thường gặp khó khăn, hoặc nếu xác định được thì công thức thường có dạng<br /> phức tạp dẫn đến những hạn chế nhất định trong việc nghiên cứu tính chất của<br /> chúng. Một số vấn đề tiêu biểu mà lý thuyết định tính phương trình sai phân<br /> quan tâm là: tính dao động, tính ổn định nghiệm, dáng điệu tiệm cận nghiệm,<br /> tính giới nội, khoảng bất biến của nghiệm,...<br /> Trong các nghiên cứu về phương trình sai phân phi tuyến thì nghiên cứu về<br /> phương trình sai phân hữu tỷ cấp lớn hơn 1 luôn đóng vai trò rất quan trọng,<br /> vì một số nguồn gốc cho sự phát triển của lý thuyết cơ bản về dáng điệu toàn<br /> cục các phương trình sai phân phi tuyến bậc cao bắt nguồn từ các kết quả của<br /> phương trình sai phân hữu tỷ.<br /> Một số quy luật phát triển của sự vật, hiện tượng trong thực tế được rời<br /> rạc hóa dưới dạng phương trình hoặc hệ phương sai phân hữu tỷ, có thể kể đến<br /> một số mô hình như:<br /> • Mô hình sinh trưởng của một loại cây hàng năm:<br /> xn+1 =<br /> <br /> λxn<br /> , n = 0, 1, 2, . . . ,<br /> (1 + axn )p + bλxn<br /> <br /> (1)<br /> <br /> trong đó các tham số a, b, p ∈ (0, ∞), λ ∈ [1, +∞) và giá trị ban đầu x0<br /> là số thực dương.<br /> • Mô hình sản xuất tế bào máu Mackey-Glass:<br /> xn+1 = αxn +<br /> <br /> β<br /> xp<br /> n−k<br /> 1<br /> <br /> , n = 0, 1, 2, . . . ,<br /> <br /> (2)<br /> <br /> trong đó α ∈ [0, 1), p, β ∈ (0, ∞), k ∈ Z+ và các giá trị ban đầu<br /> x−k , . . . , x0 ∈ [0, ∞).<br /> • Mô hình mô tả mối quan hệ giữa vật chủ và ký sinh do R.M. May đề<br /> xuất:<br /> αxn<br /> xn+1 =<br /> ,<br /> 1 + βyn<br /> n = 0, 1, 2, . . . ,<br /> (3)<br /> βxn yn<br /> ,<br /> yn+1 =<br /> 1 + βyn<br /> trong đó α, β ∈ (0, ∞) và giá trị ban đầu x0 , y0 là các số thực dương.<br /> Năm 2001, trong cuốn chuyên khảo "Dynamics of Second Order Rational Difference Equations with Open Problems and Conjectures", M. R. S. Kulenovi´<br /> c<br /> và G.Ladas đã tổng hợp các kết quả nghiên cứu về tính giới nội, tính ổn định<br /> toàn cục và tính tuần hoàn của lớp phương trình sai phân hữu tỷ cấp hai có<br /> dạng:<br /> α + βxn + γxn−1<br /> xn+1 =<br /> , n = 0, 1, 2, . . . ,<br /> (4)<br /> A + Bxn + Cxn−1<br /> trong đó các tham số α, β, γ, A, B, C và các giá trị ban đầu x−1 , x0 là các<br /> số thực không âm sao cho mẫu số luôn dương.<br /> Trong một số trường hợp đặc biệt, phương trình (4) trở về các dạng phương<br /> trình đã nhận được sự quan tâm của rất nhiều các nhà nghiên cứu:<br /> • Khi γ = C = 0, phương trình (4) trở thành<br /> xn+1 =<br /> <br /> α + βxn<br /> , n = 0, 1, 2, . . . ,<br /> A + Bxn<br /> <br /> (5)<br /> <br /> với tên gọi Phương trình sai phân Riccati.<br /> • Khi α = γ = B = 0, phương trình (4) trở thành<br /> xn+1 =<br /> <br /> βxn<br /> , n = 0, 1, 2, . . . ,<br /> A + Cxn−1<br /> <br /> (6)<br /> <br /> có tên là Phương trình sai phân Pielou.<br /> • Khi γ = A = B = 0, phương trình (4) trở thành<br /> xn+1 =<br /> <br /> α + βxn<br /> , n = 0, 1, 2, . . . ,<br /> Cxn−1<br /> <br /> với tên gọi Phương trình sai phân Lyness.<br /> 2<br /> <br /> (7)<br /> <br /> Năm 2008, trong cuốn chuyên khảo Dynamics of Third Order Rational Difference Equations with Open Problems and Conjectures, E. Camouzis và G.<br /> Ladas đã trình bày những kết quả về tính giới nội của nghiệm, tính ổn định của<br /> điểm cân bằng và tính tuần hoàn nghiệm của lớp phương trình sai phân hữu tỷ<br /> cấp ba có dạng:<br /> xn+1 =<br /> <br /> α + βxn + γxn−1 + δxn−2<br /> , n = 0, 1, 2, . . . ,<br /> A + Bxn + Cxn−1 + Dxn−2<br /> <br /> (8)<br /> <br /> trong đó các tham số α, β, γ, δ, A, B, C, D và các giá trị ban đầu x−1 , x0<br /> là các số thực không âm sao cho mẫu số luôn dương.<br /> Trong thời gian gần đây, ngoài những nghiên cứu về các dạng phương trình<br /> thuộc lớp các phương trình sai phân hữu tỷ (4) và (8) còn có rất nhiều các<br /> nghiên cứu về các dạng khác nhau của phương trình sai phân hữu tỷ, có thể<br /> kể đến các nghiên cứu của L. Berg, S. Stevic, K. Berenhaut, V.V. Khương, X.<br /> Li,. . . .<br /> Một dạng phương trình sai phân phi tuyến cũng thu hút được sự quan tâm<br /> rất lớn của các nhà Toán học đó là phương trình sai phân có chứa biểu thức<br /> dạng mũ, dạng phương trình này thường được mô tả như mô hình dân số của<br /> một loài, một số mô hình tiêu biểu như:<br /> • Mô hình dân số của loài bọ cánh cứng:<br /> xn+1 = axn + bxn−2 e−c1 xn −c2 xn−2 , n = 0, 1, 2, . . . ,<br /> <br /> (9)<br /> <br /> trong đó a ∈ (0, 1), b ∈ (0, ∞), c1 , c2 ∈ [0, ∞), c1 + c2 > 0 và các giá trị<br /> ban đầu x−2 , x−1 , x0 là các số thực dương.<br /> • Mô hình dân số của loài muỗi:<br /> xn+1 = (axn + bxn−1 e−xn−1 )e−xn , n = 0, 1, 2, . . . ,<br /> <br /> (10)<br /> <br /> trong đó a ∈ (0, 1), b ∈ [0, ∞), các giá trị ban đầu x−1 , x0 là các số thực<br /> dương.<br /> • Mô hình loài ruồi xanh Nicholson:<br /> xn+1 = (1 − α)xn + βxn−k e−γxn−k , n = 0, 1, 2, . . . ,<br /> <br /> (11)<br /> <br /> trong đó α ∈ (0, 1), β ∈ (α, ∞), γ ∈ (0, ∞), k là số nguyên dương, các<br /> giá trị ban đầu x−k , . . . , x−1 ∈ [0, ∞), x0 ∈ (0, ∞).<br /> <br /> 3<br /> <br />