Dự thảo tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Về dạng đại số của giả thuyết về các lớp cầu

Chia sẻ: Acacia2510 _Acacia2510 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

18
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án được chia làm 4 chương với nội dung như sau: Kiến thức cơ bản đại số Steenrod, lý thuyết bất biến, đại số lambda và công trình của Singer về diễn đạt đại số lambda qua lý thuyết bất biến; Xây dựng tường minh của đồng cấu Lannes-Zarati cho một A-môđun không ổn định M bất kỳ.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Dự thảo tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Về dạng đại số của giả thuyết về các lớp cầu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN _______________________ NGÔ ANH TUẤN VỀ DẠNG ĐẠI SỐ CỦA GIẢ THUYẾT VỀ CÁC LỚP CẦU Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 62460104 DỰ THẢO TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2018
Công trình được hoàn thành tại: Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội. Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Hữu Việt Hưng Phản biện: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................. Phản biện: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................. Phản biện: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................. Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia chấm luận án tiến sĩ họp tại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vào hồi giờ ngày tháng năm 20... Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội
Mở đầu Cho X là một CW-phức có điểm gốc. Gọi Q0 X = Ω∞ ∞ 0 Σ X là thành phần chứa điểm gốc của QX = Ω∞ Σ∞ X. Có một bài toán cổ điển chưa có lời giải đó là xác định ảnh của đồng cấu Hurewicz H : π∗S (X) = π∗ (Q0 X) → H∗ (Q0 X). Ở đây và trong toàn bộ luận án, đồng điều và đối đồng điều được lấy với hệ số trong F2 , trường với hai phần tử. Giả thuyết cổ điển về các lớp cầu cho X = S 0 khẳng định rằng chỉ có các lớp bất biến Hopf bằng một hoặc bất biến Kervaire bằng một là những phần tử trong π∗S (S 0 ) ∼ = π∗ (Q0 S 0 ) được phát hiện bởi đồng cấu Hurewicz. Nguyễn H. V. Hưng phát biểu giả thuyết tổng quát trên các lớp cầu như sau. Giả thuyết 1. (Giả thuyết tổng quát về các lớp cầu) Cho X là một CW-phức có điểm gốc. Khi đó đồng cấu Hurewicz H : π∗ (Q0 X) → H∗ (Q0 X) triệt tiêu trên các lớp của π∗ (Q0 X) có lọc Adams lớn hơn 2. (Xem [Curtis, 1975], [Snaith và Tornehave, 1982] và [Wellington, 1982] để thấy các thảo luận cho X = S 0 .) Một phiên bản đại số của bài toán này được trình bày như sau. Gọi Ps = F2 [x1 , . . . , xs ] là đại số đa thức trên s biến x1 , . . . , xs , mỗi biến có bậc 1. Cho nhóm tuyến tính tổng quát GLs = GL(s, F2 ) và đại số Steenrod modulo 2, A, cùng tác động trên Ps theo cách thông thường. Đại số Dickson 1
của s biến, Ds , là đại số của các bất biến Ds := F2 [x1 , . . . , xs ]GLs . Vì tác động của A và của GLs trên Ps giao hoán với nhau nên Ds là một đại số trên A. Cho M là một A-môđun không ổn định. Xây dựng Singer Rs M của M là Ds -môđun con của Ps ⊗ M sinh bởi Sts M , trong đó Sts ký hiệu cho đồng cấu Steenrod được định nghĩa như sau. Cho trước một phần tử thuần nhất z ∈ M có bậc |z|, theo quy ước ta đặt St0 (z) = z, và định nghĩa bằng quy nạp |z| X St1 (x; z) = x|z|−i ⊗ Sq i (z), i=0 Sts (x1 , . . . , xs ; z) = St1 (x1 ; Sts−1 (x2 , . . . , xs ; z)). Chú ý rằng Rs M là một A-môđun con của Ds ⊗ M và Rs M là một A-môđun không ổn định. (Xem [Lannes-Zarati, 1987].) Ta ký hiệu bởi ϕM s,s+i s : ExtA (M, F2 ) → (F2 ⊗A Rs M )i ∗ đồng cấu Lannes-Zarati thứ s cho một A-môđun không ổn định M , được định e ∗ (X), đồng cấu này tương ứng nghĩa trong [Lannes-Zarati, 1987]. Khi M = H với một phân bậc liên kết của ánh xạ Hurewicz. Chứng minh của khẳng định này không được công bố, nhưng nó được phác họa bởi [Lannes, 1988] và bởi [Goerss, 1986]. e ∗ (X), đối đồng điều rút gọn của một không gian Trong trường hợp M = H e ∗ (X) H tôpô X, đồng cấu Lannes-Zarati ϕs sẽ được ký hiệu bởi ϕX s cho gọn. Các lớp bất biến Hopf bằng một và bất biến Kervaire bằng một được đại diện tương ứng bởi các chu trình vĩnh cửu trong Ext1,∗ 2,∗ A (F2 , F2 ) và ExtA (F2 , F2 ), mà ở đó đồng cấu Lannes-Zarati khác không (xem [Adams, 1960], [Browder, 1969], [Lannes-Zarati, 1987]). Nguyễn H. V. Hưng đã phát biểu dạng đại số 2
e ∗ (S 0 ) = F2 trong [Hưng, của giả thuyết tổng quát về các lớp cầu cho M = H 1997] và cho mọi A-môđun không ổn định M tại các seminar ở VNU trong một khoảng thời gian dài: Giả thuyết 2. (Dạng đại số tổng quát của giả thuyết về các lớp cầu) Đồng cấu Lannes-Zarati ϕM s,s+i s : ExtA (M, F2 ) → (F2 ⊗A Rs M )i ∗ triệt tiêu tại mọi gốc dương i với s > 2, và với mọi A-môđun không ổn định M. e ∗ (S 0 ) với s = 3, 4 Giả thuyết này đã được chứng minh cho trường hợp M = H bởi Nguyễn H. V. Hưng (xem [Hưng, 1999], [Hưng, 2003]), và với s = 5 bởi ông và các đồng nghiệp (xem [Hưng-Quỳnh-Tuấn, 2014]). Sự kiện đồng cấu e ∗ (S 0 ) triệt tiêu với s > 2 trên các phần tử phân Lannes-Zarati cho M = H tích được trong ExtsA (F2 , F2 ) và trên ảnh của đồng cấu chuyển Singer đã được chứng minh tương ứng bởi Nguyễn H. V. Hưng-F. P. Peterson [Hưng-Peterson, 1998], và Nguyễn H. V. Hưng-Trần N. Nam [Hưng-Nam, 2001]. Luận án được chia làm 4 chương với nội dung như sau. Trong Chương I, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản được dùng trong phần chính của luận án, bao gồm đại số Steenrod, lý thuyết bất biến, đại số lambda và công trình của Singer về diễn đạt đại số lambda qua lý thuyết bất biến. Các kết quả mới của luận án được trình bày từ Chương II đến Chương IV. Trong Chương II, Tiết II.1 trình bày lại xây dựng tường minh của đồng cấu Lannes-Zarati cho một A-môđun không ổn định M bất kỳ. Xây dựng tường minh này đã được trình bày trong [Hưng, 1997] cho M = F2 . Tiết cuối chương II dành cho việc nghiên cứu trường hợp các lớp đồng luân của π∗ (Q0 X) với lọc Adams bằng 0, 1, hoặc 2. Nghiên cứu này nhằm giải thích lý do vì sao giả thuyết tổng quát về các lớp cầu cần tới giả thiết các lớp đồng luân có lọc Adams lớn hơn 2. 3
i Ta ký hiệu bởi hi ∈ Ext1,2 A (F2 , F2 ) phần tử Adams thứ i với i ≥ 0 và bởi 0,2j e ∗ hj ∈ ExtA b (H (RP∞ ), F2 ) phần tử mà ảnh của nó bởi đồng cấu Kahn-Priddy s−1 e ∗ g∗ : ExtA (H (RP∞ ), F2 ) → ExtsA (H e ∗ (S 0 ), F2 ) là hj với j > 0 (xem [Lin, 1981]). Mệnh đề 3. (i) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ không cho không gian xạ ảnh, ∞ ϕRP 0 , là một đẳng cấu trên Ext0A (H e ∗ (RP∞ ), F2 ). ∞ (ii) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ nhất cho không gian xạ ảnh, ϕRP 1 , là một đơn hj | i ≥ j} và triệt tiêu trên Span{hib cấu trên Span{hib hj | i < j}. ∞ (iii) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ hai cho không gian xạ ảnh, ϕRP 2 , triệt tiêu tại mọi gốc dương trong Ext2A (H e ∗ (RP∞ ), F2 ). Điều đáng chú ý là trong khi đồng cấu Lannes-Zarati thứ hai cho RP∞ triệt tiêu tại mọi gốc dương, thì đồng cấu Lannes-Zarati thứ nhất cho mọi không gian về cơ bản là khác không như được chỉ ra trong mệnh đề sau đây. Mệnh đề 4. Cho X là một CW-phức có điểm gốc mà đồng điều rút gọn H e ∗ (X) không tầm thường và hữu hạn sinh ở mỗi bậc. Khi đó đồng cấu Lannes-Zarati thứ nhất của X khác không ở mọi gốc dương. Chương III trình bày những kết quả chung của chúng tôi về đồng cấu Lannes- Zarati. + Giả sử N là một A-môđun. Gọi ∂s : Γ+ s N → Γs−1 N là vi phân trong phức A Singer Γ+ ∗ N , với đồng điều bằng Tors (F2 , N ). Một trong những kết quả chính của chương này là định lý sau. Nhắc lại rằng định lý này đã được chứng minh e ∗ (S 0 ) trong [Hưng, 2001]. cho trường hợp M = H Định lý 5. Cho M là một A-môđun không ổn định. Gọi Qs,0 là bất biến Dickson bậc cao nhất 2s − 1. Khi đó, với mọi s ≥ 0, ánh xạ M )∗ : R M → Γ+ M, (ϕf s s s |z| qSts (z) 7→ qQs,0 ⊗ z với q ∈ Ds , và phần tử thuần nhất z bậc |z| trong M , là một biểu diễn ở cấp 4
độ dây chuyền của đối ngẫu của đồng cấu Lannes-Zarati ∗ A (ϕM s ) : (F2 ⊗A Rs M )i → Tors,s+i (F2 , M ). Ánh xạ này là tự nhiên đối với các A-đồng cấu của các A-môđun không ổn định. Vì Rs M là một Ds -môđun tự do sinh bởi Sts (M ) (xem [Lannes-Zarati, 1987, Định nghĩa-Mệnh đề 2.4.1]) nên ánh xạ này được định nghĩa tốt. Theo định lý này thì Giả thuyết 2 tương đương với giả thuyết sau. Giả thuyết 6. Giả sử M là một A-môđun không ổn định. Khi đó, với mọi q ∈ Ds và phần tử thuần nhất z ∈ M sao cho ít nhất một trong chúng có bậc |z| dương, thì qQs,0 ⊗ z là một biên trong phức Γ+ M với s > 2. Gọi (T rsM )∗ : TorA s (F2 , M ) → F2 ⊗A (Ps ⊗M ) là đối ngẫu của đồng cấu chuyển đại số được định nghĩa bởi [Singer, 1989]. Phép nhúng chính tắc Rs M ⊂ Ps ⊗M cảm sinh đồng cấu F2 ⊗A Rs M → F2 ⊗A (Ps ⊗ M ) là hợp thành của đối ngẫu của đồng cấu Lannes-Zarati và đối ngẫu của đồng cấu chuyển Singer. Sự kiện này được chỉ ra trong [Hưng, 1997] cho M = F2 và được lý giải cho A-môđun không ổn định bất kỳ M trong [Hưng-Powell, 2018]. Một dạng yếu của Giả thuyết 2, cũng do Nguyễn H. V. Hưng phát biểu, khẳng định rằng đồng cấu Lannes-Zarati thứ s triệt tiêu với s > 2 ở mọi gốc dương trên ảnh của đồng cấu chuyển Singer. Theo biểu diễn dây chuyền của hợp thành (T rsM )∗ (ϕM ∗ s ) nói ở trên, giả thuyết yếu được diễn đạt tương đương như sau. Giả thuyết 7. (Dạng yếu của giả thuyết đại số tổng quát về các lớp cầu) Cho M là một A-môđun không ổn định. Khi đó mọi phần tử bậc dương trong xây dựng Rs M của Singer bị hit bởi các toán tử Steenrod bậc dương trong Ps ⊗ M với s > 2. e ∗ (S 0 ) và M = H Giả thuyết này đã được chứng minh cho M = H e ∗ (RP∞ × · · · × RP∞ ) bởi Trần N. Nam và Nguyễn H. V. Hưng tương ứng trong [Hưng- e ∗ (S 0 ), kết quả Nam, 2001a] và [Hưng-Nam, 2001b]. Trong trường hợp M = H 5
của định lý chỉ ra rằng mọi phần tử bậc dương của đại số Dickson Ds bị hit bởi các toán tử Steenrod bậc dương trong đại số đa thức Ps với s > 2. Gần đây, Nguyễn H. V. Hưng và G. Powell đã chứng minh dạng yếu của giả thuyết đại số tổng quát về các lớp cầu (xem [Hưng-Powell, 2018]). Kết quả chính thứ hai trong Chương III là về thương hoá đồng cấu Lannes- Zarati qua A-hệ sinh tối tiểu của các chu trình trong phức Singer. Định lý 8. Giả sử M là một A-môđun không ổn định. Khi đó đối ngẫu của ∗ đồng cấu Lannes-Zarati (ϕM s ) phân tích qua F2 ⊗A Ker∂s : ∗ (ϕM s ) F2 ⊗A Rs M / TorA (F , M ) 6 s 2 i ( p F2 ⊗A Ker∂s , trong đó p được cảm sinh bởi phép chiếu chính tắc p : Ker∂s → TorA s (F2 , M ) := Ker∂s /Im∂s+1 . Tiết III.3 nghiên cứu sự giao hoán của toán tử squaring và đồng cấu Lannes- Zarati: e ∗ (RP∞ ))∗ làm Định lý 9. Tồn tại một toán tử squaring Sq 0 trên (F2 ⊗A Rs H biểu đồ ExtsA (H ϕs e ∗ (RP∞ ), F2 ) −− e ∗ (RP∞ ))∗ → (F2 ⊗A Rs H    0  0 ySq ySq ϕs ∗ ExtsA (H e ∗ (RP∞ )) e ∗ (RP∞ ), F2 ) −−→ (F2 ⊗A Rs H giao hoán. Ở đây, mũi tên thẳng đứng đầu tiên là toán tử squaring cổ điển, trong khi các mũi tên nằm ngang ký hiệu cho đồng cấu Lannes-Zarati. Định lý 9 được chứng minh bằng cách sử dụng Định lý 5 và Bổ đề III.3.5. Nhắc lại rằng Bổ đề III.3.5 lần đầu được chứng minh trong [Hưng, 2003]. Để tiện theo dõi luận án, ở Tiết III.4 trong chương III này, chúng tôi đưa ra chứng minh khác của Bổ đề III.3.5 bằng cách sử dụng đạo hàm riêng hình thức. Trong tiết III.4, từ tính hàm tử của đồng cấu Lannes-Zarati, chúng tôi thu được mệnh đề sau. Mệnh đề 10. Cho π : M → M 0 là một toàn cấu của các A-môđun không ổn 6
0 định. Nếu ϕM M s triệt tiêu tại mọi gốc dương, thì ϕs cũng triệt tiêu tại mọi gốc dương. Ở tiết cuối của Chương III, chúng tôi chứng minh định lý sau nói về sự triệt tiêu của đồng cầu Lannes-Zarati trên các phần tử phân tích được. Định lý 11. Cho M là một A-môđun không ổn định có kiểu hữu hạn. Khi đó đồng cấu Lannes-Zarati thứ s cho M s,s+i ϕM s : ExtA (M, F2 ) → (F2 ⊗A Rs M )∗i triệt tiêu trên các phần tử có dạng αβ tại mọi gốc dương i, trong đó α ∈ Extm s−m A (F2 , F2 ) và β ∈ ExtA (M, F2 ) với hoặc m ≥ 2, s − m > 0 hoặc m = s ≥ 2 và stem(β) > s − 2. Định lý 11 đưa ra một bằng chứng ủng hộ Giả thuyết 2. Một hệ quả của Định lý 11 là định lý sau của Hưng và Peterson. Định lý 12. ([Hưng-Peterson, 1998]) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ s ϕFs 2 : Exts,s+i A (F2 , F2 ) → (F2 ⊗A Ds )∗i triệt tiêu trên các phần tử phân tích được tại mọi gốc dương i với s ≥ 3. Hưng và Peterson đã chứng minh định lý 12 bằng cách chỉ ra rằng ϕ∗ = ⊕s ϕFs 2 là một đồng cấu của các đại số và, hơn nữa, tích của đại số ⊕s (F2 ⊗A Ds )∗ là tầm thường, ngoại trừ trường hợp (F2 ⊗A D1 )∗ ⊗ (F2 ⊗A D1 )∗ → (F2 ⊗A D2 )∗ . Phương pháp được dùng để chứng minh Định lý 11 khác với phương pháp của Hưng và Peterson. Các yếu tố chính cấu thành để chứng minh Định lý 11 là việc sử dụng biểu diễn dây chuyền của đối ngẫu của đồng cấu Lannes-Zarati (xem Định lý 5) và Bổ đề III.6.4. Sử dụng Định lý 5, Định lý 14 và Định lý 15, ta thu được mệnh đề sau. e ∗ (RP∞ ) Mệnh đề 13. Đồng cấu Lannes-Zarati thứ 5 cho H ∞ 5,5+i e ∗ ϕRP 5 : ExtA (H (RP∞ ), F2 ) → (F2 ⊗A R5 H e ∗ (RP∞ ))∗i triệt tiêu trên các phần tử phân tích được ở mọi gốc dương i. 7
Chương IV chia làm hai phần nghiên cứu sự triệt tiêu của đồng cấu Lannes- Zarati cho mặt cầu S 0 và không gian xạ ảnh. Định lý sau là một trong những kết quả chính trong Chương IV. Đây là kết quả nghiên cứu chung của Nguyễn H. V. Hưng, Võ T. N. Quỳnh, và Ngô A. Tuấn (xem [Hưng-Quỳnh-Tuấn, 2014]). e ∗ (S 0 ) Định lý 14. Đồng cấu Lannes-Zarati thứ năm cho H 0 5,5+d e ∗ ϕS5 : ExtA e ∗ (S 0 ))d ∗ (H (S 0 ), F2 ) → (F2 ⊗A R5 H triệt tiêu tại mọi gốc dương d. Theo Định lý 12 của Hưng và Peterson, để chứng minh Định lý 14 ta chỉ cần 0 chứng tỏ ϕS5 triệt tiêu trên các phần tử không phân tích được. Để làm điều đó, chúng tôi dùng đến những tính toán tương ứng bởi Giambalvo-Peterson (xem [Giambalvo-Peterson, 2001]) và T. W. Chen (xem [Chen, 2011]) về các nhóm F2 ⊗A D5 và Ext5A (F2 , F2 ). Phần còn lại của Chương IV nghiên cứu Giả thuyết 2 về sự triệt tiêu của đồng cấu Lannes-Zarati thứ 3 và thứ 4 đối với không gian xạ ảnh. Cụ thể, chúng tôi thu được kết quả sau. e ∗ (RP∞ ) Định lý 15. Đồng cấu Lannes-Zarati thứ s cho H ϕRP s ∞ : Exts,s+i e ∗ (RP∞ ))i ∗ e ∗ (RP∞ ), F2 ) → (F2 ⊗A Rs H (H A triệt tiêu tại mọi gốc dương i với s = 3, 4. Trong chứng minh Định lý 15, chúng tôi sử dụng tính toán của các nhóm Ext3A (H e ∗ (RP∞ ), F2 ) và Ext4A (H e ∗ (RP∞ ), F2 ) tương ứng trong các bài báo [Lin, 2008] và [Chen, 2011]. Mối liên hệ giữa đồng cấu Lannes-Zarati của các không gian khác nhau cũng được đề cập đến trong chương này. Gọi g : RP∞ → S 0 là ánh xạ bất kỳ của các phổ, sao cho đồng cấu cảm sinh trong nhóm cơ bản π1 là một đẳng cấu. Khi đó định lý Kahn-Priddy đại số, được chứng minh bởi W. H. Lin [Lin, 1981], 8
khẳng định rằng đồng cấu cảm sinh s−1 e ∗ g∗ : ExtA (H (RP∞ ), F2 ) → ExtsA (H e ∗ (S 0 ), F2 ) là một toàn cấu tại mọi gốc dương với s ≥ 1. Điều này dẫn chúng tôi tới mối liên hệ sau giữa các đồng cấu Lannes-Zarati cho RP∞ và cho S 0 . ∞ 0 S Mệnh đề 16. Nếu ϕRP s−1 triệt tiêu tại mọi gốc dương, thì ϕs cũng triệt tiêu tại mọi gốc dương, với s ≥ 1. Kết hợp Mệnh đề 16 với Định lý 15 và Mệnh đề 3, ta thu được hệ quả sau. Trong đó các kết quả lần đầu được chứng minh trong [Hưng, 1997], [Hưng, 2003] và [Hưng-Quỳnh-Tuấn, 2014]. Hệ quả 17. ([Hưng, 1997], [Hưng, 2003], [Hưng-Quỳnh-Tuấn, 2014]) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ s cho S 0 0 ϕSs : Exts,s+i A (F2 , F2 ) → (F2 ⊗A Ds )i ∗ triệt tiêu tại mọi gốc dương i với s = 3, 4, 5. Tiết cuối trong chương này, chúng tôi nghiên cứu sự triệt tiêu của đồng cấu Lannes-Zarati cho không gian xạ ảnh hữu hạn chiều. Kết hợp Mệnh đề 3, Mệnh đề 10 và Định lý 15, ta thu được kết quả sau. e ∗ (RPn ) Mệnh đề 18. Đồng cấu Lannes-Zarati thứ s cho H n e ∗ (RPn ))∗ e ∗ (RPn ), F2 ) → (F2 ⊗A Rs H ϕsRP : ExtsA (H triệt tiêu ở mọi gốc dương với s = 2, 3, 4 và với mọi số nguyên dương n. 9
Chương I Kiến thức chuẩn bị Trong Chương I, chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị để tiện theo dõi các nội dung chính ở các chương tiếp theo của luận án. Trong luận án này, chúng tôi làm việc với vành hệ số là trường F2 gồm hai phần tử là 0 và 1. Trong Tiết I.1, chúng tôi trình bày sơ lược về đại số Steenrod trên trường F2 . Steenrod (1942) đưa ra một lớp toán tử đối đồng điều, ngày này mang tên ông, và được ký hiệu Sq i : H ∗ (X) → H ∗+i (X), với i nguyên không âm. Cartan (1950) đã chứng minh k X k Sq (xy) = Sq i (x)Sq k−i (y), i=0 với x, y ∈ H ∗ (X). Công thức này được gọi là công thức Cartan. Adem (1952) đã chứng minh rằng tất cả các quan hệ trong đại số Steenrod đều được sinh ra từ tập các quan hệ sau, gọi là các quan hệ Adem, [a/2] X b − i − 1 Sq a Sq b = Sq a+b−i Sq i , a < 2b. i=0 a − 2i Trong đó, hệ số nhị thức được lấy theo modulo 2. Như vậy, đại số Steenrod, A, có thể định nghĩa một cách hoàn toàn đại số như là một đại số phân bậc, kết hợp, có đơn vị trên trường F2 , sinh bởi các toán tử Sq i , có bậc i, với i ≥ 0, các toán tử này thỏa mãn các quan hệ Adem và Sq 0 = 1. 10
Tiết I.2 dành để trình bày tóm tắt mô tả theo lý thuyết bất biến của đại số lambda. Chúng tôi trình bày tiết này dựa theo bài báo [W. M. Singer, 1983]. Gọi Ts là nhóm con của GLs gồm tất cả các ma trận tam giác trên với các phần tử bằng 1 trên đường chéo chính. Vành bất biến PsTs đã được xác định bởi Mùi (xem [Mùi, 1975]). Ông chỉ ra rằng PsTs là một đại số đa thức PsTs = F2 [V1 , . . . , Vs ] trên các phần tử Vk có bậc 2k−1 . Vành bất biến PsGLs được mô tả bởi Dickson (xem [Dickson, 1911]). Ông đã chỉ ra rằng PsGLs là một đại số đa thức PsGLs = F2 [Qs,0 , . . . , Qs,s−1 ] trên các phần tử sinh Qs,i có bậc 2s − 2i . Singer định nghĩa Γ+ s là một F2 -không i0 i gian con của Γs = Ds [Q−1 s,0 ] sinh bởi tất cả các đơn thức γ = Qs,0 · · · Qs,s−1 s−1 với i1 , . . . , is−1 ≥ 0, i0 ∈ Z và i0 + degγ ≥ 0. Sau đó, ông xây dựng phức dây chuyền Γ+ M và chỉ ra Hs (Γ+ M ) ∼ = TorA s (F2 , M ), với M là một A-môđun bất kỳ. Ngoài ra, Singer còn chứng minh rằng Γ+ s đẳng cấu với đối ngẫu của đại số lambda (Λs )∗ . 11
Chương II Đồng cấu Lannes-Zarati thứ không, thứ một, và thứ hai Chương II được chia làm 2 tiết. Tiết I.1 dành để trình bày xây dựng đồng cấu Lannes-Zarati. Trong Tiết II.2 của chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số quan sát giải thích lý do trong giả thuyết tổng quát về các lớp cầu có giả thiết các phần tử với lọc Adams lớn hơn 2. Chương II được viết dựa trên bài báo [Hưng-Tuấn, 2018]. II.1 Nhìn lại đồng cấu Lannes-Zarati Trong Chương II, Tiết II.1 trình bày lại xây dựng tường minh của đồng cấu Lannes-Zarati cho một A-môđun không ổn định M bất kỳ. Xây dựng tường minh này đã được trình bày trong [Hưng, 1997] cho M = F2 . II.2 Nghiên cứu các trường hợp lọc Adams bằng 0, 1, 2 Trong tiết này, chúng tôi sẽ nghiên cứu đồng cấu Lannes-Zarati thứ không, thứ một, và thứ hai cho không gian xạ ảnh RP∞ . Điều đáng chú ý là đồng cấu Lannes-Zarati thứ hai cho RP∞ triệt tiêu tại mọi gốc dương, trong khi đồng cấu Lannes-Zatati thứ nhất cho mọi CW-phức X có điểm gốc, với đồng điều rút gọn H e ∗ (X) không tầm thường và hữu hạn sinh ở mỗi bậc, thì khác không 12
tại mọi gốc dương. e ∗ (RP∞ ), và {ek }k≥1 là F2 -cơ sở của H Cho {uk }k≥1 là F2 -cơ sở của H e ∗ (RP∞ ) đối ngẫu với {uk }k≥1 . Theo [Adams, 1960] và [Lin, 2008], ta định nghĩa những lớp sau trong nhóm Ext. i −1 e hi = [e2i −1 ] ∈ Ext0,2 (i) b A (P ), i ≥ 1; i (ii) hi = [λ2i −1 = (Sq 0 )i (λ0 )] ∈ Ext1,2 A (F2 , F2 ), i ≥ 0. Mệnh đề sau đây, cũng được đánh số như Mệnh đề 3, là một trong những kết quả chính của Chương II. Mệnh đề II.2.4. ([3]) (i) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ không cho không gian ∞ xạ ảnh, ϕRP 0 , là một đẳng cấu trên Ext0A (H e ∗ (RP∞ ), F2 ). ∞ (ii) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ nhất cho không gian xạ ảnh, ϕRP 1 , là một đơn hj | i ≥ j} và triệt tiêu trên Span{hib cấu trên Span{hib hj | i < j}. ∞ (iii) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ hai cho không gian xạ ảnh, ϕRP 2 , triệt tiêu tại mọi gốc dương trong Ext2A (H e ∗ (RP∞ ), F2 ). Mệnh đề sau đây cũng được đánh số như Mệnh đề 4. Mệnh đề II.2.6. ([3]) Cho X là một CW-phức có điểm gốc mà đồng điều rút gọn H e ∗ (X) không tầm thường và hữu hạn sinh ở mỗi bậc. Khi đó đồng cấu Lannes-Zarati thứ nhất của X khác không ở mọi gốc dương. 13
Chương III Đồng cấu Lannes-Zarati: kiến thức chung Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày những kết quả chung về đồng cấu Lannes-Zarati. Cụ thể, trong Tiết III.1, chúng tôi sẽ đưa ra một biểu diễn cấp độ dây chuyền của đối ngẫu của đồng cấu Lannes-Zarati. Trong Tiết III.2, chúng tôi chỉ ra rằng đối ngẫu của đồng cấu Lannes-Zarati có thể phân tích qua A-hệ sinh tối tiểu của các chu trình trong phức Singer Γ+ M . Sự giao hoán của đồng cấu Lannes-Zarati và toán tử squaring sẽ được nghiên cứu ở Tiết III.3. Trong Tiết III.4, chúng tôi trình bày về đạo hàm riêng hình thức và ứng dụng của nó. Tiết III.5 đề cập đến tính hàm tử của đồng cấu Lannes-Zarati. Trong tiết cuối của chương này, chúng tôi nghiên cứu sự triệt tiêu của đồng cấu Lannes-Zarati trên các phần tử phân tích được. Chương III được viết dựa trên các bài báo [Hưng-Tuấn, 2018] và [Tuấn, 2018]. III.1 Biểu diễn dây chuyền của đồng cấu Lannes-Zarati Mục đích của tiết này là giới thiêu định lý sau. Đây cũng chính là nội dung của Định lý 5. Định lý III.1.1. ([3]) Cho M là một A-môđun không ổn định. Khi đó, với mọi 14
s ≥ 0, ánh xạ M )∗ : R M → Γ+ M, (ϕf s s s |z| qSts (z) 7→ qQs,0 ⊗ z với q ∈ Ds , và phần tử thuần nhất z bậc |z| trong M , là một biểu diễn ở cấp độ dây chuyền của đối ngẫu của đồng cấu Lannes-Zarati ∗ A (ϕM s ) : (F2 ⊗A Rs M )i → Tors,s+i (F2 , M ). Ánh xạ này là tự nhiên đối với các A-đồng cấu của các A-môđun không ổn định. III.2 Thương hóa đồng cấu Lannes-Zarati qua A-hệ sinh tối tiểu của các chu trình trong phức Singer + Cho M là một A-môđun không ổn định, và ∂s : Γ+ s M → Γs−1 M là vi phân của phức Γ+ M . Gọi i : Rs M → Ker∂s là ánh xạ biến phần tử qSts (z) thành |z| qQs,0 ⊗ z ∈ Ker∂s . Mục đích của tiết này là giới thiệu định lý sau, định lý này được chứng minh e ∗ (S 0 ). Đây cũng là nội dung bởi Nguyễn H. V. Hưng [Hưng, 2001] với M = H của Định lý 8. Định lý III.2.1. ([3]) Giả sử M là một A-môđun không ổn định. Khi đó đối ∗ ngẫu của đồng cấu Lannes-Zarati (ϕM s ) phân tích qua F2 ⊗A Ker∂s : ∗ (ϕM s ) F2 ⊗A Rs M / TorA (F , M ) 6 s 2 i ( p F2 ⊗A Ker∂s , trong đó p được cảm sinh bởi phép chiếu chính tắc p : Ker∂s → TorA s (F2 , M ) := Ker∂s /Im∂s+1 . 15
III.3 Đồng cấu Lannes-Zarati và toán tử squaring Liulevicius có lẽ là người đầu tiên nhận thấy trong [Liulevicius, 1962] rằng tồn tại các toán tử squaring Sq i : Exts,t s+i,2t A (F2 , F2 ) → ExtA (F2 , F2 ), có phần lớn các tính chất như Sq i trên đối đồng điều của các không gian. Đặc biệt, Sq i (α) = 0 nếu i > s, Sq s (α) = α2 với α ∈ Exts,t A (F2 , F2 ), và công thức Cartan đúng cho các Sq i . Tuy nhiên, toán tử squaring Sq 0 không phải là đồng nhất. Nguyễn H. V. Hưng đã xây dựng toán tử squaring trên (F2 ⊗A Ds )∗ trong [Hưng, 1997]. Hơn nữa, ông đã chứng minh định lý sau. Định lý III.3.1. ([Hưng, 2003]) Toán tử squaring trên (F2 ⊗A Ds )∗ giao hoán với toán tử squaring cổ điển trên ExtsA (F2 , F2 ) qua đồng cấu Lannes-Zarati ϕFs 2 , với bất kỳ s. Để cho gọn, từ bây giờ, H ∗ (RP∞ ) và đối đồng điều rút gọn của nó H e ∗ (RP∞ ) sẽ được ký hiệu là P và Pe. Mục đích của tiết này là xây dựng một toán tử squaring trên (F2 ⊗A Rs Pe)∗ , toán tử này giao hoán với toán tử squaring cổ điển trên ExtsA (Pe, F2 ) qua đồng cấu Lannes-Zarati. Định lý sau đây, cũng được đánh số như Định lý 9, là kết quả chính của tiết này. e ∗ (RP∞ ))∗ Định lý III.3.2. ([3]) Tồn tại một toán tử squaring Sq 0 trên (F2 ⊗A Rs H làm biểu đồ ExtsA (H ϕs e ∗ (RP∞ ), F2 ) −− e ∗ (RP∞ ))∗ → (F2 ⊗A Rs H    0  0 ySq ySq ExtsA (H ϕs e ∗ (RP∞ ), F2 ) −− e ∗ (RP∞ ))∗ → (F2 ⊗A Rs H giao hoán. Trong đó, mũi tên dọc đầu tiên là toán tử suquaring cổ điển, trong khi các mũi tên nằm ngang ký hiệu cho đồng cấu Lannes-Zarati. Bổ đề sau là một trong những lập luận then chốt trong chứng minh Định lý III.3.2. Bổ đề III.3.5. ([Hưng, 2003, Mệnh đề 3.2]) Sqx0 trùng với Sqv0 trên F2 [V1 , . . . , Vs ], với mọi s. 16
Định lý III.3.2 được chứng minh nhờ bổ đề sau. Bổ đề III.3.6. ([3]) Các ánh xạ squaring Sq∗0 : Rs Pe → Rs Pe và Sq∗0 : Γ+ sP → e Γ+ e∗ của đối ngẫu của s P giao hoán với nhau qua biểu diễn cấp độ dây chuyền ϕ e đồng cấu Lannes-Zarati cho Pe. Chính xác hơn, với mọi s, e∗ Sq∗0 = Sq∗0 ϕ ϕ e∗ . III.4 Đạo hàm riêng hình thức và ứng dụng Trong mục này, chúng tôi đưa ra một chứng minh mới cho Mệnh đề 3.2 trong bài báo của [Nguyễn H. V. Hưng, 2003], mệnh đề này cũng được phát biểu như là Bổ đề III.3.5. Chứng minh mới này không phụ thuộc vào “các tọa độ”. III.5 Tính hàm tử của đồng cấu Lannes-Zarati Trong mục này chúng tôi trình bày về tính hàm tử của đồng cấu Lannes- Zarati. Mệnh đề sau được suy ra trực tiếp từ định nghĩa của đồng cấu Lannes-Zarati. Mệnh đề III.5.1. ([3]) Cho f : M → N là một đồng cấu của các A-môđun không ổn định. Khi đó biểu đồ ϕN ExtsA (N, F2 ) −−→ (F2 ⊗A Rs N )∗ s   f ∗ f ∗ y y ϕM ExtsA (M, F2 ) −−s→ (F2 ⊗A Rs M )∗ giao hoán. Mệnh đề sau đây, cũng được đánh số như Mệnh đề 10, là kết quả chính của tiết này. Mệnh đề III.5.2. ([3]) Cho π : M → M 0 là một toàn cấu của các A-môđun 0 không ổn định. Nếu ϕM M s triệt tiêu tại mọi gốc dương, thì ϕs cũng triệt tiêu tại mọi gốc dương. 17
III.6 Đồng cấu Lannes-Zarati trên các phần tử phân tích được Trong mục này, tôi nghiên cứu sự triệt tiêu của đồng cầu Lannes-Zarati trên các phần tử phân tích được. Trong [Singer, 1983], Singer định nghĩa một đẳng cấu đại số ψm,n : ∆s → ∆m ⊗ ∆n bởi  vi ⊗ 1,  1 ≤ i ≤ m, ψm,n (vi ) = 1 ⊗ v , m + 1 ≤ i ≤ s,  i−m với bất kỳ cặp các số nguyên không âm m, n thỏa mãn m + n = s. Ở đây ta hiểu rằng ∆0 = F2 , ψs,0 (x) = x ⊗ 1 và ψ0,s (x) = 1 ⊗ x. ts−1 Giả sử c = Qts,0 P I 0 · · · Qs,s−1 ∈ Ds , khi đó ψm,n (c) = Q ⊗ QJ với QI ∈ Dm và QJ ∈ Dn . Một phần tử trong Ds được gọi là A-phân tích được nếu nó nằm trong ADs , trong đó A là ký hiệu cho iđêan bổ sung của đại số Steenrod A. Giambalvo and Peterson đã chỉ một điều kiện đủ cho một đơn thức trong Ds là A-phân tích được như sau. Định lý III.6.2 ([Giambalvo-Peterson, 2001, Mệnh đề 4.8]) Cho s ≥ 2 và giả sử rằng I = (i0 , . . . , is−1 ) là một bộ gồm s số nguyên không âm và QI = i Qis,0 0 · · · Qs,s−1 s−1 ∈ Ds với i0 > s − 2. Khi đó QI là A-phân tích được. Bổ đề sau đóng vai trò then chốt trong chứng minh các kết quả chính của tiết này. Bổ đề III.6.4. ([2]) Cho M là một A-môđun không ổn định có kiểu hữu hạn. Gọi cSts (z) là một phần tử của Rs M , với c ∈ Ds và phần tử thuần nhất z bậc |z| trong M . Khi đó, với α ∈ Extm n A (F2 , F2 ) và β ∈ ExtA (M, F2 ), 18