intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Ôn tập Toán 11 sách Cánh diều - Chương 8-Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:63

Thêm vào BST
Báo xấu
1
lượt xem 0
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Ôn tập Toán 11 sách Cánh diều – Chương 8-Bài 2 được biên soạn nhằm giúp học sinh lớp 11 nắm vững các tiêu chí xác định đường thẳng vuông góc mặt phẳng trong không gian. Tài liệu gồm lý thuyết trọng tâm, hệ thống bài tập chọn lọc và lời giải chi tiết. Đây là tài liệu hữu ích cho việc ôn luyện và kiểm tra giữa kỳ. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu ôn tập bài 2 để làm chủ các kiến thức vuông góc trong hình học không gian.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn tập Toán 11 sách Cánh diều - Chương 8-Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

  1. TOÁN 11-CÁNH DIỀU Điện thoại: 0946798489 BÀI 2. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG • CHƯƠNG 8. QUAN HỆ VUÔNG GÓC • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu hỏi dành cho đối tượng học sinh trung bình - khá Câu 1. Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng  P  , trong đó a   P  . Chọn mệnh đề sai. A. Nếu b // a thì b //  P  . B. Nếu b // a thì b   P  . C. Nếu b   P  thì b // a . D. Nếu b //  P  thì b  a . Câu 2. Qua điểm O cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng  cho trước? A. Vô số. B. 2 . C. 3 . D. 1 . Câu 3. Khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng   thì d vuông góc với hai đường thẳng trong mặt phẳng   . B. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng   thì d vuông góc với mặt phẳng   . C. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng   thì d vuông góc với bất kỳ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng   . D. Nếu d    và đường thẳng a //   thì d  a . Câu 4. Trong không gian, khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau. B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. D. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. Câu 5. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau đây? A. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  P  bằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  Q  thì mặt phẳng  P  song song hoặc trùng với mặt phẳng  Q  . B. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  P  bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng  P  thì đường thẳng a song song với đường thẳng b . C. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  P  bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng  P  thì đường thẳng a song song hoặc trùng với đường thẳng b . D. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho. Câu 6. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây: A. Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước. B. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b đồng thời a  b . Luôn có mặt phẳng   chứa a và    b . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
  2. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ C. Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau. Nếu mặt phẳng   chứa a và mặt phẳng    chứa b thì       . D. Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng khác. Câu 7. Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng  P  . Chọn khẳng định đúng? A. Nếu a   P  và b  a thì b   P  . B. Nếu a   P  và b   P  thì b  a . C. Nếu a   P  và b  a thì b   P  . D. Nếu a   P  và b   P  thì b  a . Câu 8. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành tâm O , SA  SC , SB  SD . Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng? A. SA   ABCD  . B. SO   ABCD  . C. SC   ABCD  . D. SB   ABCD  . Câu 9. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy ( ABCD) . Khẳng định nào sau đây sai? A. CD  (SBC ) . B. SA  ( ABC ) . C. BC  ( SAB) . D. BD  ( SAC ) . Câu 10. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là hai tam giác đều. Gọi M là trung điểm của AB . Khẳng định nào sau đây đúng? A. CM   ABD  . B. AB   MCD  . C. AB   BCD  . D. DM   ABC  . Câu 11. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc đáy. Mệnh đề nào sau đây sai? A. BC   SAB  . B. AC   SBD  . C. BD   SAC  . D. CD   SAD  . Câu 12. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I , cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên SC , SD . Khẳng định nào sau đây đúng? A. AH   SCD  . B. BD   SAC  . C. AK   SCD  . D. BC   SAC  . Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA   ABCD  . Gọi M là hình chiếu của A trên SB . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. AM  SD . B. AM   SCD  . C. AM  CD . D. AM   SBC  . Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. BA   SAD  . B. BA   SAC  . C. BA   SBC  . D. BA   SCD  . Câu 15. Cho tứ diện MNPQ có hai tam giác MNP và QNP là hai tam giác cân lần lượt tại M và Q . Góc giữa hai đường thẳng MQ và NP bằng A. 45 . B. 30 . C. 60 . D. 90 . Câu 16. Cho hình chóp SABC có SA   ABC  . Gọi H , K lần lượt là trực tâm các tam giác SBC và ABC . Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau? A. BC   SAH  . B. HK   SBC  . C. BC   SAB  . D. SH , AK và BC đồng quy. Câu 17. Cho tứ diện ABCD có AB  AC  2, DB  DC  3 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. BC  AD . B. AC  BD . C. AB   BCD  . D. DC   ABC  . Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  3. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU Câu 18. Cho hình chóp S. ABC đáy ABC là tam giác đều, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và SB . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai? A. CM  SB . B. CM  AN . C. MN  MC . D. AN  BC . Câu 19. Cho tứ diện đều ABCD có M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD . Mệnh đề nào sau đây sai? A. MN  AB . B. MN  BD . C. MN  CD . D. AB  CD . Câu 20. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng 2 , cạnh bên SA bằng 3 và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của cạnh bên SB và N là hình chiếu vuông góc của A trên SO . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. AC   SDO  . B. AM   SDO  . C. SA   SDO  . D. AN   SDO  . Câu 21. Cho hình chóp S . ABC có SA   ABC  và H là hình chiếu vuông góc của S lên BC . Hãy chọn khẳng định đúng. A. BC  SC . B. BC  AH . C. BC  AB . D. BC  AC . Câu 22. Cho tứ diện S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  . Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SB và SC . Khẳng định nào sau đây sai? A. AM  SC . B. AM  MN . C. AN  SB . D. SA  BC . Câu 23. Cho hình chóp S . ABC tam giác ABC vuông tại B cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABC). Gọi H là hình chiếu của A trên SB . Mệnh đề nào sau đây SAI? S H C A B A. Các mặt bên của hình chóp các tam giác vuông B. SBC vuông. C. AH  SC  D. Góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng  ABC  là góc SCB Câu 24. Cho hình chóp S . ABC có SA  SB  SC và tam giác ABC vuông tại C . Gọi H là hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng  ABC  . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. H là trung điểm của cạnh AB . B. H là trọng tâm tam giác ABC . C. H là trực tâm tam giác ABC . D. H là trung điểm của cạnh AC . Câu hỏi dành cho đối tượng học sinh khá – giỏi Câu 25. Cho hình chóp S. ABCD có SA   ABCD  và đáy ABCD là hình vuông tâm O ; Gọi I là trung điểm của SC ; Xét các khẳng định sau: 1. OI   ABCD  . 2. BD  SC . 3.  SAC  là mặt phẳng trung trực của đoạn BD . 4. SB  SC  SD . Trong bốn khẳng định trên, số khẳng định sai là A. 1. B. 4. C. 2. D. 3. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
  4. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều với cạnh a . Cạnh SA vuông góc với đáy và SA  a 3 . M là một điểm khác B và ở trên SB sao cho AM vuông góc với MD . Khi đó, tỉ số SM bằng SB 3 2 3 1 A. . B. . C. . D. . 4 3 8 3 Câu 27. Cho hình chóp S . ABCD , đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B . SA vuông góc với đáy, M là một điểm trên cạnh AB . Gọi  P  là mặt phẳng qua M và song song với SA, AD . Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng  P  là A. Hình bình hành. B. Hình vuông. C. Hình thang vuông. D. Hình chữ nhật. Câu 28. Cho hình hộp đứng ABCD. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , AA  3a . Mặt phẳng qua A vuông góc với AC cắt các cạnh BB, CC , DD  lần lượt tại I , J , K . Tính diện tích thiết diện AIJK 2a 2 11 a 2 11 a 2 11 3a 2 11 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 2 Câu 29. Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2a , các mặt bên là các tam giác vuông cân tại S . Gọi G là trọng tâm của ABC ,   là mặt phẳng qua G vuông góc với SC . Diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi mặt phẳng   bằng 4 2 2 2 4 2 2 2 A. a . B. a . C. a . D. a . 9 3 3 9 Câu 30. Cho lăng trụ đều ABC.A ' B ' C ' có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng a 2 . Gọi M là trung điểm của AB . Diện tích thiết diện cắt lăng trụ đã cho bởi mặt phẳng  A ' C ' M  là 7 2 2 3 35 2 3 2 2 9 2 A. a . B. a . C. a . D. a. 16 16 4 8 Câu 31. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang vuông tại A , đáy lớn AD  8 , đáy nhỏ BC  6 . SA vuông góc với đáy, SA  6 . Gọi M là trung điểm của AB .  P  là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB . Thiết diện của hình chóp S. ABCD cắt bởi mặt phẳng  P  có diện tích bằng: A. 20 . B. 15 . C. 30 . D. 16 . Câu 32. Xét tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc. Gọi  ,  ,  lần lượt là góc giữa các đường thẳng OA , OB , OC với mặt phẳng  ABC  (hình vẽ). Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  5. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU A O C B Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức M   3  cot 2   .  3  cot 2   .  3  cot 2   là A. Số khác. B. 48 3 . C. 48 . D. 125 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
  6. TOÁN 11-CÁNH DIỀU Điện thoại: 0946798489 BÀI 2. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG • CHƯƠNG 8. QUAN HỆ VUÔNG GÓC • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ MINH HỌA I. ĐỊNH NGHĨA Kiến thức trọng tâm Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng ( P) nếu đường thẳng d vuông góc với mọi đường thẳng a trong mặt phẳng ( P) , kí hiệu d  ( P) hoặc ( P)  d . II. ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚl MẶT PHẲNG Ta thừa nhận định lí sau: Kiến thức trọng tâm Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy. Ví dụ 1. Cho hình chóp S . ABC có SA  AB, SA  AC . Chứng minh rằng SA  ( ABC ) và SA  BC . Giải. (Hình 13) Ta có AB và AC là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng ( ABC ) và SA  AB, SA  AC . Suy ra SA  ( ABC ) . Mà BC  ( ABC ) nên SA  BC . III. TÍNH CHẤT Tính chất 1 Kiến thức trọng tâm Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước. Ví dụ 2. Cho mặt phẳng ( P) và đường thẳng a cắt ( P) tại O sao cho a  ( P) . Giả sử b là đường thẳng đi qua điểm O và b  a . Chứng minh rằng b  ( P) . Giải Ta lấy điểm M trong mặt phẳng ( P), M khác O (Hình 15). Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
  7. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Nếu M  b thì b  ( P) . Xét M  b . Gọi c là đường thẳng đi qua O, M và (Q) là mặt phẳng đi qua b, c . Do a  b , a  c nên a  (Q) . Qua điểm O có hai mặt phẳng ( P) và (Q) cùng vuông góc với đường thẳng a , suy ra hai mặt phẳng đó trùng nhau theo Tính chất 1 . Vậy b  ( P) . Ví dụ 3. Cho đoạn thẳng AB . Mặt phẳng ( P) được gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nếu ( P) đi qua trung điểm O của đoạn thẳng AB và ( P)  AB . Chứng minh rằng nếu điểm M trong không gian thoả mãn MA  MB thì M thuộc ( P) . Giải. (Hình 16) Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB . Nếu M trùng O thì M thuộc ( P) . Nếu M khác O thì tam giác MAB cân tại M , suy ra OM  AB . Theo Ví dụ 2, ta có OM  ( P) , suy ra M thuộc ( P) . Tính chất 2 Kiến thức trọng tâm Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. Ví dụ 4. Cho mặt phẳng ( P) và ba điểm A, B, C thoả mãn ( P)  AB và ( P)  BC . Chứng minh rằng ( P)  AC . Giải Vì hai đường thẳng AB và BC cùng đi qua điểm B và vuông góc với mặt phẳng ( P) nên hai đường thẳng này trùng nhau. Suy ra A, B, C là ba điểm thẳng hàng và ( P)  AC . IV. LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Tính chất 3 Kiến thức trọng tâm - Cho hai đường thẳng song song. Một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia. - Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. Ví dụ 5. Cho hình chóp S . ABCD có SA  ( ABCD) , đáy ABCD là hình bình hành có AC cắt BD tại O . Gọi M là trung điểm của SC (Hình 20). Chứng minh rằng OM  ( ABCD) . Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  8. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU Giải Vì ABCD là hình bình hành nên OA  OC . Ta có OM là đường trung bình của tam giác SAC nên OM / / SA . Mà SA  ( ABCD) nên OM  ( ABCD) . Tính chất 4 Kiến thức trọng tâm - Cho hai mặt phẳng song song. Một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia. - Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. Ví dụ 6. Giả sử ABCD và ABMN là hai hình chữ nhật không cùng nằm trong một mặt phẳng (Hình 22). Chứng minh rằng ( ADN ) / /( BCM ) . Giải Vì hai đường thẳng AD, AN cắt nhau trong mặt phẳng ( ADN ), AB  AD, AB  AN nên AB  ( ADN ) . Do hai đường thẳng BC, BM cắt nhau trong mặt phẳng ( BCM ) , AB  BC , AB  BM nên AB  ( BCM ) . Vì hai mặt phẳng ( ADN ) và ( BCM ) cùng vuông góc với AB nên ( ADN ) / /( BCM ) . Ví dụ 7. Cho hình hộp ABCD  A BC  D có AA  ( ABCD) . Chứng minh rằng: AA   A BC  D  . Giải. (Hình 23) Ta có: AA  ( ABCD) và  A BC  D  / /( ABCD ) nên AA   A BC  D   . V. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC Kiến thức trọng tâm Cho mặt phẳng ( P) . Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu vuông góc M  của điểm đó lên mặt phẳng ( P) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng ( P) . Nhận xét: Vì phép chiếu vuông góc là một trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song (khi phương chiếu vuông góc với mặt phẳng chiếu) nên phép chiếu vuông góc có đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song. Ví dụ 8. Cho mặt phẳng ( P) và đường thẳng a . Xác định hình chiếu của đường thẳng a trên mặt phẳng ( P) . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
  9. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Giải - Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng ( P) thì hình chiếu của a trên ( P) là một điểm, điểm đó là giao điểm của a và ( P) . - Để tìm hình chiếu a của đường thẳng a trên mặt phẳng ( P) trong trường hợp đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng ( P) , ta có thể làm như sau (Hình 25): Bước 1. Chọn hai điểm thích hợp A, B trên đường thẳng a . Bước 2. Xác định lần lượt hình chiếu A, B của hai điểm A, B trên mặt phẳng ( P) . Khi đó, đường thẳng a đi qua hai điểm A , B chính là hình chiếu của a trên mặt phẳng ( P) . Lưu ý rằng khi đường thẳng a cắt mặt phẳng ( P) thì ta thường chọn điểm A là giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng ( P) . Ví dụ 9. Cho mặt phẳng ( P) và tam giác ABC . Xác định hình chiếu của tam giác ABC trên mặt phẳng ( P) . Giải Gọi A , B , C  lần lượt là hình chiếu của ba điểm A, B, C trên mặt phẳng ( P) . Khi đó xảy ra các trường hợp sau: a) Trường hợp 1: Ba điểm A , B , C  không thẳng hàng. Khi đó, hình chiếu của tam giác ABC trên mặt phẳng ( P) là tam giác A BC  (Hình 26a). b) Trường hợp 2: Trong ba điểm A , B , C , có hai điểm trùng nhau. Chẳng hạn, điểm A trùng với điểm B . Khi đó, hình chiếu của tam giác ABC trên mặt phẳng ( P) là đoạn thẳng AC  (Hình 26b). c) Trường hợp 3: Ba điểm A , B , C  thẳng hàng. Trong ba điểm A , B , C thẳng hàng, có một điểm nằm giữa hai điểm còn lại. Chẳng hạn, điểm B nằm giữa hai điểm A và C . Khi đó, hình chiếu của tam giác ABC trên mặt phẳng ( P) là đoạn thẳng AC  (Hình 26c). VI. ĐỊNH LÍ BA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC Định lí ba đường vuông góc Kiến thức trọng tâm Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng ( P) và đường thẳng d nằm trong mặt phẳng ( P) . Khi đó, d vuông góc với a khi và chỉ khi d vuông góc với hình chiếu a của a trên ( P) . Chứng minh - Nếu a nằm trong ( P) thì kết quả là hiển nhiên. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  10. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU - Ta xét trường hợp a không nằm trong ( P) (Hình 28). Lấy điểm M  a . Gọi H là hình chiếu của M trên ( P) thì a đi qua H . Gọi (Q) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng a và MH . Do MH  ( P) mà d  ( P) nên MH  d . Giả sử d  a . Khi đó, d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng (Q) là a và MH . Suy ra d  (Q) , mà a  (Q) nên d  a . Giả sử d  a . Khi đó, bằng cách chứng minh tương tự như trên, ta có: d  a . Ví dụ 10. Trong mặt phẳng ( P) cho tam giác ABC vuông tại C . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ( P) tại A , ta lấy điểm S ( S khác A ). a) Chứng minh rằng tam giác SBC vuông tại C . b) Gọi AH là đường cao của tam giác SAC . Chứng minh rằng AH  ( SBC ) . Giải. (Hình 29) a) Vì SA  ( ABC ) nên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng ( ABC ) . Mà BC  AC nên theo định lí ba đường vuông góc ta có BC  SC . Vậy tam giác SBC vuông tại C . b) Ta có BC vuông góc với hai đường thẳng SA và AC cắt nhau trong mặt phẳng ( SAC ) nên BC  ( SAC ) , mà AH nằm trong mặt phẳng ( SAC ) nên BC vuông góc với AH . Vì AH vuông góc với hai đường thẳng SC và BC cắt nhau trong mặt phẳng ( SBC ) nên AH vuông góc với mặt phẳng ( SBC ) . PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN (PHÂN DẠNG) Dạng 1. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Câu 1. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Cho mặt phẳng ( P) và đoạn thẳng AB . Xác định hình chiếu của đoạn thẳng AB trên mặt phẳng ( P) . Câu 2. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi, SA  ( ABCD) . Chứng minh rằng BD  ( SAC ) . Câu 3. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Cho hình chóp S . ABC . Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng ( ABC ) . a) Xác định hình chiếu của các đường thẳng SA, SB, SC trên mặt phẳng ( ABC ) . b) Giả sử BC  SA, CA  SB . Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC và AB  SC . Câu 4. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Cho tứ diện ABCD có AB  ( BCD) , các tam giác BCD và ACD là những tam giác nhọn. Gọi H , K lần lượt là trực tâm của các tam giác BCD, ACD (Hình 31). Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
  11. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Chứng minh rằng: a) CD  ( ABH ) ; b) CD  ( ABK ) ; c) Ba đường thẳng AK , BH , CD cùng đi qua một điểm. Câu 5. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành. Tam giác ABC nhọn có trực tâm H là hình chiếu của S trên ( ABCD) . Chứng minh rằng: a) SA  AD ; b) SC  CD . Câu 6. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là một hình vuông và SA  ( ABCD ) . Chứng minh rằng: a) BC  ( SAB ) ; b) BD  ( SAC ) . Câu 7. Cho hình hộp ABCD  A BC  D  có AA  ( ABCD) . Chứng minh rằng: a) AA   A BC  D  ; b) BB  ( ABCD) . Câu 8. Cho hình chóp S. ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) và đáy là tam giác ABC vuông tại B . Kẻ AM vuông góc với SB tại M và AN vuông góc với SC tại N . Chứng minh rằng: a) BC  ( SAB ) ; b) AM  ( SBC ) ; c) SC  ( AMN ) . Câu 9. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O đến mặt phẳng ( ABC ) . Chứng minh rằng: a) BC  (OAH ) ; b) H là trực tâm của tam giác ABC ; 1 1 1 1 c) 2    . OH OA OB OC 2 2 2 Câu 10. Cho tứ diện ABCD có AB  AC và DB  DC . Chứng minh rằng AD  BC . Câu 11. Cho hình lăng trụ tam giác ABC  A B C  có AA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) và đáy là tam giác ABC vuông tại B . Chứng minh rằng: a) BB   A BC   ; b) BC    ABB A  . Câu 12. Cho hình chóp S  ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA  SC , SB  SD . Chứng minh rằng: Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  12. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU a) SO  ( ABCD ) ; b) AC  ( SBD ) và BD  ( SAC ) . Câu 13. Cho hình chóp S. ABC có SA  ( ABC ) , tam giác ABC nhọn. Gọi H , K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC . Chứng minh rằng: a) BC  ( SAH ) và các đường thẳng AH , BC , SK đồng quy; b) SB  (CHK ) và HK  ( SBC ) . Câu 14. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Gọi I là trung điểm của AC . Kẻ AH  SB ( H  SB ) . Chứng minh rằng: a) SA vuông góc với các cạnh đáy; b) BC  ( SAB ) ; c) BI  ( SAC ) , từ đó suy ra BI  SC ; d) AH  ( SBC ) , từ đó suy ra AH  SC . Câu 15. Cho tứ diện ABCD có ABC và BCD là các tam giác cân tại A và D . Gọi I là trung điểm của BC . a) Chứng minh rằng BC  AD . b) Kẻ AH là đường cao của tam giác ADI . Chứng minh rằng AH  ( BCD ) . Câu 16. Cho tứ diện SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SB  AB và SB  ( ABC ) . Gọi H , I , K lần lượt là trung điểm của SA, BC , AB . Chứng minh rằng: a) AC  ( SAB ) ; b) BH  ( SAC ) ; c) KI  SA ; d) AB  IH . Câu 17. Cho hình chóp S  ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a 2 . Biết rằng SA  SB  SC  SD , SO  2 a 2 . a) Chứng minh rằng SO  ( ABCD ) . b) Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác SAC . Câu 18. Cho tứ diện ABCD có DA  ( ABC ), ABC là tam giác cân tại A . Gọi M là trung điểm của BC . Vẽ AH  MD tại H . a) Chứng minh rằng AH  ( BCD ) . b) Gọi G , K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và DBC . Chứng minh rằng GK  ( ABC ) . Câu 19. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi, O là giao điểm của hai đường chéo, SA  SC , SB  SD . a) Chứng minh rằng SO  ( ABCD ) . b) Gọi I , J lần lượt là trung điểm của BA, BC . Chứng minh rằng IJ  ( SBD ) . c) Chứng minh rằng BD  ( SAC ) . Câu 20. Cho hình lăng trụ ABC  A B C  có AA  ( ABC ) (Hình 7). Chứng minh rằng: a) BB   A BC   ; b) AA   A BC   . Câu 21. Cho hình chóp S . ABCD có SA  ( ABCD ) . Chứng minh rằng: a) Nếu ABCD là hình chữ nhật thì BC  ( SAB ) ; Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
  13. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ a) Nếu ABCD là hình thoi thì SC  BD . Câu 22. Cho hình chóp S  ABC có   BSC  CSA  90 . Gọi H là trực tâm của tam giác ABC . ASB   Chứng minh rằng SH  ( ABC ) . Câu 23. Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình bình hành và SA  SC , SB  SD . Gọi O là giao điểm của AC và BD . Chứng minh rằng SO  ( ABCD ) . Câu 24. Cho hình hộp ABCD  A B C  D  có ABCD là hình thoi, AA  ( ABCD) . Chứng minh rằng: a) BB   A BC  D  ; b) BD  AC . Câu 25. Cho hình chóp O.ABC và điểm H không thuộc các đường thẳng AB, BC , CA sao cho    OHA  OHB  OHC  90 . Chứng minh rằng H thuộc mặt phẳng ( ABC ) . Câu 26. Cho hình chóp S. ABC thoả mãn SA  SB  SC . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC . Chứng minh rằng SO  ( ABC ) . Câu 27. Cho tam giác ABC và các điểm M , N , P đôi một phân biệt thoả mãn MA  MB  MC , NA  NB  NC , PA  PB  PC . Chứng minh rằng M , N , P thẳng hàng. Câu 28. Cho hình tứ diện đều ABCD . Chứng minh AB  CD . Câu 29. Cho hình tứ diện ABCD có AB  ( BCD) , các tam giác BCD và ACD là những tam giác nhọn. Gọi H , K lần lượt là trực tâm của các tam giác BCD, ACD . Chứng minh rằng: a) AD  CH ; b*) HK  ( ACD ). Câu 30. Cho hình chóp S. ABC có SA  ( ABC ) . Gọi M , N , P lần lượt là trọng tâm của ba tam giác SAB , SBC , SCA . Chứng minh rằng SA  ( MNP ) . Câu 31. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA  ( ABCD) . Gọi H , I , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC và SD . Chứng minh rằng: a) BC  (SAB), CD  (SAD), BD  (SAC ) . b) SC  ( AHK ) và điểm I thuộc mặt phẳng ( AHK ) . c) HK  ( SAC ) và HK  AI . Câu 32. Cho tứ diện ABCD có AB  CD và AC  BD . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng (BCD) . Chứng minh rằng H là trực tâm của BCD và AD  BC . Dạng 2. Ứng dụng Câu 33. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Hình 17 mô tả một cửa gỗ có dạng hình chữ nhật, ở đó nẹp cửa và mép dưới cửa lần lượt gợi nên hình ảnh hai đường thẳng d và a . Điểm M là vị trí giao giữa mép gắn bản lề và mép dưới của cửa. Hãy giải thích tại sao khi quay cánh cửa, mép dưới cửa là những đường thẳng a luôn nằm trên mặt phẳng đi qua điểm M cố định và vuông góc với đường thẳng d . Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  14. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU Câu 34. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Cho mặt phẳng ( P) và đường thẳng a cắt nhau tại điểm O, a  ( P) . Giả sử điểm M thoả mãn OM  ( P) . Chứng minh rằng M  a . Câu 35. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Cho đường thẳng d và mặt phẳng ( P) cắt nhau tại điểm O . Lấy các điểm A , B thuộc d và khác O ; các điểm A , B thuộc ( P) thoả mãn AA  ( P), BB  ( P) . Chứng minh rằng AA OA  BB  OB Câu 36. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Cho hình chóp S . ABC có SA  ( ABC ) . Mặt phẳng ( P) khác mặt phẳng ( ABC ) , vuông góc với đường thẳng SA và lần lượt cắt các đường thẳng SB, SC tại hai điểm phân biệt B , C . Chứng minh rằng BC  //BC. Câu 37. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Cho hình chóp S . ABCD có SA  ( ABCD) và đáy ABCD là hình chữ nhật. Chứng minh rằng các tam giác SBC và SCD là các tam giác vuông. Câu 38. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Quan sát Hình 30 (hai cột của biển báo, mặt đường), cho biết hình đó gợi nên tính chất nào về quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Câu 39. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Cho hình chóp S . ABCD có SA  ( ABC ), BC  AB . Lấy hai điểm M , N lần lượt là trung điểm của SB, SC và điểm P nằm trên cạnh SA . Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác vuông. Câu 40. Một chiếc cột được dựng trên nền sân phẳng. Gọi O là điểm đặt chân cột trên mặt sân và M là điểm trên cột cách chân cột 40 cm . Trên mặt sân, người ta lấy hai điểm A và B đều cách O là 30 cm ( A, B , O không thẳng hàng). Người ta đo độ dài MA và MB đều bằng 50 cm . Hỏi theo các số liệu trên, chiếc cột có vuông góc với mặt sân hay không? Câu 41. Một cây cột được dựng trên một sàn phẳng. Người ta thả dây dọi và ngắm thấy cột song song với dây dọi. Hỏi có thể khẳng định rằng cây cột vuông góc với sàn hay không? Vì sao? Câu 42. Cho hình chóp S . ABCD có SA  ( ABC ), BC  AB . Lấy hai điểm M , N lần lượt là trung điểm của SB, SC và điểm P nằm trên cạnh SA . Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác vuông. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
  15. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 43. Cho tứ diện ABCD có AB  ( BCD) , các tam giác BCD và ACD là những tam giác nhọn. Gọi H , K lần lượt là trực tâm của các tam giác BCD, ACD . Chứng minh rằng: a) CD  ( ABH ) và CD  ( ABK ) ; b) Bốn điểm A, B , H , K cùng thuộc một mặt phẳng. c) Ba đường thẳng AK , BH , CD cùng đi qua một điểm. Câu 44. Cho hình chóp S  ABCD thoả mãn SA  SB  SC  SD . Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn đi qua cả bốn đỉnh của tứ giác ABCD . Câu 45. Cho mặt phẳng ( P ) và hai điểm A, B sao cho B thuộc ( P ) và A không thuộc ( P ) . Điểm C chuyển động trên mặt phẳng ( P ) thoả mãn   90 . Chứng minh rằng C chuyển động trên ACB một đường tròn cố định trong ( P ) . Câu 46. Cho đoạn thẳng AB và mặt phẳng ( P ) sao cho ( P )  AB và ( P ) cắt đoạn thẳng AB tại điểm H thoả mãn HA  4 cm, HB  9 cm . Điểm C chuyển động trong mặt phẳng ( P ) thoả mãn   90 . Chứng minh rằng điểm C thuộc đường tròn tâm H bán kính 6 cm trong mặt phẳng ( P ) . ACB Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  16. TOÁN 11-CÁNH DIỀU Điện thoại: 0946798489 BÀI 2. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG • CHƯƠNG 8. QUAN HỆ VUÔNG GÓC • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu hỏi dành cho đối tượng học sinh trung bình - khá Câu 1. Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng  P  , trong đó a   P  . Chọn mệnh đề sai. A. Nếu b // a thì b //  P  . B. Nếu b // a thì b   P  . C. Nếu b   P  thì b // a . D. Nếu b //  P  thì b  a . Lời giải Nếu a   P  và b // a thì b   P  . Câu 2. Qua điểm O cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng  cho trước? A. Vô số. B. 2 . C. 3 . D. 1 . Lời giải Theo tính chất 1 SGK Hình học 11 trang 100 . Câu 3. Khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng   thì d vuông góc với hai đường thẳng trong mặt phẳng   . B. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng   thì d vuông góc với mặt phẳng   . C. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng   thì d vuông góc với bất kỳ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng   . D. Nếu d    và đường thẳng a //   thì d  a . Lời giải Khẳng định B sai vì: đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng   mà hai đường thẳng đó song song thì d không vuông góc với mặt phẳng   . Câu 4. Trong không gian, khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau. B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. D. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. Lời giải Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. Câu 5. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau đây? A. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  P  bằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  Q  thì mặt phẳng  P  song song hoặc trùng với mặt phẳng  Q  . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
  17. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ B. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  P  bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng  P  thì đường thẳng a song song với đường thẳng b . C. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  P  bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng  P  thì đường thẳng a song song hoặc trùng với đường thẳng b . D. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho. Lời giải Phát biểu D đúng theo định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Câu 6. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây: A. Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước. B. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b đồng thời a  b . Luôn có mặt phẳng   chứa a và    b . C. Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau. Nếu mặt phẳng   chứa a và mặt phẳng    chứa b thì       . D. Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng khác. Lời giải Hiển nhiên B đúng. Có vô số mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. Do đó, A sai. Nếu hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau và cắt nhau thì mặt phẳng chứa cả a và b không thể vuông góc với b . Do đó, C sai. Qua một đường thẳng có vô số mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng khác. Do đó, D sai. Câu 7. Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng  P  . Chọn khẳng định đúng? A. Nếu a   P  và b  a thì b   P  . B. Nếu a   P  và b   P  thì b  a . C. Nếu a   P  và b  a thì b   P  . D. Nếu a   P  và b   P  thì b  a . Lời giải Chọn B Câu 8. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành tâm O , SA  SC , SB  SD . Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng? A. SA   ABCD  . B. SO   ABCD  . C. SC   ABCD  . D. SB   ABCD  . Lời giải Chọn B S A B O D C Ta có O là trung điểm của AC, BD Mà SA  SC , SB  SD  SO  AC , SO  BD Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  18. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU  SO   ABCD  . Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy ( ABCD) . Khẳng định nào sau đây sai? A. CD  (SBC) . B. SA  ( ABC ) . C. BC  ( SAB) . D. BD  ( SAC ) . Lời giải Chọn A S D A O B C Từ giả thiết, ta có : SA  ( ABC )  B đúng.  BC  AB Ta có :   BC  ( SAB)  C đúng.  BC  SA  BD  AC Ta có:   BD  ( SAC )  D đúng.  BD  SA Do đó: A sai. Chọn A. Nhận xét: Ta có cũng có thể giải như sau: CD  AD   CD  ( SAD) CD  SA Mà ( SCD) và ( SAD) không song song hay Trùng nhau nên CD  ( SCD) là sai. Chọn A. Câu 10. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là hai tam giác đều. Gọi M là trung điểm của AB . Khẳng định nào sau đây đúng? A. CM   ABD  . B. AB   MCD  . C. AB   BCD  . D. DM   ABC  . Lời giải D A C M B CM  AB    AB   CDM  . DM  AB  Câu 11. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc đáy. Mệnh đề nào sau đây sai? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
  19. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ A. BC   SAB  . B. AC   SBD  . C. BD   SAC  . D. CD   SAD  . Lời giải Ta có:  BC  AB +  BC   SAB  .  BC  SA CD  AD +  CD   SAD  . CD  SA  BD  AC +  BD   SAC  .  BD  SA Suy ra: đáp án B sai. Câu 12. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I , cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên SC , SD . Khẳng định nào sau đây đúng? A. AH   SCD  . B. BD   SAC  . C. AK   SCD  . D. BC   SAC  . Lời giải S H K A B I D C CD  SA  Có   CD   SAD   CD  AK . CD  AD  AK  SD  Có   AK   SCD  . AK  CD  Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA   ABCD  . Gọi M là hình chiếu của A trên SB . Khẳng định nào sau đây là đúng? Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  20. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU A. AM  SD . B. AM   SCD  . C. AM  CD . D. AM   SBC  . Lời giải Chọn D S M D A B C  SA  BC Do SA   ABCD  và ABCD là hình vuông nên   BC   SAB  .  AB  BC  BC   SAB    AM  SB   AM  BC ;   AM   SBC   AM   SAB    AM  BC Câu 14. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. BA   SAD  . B. BA   SAC  . C. BA   SBC  . D. BA   SCD  . Lời giải Chọn A Ta có: BA  SA (do SA   ABCD  ) BA  AD (do ABCD là hình vuông)  BA   SAD  . Câu 15. Cho tứ diện MNPQ có hai tam giác MNP và QNP là hai tam giác cân lần lượt tại M và Q . Góc giữa hai đường thẳng MQ và NP bằng A. 45 . B. 30 . C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
14=>2