Ứng dụng của đạo hàm Lê Văn Tiến

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

304
lượt xem 120
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ứng dụng của đạo hàm Lê Văn Tiến nhằm giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập trắc nghiệm toán học một cách thuận lợi và tự kiểm tra đánh giá kết quả học tập của mình.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ứng dụng của đạo hàm Lê Văn Tiến

Tröôøng THPT Nguyeãn Bænh Khieâm, ÑaécLaéc Giaùo vieân: Leâ Vaên Tieán LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC MOÂN TOAÙN Chuyeân ñeà ÖÙNG DUÏNG CUÛA ÑAÏO HAØM Phaàn: Haøm soá ñôn ñieäu I. PHÖÔNG PHAÙP TÌM KHOAÛNG ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ: 1) Tính ñaïo haøm y’ = f’(x) 2) Tìm nghieäm cuûa f’(x) hoaëc caùc ñieåm taïi ñoù f’(x) khoâng xaùc ñònh. 3) Laäp baûng xeùt daáu f’(x) (baûng bieán thieân) ñeå keát luaän. BAØI TAÄP: 1) Tìm khoaûng ñoàng bieán, nghòch bieán cuûa caùc haøm soá sau: a) y = x3 – x +1 b) y = - x3 – 3x + 5 c) y = x4 – 2x2 + 3 3x + 1 x 2 − 2x x2 − 2x + 3 d) y = e) y = g) y = 1− x x −1 x +1 1 x x3 h) y = 2 k) y = l) y = ( x − 5) x + 100 x2 − 6  π 5π  m) y = x – sinx n) y = x + 2cosx, x ∈  ;  o) y = x − 6 3 x 2  6 6  2) Xaùc ñònh m ñeå haøm soá y = (m – 3)x - sinx nghòch bieán treân ℝ HD: Haøm soá nghòch bieán treân ℝ ⇔ y’ = m – 3 – cosx ≤ 0 ∀x ∈ℝ . Ñaët t = cosx, ñieàu kieän | t| ≤ 1 Ta caàn tìm m ñeå f(t) = - t + m – 3 ≤ 0 ∀ t ∈[−1; 1] Ta coù f(t) = - t + m – 3 ≤ 0 ∀ t ∈[−1; 1] ⇔ f(−1) ≤ 0 ⇔ m − 2 ≤ 0 ⇔ m ≤ 2 1 3) Tçm m âãø haìm säú : y = - x3 + (m - 1)x2 + (m + 3)x - 4 âäöng biãún trãn (0, 3) . 3 HD: Haøm soá ñoàng bieán treân khoaûng (0; 3) ⇔ y’= - x2 + 2(m – 1)x + m +3 ≥ 0 ∀x ∈(0; 3) −1f(0) ≤ 0 − m -3 ≤ 0 12 ⇔ y’ coù hai nghieäm x1; x2 thoûa maõn x1 ≤ 0 ≤ 3 ≤ x2 ⇔  ⇔ ⇔ m≥ −1f(3) ≤ 0 12 - 7m ≤ 0 7 1 1 4) Tçm m âãø haìm säú y = - mx3 - (m +1)x2 + 3(m + 2)x + luoân luoân âäöng biãún treân ℝ . 3 3 HD: Haøm soá ñoàng bieán treân ℝ ⇔ y’ = -mx2 -2(m +1)x + 3(m + 2) ≥ 0 ∀x ∈ℝ + Tröôøng hôïp m = 0 ta coù y’ = -2x + 6 khoâng theå lôùn hôn baèng 0 vôùi moïi x. − m > 0 m < 0 2+ 3 2- 3 + Tröôøng hôïp m ≠ 0 ta coù y’ ≥ 0 ∀x ∈ ℝ ⇔  ⇔ 2 ⇔− ≤m≤-  ∆' ≤ 0 4m + 8m + 1 ≤ 0 2 2 2x 2 − 3x + m m −1 5) Tçm m âãø y = âäöng biãún trãn (3, +∞). HD: Ta coù y = 2x -1 + x −1 x −1 2(x - 1)2 − (m − 1) Haøm soá ñoàng bieán treân khoaûng (3; +∞) ⇔ y' = ≥ 0 ∀x ∈(3; +∞ ) (x - 1)2 x − 1 ≠ 0 ∆ ' ≤ 0 ⇔ ⇔ 2x2 − 4x + 3 − m ≥ 0 ∀ x > 3 ⇔  ⇔ m≤ 9 2(x-1) − (m -1) ≥ 0∀x > 3 VTcoù hai n0 thoûa x1 ≤ x2 ≤ 3 2 II. Aùp duïng tính ñôn ñieäu giaûi toaùn: 1) Chöùng minh BÑT f(x) > g(x) treân khoaûng (a; b) Phöông phaùp: Ta xeùt haøm h(x) = f(x) – g(x) treân (a; b) - Neáu haøm h(x) ñoàng bieán treân (a; b) thì h(x) > h(a) v i m i x thu c kho ng (a; b) - Neáu haøm h(x) nghòch bieán treân (a; b) thì h(x) > h(b) v i m i x thu c kho ng (a; b) Baøi taäp: Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau: 1
π π 1) tgx > sinx, 0 < x < . HD: Xeùt haøm soá f(x) = tgx – sinx treân khoaûng (0; ). 2 2 1 π Coù f’(x) = − cos x > 0 ⇒ f(x) laø haøm ñoàng bieán treân (0; ) ⇒ f(x) > f(0) = 0 ⇒ tgx > sinx cos x 2 2 2) ln(1+ x) < x vôùi ∀x > 0, HD: Xeùt haøm soá f(x) = ln(1 + x) – x treân (0; + ∞) x2 x2 3) cosx > 1- vôùi ∀x > 0, HD: Xeùt haøm soá f(x) = cosx + - 1 treân (0; + ∞) 2 2 4) x α - 1 > α (x – 1) vôùi α ≥ 2, x > 1. HD: Xeùt haøm soá f(x) = xα - α (x – 1) – 1 treân (1; + ∞) x3 x3 5) x - < sinx vôùi x > 0, HD: Xeùt haøm soá f(x) = x - - sinx treân (0; + ∞) 6 6 x2 x2 6) ex > 1 + vôùi x > 0, HD: Xeùt haøm soá f(x) = ex - - 1 treân (0; + ∞) 2 2 2) Giaûi pt trình f(x) = 0, bpt f(x) > 0 Phöông phaùp: - Xeùt tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá f(x). - Neáu f(x) ñoàng bieán (hoaëc nghòch bieán) thì ta coù: 1) f(x1) = f(x2) ⇔ x1 = x2 2) f(x1) < f(x2) ( hoaëc f(x1) > f(x2) ) ⇔ x1 < x2 ( hoaëc x1 > x2) Baøi taäp: Giaûi caùc phöông trình, baát phöông trình heä phöông trình sau: x x x x  3   1 x  3   1 x 1) 2 < 32 + 1. HD: BPT ⇔   +   > 1 . Xeùt haøm soá f(x) =   2  2   +   laø haøm NB treân ℝ     2  2 Coù f(2) = 1 ⇒ f ( x ) > f (2) ⇒ x < 2. Taäp nghieäm bpt T = (-∞; 2)  f (x) = 2x  f ( x ) ñoàng bieán treân ℝ  f (2) = 4 2) 2x = 6 – x. HD: Xeùt hai haøm soá  . Ta coù  vaø   g( x ) = 6 − x  g( x ) nghòch bieán treân ℝ  g(2) = 4 ⇒ x = 2 laø nghieäm duy nhaát  2 1 1 1 2x = y + y HD : Xeùt pt 2x = y + y ≥ 2 ⇒ x ≥ 1.Töông töï: ta coù y ≥ 1. Xeùt haøm soá f(t) = t + t . 2  3)  2y 2 = x + 1 t2 − 1 coù f '(t ) = 2 ≥ 0 ∀t ≥ 1, neân haøm soá ñoàng bieán treân [1; +∞)   x t Neáu x > y thì f(x) > f(y) ⇒ 2y2 > 2x2 ⇒ y > x voâ lí. Töông töï neáu y > x thì f(y) > f(x) ⇒ x > y voâ lí Vaäy x = y . Thay x = y vaøo moät trong hai phöông trình ta coù x = y = 1.  cot gx − cot gy = x − y (1) HD: pt(1) ⇔ cotgx -x = cotgy - y. 4)  , x ; y ∈ (0; π ).  5 x − 8 y = 2π (2) Xeùt hsoá f(t) = cotgt - t treân (0; π ) tgx − tgy = x − y 5)  , x; y ∈(0; π ) . HD: Xeùt f(t) = tgt – t. tgx + tgy = 2 6) Chöùng minh raèng phöông trình x3 -3x + c = 0 khoâng theå coù hai nghieäm trong ñoaïn [0; 1] 3) Aùp duïng ñònh lí Lagrange: Haøm f(x) lieân tuïc treân [a; b] vaø coù ñaïo haøm treân (a; b) f ( b ) − f ( a) thì toàn taïi moät soá c ∈ (a; b) sao cho = f '(c) b−a b−a b b−a 1) Cho 0 < a < b. Chöùng minh raèng: < ln < . HD: xeùt haøm soá f(x) = lnx treân [a; b] b a a π b−a b−a π 2) Cho 0 < a < b < . Chöùng minh raèng: < tgb − tga < . HD: xeùt haøm f(x) = tgx treân ( 0; ) 2 cos a2 cos b 2 2 3) Haõy tìm treân ñoà thò haøm soá f(x) = x – x nhöõng ñieåm taïi ñoù tieáp tuyeán song song vôùi daây cung noái caùc 3 ñieåm coù hoaønh ñoä laø 10 vaø 12. HD: AÙp duïng ÑLí Lagraêng ta coù 2
f (12) − f (10) 364 = f '(c), vôùi c ∈ (10; 12). ÑS : c = 12 − 10 3 Phaàn: Cöïc trò haøm soá I. PHÖÔNG PHAÙP TÌM CÖÏC TRÒ CUÛA HAØM SOÁ SOÁ y= f(x) Caùch 1: - Tìm TXÑ cuûa haøm soá vaø tính y’. Tìm caùc ñieåm x0 maø y’baèng 0 hoaëc khoâng xaùc ñònh. - Laäp baûng bieán thieân - Neáu f’(x) ñoåi daáu töø döông sang aâm khi x qua x0 thì x0 laø ñieåm cöïc ñaïi. - Neáu f’(x) ñoåi daáu töø aâm sang döông khi x qua x0 thì x0 laø ñieåm cöïc tieåu. Caùch 2: - Tìm TXÑ cuûa haøm soávaø tính y’, y’’ - Tìm nghieäm x0 cuûa phöông trình y’= 0 - Neáu f’’(x0) < 0 thì x0 laø ñieåm cöïc ñaïi - Neáu f’’(x0) > 0 thì x0 laø ñieåm cöïc tieåu II. BAØI TAÄP 1) Tìm cöïc trò cuûa caùc haøm soá sau: 1 a) y = 2x3 +3x2 -36x -10 ; b) y = x4 + 2x2 – 3 ; c) y = x + ; d) y = x3(1 – x)2; x x − 2x + 3 2 x e) y = y = ; f) y = 2 + 3 3 x 2 ; g) y = (7 − x ) 3 x + 5 ; h) y = ; x −1 10 − x 2 2) Tìm cöc trò cuûa caùc haøm soá sau: söû duïng daáu hieäu II x 2 + 4x + 5 a)y = x3 + 4x ; b) y = xe-x ; c) y = x2lnx; d) y = ; x+2 e x + e− x e) y= cos2x -1 ; f) y = sinx + cos2x ; g) y = . 2 1 3 1) Tçm m âãø haìm säú y = x + mx2 + (m + 6)x - (2m + 1) coï cöïc ñaïi, cöïc tieåu. 3 2) Tçm m âãø haìm säú y = x3 - 3mx2 - (m - 1)x + 2 âaût cæûc tiãøu taûi x = 2.  y(2) = 0  , HD: HS ñaït CT taïi 2 ⇔  ,, ⇔ m =1   y(2) > 0 1 π 3) Xaùc ñònh a ñeå haøm soá y = asinx + x ñaït cöïc trò taïi x = . 3 3 2 4) Xaùc ñònh p vaø q ñeå haøm soá y = x +px +q ñaït cöïc tieåu taïi x = 1. Baøi taäp traéc nghieäm 1. Bieát raèng coù hai giaù trò cuûa m ñeå haøm soá y = x3 -(m + 2)x2 + (1 -m)x + 3m - 1 ñaït cöïc trò taïi x1, x2 maø |x1 - x2| = 2. Toång hai soá ñoù laø: A. -5 B. -14 C. -7 D. 7 ln x 2. Ñieåm cöïc tieåu cuûa haøm soá y = 2 laø: x 1 1 A. 2 B. C. e D. H.soá khoâng coù ñieåm cöïc tieåu e e 1 3. Bieát ñoà thò haøm soá f(x) = x3 − 2x 2 + mx + 3 coù hai ñieåm cöïc trò thaúng haøng vôùi ñieåm O, thì m thuoäc khoaûng: 3 A. (-1; 1) B. (3; 1) C. (-3; -5) D. (-1; -3) 2 −x + 3x + 5 4. Ñoà thò haøm soá f(x) = coù hai ñieåm cöïc trò naèm treân ñöôøng thaúng y = ax + b ta coù a.b baèng: x+2 A. -2 B. -8 C. -6 D. 5 2 x − 2x + m + 3 5. Bieát raèng ñoà thò haøm soá y = coù moät ñieåm cöïc trò thuoäc ñt y = x + 1, ñieåm cöïc trò coøn laïi laø: x+m A. 3 B. 2 C. 4 D. 1 3
π 6. Bieát haøm soá f(x) = asinx + bcosx +x ( 0 < x < 2π ) ñaït cöïc trò taïi x = vaø π thì a + b baèng: 3 3 A. 3 +1 B. 3 −1 C. +1 D. 3 3 3 2 7. Ñieåm cöïc ñaïi cuûa haøm soá y = xe − x gaàn nhaát vôùi soá naøo döôùi ñaây: A. 0,7 B. 0,6 C. 0,8 D. 0,5 2 8. Coù bao nhieâu giaù trò nguyeân cuûa m ñeå haøm soá y = mln(x + 2) + x - x coù hai ñieåm cöïc trò traùi daáu A. 3 B. 2 C. Khoâng toàn taïi m D. 1 4 3 2 9. Giaù trò cuûa m ñeå haøm soá y = x + mx - 2x - 3mx + 1 coù ba ñieåm cöïc trò laø: 3 4 A. m ≠ ± B. Vôùi moïi m C. m ≠ ±1 D. m ≠ ± 4 3 ax π 10. Bieát haøm soá y = e .sinx ( 0 < x < π ) ñaït cöïc trò taïi x = thì ñieåm cöïc tieåu cuûa haøm soá laø: 4 π 3π π π A. B. C. − D. 4 4 4 3 x − 4x + 1 2 11. Haøm soá f(x) = coù hai ñieåm cöïc trò x1 vaø x2, ta coù x1 + x2 baèng: x +1 A. 5 B. -2 C. -5 D. -1 ex 12. Cho haøm soá y = 2 . Meänh ñeà naøo sau ñaây ñuùng x +1 A. Haøm soá ñoàng bieán vôùi x > 1 B. Haøm soá ñoàmg bieán treân ℝ C. Haøm soá nghòch bieán vôùi x < 1 D. Caùc keát luaän A, B, C ñeàu sai 13. Trong caùc haøm soá sau ñaây, haøm soá naøo ñoàng bieán treân khoaûng (1; 2) 2 x−2 x2 + x − 1 1 A. y= x - 4x + 5 B. y = C. y = D. y = x3 − 2x2 + 3x + 2 x −1 x −1 3 14. Haøm soá naøo sau ñaây ñoàng bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh: 1 x2 − 2x + 4 1 (I) y = ln x − ; (II) y = ; (III) y = − 3 x −1 x −1 2 x +x A. Caû (I), (II) vaø (III) B. Chæ (I) vaø (II) C. Chæ coù (I) vaø (III) D. Chæ coù (II) 15. Trong caùc haøm soá sau ñaây, haøm soá naøo nghòch bieán treân ℝ . x+5 1 A. y= cotgx B. y = - x4 - x2 - 1 C. y = D. y = x x+2 2 16. Haøm soá naøo sau ñaây nghòch bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh: x+5 1 (I) y = ; (II) y = ; (III) y = x x 2 − 4 x +1 cos x A. Chæ coù (I) B. Chæ coù (II) C. Caû (I), (II) vaø (III) D. Chæ (I) vaø (II) 17. Trong caùc haøm soá sau ñaây, haøm soá naøo ñoàng bieán treân ℝ . 4x + 1 A. y = x3 + 1 B. y= tgx C. y = D. y = x4 + x2 + 1 x+2 18. Trong caùc haøm soá sau ñaây, haøm soá naøo nghòch bieán treân khoaûng (1; 3) 1 2 A. y = x2 − 2x + 3 B. y = x3 − 4x 2 + 6x + 9 2 3 x2 + x − 1 2x − 5 C. y = D. y = x −1 x −1 3 2 19. Cho haøm soá f(x) = -2x + 3x + 12x - 5. Trong caùc meänh ñeà sau, haõy tìm meänh ñeà sai A. Haøm soá giaûm treân khoaûng (-3; -1) B. Haøm soá taêng treân khoaûng (-3; -1) C. Haøm soá giaûm treân khoaûng (2; 3) D. Haøm soá taêng treân khoaûng (-1; 2) 4
a b 20. Baát ñaúng thöùc > ñuùng vôùi moïi a, b thoaû maõn a < b vaø a, b thuoäc khoaûng: ln a ln b A. (0; 1) B. (e; 4) C. (2; 3) D. (0; 3) 4 2 ù 21. Haøm soá f(x) = x - 6x + 8x + 1 coù bao nhieâu ñieåm cöïc trò A. 0 B. 3 C. 2 D. 1 a −1 3 22. Haøm soá y = x + ax 2 + (3a − 2)x luoân luoân ñoàng bieán khi 3 1 1 A. a ≥ 2 ∨ a ≤ B. ≤ a ≤ 2 C. a ≥ 2 D. 1 < a ≤ 2 2 2 23. Haøm soá f(x) = x3 coù bao nhieâu ñieåm tôùi haïn A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 3 2 2 2 4. Giaù trò m ñeå haøm soá f(x) = x - 3mx + 3(m - 1)x ñaït cöïc ñaïi taïi x = 1 laø A. m = 2 B. Khoâng toàn taïi m C. m = 0 D. m = 0 hoaëc m = 2 25. Cho haøm soá f(x) = xlnx. Haøm soá f(x) ñoàng bieán trong caùc khoaûng naøo sau ñaây A. ( 0; + ∞ ) B. ( −∞; 0 ) C. ( 0; 1) D. (1; + ∞ ) 3x+1 26. Cho haøm soá f(x) = . Trong caùc meänh ñeà sau, haõy tìm meänh ñeà ñuùng 1- x A. Taêng treân ℝ B. Taêng treân hai khoaûng ( −∞; 1) ; (1; + ∞ ) C. Giaûm treân khoaûng (0; 2) D. Giaûm treân khoaûng ℝ 27. Haøm soá f(x) = |x| coù bao nhieâu ñieåm cöïc trò A. 3 B. 0 C. 2 D. 1 x +x+1 2 28. Cho haøm soá f(x) = . Trong caùc meänh ñeà sau, haõy tìm meänh ñeà sai x+1 A. Giaù trò cöïc ñaïi baèng -3 B. Ñieåm M(0; 1) laø ñieåm cöïc tieåu C. Ñieåm N(-3; -2) laø ñieåm cöïc ñaïi D. Haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x = -2 x + 2x + m 2 29. Giaù trò m ñeå haøm soá f(x) = ñaït moät cöïc ñaïivaø moät cöïc tieåu laø: x −1 A. m= -3 B. m < - 3 C. m > -3 D. m khaùc -3 x 4 30. Haøm soá f(x) = − 2x2 + 6 coù bao nhieâu ñieåm cöïc tieåu 4 A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 2 31. Xeùt haøm soá f(x) = 2x - 5x + 3 treân [0; 4]. Soá c thoaû maõn ñònh lí Lagrange aùp duïng vaøo haøm soá laø: A. 1 B. 1,5 C. 0,5 D. 2 x +x-1 2 32. Haøm soá f(x) = coù bao nhieâu ñieåm cöïc trò x+1 A. 0 B. 2 C. 3 D. 1 Phaàn: Giaù trò lôùn nhaát, gía trò nhoû nhaát I. ÖÙNG DUÏNG ÑAÏO HAØM TÌM GTLN,GTNN 1. Caùch tìm GTLN, GTNN treân khoaûng (a; b): trong ñoù a coù theå laø − ∞ , b coù theå laø + ∞ . Ta thöïc hieän: - Tính ñaïo haøm y’ - Laäp baûng bieán thieân: Neáu treân (a; b) haøm soá chæ coù moät cöïc ñaïi (cöïc tieåu) duy nhaát thì giaù trò cöïc ñaïi (cöïc tieåu) laø giaù trò lôùn nhaát (nhoû nhaát) . • Chuù yù: Neáu treân khoaûng (a; b) haøm soá luoân luoân ñoàng bieán hoaëc luoân luoân nghòch bieán thì khoâng coù GTLN, GTNN treân khoaûng ñoù. Baøi taäp aùp duïng: 1) Tìm giaù trò lôùn nhaát giaù trò nhoû nhaát cuûa caùc haøm soá sau: 5
a) y = 4 - x2 b) y = 4x3 – 3x4 c) y = x4 + 2x2 – 2 x + x +1 2 x2 + 3x + 1 d) y = x 2 + x + 2 e) y = vôùi x > 0 g) y = vôùi x < 1. x x -1 2) Tìm kích thöôùc cuûa hình chöõ nhaät coù dieän tích lôùn nhaát, bieát raèng chu vi baèng 16 cm. HD: - Goïi moät kích thöôùc laø x, ñieàu kieän 0 < x < 8 ⇒ Dieän tích laø S(x) = x( 8 – x). - Tìm x∈ (0; 8) ñeå S(x) lôùn nhaát. ÑS: x = 4 cm 3) Haõy xaùc ñònh hình chöõ nhaät coù chu vi nhoû nhaát, bieát dieän tích baèng 48cm2. HD: - Goïi x laø moät kích thöôùc cuûa hình chöõ nhaät, ñieàu kieän x > 0. 48 - Chu vi cuûa hình chöõ nhaät laø P( x ) = 2( x + ) . x - Tìm x∈ (0; +∞ ) ñeå P(x) nhoû nhaát. ÑS: Hình vuoâng coù caïnh baèng 4 3 m 4) Ngöôøi ta duøng taám kim loaïi ñeå goø moät thuøng hình truï troøn xoay coù hai ñaùy vôùi theå tích V cho tröôùc. Haõy xaùc ñònh kích thöôùc cuûa hình truï ñeå vaät lieäu ít toán nhaát. V HD: - Goïi baùn kính ñaùy hình truï laø x, x > 0 ⇒ Chieàu cao hình truï laø π x2 2V V - Dieän tích toaøn phaàn cuûa hình truï laø S(x) = 2π x 2 + . ÑS: x = 3 x 2π 2. Caùch tìm GTLN, GTNN treân khoaûng [a; b] Ta thöïc hieän: - Tính ñaïo haøm y’ - Tìm caùc cöïc trò thuoäc [a; b] cuûa haøm soá. Giaû söû caùc ñieåm cöïc trò laø x1, x2,…xn - Tính f(x1), f(x2)….f(xn) vaø f(a), f(b), so saùnh. Roài keát luaän. • Chuù yù: - Neáu haøm soá f(x) taêng treân [a; b] thì Maxy = f(b) vaø miny = f(a). - Neáu haøm soá f(x) giaûm treân [a; b] thì Maxy = f(a) vaø miny = f(b). Baøi taäp aùp duïng: 1) Tìm giaù trò lôùn nhaát giaù trò nhoû nhaát cuûa caùc haøm soá a) y= 2x3 + 3x2 – 12x + 1 treân ñoaïn [-1; 5] b) y = 1 + 4x + x2 treân ñoaïn [-1; 3]; π c) y= 5 − 4x treân ñoaïn [-1; 1] d) y= sin2x – x treân [ 0; ] 2 π e) y= 4x 2 − 16x + 34 treân ñoaïn [-1; 4] g) y= sin2x - 2sinx treân ñoaïn [- ;π ] 2 π h) y = x + cos2x treân ñoaïn [0; ] k) y = 2x + 5 − x2 4 π π l) y= cos2x + x treân ñoaïn [ − ; ] m) y = 1 + 2005x + 1 − 2005x 2 2 ln 2 x n) y = treân ñoaïn [1; e3] x 9 2) Tìm GTLN, GTNN haøm soá y = 3 + x + 6 − x − (3 + x )(6 − x ) . ÑS: miny = 3 2 − , maxy = 3. 2 3) Tìm GTNN haøm soá y = x 2 − 2 x − 3 + 2 x + 1 . ÑS: miny = -1 taïi x = -1 II. SÖÛ DUÏNG ÑIEÀU KIEÄN COÙ NGHIEÄM CUÛA PHÖÔNG TRÌNH ÑEÅ TÌM GTLN, GTNN Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá y = f(x) treâ n [a; b]baèng ñieàu kieän coù nghieäm cuûa phuông trình: Ta thöïc hieän: - Xem phöông trình f(x) – y = 0 laø phöông trình aån x - Tìm ñieàu kieän ñeå phöông trình aån x coù nghieäm treân [a; b]. x +1 x2 + 3 1) Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá: a) y = 2 ; b) y = 2 . x − x +1 x − x+2 x 2 + ax + b 2) Tìm a, b ñeå haøm soá : a) y = coù GTLN baèng 5 vaø GTNN baèng − 1. ÑS : a = ±4 2, b = 3; x2 + 1 ax + b b) y = 2 coù GTLN baèng 4 vaø GTNN baèng − 1. ÑS : a = ±4, b = 3 x +1 6
2 + cosx 3) Tìm GTLN, GTNN haøm soá y= ( Ñeà thi vaøo Cao Ñaúng Kinh teá Kyõ thuaät 2005). sinx + cos x + 2 sinx + 1 4) Tìm GTLN, GTNN haøm soá y= 2 . sin x + sinx + 1 Baøi taäp traéc nghieäm 1. Haøm soá y = 4 x − 2x + 3 + 2x − x ñaït GTLN taïi hai giaù trò x1, x2. Ta coù x1.x2 baèng: 2 2 A. -1 B. -2 C. 1 D. 2 x +1 2. Goïi M laø giaù trò lôùn nhaát vaø m laø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá y = . Thì M - m gaàn nhaát vôùi soá naøo: x + x +1 2 A. 0 B. 2 C. 1 D. 3 3. Giaù trò lôùn nhaát cuûa haøm soá y = sinx + cosx laø: A. 2 B. 1 C. 2 D. 2 2 2x + 4x + 5 2 4. Goïi M laø GTLN vaø m laø GTNN cuûa haøm soá y = , trong caùc meänh ñeà sau haõy tìm meänh ñeà ñuùng: x2 + 1 A. M = 2; m = 1 B. M = 0, 5; m = - 2 C. M = 6; m = 1 D. M = 6; m = - 2 2 5. Haøm soá y = 2ln(x+1) - x + x ñaït GTNL taïi x baèng: A. e B. 1 C. 2 D. Khoâng coù GTLN π 6. Haøm soá f(x) = 2cos2x + x, vôùi 0 ≤ x ≤ ñaït GTNL taïi x baèng: 2 π 5π 5π π A. B. C. D. 12 12 6 6 3 7. Phöông trình x + tgx = 0 coù bao nhieâu nghieäm thuoäc [−π; π] : A. 1 B. 2 C. 3 D. voâ soá nghieäm 8. Cho hình chöõ nhaät MNPQ noäi tieáp trong nöûa ñöôøng troøn baùn kính R. Chu vi hình chöõ nhaät lôùn nhaát khi tæ soá MN Q P baèng: MQ A. 2 B. 4 C. 1 D. 0,5 M N 3 2 9. Giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá y = x - 3x - 9x + 35 treân ñoaïn [-4; 4] laø: A. GTLN baèng 15; GTNN baèng 8 B. GTLN baèng 15; GTNN baèng -41 C. GTLN baèng 40; GTNN baèng -41 D. GTLN baèng 40; GTNN baèng 15 1  π a 10. Giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá y = tg3 x- +2,  0 < x <  laø moät phaân soá toái giaûn . Ta coù a + b baèng: cosx  2 b A. 30 B. 40 C. 50 D. 20 2 11. Trong heä toaï ñoä Oxy cho parabol (P): y = 1 - x . Moät tieáp tuyeán cuûa (P) di ñoäng coù hoaønh ñoä döông caét hai truïc Ox vaø Oy laàn löôït taïi A vaø B. Dieän tích tam giaùc OAB nhoû nhaát khi hoaønh ñoä cuûa ñieåm M gaàn nhaát vôùi soá naøo döôùi ñaây: A. 0,9 B. 0,7 C. 0,6 D. 0,8 12. Cho haøm soá y = sin4x - cos2x. Toång GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá laø: 5 1 A. − B. − C. 2 D. 0 4 4 x 13. Xeùt laäp luaän sau: Cho haøm soá f(x) = e (cosx - sinx + 2) vôùi 0 ≤ x ≤ π π (I) Ta coù f'(x) = 2ex(1 - sinx) (III) Haøm soá ñaït GTLN taïi x = 2 π π (II) f'(x) = 0 khi vaø chæ khi x = (IV) Suy ra f(x) ≤ e 2 , ∀x ∈ ( 0; π ) 2 7
Laäp luaän treân sai töø ñoaïn naøo: A. (IV) B. (II) C. (III) D. Caùc böôùc treân khoâng sai 14. Giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá y = sinx + cosx laø: A. GTLN baèng 2; GTNN baèng 0 B. GTLN baèng 2; GTNN baèng -2 C. GTLN baèng 2; GTNN baèng - 2 D. GTLN baèng 1; GTNN baèng -1 3 15. Giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá y = x (x - 4) laø: A. -9 B. -27 C. -18 D. Khoâng toà taïi GTNN 16. Giaù trò lôùn nhaát cuûa haøm soá y = 3 − 2x − x 2 laø: A. 3 B. 1 C. 4 D. 2 1  1   1 17. Haøm soá y = x3 + 3 −  x 2 + 2  − 2  x +  , x > 0 coù GTLN laø: x  x   x A. -2 B. -4 C. 5 D. -1 18. Trong taát caû caùc hình chöõ nhaät coù cuøng dieän tích S, chu vi hình chöõ nhaät coù chu vi nhoû nhaát laø: A. 2 S B. 4S C. 4 S D. 2S 3 2 19. Goïi M laø giaù trò lôùn nhaát vaø m laø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá y = |- x +3x - 3| treân ñoaïn [1; 3]. Thì M + m gaàn nhaát vôùi soá naøo: A. 4 B. 0 C. 2 D. 3 2 20. Giaù trò lôùn nhaát, giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá y= ( x + 2) treân khoaûng ( 0;+∞ ) laø: x A. 2 B. −∞ C. 8 D. Khoâng coù keát quaû naøo ñuùng Phaàn: Tính loài loõm vaø ñieåm uoán cuûa ñoà thò I. Toùm taét lyù thuyeát Cho haøm soá y = f(x) coù ñoà thò laø (C) xaùc ñònh treân khoaûng (a; b) 1) Ñoà thò (C) loài treân khoaûng (a; b) ⇔ f’’(x) < 0 vôùi ∀x ∈ (a; b) 2) Ñoà thò (C) loõm treân khoaûng (a; b) ⇔ f’’(x) > 0 vôùi ∀x ∈ (a; b) 3) Ñieåm M0(x0; f(x0)) laø ñieåm uoán ⇔ f’’(x) ñoåi daáu khi x qua x0. II. Baøi taäp 1) Tìm khoaûng loài loõm vaø ñieåm uoán cuûa ñoà thò caùc haøm soá sau: x2 − x + 4 a) y = x3 + 6x – 4 b) y = x4 – 6x2 + 3 c) y = x d) y= 1 + x 2 e) y= ln(1+ x2) e) y = x + sinx 2) Chöùng minh raèng haøm soá y = 3x2 – x3 loõm trong khoaûng ( − ∞; 1) loài trong khoaûng (1; + ∞ ) vaø ñieåm uoán coù hoaønh ñoä baèng 1. 3) Xaïc âënh a vaì b âãø âiãøm I(2; - 6) laì âiãøm uäún cuía âäö thë haìm säú: y = ax3 + bx2 + x - 4. 4) Xaïc âënh m âãø âiãøm M(- 1; 2) laì âiãøm uäún cuía âäö thë haìm säú y = mx3 + 3mx2 + 4. 5) Cho haìm säú: y = x3 - 3(m - 1)x2 + 3x - 5. Âënh m âãø: a) Âäö thë haìm säú läöi trãn khoaíng (- 5; 2) b) Âäö thë haìm säú coï âiãøm uäún våïi hoaình âäü x0 > m2 - 2m - 5. 6) Tçm a âãø âäö thë haìm säú y = x4 - ax2 + 3 a) Coï hai âiãøm uäún b) Khäng coï âiãøm uäún naìo. 7) Chæïng minh ràòng trong táút caí caïc tiãúp tuyãún våïi âäö thë haìm säú y = x3 + 3x2 - 9x +5 tiãúp tuyãún taûi âiãøm uäún coïhãû säú goïc nhoí nháút. 2x + 1 8) Chæïng minh ràòng âäö thë haìm säú y = 2 coï ba âiãøm uäún thàóng haìng. Viãút phæång trçnh âæåìng thàóng qua x + x +1 caïc âiãøm uäún. 9) Xaïc âënh a vaì b âãø âäö thë haìm säú: y= x4 + 8ax3 +3(1+ 3a)x2.- 4 coï hai âiãøm uäún maì hoaình âäü thoía maîn báút 8
x 2 − 2x phæång trçnh < 0. 5 − 4x − x 2 Baøi taäp traéc nghieäm 4 2 1. Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá y = x - mx + 3 coù hai ñieåm uoán ta coù: A. m < 0 B. m > 0 C. m = 0 D. m khaùc 0 3 2 2. Giaù trò m ñeå ñoà thò haøm soá y = mx - 6x +1 nhaän ñieåm I(1; - 3) laø ñieåm uoán laø: A. 3 B. 1 C. 7 D. 2 3. Cho haøm soá y = x3 - 2x2 - x + 9, coù ñoà thò (C). Trong caùc meänh ñeà sau, tìm meänh ñeà sai: A. Ñieåm uoán laø trung ñieåm cuûa ñoaïn noái cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu cuûa (C) B. Ñoà thò (C) luoân luoân loài C. Ñoà thò (C) coù moät ñieåm cöïc ñaïi vaø moät ñieåm cöïc tieåu D. Ñoà thò (C) coù moät ñieåm uoán x2 + 1 4. Ñoà thò haøm soá y = coù bao nhieâu ñieåm uoán: x A. 2 B. 3 C. 1 D. 0 5. Cho haøm soá y = lnx. Trong caùc meänh ñeà sau tìm meänh ñeà sai: A. Ñoà thò haøm soá khoâng coù ñieåm uoán B. Phöông trình f'(x) = 0 voâ nghieäm C. Haøm soá coù moät ñieåm cöïc trò D. Ñoà thò haøm soá loài treân (1; e) 4 2 6. Cho haøm soá y = f(x) = 2x + x - 1. Trong caùc meänh ñeà sau, tìm meänh ñeà ñuùng: A. Ñoà thò haøm soá loài treân khoaûng (1; 5) B. Ñoà thò loõm treân khoaûng (-2; 1) C. Ñoà thò haøm soá coù moät ñieåm uoán D. Ñoà thò haøm soá coù hai ñieåm uoán 7. Trong caùc ñoà thò cuûa caùc haøm soá sau, ñoà thò haøm soá naøo coù khoaûng loài loõm nhöng khoâng coù ñieåm uoán: x +1 x+2 A. y = 2 B. y = x3 +3x2 + 2x + 1 C. y = D. y = x4 - 2x2 + 1 x +1 x+3 8. Ñoà thò haøm soá y = x4 - 2x2 + 9 coù bao nhieâu ñieåm uoán? A. 2 B. 3 C. 0 D. 1 9. Ñoà thò haøm soá y = x4 + 4x2 + 1 coù bao nhieâu ñieåm uoán? A. 0 B. 2 C. 1 D. 3 3 2 10. Ñieåm naøo sau ñaây laø ñieåm uoán cuûa ñoà thò haøm soá y = - x + 3x : A. (2; 4) B. (2; 1) C. (-1; 2) D. (1; 2) Phaàn: Tieäm caän cuûa ñoà thò I. Lyù thuyeát cô baûn 1) Ñöôøng thaúng y = y0 laø tieäm caän ngang cuûa ñoà thò haøm soá y = f(x) ⇔ Lim f(x) = y 0 x →∞ 2) Ñöôøng thaúng x = x0 laø tieäm caän ñöùng cuûa ñoà thò haøm soá y = f(x) ⇔ Lim f(x) = ∞ x→ x0 3) Ñöôøng thaúng y = ax + b, a ≠ 0 laø tieäm caän xieân cuûa ñoà thò haøm soá y = f(x) ⇔ Lim  f(x) − ( ax + b )  = 0   x →∞ f(x) Chuù yù: - Caùch tìm caùc heä soá a vaø b: a = Lim b = Lim [ f(x) − ax ] x →∞ x x →∞ ax 2 + bx + c - Tìm tieäm caän xieân cuûa ñoà thò haøm soá y = ta thöïc hieän: a' x + b' C + Chia töû cho maãu. Haøm soá vieát laïi laø y = Ax + B + ,A≠0 a' x + b ' + Ta coù y = Ax + B laø tieäm caän xieân II. Baøi taäp 1) Tìm tieäm caän ñöùng, tieäm caän ngang cuûa ñoà thò moãi haøm soá sau 2x − 1 5 x2 − 3x + 3 3 a) y = b) y = c) y = d) y = − x + x−2 2 − 3x 1− x x+2 2) Tìm tieäm caän xieân cuûa ñoà thò haøm soá 2x 2 + x + 1 3 sin x a) y = x2 + x + 1 b) y = c) y = − x + 2 + d) y = x + x+2 x+2 x 9
3 3) Cho haøm soá y = x + + m + . Xaùc ñònh m ñeå ñeå tieäm caän xieân cuûa ñoà thò haøm soá qua ñieåm A(1; 2) m−x 2x 2 + x + 1 4) Tìm caùc tieäm caän cuûa ñoà thò haøm soá y = x2 + 2 x2 + x + 1 5) ) Tìm caùc tieäm caän cuûa ñoà thò haøm soá y = 2 2x − 3x + 1 Baøi taäp traéc nghieäm 3 1. Phöông trình caùc tieäm caän cuûa ñoà thò haøm soá y = 5x + 1 = laø: 2x − 3 A. 5x - y + 1 = 0 vaø 2y - 3= 0 B. 5x - y + 1 = 0 vaø 2y + 3 = 0 C. 5x - y + 1 = 0 vaø 2x + 3= 0 D. 5x - y + 1 = 0 vaø 2x - 3 = 0 2. Cho ñoà thò (C): y = 3 − x3 + 3x 2 . Trong caùc meänh ñeà sau, tìm meänh ñeà ñuùng A. (C) Coù tieäm caän ñöùng B. (C) Coù tieäm caän xieân C. (C) Coù tieäm caän ngang D. (C) Khoâng coù tieäm caän 2x 2 − 3x + m 3. Cho ñoà thò (C): y = . Vôùi giaù trò naøo thì ñoà thò (C) khoâng coù tieäm caän ñöùng? x−m A. (C) luoân coù tieäm caän ñöùng vôùi moïi m B. m = 0; m = 1 C. m = 1 D. m = 0 5x x 2 x−2 4. Cho ba haøm soá (I): y = ; (II): y = ; (II): y = 2 . Haøm soá naøo coù ñoà thò nhaän ñöôøng thaúng x 2−x x +1 x − 3x + 2 = 2 laøm tieäm caän: A. (I) vaø (II) B. Chæ coù (I) C. Chæ coù (II) D. (I) vaø (III) 4 2 5. Ñoà thò haøm soá y = x - x + 1 coù bao nhieâu ñöôøng tieäm caän A. 1 B. 0 C. Voâ soá D. 2 6. Cho ñoà thò (C): y = 3 x3 − 2x . Coù tieäm caän xieân laø: A. y = x - 2 B. y = x + 1 C. y = x D. 3 x - 3 y- 2 = 0 x + x +1 2 7. Phöông trình caùc ñöôøng tieäm caän cuûa ñoà thò haøm soá y = laø: x +1 A. y = x vaø x = -1 B. y = x+ 2 vaø x = 1 C. y = x + 1 vaø x = 1 D. y = x vaø y = 1 x + x +1 2 8. Ñoà thò haøm soá y = coù bao nhieâu ñöôøng tieäm caän −5x2 − 2x + 3 A. 3 B. 1 C. 2 D. 4 2x 9. Soá tieäm caän cuûa ñoà thò haøm soá y = 2 laø: x − 2x − 1 A. 3 B. 2 C. 1 D. Nhieàu hôn 3 2x − mx + 3 2 10. Giaù trò m ñeå ñoà thò haøm soá y = , m ≠ 5 coù tieäm caän xieân qua goác toïa ñoä laø: x −1 A. -2 B. -3 C. 2 D. 3 x2 11. Cho ñoà thò (C): y = . Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì (C) coù tieäm caän? x−m A. Moïi m laø soá thöïc B. m khaùc 1 C. m = 0 D. m khaùc 0 x+2 12. Phöông trình caùc ñöôøng tieäm caän cuûa ñoà thò haøm soá y = laø: x −1 A. y = 1 vaø x = -2 B. y = 1 vaø x = 1 C. y = -1 vaø x = -1 D. y = -2 vaø x = 1 “Chuùc caùc em luyeän taäp ñaït keát quaû toát!” 10