Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Bài 6 - ĐH Kinh tế Quốc dân

Chia sẻ: Minh Hoa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

91
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Bài 6: Luật số lớn" cung cấp cho người học các kiến thức: Tập trung Định lý giới hạn trung tâm, bất đẳng thức Trebusep (Chebyshev), định lý Trebusep, định lý Bernoulli, định lý giới hạn trung tâm. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Bài 6 - ĐH Kinh tế Quốc dân

BÀI 6. LUẬT SỐ LỚN ▪ Tập trung Định lý giới hạn trung tâm ▪ Bất đẳng thức Trebusep (Chebyshev) ▪ Định lý Trebusep ▪ Định lý Bernoulli ▪ Định lý giới hạn trung tâm LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 128
Định lý giới hạn trung tâm ▪ Xét X1, X2,…, Xn là các BNN độc lập có cùng quy luật phân phối xác suất, kỳ vọng và phương sai hữu hạn n Y − E (Y ) ▪ Đặt Y =  X i và U = i =1 V (Y ) ▪ Thì U sẽ hội tụ về quy luật N(0, 1) khi n →  ▪ Trong ứng dụng, n ≥ 30 được coi là đủ lớn để áp dụng quy luật Chuẩn (dù biến ngẫu nhiên gốc không phân phối chuẩn) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 129
BÀI 7 – MẪU NGẪU NHIÊN ▪ 7.1. Các khái niệm ▪ 7.2. Trung bình mẫu ▪ 7.3. Phương sai mẫu ▪ 7.4. Tần suất mẫu ▪ [1] Chương 6, trang 295 – 347, 361 – 363, 367 – 369 ▪ [2] Chapter 7, pp.298 – 306, 310 – 328, 337 – 339 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 130
7.1. CÁC KHÁI NIỆM ▪ Tổng thể ▪ Tham số đặc trưng của tổng thể ▪ Mẫu ngẫu nhiên ▪ Mẫu cụ thể ▪ Thống kê (tham số đặc trưng mẫu) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 131
Tổng thể ▪ Tập hợp toàn bộ các phần tử đồng nhất theo một dấu hiệu nghiên cứu định tính hay định lượng nào đó được gọi là tổng thể (population) ▪ Kích thước tổng thể (population size): là số phần tử 𝑵 ▪ Dấu hiệu lượng hóa được: 𝑿- Biến ngẫu nhiên gốc ▪ 𝑋 = {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑁 } ▪ Các tham số đặc trưng của 𝑋 là tham số đặc trưng của tổng thể LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 132
Mô tả tổng thể ▪ Nếu 𝑋 chỉ gồm k giá trị khác nhau: 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘 ▪ Số lượng tương ứng là 𝑁1, 𝑁2, … , 𝑁𝑘 ▪ 𝑁𝑖 gọi là tần số tổng thể của 𝑥𝑖 ▪ Đặt 𝑝𝑖 = 𝑁𝑖 / 𝑁 gọi là tần suất tổng thể  0  N i  N Giá trị 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑘  k Tần số 𝑁1 𝑁2 … 𝑁𝑘  i =1 Ni = N  Tần suất 𝑝1 𝑝2 … 𝑝𝑘 0  pi  1   k  i =1 pi = 1  LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 133
Tham số đặc trưng của tổng thể ▪ Trung bình tổng thể (population mean): m 1 N m =  xi N i =1 • Chứng minh được: 𝑚 = 𝐸(𝑋) ▪ Phương sai tổng thể (population variance): σ2 1 N σ =  ( xi − m)2 2 N i =1 • Chứng minh được: 𝜎2 = 𝑉(𝑋) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 134
Tham số đặc trưng của tổng thể ▪ Độ lệch chuẩn tổng thể: σ σ= σ 2 ▪ Tần suất tổng thể (population proportion): p • Số phần tử chứa dấu hiệu (hay biến cố) A là MA MA p= N • Dễ thấy: 𝑝 = 𝑃(𝐴) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 135
Nhận xét ▪ Nghiên cứu Tổng thể: nghiên cứu về tham số đặc trưng tổng thể, nghiên cứu toàn bộ các phần tử: gặp nhiều khó khăn: • Chi phí lớn, có thể không khả thi • Sai sót khi thu thập, có thể phá hủy tập hợp ▪ Nghiên cứu một số phần tử đại diện: Mẫu • Từ tổng thể rút n phần tử (mẫu kích thước n) • Xác định tham số đặc trưng mẫu (thống kê) • Rút ra kết luận liên quan đến tổng thể LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 136
Mẫu ngẫu nhiên ▪ Mẫu ngẫu nhiên kích thước n là tập hợp của n biến ngẫu nhiên độc lập 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 được thành lập từ biến ngẫu nhiên gốc 𝑋 và có cùng quy luật phân phối xác suất với 𝑋. ▪ Ký hiệu: 𝑊 = (𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛) ▪ 𝐸(𝑋𝑖 ) = 𝐸(𝑋) = 𝑚 ▪ 𝑉(𝑋𝑖 ) = 𝑉(𝑋) = 𝜎2 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 137
Mẫu cụ thể ▪ Gồm n quan sát (n con số): 𝑤 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ▪ Nếu chỉ gồm k giá trị khác nhau: 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘 với số lần xuất hiện tương ứng : 𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛𝑘 ▪ 𝑛𝑖 là tần số mẫu của 𝑥𝑖 (frequency) ▪ Đặt pො i = 𝑛𝑖 / 𝑛 : tần suất mẫu (sample proportion) Giá trị … i =1 ni = n 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑘 k Tần số 𝑛1 𝑛2 … 𝑛𝑘 𝑘 Tần suất pො 1 pො 2 … pො k ෍ 𝑝Ƹ 𝑖 = 1 𝑖=1 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 138
Ví dụ ▪ Nghiên cứu về khối lượng sản phẩm (𝑋) ▪ Mẫu ngẫu nhiên kích thước n=10, ▪ 𝑊 = (𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋10) • 𝐸(𝑋1) = 𝐸(𝑋2) = ⋯ = 𝐸(𝑋10) = 𝐸(𝑋) • 𝑉(𝑋1) = 𝑉(𝑋2) = ⋯ . = 𝑉(𝑋10) = 𝑉(𝑋) ▪ Mẫu cụ thể 𝑤 = ( 20,21,20,23,23,24,22,24,22,22) Khối lượng (g) 20 21 22 23 24 Số sản phẩm 2 1 3 2 2 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 139
Thống kê đặc trưng mẫu ▪ Một hàm của các biến ngẫu nhiên Xi trong mẫu là một thống kê (statistic) 𝐺 = 𝑓(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛) ▪ Vì mẫu ngẫu nhiên nên 𝐺 là ngẫu nhiên với phân phối xác suất xác định ▪ Mẫu cụ thể: thống kê là số cụ thể, giá trị quan sát 𝐺𝑞𝑠 = 𝑔 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ▪ Thống kê trong mẫu thường tương ứng với một tham số trong tổng thể LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 140
7.2. TRUNG BÌNH MẪU ▪ Trung bình mẫu ngẫu nhiên (sample mean) 1 n X =  Xi n i =1 ▪ 𝑋ത là biến ngẫu nhiên: 2 σ σ E(X ) = m; V (X ) = ; σX = n n 𝜎2 ▪ Nếu 𝑋 ~ 𝑁(𝜇, 𝜎2) thì: ሜ 𝑋~𝑁 𝜇, 𝑛 (𝑋ሜ − 𝜇) 𝑛 𝑍= ~𝑁(0,1) 𝜎 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 141
7.3. PHƯƠNG SAI MẪU ▪ Độ lệch bình phương trung bình (mean of squares) 𝑛 1 ሜ 2 𝑀𝑆 = ෍(𝑋𝑖 − 𝑋) 𝑛 𝑖=1 ▪ Phương sai mẫu (sample variance) S2 𝑛 1 n 𝑆2 = ሜ 2 ෍(𝑋𝑖 − 𝑋) Hay S =2 MS 𝑛−1 𝑖=1 n−1 ▪ Độ lệch chuẩn mẫu: 𝑺 = 𝑺𝟐 n−1 2 ▪ Ta có : 𝐸(𝑆2) = 2 và E (MS ) = σ n LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 142
7.4. TẦN SUẤT MẪU ▪ Trong mẫu kích thước n có XA phần tử có dấu hiệu (biến cố) A 𝑋𝐴 ▪ Tần suất mẫu: pො = 𝑛 𝑝(1 − 𝑝) ▪ Nếu 𝑃(𝐴) = 𝑝 thì: 𝐸 pො = 𝑝 𝑉(ොp) = 𝑛 ▪ 𝑋 ~ 𝐴(𝑝), mẫu kích thước n  100, tần suất mẫu pො Thì: (ොp − 𝑝) 𝑛 𝑍 = ~𝑁(0,1) 𝑝(1 − 𝑝) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 143