Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học: Chương 8 - Phan Văn Tân

Chia sẻ: Tầm Y | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:61

Thêm vào BST

Báo xấu

49
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Chương 8: Lý thuyết tương quan và hồi quy" cung cấp cho người học các kiến thức: Tính độc lập và quan hệ phụ thuộc ngẫu nhiên, hệ số tương quan, hệ số tương quan mẫu,... mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học: Chương 8 - Phan Văn Tân

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Phan Văn Tân Bộ mô Khí tượng
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.1 Tính độc lập và quan hệ phụ thuộc ngẫu nhiên •  Xét hai đại lượng ngẫu nhiên X, Y •  Giả sử f(x,y) là phân bố đồng thời của hệ (X,Y) •  Khi đó có thể biểu diễn: f(x,y)=f(y/x).f1(x)=f(x/y).f2(y) •  Trong đó f(y/x), f(x/y) là các phân bố có điều kiện còn f1(x), f2(y) là các phân bố riêng ∂ 2 F ( x, y ) f ( x, y ) = , F ( x, y ) = P ( X < x, Y < y ) +∞ ∂x∂y +∞ f1 ( x ) = ∫ f ( x, y )dy , f 2 ( y ) = ∫ f ( x, y )dx −∞ −∞ f ( x, y ) f ( x, y ) f ( y / x) = +∞ , f ( x / y) = +∞ ∫ f ( x, y )dy −∞ ∫ f ( x, y )dx −∞
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.1 Tính độc lập và quan hệ phụ thuộc ngẫu nhiên •  Nếu X và Y độc lập với nhau: •  f(y/x)=f2(y), f(x/y)=f1(x) è f(x,y)=f1(x).f2(y) •  Tức là sự biến thiên của đại lượng này không ảnh hưởng đến sự biến thiên của đại lượng kia và ngược lại •  Nói chính xác hơn, xác suất để Y nhận giá trị nào đó không bị ảnh hưởng bởi việc cho trước giá trị x của X, và ngược lại •  Nếu X và Y không độc lập với nhau, khi đó ta nói X và Y phụ thuộc lẫn nhau •  Có hai khái niệm phụ thuộc giữa X và Y: –  Phụ thuộc hàm –  Phụ thuộc tương quan
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.1 Tính độc lập và quan hệ phụ thuộc ngẫu nhiên •  Nếu X và Y phụ thuộc hàm với nhau, khi đó có thể biểu diễn: Y = f(X) hoặc X = g(Y) •  Điều đó có nghĩa là nếu X nhận giá trị x nào đó thì tương ứng Y nhận giá trị y=f(x), hoặc khi Y nhận giá trị y nào đó thì X nhận giá trị tương ứng x=g(y) •  Tuy nhiên, trong thực tế các đại lượng ngẫu nhiên thường phụ thuộc lẫn nhau phức tạp hơn nhiều •  Ví dụ: –  Quan hệ giữa nhiệt độ và độ ẩm tương đối không khí trong ngày: Qui luật chung là nhiệt độ tăng thì độ ẩm giảm, nhưng đó là mối quan hệ không đơn trị và không phải là quan hệ hàm –  Quan hệ giữa chiều cao và cân nặng của cơ thể người –  …
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.1 Tính độc lập và quan hệ phụ thuộc ngẫu nhiên Y Minh họa sự phụ thuộc giữa Y và X: Ứng với một giá trị x∈X có thể có nhiều giá trị của Y, và ngược lại – Không phải là quan hệ hàm Tập giá trị Y/X=x (hoặc X/Y=y) sẽ tuân theo luật phân bố nào đó mà ta gọi là phân bố có điều kiện: X f(y/x) (hoặc f(x/y) Sự phụ thuộc giữa Y và X trong trường hợp này được gọi là phụ thuộc ngẫu nhiên. Quan hệ giữa Y và X được gọi là quan hệ tương quan
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.2 Hệ số tương quan •  Một trong những đặc trưng quan trọng để nghiên cứu mối quan hệ tương quan giữa hai biến ngẫu nhiên là hệ số tương quan •  Theo định nghĩa, hệ số tương quan giữa hai đại lượng ngẫu nhiên X, Y là số vô thứ nguyên được xác định bởi: M [( X − M [ X ])(Y − M [Y ])] ρ xy ≡ ρ = 2 2 = M [( X − M [ X ]) ].M [(Y − M [Y ]) ] M [( X − mx )(Y − m y )] µ xy cov( X , Y ) = = ≡ M [( X − mx )2 ].M [(Y − m y ) 2 ] Dx D y Dx D y •  Một số ký hiệu thường gặp ρ xy ≡ ρ ≡ ρ ( X , Y ) = ρ (Y , X ) µ xy ≡ cov( X , Y ) = cov(Y , X ) Dx ≡ σ 2 ≡ σ x2 ≡ var( X )
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.2 Hệ số tương quan Một số tính chất của hệ số tương quan 1)  Nếu Z1=aX+b, Z2=cY+d (a,b,c,d là các hằng số, a>0, c>0) thì ρ(Z1,Z2) = ρ(X,Y) 2)  Trị số của hệ số tương quan nằm trong khoảng [–1,1]: |ρ| ≤ 1 3)  Điều kiện cần và đủ để |ρxy| = 1 là Y và X thực sự có quan hệ hàm tuyến tính, tức Y=aX+b, hoặc X=cY+d. ρxy = 1 khi và chỉ khi a>0, hoặc c>0, ρxy=–1 khi a
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.2 Hệ số tương quan Ý nghĩa của hệ số tương quan •  Từ các tính chất của hệ số tương quan suy ra rằng –  Hệ số tương quan là đại lượng đặc trưng cho mối quan hệ tuyến tính giữa hai biến ngẫu nhiên X và Y –  Hệ số tương quan bằng 0 thì hai biến không có quan hệ tương quan tuyến tính nhưng chưa chắc chúng độc lập với nhau (trừ chúng có phân bố chuẩn) –  Hệ số tương quan dương thì hai biến quan hệ đồng biến với nhau, hệ số tương quan âm hai biến quan hệ nghịch biến với nhau
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.3 Hệ số tương quan mẫu •  Hệ số tương quan ρ đã xét trên đây là hệ số tương quan lý thuyết giữa hai biến ngẫu nhiên. Nó là một hằng số chưa biết •  Xét hai biến ngẫu nhiên (X,Y) và mẫu (X1,Y1),…,(Xn,Yn) •  Hệ số tương quan mẫu giữa hai đại lượng ngẫu nhiên X, Y là đại lượng được xác định bởi: 1 n ∑ ( X i − X )(Yi − Y ) n i =1 µ~xy Rxy rxy ≡ r = = ~ ~ ≡ss n n 1 2 1 2 Dx D y x y ∑ i ( X − X ) ∑ i (Y − Y ) n i =1 n i =1 •  Khác với hệ số tương quan lý thuyết ρ, hệ số tương quan mẫu r là một đại lượng thống kê nên nó là một biến ngẫu nhiên
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI Ví dụ: Tính hệ số tương quan TT x y x-xtb y-ytb (x-xtb)^2 (y-ytb)^2 (x-xtb)(y-ytb) 1 26 0 1.4 -4.6 1.96 21.16 -6.44 2 25 3 0.4 -1.6 0.16 2.56 -0.64 3 19 9 -5.6 4.4 31.36 19.36 -24.64 4 24 10 -0.6 5.4 0.36 29.16 -3.24 5 24 4 -0.6 -0.6 0.36 0.36 0.36 6 28 2 3.4 -2.6 11.56 6.76 -8.84 7 20 9 -4.6 4.4 21.16 19.36 -20.24 8 29 0 4.4 -4.6 19.36 21.16 -20.24 9 22 4 -2.6 -0.6 6.76 0.36 1.56 10 29 5 4.4 0.4 19.36 0.16 1.76 24.6 4.6 112.4 120.4 -80.6 S2x=11.24; S2y=12.04; Rxy=-8.06; rxy=Rxy/(S2x*S2y)1/2 =-0.6929
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.3 Hệ số tương quan mẫu •  Mật độ phân bố của r có dạng: n −3 n −1 n−4 ∞ i 2 n + i − 1 ( 2 ρ r ) f n (r ) = (1 − ρ 2 ) 2 (1 − r 2 ) 2 ∑ (Γ ( ))2 πΓ (n − 2) i =0 2 i! hoặc dạng khác n −1 n −4 1 n−2 n−2 2 2 x dx f n (r ) = (1 − ρ ) 2 (1 − r ) 2 ∫ (1 − ρrx)n−1 π 0 1 − x2 •  Phân bố của r chỉ phụ thuộc vào dung lượng mẫu n và hệ số tương quan tổng thể ρ •  Khi n = 2 thì fn(r) = 0, phù hợp với sự kiện hệ số tương quan được tính từ tập mẫu chỉ có 2 quan trắc phải bằng ±1 •  Kỳ vọng của hệ số tương quan mẫu r: M[r]=ρ •  Phương sai của hệ số tương quan mẫu r: ρ 2 µ40 µ04 2µ22 4µ22 4µ31 4µ13 D[r ] = ( 2 + 2 + + 2 − − ) 4n µ20 µ02 µ20 µ20 µ11 µ11µ20 µ11µ02
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.3 Hệ số tương quan mẫu •  Ước lượng khoảng của hệ số tương quan: 1 1+ r 1 1+ ρ Sử dụng phép biến đổi của Fisher: z = log ζ = log 2 1− r 2 1− ρ Khi đó biến z có phân bố xấp xỉ chuẩn với trung bình và phương sai: ρ 1 M [ z] = ζ + D[ z ] = 2(n − 1) n−3 Và khoảng tin cậy của ζ với độ tin cậy 1-α là: ⎛ r 1 r 1 ⎞ (ζˆ1 , ζˆ2 ) = ⎜⎜ z − − uα ,z − + uα ⎟⎟ ⎝ 2(n − 1) n−3 2(n − 1) n − 3 ⎠ trong đó uα nhận được từ phân bố chuẩn N(0,1): P( u ≥ uα ) = α •  Cách xác định: –  Cho α tính được uα; từ r tính được z; –  Từ uα, r, z tính được (ζˆ1 , ζˆ2 ) ⇒ (ρˆ1, ρˆ2 ) ⇒ (ρˆ1 < ρ < ρˆ2 )
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.3 Hệ số tương quan mẫu •  Kiểm nghiệm độ rõ rệt của hệ số tương quan: –  Trong thực tế, do độ lớn của mẫu (dung lượng mẫu) bị hạn chế nên có thể xảy ra tình huống mặc dù ρ=0 nhưng r≠0, và ngược lại –  Nói cách khác, trong tính toán thực hành nếu nhận được r = 0 thì điều đó không có nghĩa là ρ bằng 0. –  Ngược lại, nếu r≠0 thì cũng không hẳn là ρ khác 0 –  Khi dung lượng mẫu nhỏ thì mặc dù ρ=0 nhưng giá trị của r lại có thể có ý nghĩa (lớn đáng kể) –  Để xác minh xem ρ=0 hay ρ≠0 cần phải kiệm nghiệm độ rõ rệt của r (là ước lượng của ρ)
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.3 Hệ số tương quan mẫu •  Kiểm nghiệm độ rõ rệt của hệ số tương quan: –  Để kiểm nghiệm, ta đặt giả thiết H0: ρ = 0 –  Thay ρ ≈ r, với giới hạn tin cậy ban đầu d thì khi H0 đúng, xác suất phạm sai lầm loại 1 là P( r ≥ d ) = α r d Đặt t= tα = 1− r2 / n − 2 1− r2 / n − 2 Khi H0 đúng, t có phân bố Student với n–2 bậc tự do: t∈St(n–2) ⇒ P( r ≥ d ) = P( t ≥ tα ) = α Từ đó, với α được chọn ta tính được tα từ St(n–2) Và kết luận: •  Nếu |t| ≥ tα thì bác bỏ H0 và đưa ra kết luật r lớn rõ rệt •  Nếu |t| < tα thì chấp nhận H0 và kết luận r không lớn rõ rệt
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.3 Hệ số tương quan mẫu •  Kiểm nghiệm độ rõ rệt của hệ số tương quan: –  Ví dụ: Từ tập mẫu {(xt, yt), t=1..11} ta tính được hệ số tương quan rxy=0.76. Hãy cho biết với giá trị nhận được như vậy thì hệ số tương quan có lớn rõ rệt không nếu chọn xác suất phạm sai lầm loại 1 là α=0.01? rxy 0.76 Giải: Ta có t = = 2 = 3.51 2 1 − 0.76 / 11 − 2 1− r / n − 2 •  Với α=0.01, từ St(11-2) xác định được tα=3.25 < t nên bác bỏ giả thiết Ho và kết luận rxy lớn rõ rệt
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.4 Khái niệm về hồi qui • Xét hai biến ngẫu nhiên (X,Y) • Quan hệ giữa X và Y có thể là: –  Quan hệ hàm –  Quan hệ tương quan •  Khi X và Y có quan hệ tương quan: –  Mỗi giá trị x ∈ X tương ứng với một hàm phân bố (hoặc hàm mật độ) có điều kiện F(y/x) (hoặc f(y/x)) của Y, và ngược lại –  Nghiên cứu mối phụ thuộc tương quan cần xác định được các phân bố có điều kiện  Rất khó, phức f ( x, y ) f ( x, y ) tạp, và hầu như f ( y / x) = f ( x / y) = f1 ( x) f 2 ( y ) không thể thực hiện được
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.4 Khái niệm về hồi qui • Một cách làm khác: Chỉ giới hạn xét mối quan hệ phụ thuộc giữa X với một số đặc trưng có điều kiện của Y, như kỳ vọng, trung vị, mốt,.. • Phổ biến hơn cả là xét mối quan hệ giữa X và kỳ vọng có điều kiện của Y: my(x) = M[Y/X=x] +∞ m y ( x) = M [Y / X = x] = ∫ yf ( y / x)dy −∞ •  Người ta gọi đây là sự phụ thuộc hồi qui: Hồi qui của Y lên X Y=my(X) hay y = my(x) •  Hồi qui này được gọi là hồi qui I: y = my(x) có thể là hàm tuyến tính hoặc phi tuyến •  Nói chung, y = my(x) là một hàm bất kỳ, phức tạp, và hầu như không biết được dạng giải tích
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.4 Khái niệm về hồi qui (xt,yt) y=my(x)
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.5 Hồi qui bình phương trung bình tuyến tính một biến • Trong thực tế, để nghiên cứu mối quan hệ tương quan giữa Y và X, người ta thường xấp xỉ my(x) bởi một lớp hàm f(x) nào đó đã biết trước dạng giải tích (Chú ý: f(x) là một hàm nào đó, không phải là hàm mật độ của X) m y ( x ) ≈ f ( x ) ⇒ y ≈ ~ y = f ( x) ~ Hay Y ≈ Y = f ( X ) • Trong trường hợp này hàm hồi qui được gọi là hồi qui II • Nguyên tắc xác định hàm f(x) là cực tiểu hóa hệ thức: M [(Y − f ( X ))2 ] • Điều đó có nghĩa là tìm trong các hàm φ(X) thuộc lớp hàm Φ một hàm f(X) nào đó thỏa mãn M [(Y − f ( X ))2 ] = min M [(Y − ϕ ( X ))2 ] ϕ (X)∈φ •  Hàm hồi qui II được xác định bằng phương pháp này gọi là hồi qui bình phương trung bình
CHƯƠNG 8. LÝ THUYẾT TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUI 8.5 Hồi qui bình phương trung bình tuyến tính một biến (xt,yt) y=my(x) ~ y =f(x)