zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Toán cao cấp: Chương 1 - ThS. Nguyễn Phương

Chia sẻ: Vdgv Vdgv | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:31

Báo xấu

164
lượt xem 38
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong chương 1 Giới hạn và liên tục của hàm số một biến nằm trong bài giảng toán cao cấp nhằm trình bày về: khái niệm về hàm số, một số tính chất của hàm số, giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số, ứng dụng vô cùng bé đến tính vô hạn, ứng dụng trong kinh tế.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp: Chương 1 - ThS. Nguyễn Phương

Chương 1: Gi i h n và liên t c c a hàm s m t bi n Th.S NGUY N PHƯƠNG Khoa Giáo d c cơ b n Trư ng Đ i h c Ngân hàng TPHCM Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com Email: nguyenphuong0122@gmail.com Yahoo: nguyenphuong1504 Ngày 11 tháng 2 năm 2014 1
1 Khái ni m v hàm s Khái ni m M t s tính ch t c a hàm s Các hàm s sơ c p 2 Gi i h n c a dãy s Khái ni m C p s c ng C p s nhân Gi i h n dãy s 3 Gi i h n hàm s Đ nh nghĩa Các đ nh lí v gi i h n 4 Vô cùng bé (VCB), vô cùng l n (VCL) Đ nh nghĩa ng d ng vô cùng bé đ tính gi i h n 5 Hàm s liên t c Khái ni m Tính ch t 6 ng d ng trong kinh t 2
Khái ni m v hàm s Khái ni m Đ nh nghĩa Cho t p D ⊂ R, D φ. Hàm s f có mi n xác đ nh D là m t quy t c cho tương ng m i s x ∈ D v i m t và ch m t s th c y. Kí hi u: f : D → R x −→ y = f(x). D đư c g i là mi n xác đ nh c a hàm s f. Ví d Cho hàm s f(x) = x3 + x2 . Tìm f(1), f(−1), f(a), f(a − 1). Đ nh nghĩa (Đ th hàm s ) Đ th hàm s f có mi n xác đ nh D là t p h p {(x, y)|y = f(x), x ∈ D}. 3
Khái ni m v hàm s Khái ni m Đ nh nghĩa (Hàm t ng khúc) Hàm s f đư c g i là hàm t ng khúc khi hàm s này đư c vi t thành bi u th c khác nhau trên mi n xác đ nh D. Ví d Hàm  x2  n u x > 1, f(x) =   2x + 1  n u x 1. là m t hàm t ng khúc.
Khái ni m v hàm s Khái ni m Ví d M t hãng cho thuê xe oto v i giá 3 ngàn/1km n u quãng đư ng ch y xe không quá 100km. N u quãng đư ng ch y xe vư t quá 100km thì ngoài s ti n ph i tr cho 100km đ u còn ph i tr thêm 1,5 ngàn/km. G i x là s km xe thuê đã ch y và f(x) là phí thuê xe, ta có  3x  n u 0 x 100, f(x) =   300 + 1, 5x n u x > 100.  Ta th y f(x) là m t hàm t ng khúc và x = 50 thì f(x) = 3.50 = 150 (ngàn), x = 150 thì f(x) = 300 + 1, 5.150 = 525 (ngàn). 5
Khái ni m v hàm s Khái ni m Đ nh nghĩa (Hàm n) Gi s y là m t hàm theo bi n x mà ta ch bi t gi a y và x liên h v i nhau b i phương trình F(x, y) = 0. Khi đó y đư c g i là hàm n c a bi n x xác đ nh b i phương trình F(x, y) = 0. Ví d Cho y là m t hàm s theo bi n x đư c xác đ nh b i xy2 − 2xy + 1 = 0 thì y là m t hàm n theo bi n x. 6
Khái ni m v hàm s M t s tính ch t c a hàm s Hàm s đơn đi u Cho hàm s f(x) xác đ nh trên kho ng I, Hàm s f(x) đư c goi là tăng (gi m) trong I n u ∀x1 , x2 ∈ I sao cho x1 < x2 thì f(x1 ) < f(x2 ) (f(x1 ) > f(x2 )). Hàm s tăng ho c gi m trên kho ng I đư c g i là hàm s đơn đi u trong I. Chú ý Hàm s f(x) đư c g i là không tăng (gi m) trong kho ng I n u ∀x1 , x2 ∈ I sao cho x1 < x2 thì f(x1 ) f(x2 ) (f(x1 ) f(x2 )). Hàm s tăng (gi m) còn đư c g i là hàm s đ ng bi n (ngh ch bi n). Hàm s ch n (l ) Hàm s f(x) xác đ nh trên t p đ i x ng D Hàm s f(x) đư c g i là hàm s ch n n u f(−x) = f(x). Hàm s f(x) đư c g i là hàm s l n u f(−x) = −f(x). 7
Khái ni m v hàm s M t s tính ch t c a hàm s Hàm s tu n hoàn Hàm s f(x) xác đ nh trên t p h p D đư c g i là hàm tu n hoàn n u t n t i T th a mãn ∀x ∈ D thì x + T ∈ D và f(x + T) = f(x) (1). S T dương nh nh t th a mãn đ ng th c (1) đư c g i là chu kỳ c a hàm f(x). Hàm b ch n Hàm s f(x) đư c g i là b ch n trên (dư i) n u t n t i M(m) sao cho v i m i x ∈ D thì f(x) M (f(x) m). Hàm s f(x) v a b ch n trên v a b ch n dư i đư c g i là b ch n. Hàm h ng Hàm s f(x) đư c g i là hàm h ng n u t n t i C sao cho f(x) = C, ∀x ∈ Ω. 8
Khái ni m v hàm s M t s tính ch t c a hàm s Hàm ngư c Đ nh nghĩa (Hàm ngư c) Cho hàm s f(x) xác đ nh trên mi n D, I là hàm đ ng nh t, t c là I(x) = x. N u t n t i hàm g(x) sao cho f ◦ g = I; g ◦ f = I thì g đư c g i là hàm ngư c c a f. Kí hi u: f −1 . Như v y, x = f −1 (y) ⇐⇒ y = f(x), ∀x ∈ D. Ví d Tìm hàm ngư c c a hàm f(x) = (x − 1)2 , x 1. Gi i Gi s y = (x − 1)2 , x 1, ta có y 0. Do đó, √ √ x−1= y hay x = y − 1. √ V y hàm ngư c là x = y − 1. 9
Khái ni m v hàm s M t s tính ch t c a hàm s Các hàm s sơ c p Đ nh nghĩa (Hàm h p) Cho hàm f(x) xác đ nh trên mi n D, u(x) xác đ nh trên D sao cho f(D) ⊂ E. Khi đó, hàm h p c a hai hàm f và u là m t hàm. Kí hi u u ◦ f, v i u ◦ f(x) = u(f(x)). Ví d Vi t hàm h(x) = (3x + 1)5 dư i d ng hàm h p. Gi i Đ t f(x) = 3x + 1; g(x) = x5 . Khi đó, g ◦ f(x) = g(f(x)) = g(3x + 1) = (3x + 1)5 . 10
Khái ni m v hàm s M t s tính ch t c a hàm s Đ nh nghĩa (Hàm cơ b n) Hàm đa th c (an xn + an−1 xn−1 + ... + a0 ), hàm mũ (ax ), hàm lũy th a (xa ), hàm lư ng giác (sin; cos; tan), hàm logarit (loga b), hàm lư ng giác ngư c (arcsin; arccos; arctan) là nh ng hàm có b n. Các phép toán trên hàm s Đ nh nghĩa Cho hai hàm s f(x), g(x) xác đ nh trên mi n Ω ⊂ R. Ta có các phép toán sau: T ng (hi u) c a f(x), g(x) là hàm f(x) + g(x)(f(x) − g(x)). f(x) Tích (thương) c a f(x), g(x) là hàm f(x).g(x) , g(x) 0 . g(x) 11
Khái ni m v hàm s M t s tính ch t c a hàm s Đ nh nghĩa (Hàm sơ c p) Hàm sơ c p là hàm đư c t o thành t các hàm cơ b n b i m t s h u h n các phép toán và phép l y hàm h p. Ví d Các hàm s 2x3 − 3 x2 . log3 x y = ln(x2 − 1), y = ;y = x4 − 3x + 1 arccos(1 − 3x) là các hàm s sơ c p. 12
Gi i h n c a dãy s Khái ni m Đ nh nghĩa M t hàm s x : N∗ → R, n −→ x(n) đư c g i là m t dãy s . Ký hiêu: (xn ). Dãy (xn ) đư c g i là tăng (gi m) n u xn < xn+1 (xn > xn+1 ). M t dãy tăng hay gi m còn đư c g i là dãy đơn đi u. Dãy (xn ) đư c g i là b ch n trên (dư i) n u t n t i M > 0 sao cho xn M ( t n t i m sao cho xn m), ∀n ∈ N∗ . M t dãy đư c g i là b ch n n u v a b ch n trên v a b ch n dư i. 13
Gi i h n c a dãy s C p s c ng Đ nh nghĩa (C p s c ng) Dãy (xn ) đư c g i là m t c p s c ng v i công sai d n u th a xn = xn−1 + d. Đ nh lý Cho m t c p s c ng xn , ta có các tính ch t sau: S h ng t ng quát th n có d ng xn = x1 + (n − 1)d. T ng n s h ng đ u tiên là n Sn = x1 + x2 + ... + xn = (x1 + xn ). 2
Gi i h n c a dãy s C p s nhân Đ nh nghĩa (C p s nhân) Dãy (xn ) đư c g i là m t c p s nhân v i công b i q n u th a xn = q.xn−1 . Đ nh lý Cho m t dãy c p s nhân (xn ), khi đó ta có các tính ch t sau: S h ng t ng quát có công th c xn = x1 .qn−1 . T ng n s h ng đ u tiên (1 − qn ) Sn = x1 + x2 + ... + xn = x1 . 1−q
Gi i h n c a dãy s Gi i h n dãy s Đ nh nghĩa (Gi i h n dãy s ) Dãy (xn ) h i t khi và ch khi t n t i a ∈ R sao cho ∀ > 0, ∃N th a ∀n > N thì |xn − a| < . Kí hi u: lim xn = a. 16
Gi i h n hàm s Đ nh nghĩa Đ nh nghĩa Hàm s f(x) có gi i h n là L khi x ti n t i x0 n u m i dãy (xn ), xn → x0 thì lim f(xn ) = L. Kí hi u: lim f(x) = L. x→x0 Đ nh nghĩa Hàm s f(x) có gi i h n là L khi x d n t i x0 n u ∀ > 0, ∃δ > 0 sao cho 0 < |x − x0 | < δ thì |f(x) − L| < . Đ nh nghĩa (Gi i h n m t phía) S L đư c g i là gi i h n trái (gi i h n ph i) c a hàm s f(x) t i đi m x0 n u m i > 0 t n t i s δ > 0 sao cho v i m i x mà 0 < x0 − x < δ(0 < x − x0 < δ) thì |f(x) − L| < . Kí hi u: lim− = L (gi i h n trái) và lim+ = L (gi i h n ph i) x→x0 x→x0 17
Gi i h n hàm s Các đ nh lí v gi i h n Đ nh lý Gi i h n lim f(x) = L t n t i khi và ch khi t n t i lim− f(x), lim+ f(x) và x→x0 x→x0 x→x0 lim f(x) = lim+ f(x) = lim f(x) = L x→x0 x→x0 x→x0 Ví d |x| Tìm gi i h n c a hàm s f(x) = khi x → 0 x Đ nh lý Gi i h n c a m t hàm s n u có là duy nh t.
Gi i h n hàm s Các đ nh lí v gi i h n Đ nh lý N u các gi i h n lim f(x) và lim g(x) t n t i, h u h n thì x→a x→a i) lim (f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x); x→a x→a x→a ii) lim f(x)g(x) = lim f(x) lim g(x); x→a x→a x→a f(x) lim f(x) x→a iii) lim = (n u lim g(x) 0) x→a g(x) lim g(x) x→a x→a H qu N u các gi i h n lim f(x) và lim g(x) t n t i, h u h n thì x→a x→a i) lim Cf(x) = C lim f(x); x→a x→a k ii) lim (f(x))k = lim f(x) . x→a x→a 19
Gi i h n hàm s Các đ nh lí v gi i h n Ví d √ x3 + 3x2 − 1 x−2 Tính các gi i h n sau: lim ; lim ; x→∞ 2x3 + x − 5 x→4 x2 − 5x + 4 Đ nh lý Gi s các hàm s f(u), u = u(x) th a mãn các đi u ki n: lim u(x) = b và lim f(u) = L. x→a u→b T n t i s δ > 0 sao cho v i x ∈ (a − δ, a + δ) và x a. thì u(x) b. Khi đó lim f (u(x)) = L. x→a Đ nh lý (Đ nh lí k p) Cho các hàm s f(x), g(x), h(x) và f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) trên m t lân c n c a a; lim f(x) = lim g(x) = L. x→a x→a Khi đó, lim h(x) = L. x→a 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.