zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Toán cao cấp: Chương 5 - GV. Ngô Quang Minh

Chia sẻ: Sung Sung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Báo xấu

225
lượt xem 16
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn cùng nắm bắt những kiến thức về phép tính tích phân hàm một biến số (tính tích phân bất định, tích phân xác định, ứng dụng của tích phân xác định, tích phân suy rộng) thông qua bài giảng Toán cao cấp: Chương 5 do GV. Ngô Quang Minh biên soạn sau đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp: Chương 5 - GV. Ngô Quang Minh

10/13/2012 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số §1. Tích phân bất định §2. Tích phân xác định Tính chất §3. Ứng dụng của tích phân xác định 1)  k .f (x )dx  k  f (x )dx , k  ¡ §4. Tích phân suy rộng ………………………… 2)  f (x )dx  f (x )  C §1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH d dx  3) f (x )dx  f (x ) 1.1. Định nghĩa • Hàm số F (x ) được gọi là một nguyên hàm của f (x ) trên 4)  [ f (x )  g(x )]dx   f (x )dx   g(x )dx . khoảng (a ; b) nếu F (x )  f (x ), x  (a ; b ). Ký hiệu  f (x )dx (đọc là tích phân). Nhận xét • Nếu F (x ) là nguyên hàm của f (x ) thì F (x )  C cũng là nguyên hàm của f (x ). Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số dx 1 x MỘT SỐ NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ 11)  x2  a2  a arctan  C a 1)  a.dx  ax  C , a  ¡ dx x x 1 12)   arcsin  C , a  0 a 2)  x dx   1  C ,   1 a2  x2 dx 1 x a dx dx 13)   ln C 3)  x  ln x  C ; 4)  x  2 x C x2  a2 2a x a dx x ax 14)  sin x  ln tan  C 2   x x x 5) e dx  e  C ; 6) a dx  C ln a dx  x  7)  cos xdx  sin x  C ; 8)  sin xdx   cos x  C 15)   ln tan     C cos x  2 4  dx dx dx 9)   tan x  C ; 10)    cot x  C 16)   ln x  x 2  a  C cos2 x sin2 x x2  a Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số dx dx VD 1. Tính I   2 . VD 2. Tính I   x2  x  6. 4x 1 2x 1 2x A. I  ln C ; B. I  ln C ; Giải. Biến đổi: 4 2x 4 2x 1 1 1 1 1  1 x 2 1 x 2     . C. I  ln C ; D. I  ln C . x 2  x  6 (x  2)(x  3) 5  x  3 x  2  2 x 2 2 x 2 1  1 1   5 dx 1 x 2 Vậy I   dx Giải. I     ln  C  A.  x  3 x  2  2 x 2 2 4 x 2  1 5   1 ln x  3  ln x  2  C  ln x 3 5 x 2 C . 1
10/13/2012 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số dx  1.2. Phương pháp đổi biến VD 4. Tính I  . a) Định lý x 3  ln 2 x Nếu  f (x )dx  F (x )  C với (t ) khả vi thì: Giải. Đặt t  ln x  dt  dx x  f ((t ))(t )dt  F ((t ))  C . dt t ln x I    arcsin  C  arcsin C . dx x 3 3 2 VD 3. Tính I  . 3 t ln x  1 dx Giải. Đặt t  ln x  1  dt  dx . VD 5. Tính I   x (x 3  3) . 2x ln x  1 x 2dx Vậy I  2 dt  2t  C  2 ln x  1  C . Giải. Biến đổi I   x 3 (x 3  3) . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Đặt t  x 3  dt  3x 2dx 1.3. Phương pháp từng phần 1 dt 1 1  a) Công thức I     1 dt 3 t(t  3) 9   u(x )v (x )dx  u(x )v(x )   u (x )v(x )dx   t t  3   1 ln t 1  C  ln x3 C . hay  udv  uv   vdu. 9 t 3 9 x 3 3 VD 6. Tính I   x ln xdx . u  ln x dx x2 Giải. Đặt   du  ,v dv  xdx x 2  1 1 1 1  I  x 2 ln x   xdx  x 2 ln x  x 2  C . 2 2 2 4 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số x VD 7. Tính I   2x dx . Chú ý Đối với nhiều tích phân khó thì ta phải đổi biến trước  x .2 x khi lấy từng phần. Giải. Biến đổi I  dx . u  x VD 8. Tính I   cos3 x e sin xdx . 2x Đặt   du  dx , v   dv  2x dx ln 2  (1  sin x )e cos x dx . 2 sin x  Giải. Biến đổi I  x .2x 1 x .2x 2x Đặt t  sin x  I   (1  t 2 )e tdt . I  ln 2  ln 2  2x dx   ln 2  ln 2 2 C . u  1  t 2 du  2tdt Đặt    dv  e dt t v  e t   2
10/13/2012 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số  I  et (1  t 2 )   2te tdt b) Các dạng tích phân từng phần thường gặp  P (x )e x • Đối với dạng tích phân dx , ta đặt:  et (1  t 2 )   2t(det ) u  P (x ), dv  e x dx .  e t (1  t 2 )  2tet   2etdt  P (x )ln  • Đối với dạng tích phân x dx , ta đặt: t 2 sin x 2  e (t  1)  C  e (sin x  1)  C . u  ln x , dv  P (x )dx . ………………………………………………………………… Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số §2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Tính chất 2.1. Định nghĩa. Cho hàm số f (x ) xác định trên [a ; b ]. b b Ta chia đoạn [a; b ] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia 1)  k .f (x )dx  k  f (x )dx , k  ¡ a a x 0  a  x1  ...  xn 1  xn  b . b b b Lấy điểm k  [x k 1; x k ] tùy ý (k  1, n ). 2)  [ f (x )  g (x )]dx   f (x )dx   g (x )dx n a a a Lập tổng tích phân:    f (k )(x k  x k 1 ). a b a k 1 3)  f (x )dx  0;  f (x )dx    f (x )dx a a b Giới hạn hữu hạn (nếu có) I  lim  được gọi b c b max(x k x k 1 ) 0 là tích phân xác định của f (x ) trên đoạn [a; b ]. k 4)  f (x )dx   f (x )dx   f (x )dx , c  [a ; b ] a a c b b Ký hiệu là I   f (x )dx . 5) f (x )  0,  x  [a ; b ]   f (x )dx  0 a a Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số b b 6) f (x )  g(x ), x  [a; b ]   f (x )dx   g(x )dx 2.2. Công thức Newton – Leibnitz a a Nếu f (x ) liên tục trên [a; b ] và F (x ) là một nguyên hàm b b 7) a  b   f (x )dx   f (x ) dx tùy ý của f (x ) thì: a a b b 8) m  f (x )  M , x  [a ; b ]  f (x )dx  F (x ) a  F (b)  F (a ). b a  m(b  a )   f (x )dx  M (b  a ) a 9) Nếu f (x ) liên tục trên đoạn [a ; b ] thì b c  [a; b ] :  f (x )dx  f (c )(b  a ). a 3
10/13/2012 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Nhận xét b 1) Có hai phương pháp tính tích phân như §1. 4) Để tính  f (x ) dx ta dùng bảng xét dấu của f (x ) để a tách f (x ) ra thành các hàm trên từng đoạn nhỏ. 2) Hàm số f (x ) liên tục và lẻ trên [;  ] thì:   f (x )dx  0 . Đặc biệt  b b 3) Hàm số f (x ) liên tục và chẵn trên [;  ] thì:  f (x ) dx   f (x )dx nếu f (x )  0, x  (a ;b ). a a    f (x )dx  2  f (x )dx .  0 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 3  dx VD 1. Tính I   . VD 2. Tính I   x cos x dx . 1 x 2  2x  5 0  u  x 3 dx Giải. Đặt    du  dx , v  sin x Giải. Biến đổi I   .    dv  cos x dx 1 4  (x  1)2     I  x sin x   sin x dx  cos x  2 . Đặt t  x  1  dt  dx 0 0 0 2 2 1 dt 1 t  I   2  arctan 2 2  . 8 VD 3. Tính I   x 2  1.sin 3 x dx . 0 4 t 0 1 Giải. Do hàm số f (x )  x 2  1.sin 3 x liên tục và lẻ trên đoạn [1; 1] nên I  0 . Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số §3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VD 1. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi 3.1. Tính diện tích S của hình phẳng các đường y  x 2 và y  x 4 . a) Biên hình phẳng cho bởi phương trình tổng quát 1 2 A. S  ; B. S  15 15 4 8 C. S  ; D. S  . 15 15 S S Giải. Hoành độ giao điểm: x 2  x 4  x  1, x  0 0 1 b d 4  (x  x 4 )dx   (x 2  x 4 )dx  2 S  C. S   f (x )  f (x ) dx  2 1  S  g (y )  g (y ) dy  2 1  1 0 15 a c 4
10/13/2012 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Cách khác VD 2. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi Hoành độ giao điểm x 2  x 4  x  1, x  0 các đường x  y 2 và y  x  2 . 1 1 Giải. Biến đổi: S   x 2  x 4 dx  2  x 2  x 4 dx x  y 2 x  y 2 1 0    . 1 y  x  2 x  y  2 4    (x 2 2  x 4 )dx   C. 15 Tung độ giao điểm: 0 y 2  y  2  y  1, y  2 2 2  2 1 2 1 3  27  S   (y  2)  y  dy   2 y  2y  3 y   6 .   1 1 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 3. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi b) Biên hình phẳng cho bởi phương trình tham số các đường y  e x  1 , y  e 2x  3 và x  0 . Hình phẳng giới hạn bởi đường cong có phương trình 1 ln 4  1 1  ln 2 1 x  x (t ), y  y(t ) với t  [; ] thì: A. ln 4  ; B. ; C. ; D. ln 2  2 2 2 2  Giải. Hoành độ giao điểm: e  1  e  3 x 2x S  y(t ).x (t ) dt.  e 2x  e x  2  0  e x  2  x  ln 2 .  x2 y2 ln 2 1  ln 2 VD 4. Tính diện tích hình elip S :   1. S  (e 2x  e x  2)dx   e 2x  e x  2x  a2 b2 0  2  0 Giải. Phương trình tham số của elip là:  x  a cos t 1 1  , t  [0; 2].   ln 4  ln 4   A .  2 2  y  b sin t  Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 2 2 3.2. Tính độ dài l của đường cong S  b sin t .(a sin t ) dt  ab  sin 2 t dt a) Đường cong có phương trình tổng quát 0 0 2 » 1  cos 2t Cho cung AB có phương trình y  f (x ), x  [a; b ] thì:  ab  dt  ab . 2 b 0 l»  AB  1  [ f (x )]2 dx . a x2 VD 5. Tính độ dài cung parabol y  từ gốc tọa độ 2  1  O(0; 0) đến điểm M 1; .  2  5
10/13/2012 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Giải. Ta có: b) Đường cong có phương trình tham số 1 1 » l  1  (y )2 dx   1  x 2 dx Cho cung AB có phương trình tham số  0 0  x  x (t )  , t  [; ] thì: 1  y  y(t ) 1     x 1  x 2  ln x  1  x 2  2    0  l »   [x (t )]2  [y (t )]2 dt. AB   2 2 1  ln 1  2 . 2   Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số VD 6. Tính độ dài cung C có phương trình: 3.3. Tính thể tích vật thể tròn xoay  x  t 2  1 a) Vật thể quay quanh Ox      , t  0; 1 . Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi y  ln t  t  1  2 y  f (x ), y  0 , x  a , x  b quay quanh Ox là:  b V   [ f (x )]2 dx . Giải. Ta có: 1 l  [x (t )]2  [y (t )]2 dt a 0 VD 7. Tính thể tích V do hình phẳng S giới hạn bởi y  ln x , y  0 , x  1, x  e quay xung quanh Ox. 1  2  2  t   1   e   2    2  dt  1 . e 0  t  1   t  1  Giải. V   ln x dx   (x ln x  x )   . 1 1 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số x2 y2 VD 8. Tính V do (E ) :   1 quay quanh Ox. b) Vật thể quay quanh Oy a2 b2 Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi Giải. Ta có: x  g(y ), x  0 , y  c và y  d quay quanh Oy là: x2 y2 b2 a  d   1  y2  2  x2 . a 2 b 2 a 2 V   [g(y )]2 dy. c 2 a  a  b 2 4 Vậy V    x 2 dx  ab 2 . a 2 a 3 VD 9. Tính thể tích V do hình phẳng S giới hạn bởi y  2x  x 2 , y  0 quay xung quanh Oy. 6
10/13/2012 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 2 Giải. Parabol y  2x  x Chú ý được viết lại: Thể tích V của vật thể do miền phẳng S giới hạn bởi y  2x  x 2  (x  1)2  1  y y  f (x ), y  0 , x  a và x  b quay xung quanh Oy x  1  1  y , x  1 còn được tính theo công thức:   . b x  1  1  y , x  1 V  2  xf (x )dx (*).  a  2    1   1 2 VD 10. Dùng công thức (*) để giải lại VD 9. Vậy V    1  1  y 1  y  dy   2 0   2  2x 3 x 4  8  Giải. V  2  x (2x  x )dx  2  2    . 1 8 1 8   3 4  0 3  4  1  y dy   (1  y )3  . 0 3 0 3 ……………………………………………………………………… 0 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số §4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG §4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG • Khái niệm mở đầu Cho hàm số f (x )  0, x  [a ; ) (b  ). Khi đó, Cho hàm số f (x )  0, x  [a ; b ]. Khi đó, diện tích hình diện tích S có thể tính được cũng có thể không tính được. phẳng giới hạn bởi đồ thị y  f (x ) và trục hoành là: Trong trường hợp tính được hữu hạn thì: b  b S  f (x )dx . S  f (x )dx  lim b   f (x )dx . a a a Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số §4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG • Định nghĩa tương tự: b b 4.1. Tích phân suy rộng loại 1 4.1.1. Định nghĩa  f (x )dx  lim a   f (x )dx ;  a • Cho hàm số f (x ) xác định trên [a ; ), khả tích trên  b mọi đoạn [a; b ] (a  b ). b  f (x )dx  lim b   f (x )dx .  f (x )dx khi b   được gọi  a  a Giới hạn (nếu có) của a là tích phân suy rộng loại 1 của f (x ) trên [a ; ). • Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ.  b  f (x )dx  lim  f (x )dx . • Nghiên cứu về tích phân suy rộng (nói chung) là Ký hiệu là: b  khảo sát sự hội tụ và tính giá trị hội tụ (thường là khó). a a 7
10/13/2012 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số  dx VD 1. Khảo sát sự hội tụ của tích phân I   . Vậy  1 x 1 Giải § Với   1 : I  (hội tụ). • Trường hợp α = 1:  1 b dx  b I  lim   lim ln x    (phân kỳ). § Với   1: I   (phân kỳ). b  x b   1 1 • Trường hợp α khác 1: b dx 1  b I  lim  x lim x 1  b  1 b    1 1  1   1 1 b   lim b1  1    1   ,  1   ,   1.  Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 0 dx Chú ý VD 2. Tính tích phân I   2 . • Nếu tồn tại lim F (x )  F (), ta dùng công thức:  (1  x ) x  0  0    1  Giải. I  lim  dx  lim    1.  f (x )dx  F (x ) a . a  (1  x )2 a   1  x a a a    • Nếu tồn tại lim F (x )  F (), ta dùng công thức: x  dx VD 3. Tính tích phân I   2 . b b b  1  x  f (x )dx  F (x )  . dx  b Giải. I  lim    lim arctan x  • Tương tự: b  1x 2 b    a  a  a a          lim arctan b  lim arctan a       .  f (x )dx  F (x )  . b  a  2  2   Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số  4.1.2. Các tiêu chuẩn hội tụ  10 VD 4. Xét sự hội tụ của tích phân I  e x dx . a) Tiêu chuẩn 1 1 • Nếu 0  f (x )  g(x ), x  [a; ) và Giải. Với x  [1; ) thì 10   x  1  x 10  x  0  e x  e x  g(x )dx hội tụ thì  f (x )dx hội tụ.     10 a a  e x dx  e x dx . 1 1 • Các trường hợp khác tương tự.   1 Mặt khác,  e x dx   e x 1  e (hội tụ). 1 Vậy tích phân đã cho hội tụ. 8
10/13/2012 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số b) Tiêu chuẩn 2 c) Tiêu chuẩn 3   • Cho f (x ), g(x ) liên tục, luôn dương trên [a ; ) • Nếu  f (x ) dx hội tụ thì  f (x )dx hội tụ (ngược lại f (x ) a a và lim  k . Khi đó: không đúng). x  g (x ) • Các trường hợp khác tương tự. Ø Nếu 0  k   thì:    VD 5. Xét sự hội tụ của tích phân I   e x cos 3x dx .  f (x )dx và  g(x )dx cùng hội tụ hoặc phân kỳ. a a 1     Giải.  e x cos 3x dx   e x dx (hội tụ)  I hội tụ. Ø Nếu k  0 và  g(x )dx hội tụ thì  f (x )dx hội tụ. 1 1 a a Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số k   Chú ý   Ø Nếu  thì  f (x )dx phân kỳ. Nếu f (x ) : g(x ) (x  ) thì   g(x )dx phaâ n kyø a    a   f (x )dx và  g(x )dx có cùng tính chất. • Các trường hợp khác tương tự. a a   dx dx VD 6. Xét sự hội tụ của tích phân I   . VD 7. Xét sự hội tụ của tích phân I   1  sin x  x . 1  x 2  2x 3 1 1 1 1 Giải. Ta có: Giải. Đặt f (x )  , g(x )  ta có:  1  x 2  2x 3 x3 1 1 dx 3  1  sin x  x : (x  ) và x  x phân kỳ. f (x ) x 1 dx  1   và hội tụ  I hội tụ. g(x ) 1  x 2  2x 3 2 x3 Vậy I phân kỳ. 1 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số  dx 1 1 VD 8. Điều kiện của  để I   3  hội tụ là: • Do 3  t 1 :  nên: 1 x . ln x  1 t3 3 1 A.   3 ; B.   ; C.   2 ; D.   .  2 2 dt Giải. Đặt t  ln x I hội tụ   3  hội tụ 1 t 1  1  dt dt dt I   3    3    3  .    1    3  A. 0 t 1 0 t 1 1 t 1 3 1 dt •  3  là tích phân thông thường nên hội tụ. 0 t 1 9
10/13/2012 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số  2 (x  1)dx 4.2. Tích phân suy rộng loại 2 VD 9. Điều kiện của  để I    2x  x  3 4 hội tụ? 4.2.1. Định nghĩa 1 • Cho hàm số f (x ) xác định trên [a ; b ) và không xác định Giải tại b , khả tích trên mọi đoạn [a; b  ] (  0).  2  (x  1)dx dx b  • Với   4 :   2x  x  3 4 :  x 2  I hội tụ. Giới hạn (nếu có) của  f (x )dx khi   0 được gọi là 1 1 a tích phân suy rộng loại 2 của f (x ) trên [a; b ).  dx • Với   4 : I :  2x 2 hội tụ  I hội tụ   ¡. Ký hiệu: b b    1 f (x )dx  lim f (x )dx . 0 a a Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số b • Định nghĩa tương tự: dx b b VD 10. Khảo sát sự hội tụ của I   x  , b  0.  f (x )dx  lim  0  f (x )dx (suy rộng tại a ); Giải 0 a a  • Trường hợp α = 1: b b b  dx  b  f (x )dx  lim  0  f (x )dx (suy rộng tại a , b ). I  lim  0  x  lim ln x   ln b  lim ln    . 0     0 a a   • Trường hợp α khác 1: • Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói b b tích phân hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ. dx 1  b I  lim   lim  x dx  lim x 1  0 x 0 1   0      Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số  b1 1  1    1   ,  1 3  lim b1  1 3dx 1   0  VD 11. Tính tích phân I   .   ,   1. 1 1  9x 2 6    Vậy A. I   ; B. I  ; C. I  ; D. I  . b1 3 3 6 § Với   1: I  (hội tụ). 1 1 1 § Với   1 : I   (phân kỳ). 3 d(3x )   3 Giải. I   arcsin 3x   B. 1 1  (3x ) 2 1 3 6 6 10
10/13/2012 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số e 2 dx dx VD 12. Tính tích phân I   3 2 . VD 13. Tính tích phân I   x2  x . 1 x . ln x 1 Giải. Ta có: Giải. Đặt t  ln x 2 dx 2  1 1   x  1  x dx 1 1 2 I   dt   t  3dt 3 t 3 1  3. I   x (x  1)  3 2 0 1 1 0 t 0 2  1 1  lim 0   x  1  x dx 1 2  x  1  lim ln     .  0  x  1 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 4.1.2. Các tiêu chuẩn hội tụ Giải. Khi x  0 thì x x Các tiêu chuẩn hội tụ như tích phân suy rộng loại 1. 1 1 :  . Chú ý 1 b b x (x  1)(2  x ) 2x 2  Nếu f (x ) : g(x ) (x  b) thì  f (x )dx và  g(x )dx x2 a a 1 1 dx có cùng tính chất (với b là cận suy rộng).  I hội tụ  2  1  hội tụ 0 1 x dx x2 VD 14. Tích phân suy rộng I   x (x  1)(2  x )  1 1  1     C . 0 2 2 hội tụ khi và chỉ khi: 1 1 A.   1 ; B.    ; C.    ; D.   ¡ . 2 2 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 1 1 1 1 x  1 dx dx dx VD 15. Tích phân suy rộng I   dx Do  2 :  x  1 hội tụ nên 2 (x  1)sin x 0 (x  1)sin x 0 0 0 x2 1 phân kỳ khi và chỉ khi: x dx 1 1 I phân kỳ   phân kỳ. A.   1; B.    ; C.    ; D.   ¡ . 0 (x 2  1)sin x 2 2 1 1 1 x dx x dx dx 1  x dx 1 dx Mặt khác,  : x  1 . (x 2  1)sin x    Giải. I  . 0 0 0 x2 0 (x 2  1)sin x 0 (x 2  1)sin x 1 1 Vậy I phân kỳ   1     B. 2 2 11
10/13/2012 Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số 1 Chú ý x  1 • Cho I  I 1  I 2 với I , I 1, I 2 là các tích phân suy rộng VD 16. I   dx phân kỳ khi và chỉ khi: 0 x 2 sin x ta có: 1 1 1 1) I1 và I 2 hội tụ  I hội tụ. A.   ; B.    ; C.    ; D.   ¡. 4 4 2 I   ( phaâ ) I   ( phaâ ) 2)  1 hoặc  1 n kyø n kyø I 2  0 I 2 0 Giải. Ta có:   1 1 x dx dx thì I phân kỳ. I    I1  I2 . I   ( phaâ I 2 2 )   ( phaâ ) 0 x sin x 0 x sin x 3)  1 hoặc  1 n kyø n kyø I 2  0 I 2 0   thì chưa thể kết luận I phân kỳ. Ø Chương 5. Phép tính tích phân hàm một biến số Mặt khác: 1 1 1 dx dx dx 1) I 2   2 :  3   3   . 0 x sin x 0 x 0 x2 1 x dx 2) I 1    0. 0 x 2 sin x Vậy I  I 1  I 2 phân kỳ với mọi   ¡  D . ………………………………………………………………… 12

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.