zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Toán cao cấp: Chương 6 - Ngô Quang Minh

Chia sẻ: Sung Sung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Báo xấu

253
lượt xem 16
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp: Chương 6 của Ngô Quang Minh trình bày về phép tính vi phân hàm hai biến với những nội dung cơ bản như khái niệm cơ bản, đạo hàm riêng - vi phân, cực trị của hàm hai biến số. Mời các bạn tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp: Chương 6 - Ngô Quang Minh

10/13/2012 Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến §1. Khái niệm cơ bản • Miền phẳng D kể cả biên D được gọi là miền đóng, §2. Đạo hàm riêng – Vi phân miền phẳng D không kể biên D là miền mở. §3. Cực trị của hàm hai biến số ………………………. • Miền phẳng D được gọi là miền liên thông nếu có 1 §1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN đường cong nằm trong D nối 2 điểm bất kỳ thuộc D . 1.1. Các định nghĩa Miền liên thông có biên là 1 đường cong kín được gọi a) Miền phẳng là miền đơn liên (hình a); có biên là nhiều đường cong • Trong mặt phẳng Oxy , hình phẳng D giới hạn bởi các kín rời nhau là miền đa liên (hình b). đường cong kín được gọi là miền phẳng. Tập hợp các đường cong kín giới hạn D được gọi là biên của D , ký hiệu D hay . Đặc biệt, mặt phẳng Oxy được xem là miền phẳng với biên ở vô cùng. Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến b) Lân cận của một điểm c) Hàm số hai biến số • Khoảng cách giữa 2 điểm M1 (x1 , y1 ), M 2 (x 2 , y2 ) là: • Trong mặt phẳng Oxy cho tập D  ¡ 2 . Tương ứng f : D  ¡ cho tương ứng mỗi (x , y )  D   x1  x 2   y1  y2  . 2 2 d M1 , M 2  M1M 2  với một giá trị z  f (x , y )  ¡ duy nhất được gọi là hàm số hai biến số x, y . • Hình tròn S (M , ) mở có tâm  • Tập D  ¡ 2 được gọi là miền xác định (MXĐ) của hàm M (x , y ), bán kính   0 được • số, ký hiệu Df . Miền giá trị của hàm số là: M gọi là một lân cận của điểm M .  G  z  f (x , y )  ¡ (x , y )  Df .  Nghĩa là: VD M 0 (x 0 , y0 )  S (M , )  (x  x 0 )2  (y  y0 )2  . • Hàm số f (x , y )  3x 2y  cos xy có D f  ¡ 2 . Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến 2 2 • Hàm số z  4  x  y có MXĐ là hình tròn đóng §2. ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN tâm O(0; 0), bán kính R  2 . 2.1. Đạo hàm riêng a) Đạo hàm riêng cấp 1 • Hàm số z  ln(4  x 2  y 2 ) có MXĐ là hình tròn mở tâm O(0; 0), bán kính R  2 . • Cho hàm số f (x , y ) xác định trên miền mở D  ¡2 Chú ý chứa điểm M 0 (x 0 , y0 ). Cố định y0 , nếu hàm số f (x , y0 ) • Trong trường hợp xét hàm số f (x , y ) mà không nói gì có đạo hàm tại x 0 thì ta gọi đạo hàm đó là đạo hàm riêng thêm thì ta hiểu MXĐ của hàm số là tập tất cả các điểm theo biến x của hàm số f (x , y ) tại (x 0 , y0 ). M (x , y )  ¡ 2 sao cho f (x , y ) có nghĩa. f • Hàm có nhiều hơn hai biến được định nghĩa tương tự. Ký hiệu: fx (x 0 , y0 ) hay fx/ (x 0 , y 0 ) hay (x , y ). x 0 0 1.2. Giới hạn của hàm số hai biến số (xem giáo trình) / f (x , y 0 )  f (x 0, y0 ) Vậy fx (x 0, y 0 )  lim . 1.3. Hàm số liên tục (xem giáo trình) x x 0 x  x0 1
10/13/2012 Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến • Tương tự, đạo hàm riêng theo biến y tại (x 0 , y0 ) là: VD 1. Tính các đạo hàm riêng của hàm số: f (x, y )  x 4  3x 3y 2  2y 3  3xy tại (1; 2). f (x 0 , y )  f (x 0, y 0 ) fy/ (x 0 , y 0 )  lim . Giải. fx/ (x , y )  4x 3  9x 2y 2  3y  fx/ (1; 2)  46 . y y0 y  y0 fy/ (x , y )  6x 3y  6y 2  3x  fy/ (1; 2)  39 . Chú ý f df x2  1 • Nếu f (x ) là hàm số một biến x thì fx/   VD 2. Tính các đạo hàm riêng của z  ln . x  y2  1 2 . x dx • Hàm số nhiều hơn hai biến có định nghĩa tương tự. Giải. Ta có z  ln(x 2  1)  ln(x 2  y 2  1). Suy ra: 2x 2x 2y z x/   , zy/   . 2 2 2 x 1 x y 1 x  y2  1 2 Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến x 2 VD 4. Tính các đạo hàm riêng của f (x , y, z )  e x y sin z . VD 3. Tính các đạo hàm riêng của z  cos tại (; 4). y 2 2 Giải. fx/  (x 2y )/x e x y sin z  2xye x y sin z Giải 2 2  x / x 1 x 2 fy/  (x 2y )y/ e x y sin z  x 2e x y sin z zx/     sin   sin  z x/ (; 4)   ,  y  y y y 8 2 fz/  e x y cos z . x  x / x x x  2 zy/     sin  sin  zy/ (; 4)  .  y  y y 2 y 32 y Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến b) Đạo hàm riêng cấp cao • Hàm số nhiều hơn 2 biến và đạo hàm riêng cấp cao hơn • Đạo hàm riêng (nếu có) của hàm số fx/ (x , y ), fy/ (x , y ) 2 có định nghĩa tương tự. được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của f (x , y ).   f   2 f VD 5. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số: Ký hiệu: f 2  fxx   fx     f (x, y )  x 3e y  x 2y 3  y 4 tại (1; 1). x  x  x 2 , x x   f   2 f y   f 2  fyy  fy  y   y  y  y 2 ,  /  f  3x e  2xy 2 y 3 Giải. Ta có  x/   f  2 f  f  x 3e y  3x 2y 2  4y 3 fxy  fxy   fx      ,  y y y  x  y x   2  x  x  yf   x fy . fyx  fyx  fy 2
10/13/2012 Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến  // VD 6. Cho hàm số f (x , y )  x 5  y 4  x 4y 5 .  fx 2  6xe  2y y 3  //    fxy  3x 2e y  6xy 2  fyx//   Giá trị của đạo hàm riêng cấp năm f (5) 3 2 (1; 1) là: x y  f //  x 3e y  6x 2y  12y 2 A. f (5) 3 2 (1; 1)  480 ; B. f (5) 3 2 (1; 1)  480 ; x y x y  y 2 C. f (5) (1; 1)  120 ; D. f (5) (1; 1)  120 .   x 3y 2 x 3y 2  f // (1;1)  6e  2   x2  //  fxy (1;1)  3e  6 Giải. fx/  5x 4  4x 3y 5  f // 2  20x 3  12x 2y 5 x    f // (1;1)  e  6.   y 2  f ///  60x  24xy  f (4) 2 5  120xy 4 x3 3 x y (5) 3 (5) f  480xy  f (1; 1)  480  A. x 3y 2 x 3y 2 Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến • Định lý Schwarz VD 7. Đạo hàm riêng z (mm 2n n) (m  2) của z  e 2x y là: Nếu hàm số f (x , y ) có các đạo hàm riêng fxy và fyx x y x2 A. (1)n 2m n e 2x y ; B. (1)m 2m n e 2x y ; liên tục trong miền mở D  ¡ 2 thì fxy  fyx . m m 2x y C. (1) 2 e ; D. (1)n 2m e 2x y . Giải. Ta có z (mm 2nn)  z (mm nn ) . x y x2 x y z x/  2e 2x y  z //2  22 e 2x y  ...  z (mm )  2m e 2x y x x Hermann Amandus Schwarz  z (mm 1)  2 e m 2x y  z (mm 22)  2m e 2x y (1843 – 1921) x y x y (m n ) z m n  (1)n 2m e 2x y  D . x y Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến b) Định nghĩa 2.2. VI PHÂN • Nếu trong lân cận S (M 0 , ) với số gia x , y mà số 2.2.1. Vi phân cấp 1 gia f tương ứng có thể viết được dưới dạng a) Số gia của hàm số f  A.x  B.y  O r , r  (x )2  (y )2 • Cho hàm số f (x, y ) xác định trong lân cận S (M 0 , ) trong đó A, B là những số chỉ phụ thuộc vào điểm của điểm M 0 (x 0 , y 0 ). Cho x một số gia x và y một M 0 (x 0 , y0 ) và hàm f (x, y ), không phụ thuộc x , y số gia y , khi đó hàm f (x, y ) có tương ứng số gia: thì đại lượng A.x  B.y được gọi là vi phân của hàm f  f (x 0  x , y 0  y )  f (x 0 , y 0 ). số f (x , y ) tại điểm M 0 (x 0 , y0 ). • Khi đó, f (x , y ) được gọi là khả vi tại điểm M 0 (x 0 , y0 ). Ký hiệu: df  A.x  B.y. 3
10/13/2012 Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Nhận xét c) Định lý • Xét những điểm M (x 0   x , y 0   y ) dịch chuyển • Nếu hàm số f (x , y ) có các đạo hàm riêng trong lân cận trên đường đi qua M 0 song song Ox . Khi đó  y  0 : nào đó của (x 0 , y0 ) và các đạo hàm riêng này liên tục  f  f (x 0   x , y 0 )  f (x 0 , y 0 )  A. x  O ( x ) tại (x 0 , y 0 ) thì f (x , y ) khả vi tại (x 0 , y0 ). f  lim  A  A  fx/ (x 0 , y 0 ) . x 0  x f VD 8. Cho hàm f (x, y )  x 2e x y  y 5 . Tính df (1; 1). Tương tự, lim  B  B  fy/ (x 0 , y 0 ) . y  0  y  /  / f  (2x  x )e  fx (1; 1)  3e 2 x y 2 Suy ra df (x , y )  fx/ (x , y ). x  fy/ (x , y ). y . Giải.  x/   . f  x 2e x y  5y 4  f / (1; 1)  e 2  5 • Xét f (x , y )  x  df (x , y )  x  dx  x .  y  y Tương tự, dy  y . Vậy df (1; 1)  3e 2dx  (e 2  5)dy . Vậy df (x , y )  fx(x , y )dx  fy(x , y )dy. Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến 2 y 2.2.2. Vi phân cấp 2 VD 9. Tính vi phân cấp 1 của hàm z  e x sin(xy 2 ). • Giả sử f (x , y ) là hàm khả vi với x , y là các biến độc lập. Các số gia dx  x , dy  y tùy ý độc lập với Giải. z x/  2x sin(xy 2 )  y 2 cos(xy 2 ) e x y , 2   x, y nên được xem là hằng số đối với x, y . Vi phân của z y/   sin(xy 2 )  2xy cos(xy 2 ) e x y . 2   df (x , y ) được gọi là vi phân cấp 2 của f (x , y ). Ký hiệu và công thức: Vậy dz  2x sin(xy 2 )  y 2 cos(xy 2 ) e x y dx 2   d 2 f  d df   f 2dx 2  2 fxydxdy  f 2dy 2 . x y   sin(xy 2 )  2xy cos(xy 2 ) e x y dy . 2   Chú ý • Nếu x, y là các biến không độc lập (biến trung gian) x  x (, ), y  y(, ) thì công thức trên không còn đúng nữa. Sau đây ta chỉ xét trường hợp x , y độc lập. Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến VD 10. Cho hàm số f (x, y )  x 2y 3  xy 2  3x 3y 5 . VD 11. Tính vi phân cấp 2 của hàm f (x , y )  ln(xy 2 ). Tính vi phân cấp hai df 2 (2; 1). y2 1 / 2xy 2 Giải. Ta có fx/   , f     f /  2xy 3  y 2  9x 2y 5 xy 2 x y xy 2 y Giải. Ta có:  x/  f  3x 2y 2  2xy  15x 3y 4 1 2  y  f // 2  , fxy//  0, f // 2  . 2   x x y y2  f //  2y 3  18xy 5  f // (2; 1)  34   x2  x 2 Vậy d 2 f  x 2dx 2  2y 2dy 2 .   fxy//  6xy 2 +2y  45x 2y 4   fxy// (2; 1)  170      f //  6x 2y +2x  60x 3y 3  f // (2; 1)  460.    y  2 2 y Vậy d 2 f (2; 1)  34dx 2  340dxdy  460dy 2 . 4
10/13/2012 Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến 2.3. Đạo hàm của hàm số ẩn (hai biến) VD 12. Cho hàm ẩn z (x , y ) thỏa phương trình: • Hàm z(x , y ) xác định trên Dz  ¡2 thỏa phương trình xyz  cos(x  y  z ). Tính z x/ , z y/ . F (x , y, z(x , y ))  0, (x, y )  D  Dz (*) được gọi là Giải. Ta có F (x , y, z )  xyz  cos(x  y  z ) hàm số ẩn hai biến xác định bởi (*).  F /  y z  sin ( x  y  z )  x Giả sử các hàm trên đều khả vi, đạo hàm 2 vế (*) ta được:    Fy/  xz  sin ( x  y  z ) Fx  Fz.z x  0, Fy  Fz.zy  0 .   F z/  xy  sin ( x  y  z ). Fx Fy  Vậy z x   Fz , z y   F   0. Fz z / Vậy z x   yz  sin(x  y  z ) , xy  sin(x  y  z ) xz  sin(x  y  z ) zy/   . xy  sin(x  y  z ) Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến VD 13. Cho hàm ẩn z (x , y ) thỏa phương trình mặt cầu: §3. CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ 2 2 2 x  y  z  2x  4y  6z  2  0 . Tính zy/ . 3.1. Định nghĩa • Hàm số z  f (x, y ) đạt cực trị thực sự tại M0 (x 0 , y0 ) Giải. Ta có F  x 2  y 2  z 2  2x  4y  6z  2 nếu với mọi điểm M (x, y ) khá gần nhưng khác M 0 thì   / hiệu f  f (x, y)  f (x 0, y0 ) có dấu không đổi. F  2y  4 y 2   y/  zy/   . • Nếu f  0 thì f (x 0 , y0 ) là giá trị cực tiểu và M0 là  F  2z  6 z 3   z điểm cực tiểu của z  f (x, y ). • Nếu f  0 thì f (x0 , y0 ) là giá trị cực đại và M 0 là điểm cực đại của z  f (x, y ). Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến  2 3.2. ĐỊNH LÝ y 3y 2 VD 1. Hàm số f (x , y )  x 2  y 2  xy  x     2  4 a) Điều kiện cần  f (x , y )  0, (x , y )  ¡ 2 nên đạt cực tiểu tại O (0; 0). • Nếu hàm số z  f (x , y ) đạt cực trị tại M 0 (x 0 , y0 ) và tại đó hàm số có đạo hàm riêng thì: fx/ (x 0, y0 )  fy/ (x 0, y0 )  0. • Điểm M 0 (x 0 , y0 ) thỏa fx/ (x 0 , y0 )  fy/ (x 0 , y0 )  0 được gọi là điểm dừng, M 0 có thể không là điểm cực trị. 5
10/13/2012 Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến b) Điều kiện đủ 3.3. Phân loại cực trị Giả sử z  f (x , y ) có điểm dừng là M 0 và có đạo hàm riêng cấp hai tại lân cận của điểm M 0 . • Trong không gian Oxyz , xét mặt cong S chứa Đặt A  f // (M 0 ), B  fxy// (M 0 ), C  f // (M 0 ). 2 x 2 y đường cong (C ). AC  B 2  0 • Nếu   f (x , y ) đạt cực tiểu tại M 0 . • Chiếu S lên mpOxy  A0  ta được miền D  ¡2 AC  B 2  0 • Nếu  và đường cong phẳng  f (x , y ) đạt cực đại tại M 0 . () : (x, y )  0 .  A0  • Nếu AC  B 2  0  f (x , y ) không đạt cực trị tại M 0 . • Nếu AC  B 2  0 thì ta không thể kết luận. Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến 3.4. Cực trị tự do • Khi đó, điểm P1  S là điểm cao nhất (hay thấp nhất) so Cho hàm số f (x, y ) xác định trên D . Để tìm cực trị (tự với các điểm ở trong lân cận của nó và hình chiếu do) của f (x , y ), ta thực hiện các bước sau: M 1  D là được gọi là điểm cực trị tự do của hàm f (x , y ) xác định trên D (vì không phụ thuộc vào ()). • Bước 1. Tìm điểm dừng M 0 (x 0 , y0 ) bằng cách giải hệ:   /  fx (x 0 , y 0 )  0 • Tương tự, điểm P2  (C ) là điểm cao nhất (hay thấp  /   f (x , y )  0. nhất) so với các điểm ở trong lân cận của nó và hình  y 0 0 chiếu M 2  () là điểm cực trị có điều kiện ràng buộc bởi () : (x , y )  0 của hàm f (x , y ). • Bước 2. Tính A  f // // 2 (x 0 , y 0 ), B  fxy (x 0 , y 0 ), x C  f // 2 (x 0 , y 0 )    AC  B 2 . y • Bước 3. Dựa vào điều kiện đủ để kết luận. Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến VD 2. Tìm điểm dừng của hàm số z  xy(1  x  y ). VD 3. Tìm cực trị của hàm z  x 2  y 2  4x  2y  8 . z /  0 y  2xy  y 2  0 z /  2x  4  0  Giải. Ta có  x/  Giải.  x/  M (2; 1) là điểm dừng. z  0 x  2xy  x 2  0 z  2y  2  0  y   y (x 2  y 2 )  (x  y )  0  (x  y )(x  y  1)  0   //    . A  z x 2 (2; 1)  2  0 x  2xy  x  0 2 x  2xy  x 2  0  //   B  z xy (2; 1)  0    4  0.  Vậy hàm số có 4 điểm dừng: C  z 2 (2; 1)  2 // 1 1   y M 1(0; 0), M 2 (0; 1), M 3 (1; 0), M 4  ; .  3 3  Vậy M (2; 1) là điểm cực tiểu và zCT  3 . Hình 1 6
10/13/2012 Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến 3 3 VD 4. Tìm cực trị của hàm số z  x  y  3xy  2 . VD 5. Tìm cực trị của z  3x 2y  y 3  3x 2  3y 2  2 . Giải. Ta có z x/  3x 2  3y  0, zy/  3y 2  3x  0 z /  6xy  6x  0 x  0  y  1   Giải. x/   2 zy  3x  3y  6y  0 3x  3y  6y  0 2  M 1(0; 0), M 2 (1; 1) là hai điểm dừng. 2 2 Do z //2 //  6x , z xy  3, z //2  6y nên:  M 1(0;0), M 2 (0;2), M 3 (1;1), M 4 (1;1) là 4 điểm dừng. x y • Tại M1 : A  C  0, B  3    0 Do z //2  6y  6, z xy //  6x , z //2  6y  6 nên: x y  M 1 không là điểm cực trị. • Hai điểm M 3 , M 4 không là điểm cực trị. • Tại M 2 : A  C  6  0, B  3    0 • Điểm M1 là điểm cực đại và zC Đ  2 . Vậy M 2 (1; 1) là điểm cực tiểu và zCT  3 . • Điểm M 2 là điểm cực tiểu và zCT  2 . Hình 2 Hình 3 Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến 50 20  x 5 VD 6. Cho hàm số z  xy   (x  0, y  0).  x  5 x y  50    2 x y  2  y 2    M (5; 2). Khẳng định đúng là:  xy  20 xy 2  20 y  2     A. z đạt cực tiểu tại M (2; 5) và giá trị cực tiểu z  39 . B. z đạt cực tiểu tại M (5; 2) và giá trị cực tiểu z  30 . 100 40 Vi phân cấp hai: z //2  / , z xy  1, z //2  C. z đạt cực đại tại M (2; 5) và giá trị cực đại z  39 . x x 3 y y3 D. z đạt cực đại tại M (5; 2) và giá trị cực đại z  30 . 2  AC  B  3  0  B . 50 20 Giải. Ta có z x/  y   0, zy/  x  0 Hình 4 x2 y2 Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến 3.5. Cực trị có điều kiện a) Phương pháp khử • Cho hàm số f (x , y ) xác định trên lân cận của điểm • Từ phương trình (x , y )  0 ta rút x hoặc y thế vào f (x , y ), sau đó tìm cực trị của hàm một biến. M 0 (x 0 , y0 ) thuộc đường cong () : (x, y )  0 . Nếu tại M 0 hàm f (x , y ) đạt cực trị thì ta nói M 0 là VD 7. Tìm điểm cực trị của hàm z  x 2y thỏa điều kiện: điểm cực trị có điều kiện của f (x , y ) với điều kiện x  y  3  0. (x , y )  0 . Giải. x  y  3  0  y  x  3  z  x 3  3x 2 . Ta có z   3x 2  6x  0  x  2, x  0 . • Để tìm cực trị có điều kiện của hàm số f (x , y ) ta dùng • x  2  y  1  z đạt cực đại tại điểm M 1(2; 1). phương pháp khử hoặc nhân tử Lagrange. • x  0  y  3  z đạt cực tiểu tại điểm M 2 (0; 3). Hình 5 7
10/13/2012 Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến b) Phương pháp nhân tử Lagrange Các vi phân dx , dy phụ thuộc vào điều kiện ràng buộc: fx/ fy/  Tại điểm cực trị (x , y ) của f , gọi     là  / / d (x 0 , y 0 )  x (x 0 , y0 )dx  y (x 0 , y 0 )dy  0 (1) /x y/    (dx )2  (dy )2  0 (2). nhân tử Lagrange. Để tìm cực trị ta thực hiện các bước:   • Bước 1. Lập hàm phụ (hàm Lagrange): • Bước 4. Từ điều kiện ràng buộc (1) và (2), ta có: L(x , y, )  f (x, y )  (x , y ). Ø Nếu d 2L(M 0 )  0 thì f (x , y ) đạt cực tiểu tại M 0 . • Bước 2. Giải hệ: L/x  0, L/y  0, L/  0  điểm dừng M 0 (x 0 , y0 ) ứng với  0 . Ø Nếu d 2L(M 0 )  0 thì f (x , y ) đạt cực đại tại M 0 . • Bước 3. Tính vi phân cấp 2 tại M 0 (x 0 , y0 ) ứng với  0 : Ø Nếu d 2L(M 0 )  0 thì M 0 không là điểm cực trị. d 2L(M 0 )  L//2dx 2  2L// xy dxdy  L//2dy 2 . x y Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến VD 8. Tìm điểm cực trị của hàm số f (x , y )  2x  y với điều kiện x 2  y 2  5 . Giải. Lập hàm Lagrange: x 2  y 2  5  (x, y )  x 2  y 2  5  L(x, y, )  2x  y  (x 2  y 2  5). Tìm điểm dừng: L/  0   x 2  2x  0 L/  0  1  2y  0 Joseph-Louis Lagrange  y  (1736 – 1813) L/  0 x 2  y 2  5  0   Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến   1 VD 9. Tìm điểm cực trị của hàm z  xy thỏa điều kiện  x       M (2; 1),    1 x 2 y2   1. 1  1  1  y    2 . 8 2    2 M (2; 1),   1  1  1 5  2 2 2  x 2 y2     2 4 2  Giải. Ta có L(x , y, )  xy      1.  8 2  Vi phân cấp hai d 2L(x , y )  2(dx 2  dy 2 ). x x2 y2 • d 2L(M 1 )  (dx 2  dy 2 )  0  M 1 là điểm cực đại. L/x  y   0, L/y  x  y  0,  1  0 4 8 2 • d 2L(M 2 )  dx 2  dy 2  0  M 2 là điểm cực tiểu. Hình 6 8
10/13/2012 Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến M (2; 1),   2  2   1 1 (*)  d 2L(M 1 )  8dy 2  0  M 1 là điểm cực đại.   4 M (2; 1),   2    x  y   2 2 .  • Tại các điểm M 2 , M 3 , M 4 ta làm tương tự. M 3 (2; 1),  3  2   2 2 x  4y  8   M 4 (2; 1),  4  2 Cách khác (dùng trong trắc nghiệm)  1 Vi phân cấp hai d 2L(x , y )  dx 2  2dxdy  dy 2 . d 2L(M 1 )   dx 2  2dxdy  2dy 2 4 2 1 2 1   dx  2dy   0  M 1 là điểm cực đại. 2 • Tại M 1 : d L(M 1 )   dx  2dxdy  2dy 2 (*). 2 2 2 x Hình 7 Mặt khác, d (x , y )  dx  ydy 4 ………………………………………………………  d (M1 )  0  dx  2dy  0 . 9

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.