Bài giảng "Toán cao cấp" do Ngô Thái Hưng biên soạn trình bày các nội dung: Khái niệm chung, hệ tuyến tính Cramer, hệ tuyến tính tổng quát, hệ tuyến tính thuần nhất. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp - Ngô Thái Hưng
- TRƯỜNG ðẠI HỌC TÀI CHÍNH – MARKETING
BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN
--------
TOÁN CAO CẤP
Ngô Thái Hưng
Năm học 2009
- HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Thời gian: 8 tiết
NỘI DUNG
Khái niệm chung
Hệ tuyến tính Cramer
Hệ tuyến tính tổng quát
Hệ tuyến tính thuần nhất
- §1. Khái niệm chung
1. ðịnh nghĩa
Hệ phương trình tuyến tính (Linear Equations System) là
một hệ gồm m phương trình bậc nhất theo n
ẩn số có dạng tổng quát như sau:
a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1
a x
21 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b2
... ... ... ... ... ... ... ... ...
a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn xn = bm
- §1. Khái niệm chung
ðặt
a11 a12 ⋯ a1n x1 b1 a11 a12 ... a1n b1
a21 a22 ⋯ a2n x b a21 a22 ... a2n b2
A= ,X = 2
,B = 2
,A = ( A B) =
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ... ... ... ... ...
am1 am2 ⋯ amn xn bm am1 am2 ... amn bm
Hệ ñược viết lại ở dạng ma trận : AX=B
A ñược gọi là ma trận hệ số, B là ma trận cột
các hệ số tự do, X là ma trận ẩn, A
là ma trận bổ sung (hay ma trận các hệ số
mở rộng).
- §1. Khái niệm chung
2. ðịnh nghĩa
C = ( c1,c2,…,cn ) ∈ ℝn gọi là nghiệm của hệ nếu thay X
bằng CT thì A.CT=B.
Hai hệ phương trình gọi là tương ñương khi
chúng có cùng tập nghiệm.
- §1. Khái niệm chung
3. Tính chất
1. Hệ phương trình tuyến tính chỉ có thể có duy nhất
1 nghiệm, vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.
2. Nếu ta ñổi thứ tự hai phương trình, nhân hai vế
của một phương trình với một số khác 0, thay
phương trình ñó bằng phương trình ñó cộng với
một hằng số nhân một phương trình khác thì ta
nhận ñược hệ mới tương ñương với hệ ban ñầu.
⇒ Các phép biến ñổi sơ cấp theo hàng trên ma trận các hệ số
mở rộng cho ta hệ mới tương ñương.
- §2. Hệ Cramer
1. ðịnh nghĩa
Hệ Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số
phương trình bằng với số ẩn và ñịnh thức của ma
trận hệ số khác 0
Ví dụ
− x1 + 2x 2 = −2 −1 2 0
( I) = 3x1 + x2 + x3 = 6
A = 3 1 1
−2x − x2 = 1 −2 −1 0
1
−1 2 0
A = 3 1 1 = −5 ≠ 0 (I) Là hệ Cramer
−2 −1 0
- §2. Hệ Cramer
2. Giải hệ Cramer
Nhận xét : hệ Cramer AX = B luôn có 1 nghiệm
duy nhất.
1. Sử dụng ma trận nghịch ñảo
|A| ≠ 0 ⇒ A khả nghịch ⇒ X = A-1.B
2. Phương pháp Gauss
Sử dụng các phép biến ñổi sơ cấp trên dòng ñể
biến ma trận bổ sung A = ( A B ) về
A ' = ( A ' B ') sao cho A’ là ma trận tam giác trên.
Nghiệm của hệ ñược giải từ dòng dưới lên trên.
- §2. Hệ Cramer
2. Giải hệ Cramer
2. Phương pháp Gauss
Ví dụ
x1 + 3x 2 + 7x 3 = 1 1 3 7
( I) = 2x1 + x2 + 2x 3
= 0 , A = 2 1 2 , A = −1
−7x1 + x2 + 4x 3 = 1 −7 1 4
|A| ≠ 0 ⇒ (I) là hệ Cramer.
1 3 7 1 1 3 7 1
(2): = (2) − 2.(1)
A = 2 1 2 0
(3): = (3) +7.(1)
→ 0 − 5 −12 −2
−7 1 4 1 0 22 53 8
- §2. Hệ Cramer
2. Giải hệ Cramer
3. Sử dụng ñịnh thức (công thức Cramer)
Gọi A i , i = 1, n là ma trận nhận ñược từ A bằng
cách thay cột thứ i bằng cột các hệ số tự do
Khi ñó, hệ Cramer có nghiệm duy nhất :
det A i
xi = , i = 1, n
det A
- §2. Hệ Cramer
2. Giải hệ Cramer
3. Sử dụng ñịnh thức (công thức Cramer)
Ví dụ
x1 + 3x2 + 7x3 = 1 1 3 7 1
( I) = 2x1 + x2 + 2x3 = 0 , A = 2 1 2 , B =
0
−7x + x + 4x3 = 1
1 2 −7 1 4 1
1 3 7 1 3 7 det A1
x
1 = = −1
det A = 2 1 2 = −1 , det A1 = 0 1 2 = 1 det A
−7 1 4 1 1 4 det A 2
x
2 = = 10
1 1 7 1 3 1 det A
det A 2 = 2 0 2 = −10 , det A 3 = 2 1 0 =4 det A 3
x
3 = = −4
−7 1 4 −7 1 1 de t A
- §3. Hệ phương trình tuyến tính tổng
quát
1. ðịnh lý Kronecker – Capelli
Cho hệ phương trình tuyến tính gồm m
phương trình, n ẩn số, AX = B. Với A = ( A B )
, ta có :
i. Nếu rankA < rankA thì hệ vô nghiệm
ii. Nếu rankA = rankA = n thì hệ có 1 nghiệm
duy nhất
iii. Nếu rankA = rankA < n thì hệ có vô số
nghiệm
- §3. Hệ phương trình tuyến tính tổng
quát
2. Giải HPTTT tổng quát
Cho HPTTT m phương trình, n ẩn số. Sử dụng
các phép biến ñổi sơ cấp theo hàng ñể biến
A = ( A B) về A' = ( A' B') là ma trận bậc
thang.
i. A ' có 1 hàng có dạng ( 0 0 ... 0 b ) , b ≠ 0
kết luận hệ vô nghiệm.
ii. Bỏ ñi các hàng toàn 0 trong A ' , trên mỗi
dòng còn lại chọn 1 ẩn cơ sở ñể giải, các
ẩn còn lại mang giá trị tự do.
- §3. Hệ phương trình tuyến tính tổng
quát
2. Giải HPTTT tổng quát
Ví dụ 1
x1 − 3x 2 + 2x3 − x4 = 2
( ) 4x1
I = + x2 + 3x 3 − 2x4 = 1
2x + 7x 2 − x3 = −1
1
1 −3 2 −1 2 ( 2):=( 2) − 4(1) 1 −3 2 −1 2
( 3):=( 3) − 2(1)
A = 4 1 3 −2 1 → 0 13 −5 2 −7
2 7 −1 0 −1
0 13 −5 2 −5
1 −3 2 −1 2
( 3): =( 3) −( 2)
→ 0 13 −5 2 −7 Hệ (I) vô nghiệm
0 0 0 0 2
- §3. Hệ phương trình tuyến tính tổng
quát
2. Giải HPTTT tổng quát
Ví dụ 2
x1 + x2 + 2x 4 = 5
2x + 4x 2 − x3 + 5x 4 = −1
1
( II) = x1 + 3x 2 + 5x 4 = −3
3x + 7x 2 − 3x 3 + 9x 4 = −14
1
2x1 + 8x 2 − 4x 3 + 2x 4 = −22
1 1 0 2 5 1 1 0 2 5
2 4 −1 5 −1 ( 2): =( 2) −2(1) 0 2 −1 1 −11
( 3):=( 3) −(1)
A = 1 3 0 5 −3
( 4 ): =( 4 )− 3(1) → 0 2 0 3 −8
( 5): =( 5) − 2(1)
3 7 −3 9 −14 0 4 −3 3 −29
2 8 −4 −2 −22 0 6 −4 −2 −33
- §3. Hệ phương trình tuyến tính tổng
quát
2. Giải HPTTT tổng quát
Ví dụ 3
3x1 − x2 − x3 + 2x4 = 1
x − x2 − 2x 3 + 4x 4 = 5
( III) = 1
x1 + x2 + 3x3 − 6x4 = −9
12x1 − 2x2 + x3 − 2x4 = −10
Tại dòng 1 và 2, chọn x1,
x2 làm các ẩn cơ sở
- §4. Hệ phương trình tuyến tính thuần
nhất (homogeneous)
1. ðịnh nghĩa
Hệ phương trình tuyến tính ñược gọi là thuần
nhất nếu tất cả hệ số tự do bằng 0. Hệ có
dạng:
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = 0
a x
21 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n = 0
... ... ... ... ... ... ... ... ...
a m1 x1 + a m2 x 2 + … + a mn xn = 0
- §4. Hệ phương trình tuyến tính thuần
nhất (homogeneous)
2. Nghiệm của hệ thuần nhất
Hệ thuần nhất chỉ có hai khả năng:
i. Hệ có duy nhất 1 nghiệm là (0,0,..,0) ñược
gọi là nghiệm tầm thường.
ii. Hệ có vô số nghiệm.
3. Giải hệ thuần nhất
Sử dụng phương pháp Gauss, nhưng thay vì
biến ñổi ma trận A = ( A, B) ta chỉ cần biến ñổi
ma trận A.
- §4. Hệ phương trình tuyến tính thuần
nhất
3. Giải hệ thuần nhất
Ví dụ
x1 + 2 x2 + 4 x3 − 3x4 = 0
3x + 5 x2 + − = 0
( I ) = 1
6 x3 4 x4
4 x1 + 5 x2 − 2 x3 + 3x4 = 0
3 x1 + 8 x2 + 24 x3 − 19 x4 = 0
Tại dòng 1 và 2, chọn x1,
x2 làm các ẩn cơ sở
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
