Dự thảo tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Bài toán xấp xỉ và phương trình động học trên thang thời gian

Chia sẻ: Acacia2510 _Acacia2510 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

28
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của luận án này là nghiên cứu giải tích trên thời gian theo quan điểm mới. Đó không chỉ là một sự thống nhất, mà còn theo quan điểm của lý thuyết xấp xỉ. Một cách chính xác hơn, chúng ta muốn xem xét khoảng cách giữa các nghiệm của cùng một phương trình động lực trên các thang thời gian khác nhau hay nghiên cứu sự phụ thuộc liên tục của một số đặc trưng của phương trình động lực như phổ, miền ổn định, bán kính ổn định vào cả hệ số và thang thời gian.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Dự thảo tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Bài toán xấp xỉ và phương trình động học trên thang thời gian

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THU HÀ BÀI TOÁN XẤP XỈ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG HỌC TRÊN THANG THỜI GIAN Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 62 46 01 03 DỰ THẢO TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2017
Công trình này được hoàn thành tại: Bộ môn Toán Sinh thái - Môi trường, Khoa Toán Cơ Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: Prof. Dr. Nguyen Huu Du Phản biện 1: .......................................... Phản biện 2: .......................................... Phản biện 3: .......................................... Luận án được bảo vệ tại Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội Vào họi ..........giờ,................................. Luận án được công khai tại: - Trung tâm Thông tin-Thư viện, Đại học Quốc Gia Hà Nội. - Thư viện trường Đại học Khoa học Tự nhiên. 2
Mở đầu Lý thuyết về phương trình vi phân thường là một hệ thống lý thuyết khổng lồ, thiên về tính học thuật nhưng lại đi sâu vào các vấn đề thực tiễn. Vì vậy, việc nghiên cứu định tính và tính chất định tính của phương trình vi phân thường quan trọng trong cả lý thuyết lẫn thực hành. Đối với các tính chất định tính, dáng điệu tiệm cận của nghiệm như sự ổn định, tính bền vững, hỗn loạn ... được rất nhiều nhà khoa học quan tâm. Các công cụ chính trong nghiên cứu sự ổn định là hàm Lyapunov, số mũ Lyapunov hoặc phân tích phổ của ma trận. Với các phân tích định lượng, ta có các phương pháp giải số để tìm ra nghiệm xấp xỉ của phương trình vì hầu hết các phương trình vi phân thường không thể giải ra nghiệm cụ thể. Trong đó, các phương pháp Euler thường được sử dụng nhiều nhất vì nó đơn giản và hữu ích. Bên cạnh đó, lý thuyết về các phương trình sai phân có một quá trình phát triển lâu dài. Phương trình sai phân có thể xác định các hệ động lực đơn giản nhất, mặc dù vậy, chúng đóng một vai trò quan trọng trong nghiên cứu các hệ động lực. Các phương trình sai phân nảy sinh một cách tự nhiên khi chúng ta muốn nghiên cứu các mô hình toán học mô tả cuộc sống thực tế trên những mốc thời gian cố định. Chúng cũng được dùng để minh họa sự rời rạc hóa một hệ với thời gian liên tục trong quá trình tính toán. Mặt khác, trong những năm gần đây, lý thuyết về thang thời gian, với cái tên “Giải tích trên thang thời gian”, được tác giả Stefan Hilger giới thiệu trong luận án tiến sĩ của mình (dưới sự hướng dẫn của Bernd Aulbach) nhằm thống nhất cách trình bày của giải tích với thời gian rời rạc và liên tục. Ngay từ khi lý thuyết này ra đời, nó đã nhận được rất nhiều sự quan tâm. Cho đến nay, có rất nhiều sách và bài báo viết về giải tích trên thang thời gian. Nhiều kết quả quen thuộc liên quan đến lý thuyết định tính như lý thuyết ổn định, dao động, bài toán về giá trị biên trong trường hợp thời gian liên tục và rời rạc đã được "chuyển" và "tổng quát hóa" cho thang thời gian. Một trong những vấn đề quan trọng nhất của giải tích trên thang thời gian là 1
nghiên cứu phương trình động lực. Nhiều kết quả liên quan đến phương trình vi phân được chuyển sang thành các kết quả tương ứng khá dễ cho phương trình sai phân, trong khi đó có một số kết quả khác trên phương trình sai phân lại khác hoàn toàn với trường hợp thời gian liên tục và ngược lại. Nghiên cứu phương trình động lực trên thang thời gian cho một phối cảnh chung và sự khám phá tốt hơn về sự không nhất quán giữa các phương trình vi phân và phương trình sai phân. Hơn nữa, nó giúp chúng ta tránh khỏi phải chứng minh hai lần cho cùng một kết quả, một cho phương trình vi phân và một cho phương sai phân. Tuy nhiên nghiên cứu phương trình động lực trên thang thời gian sẽ cho ta các kết quả tổng quát hơn vì có rất nhiều thang thời gian với cấu trúc phức tạp hơn hai thang thời gian trên. Mục tiêu của luận án này là nghiên cứu giải tích trên thời gian theo quan điểm mới. Đó không chỉ là một sự thống nhất, mà còn theo quan điểm của lý thuyết xấp xỉ. Một cách chính xác hơn, chúng ta muốn xem xét khoảng cách giữa các nghiệm của cùng một phương trình động lực trên các thang thời gian khác nhau hay nghiên cứu sự phụ thuộc liên tục của một số đặc trưng của phương trình động lực như phổ, miền ổn định, bán kính ổn định vào cả hệ số và thang thời gian. Nội dung của luận án gồm hai chủ đề chính như sau: 1. Sự xấp xỉ của nghiệm Ta bắt đầu bằng cách phân tích phương pháp Euler để giải bài toán giá trị ban đầu (IVP) x(t) ˙ = f (t, x(t)), x(t0 ) = x0 . (0.1) Theo giải tích số, xấp xỉ của nghiệm x(t) của phương trình (0.1) sẽ thực hiện tại một số giá trị khác nhau trên khoảng thời gian [t0 , T ], gọi là điểm lưới. Với mỗi n ∈ N, ta xét một phân hoạch của đoạn [t0 , T ] bao gồm các điểm lưới sau (n) (n) (n) (n) t0 = t0 < t1 < · · · < tkn −1 < tkn := T, kn ∈ N. (0.2) Dựa vào các điểm lưới trong phân hoạch trên, ta xây dựng phương trình sai phân (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) x0 = x0 , xi+1 = xi + (ti+1 − ti )f (ti , xi ), i = 0, . . . , kn − 1. (0.3) (n) (n) Khi đó , dãy các điểm (tk , xk ), k = 1, 2, ..., kn cho ta giá trị gần đúng của (n) (n) các điểm (tk , x(tk )), k = 1, 2, ..., kn trên đường cong nghiệm xuất phát từ 2
x0 tại thời điểm t0 . Bài toán của chúng ta đặt ra là đưa ra điều kiện cho hàm f và phân hoạch đoạn [0, T ] để có được (n) (n) sup |xk − x(tk )| → 0 khi n → ∞. (0.4) k Phương pháp Euler là khá đơn giản và dễ thực hiện. Tuy nhiên, nó có nhược điểm là tích lũy sai số trong các quá trình tính toán và lược đồ Euler cũng có thể không ổn định, đặc biệt đối với phương trình dạng phức tạp. Vì vậy, người ta đề cập đến phương pháp Euler thứ hai, gọi là phương pháp Euler ẩn. Trong phương pháp này, chúng ta xét phương trình (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) x0 = x0 , xi+1 = xi + (ti+1 − ti )f (ti+1 , xi+1 ), i = 0, ..., kn − 1. (0.5) (n) Phương pháp này khác với phương pháp Euler hiện ở chỗ giá trị xấp xỉ xi+1 xuất hiện trong cả hai vế của phương trình (0.5) do đó ta cần giải một phương trình hàm ẩn x = y + hf (t, x), (0.6) với t, h và y đã biết và x chưa biết. Ta có thể giải số nghiệm x của (0.6) bằng phương pháp lặp xk+1 = y + hf (t, xk ), k = 0, 1, ... Theo nguyên lý điểm bất động, nếu h đủ nhỏ và hàm f thỏa mãn điều kiện Lipschitz thì xk → x, với x là nghiệm của (0.6). Rõ ràng phương pháp Euler ẩn yêu cầu tính toán nhiều hơn và có thể khó thực hiện hơn. Tuy nhiên phương pháp này được sử dụng hiều hơn vì nó giải quyết được nhiều vấn đề phát sinh trong thực tiễn và có thể đạt được tốc độ hội tụ cao hơn. Bây giờ ta nhìn nhận các phương pháp xấp xỉ Euler ở trên theo quan điểm mới. Theo ngôn ngữ thang thời gian, việc tính các giá trị xấp xỉ theo phương trình (0.3) chính là ta đang nghiên cứu nghiệm của phương trình động lực x∆ (t) = f (t, x(t)) trên thang thời gian Tn được mô tả bởi (0.2). Một cách tương tự, phương trình (0.5) cũng chính là x∇ (t) = f (t, x(t)) trên Tn . Khi bước lưới của phương pháp Euler dần tới 0, dãy thang thời gian Tn hội tụ tới T theo nghĩa nào đó và sự hội tụ của phương pháp Euler nghĩa là sự hội tụ của dãy nghiệm x(·)(n) của các phương trình (0.3) hoặc phương trình (0.5) trên thang thời gian Tn đến nghiệm của phương trình (0.1) trên thang thời gian T. 3
Do đó, trong phần đầu của luận án, chúng tôi đưa ra ý tưởng đặt bài toán xấp xỉ trong trường hợp tổng quát: Cho thang thời gian T và {Tn }∞ n=1 là dãy thang thời gian hội tụ tới T. Ta xét phương trình x∆ (t) = f (t, x(t)), x(t0 ) = x0 , (0.7) hoặc x∇ (t) = f (t, x(t)), x(t0 ) = x0 , (0.9) ở đó t ∈ T hoặc t ∈ Tn . Khi đó, câu hỏi đặt ra là liệu ta có thể đặt các điều kiện để có được xn (t) → x(t) as n → ∞. (0.8) Hơn nữa chúng ta cố gắng đánh giá được tốc độ hội tụ của dãy nghiệm này. 2. Sự phụ thuộc liên tục của phổ và bán kính ổn định Chủ đề thứ hai được đề cập trong luận án này là xem xét sự phụ thuộc dữ liệu của phổ và bán kính ổn định của hệ động lực ẩn AX 0 (t) − BX(t) = 0, (0.11) với A và B là các ma trận hằng (xem [23, 46]). Theo [23] và [57], việc xét đến chỉ số của cặp ma trận {A, B} là cần thiết nhưng khi đó bài toán trở nên phức tạp hơn vì cấu trúc nghiệm của phương trình DAEs phụ thuộc mạnh vào chỉ số của {A, B}. Mặt khác, khi tìm hiểu về lý thuyết phổ, ta biết rằng tính ổn định mũ đều của hệ có liên hệ với phổ σ(A, B) của cặp ma trận {A, B}. Sự thay đổi chỉ số của cặp ma trận gây ra thay đổi rõ rệt đối với phổ σ(A, B) và khi đó tính liên tục của phổ cũng không còn. Do đó, câu hỏi đặt ra là khi nào thì phổ σ(A, B) phụ thuộc liên tục theo {A, B}. Bài toán này được giải quyết có ý nghĩa quan trọng trong cả lý thuyết lẫn thực hành. Từ đó, ta đi đến bài toán sau đây trên thang thời gian Bài toán: Xét một họ phương trình động lực tuyến tính trên thang thời gian T An x∆n (t) = Bn x(t), (0.12) ở đó các hệ số An , Bn ∈ Cm×m . Nếu với mọi n ∈ N hệ (0.12) là ổn định mũ và limn→∞ (An , Bn ) = (A, B) thì điều kiện nào sẽ đảm bảo cho hệ Ax∆n (t) = Bx(t) là ổn định mũ trên thang thời gian T. Song song với đó, chúng ta có một bài toán tương tự cho bán kính ổn định của phương trình động ẩn. Ta đã biết, nếu nghiệm tầm thường x ≡ 0 của hệ 4
vi phân tuyến tính x0 = Bx (tương ứng với hệ sai phân xn+1 = Bxn ) là ổn định mũ, thì với nhiễu nhỏ Σ, hệ x0 = (B + DΣE)x (0.13) hay hệ xn+1 = (B + DΣE)xn , (0.14) vẫn ổn định mũ. Ở đó Σ là ma trận nhiễu chưa biết và D, E là các ma trận xác định cấu trúc nhiễu đã biết. Câu hỏi đặt ra ở đây là nhiễu Sigma có thể lớn tới mức nào để (0.13) vẫn giữ được tính ổn định. Ngưỡng xác định sự ổn định và không ổn định của hệ được gọi là bán kính ổn định. Nó được định nghĩa là giá trị nhỏ nhất của nhiễu phức hoặc thực làm mất tính ổn định phương trình. Khái niệm về bán kính ổn định được đưa ra bởi D. Hinrichsen và AJ Pritchard [48] vào năm 1986 cho phương trình vi phân x0 = Bx. Kể từ đó, vấn đề này nhận được rất nhiều sự quan tâm của các nhà toán học trên thế giới. Trong [40], các tác giả đã xét bán kính ổn định của hệ động lực ẩn (0.11) chịu nhiễu cấu trúc có dạng ˜ B] [A, ˜ = [A, B] + DΣE = [A + DΣE1 , B + DΣE2 ], (0.20) where D ∈ Cm×l , E1 , E2 ∈ Kq×m , E = [E1 , E2 ], ma trận nhiễu Σ ∈ Cl×q . e ∆ (t) = Bx(t), Với nhiễu này , hệ (0.11) trở thành Ax e và các tác giả đã đưa ra công thức bán kính ổn định của hệ (0.11) như sau −1 r(A, B; D, E; T) = sup kG(λ)k , (0.22) λ∈UTc ở đó G(λ) = (λE 1 − E 2 )(λA − B)−1 D. Ta nhấn mạnh rằng nhiễu dạng (0.20) tác động vào cả hai vế của phương trình (0.11) và sự tác động của nhiễu vào vế trái của (0.11) là rất nhạy cảm vì nó có thể làm cho chỉ số của hệ có thể thay đổi. Mặt khác, các tác giả Du-Lien-Linh lần đầu tiên trong [37]; Du-Linh [33] và Du-Linh [36] đã nghiên cứu sự phụ thuộc liên tục của bán kính ổn định theo của tham số bé. Và họ đã đạt được kết quả như sau: Nếu r(E + εF, A; B, C) là bán kính ổn định của (E + εF )x0 = (A + BΣC)x, 5
thì với một số giả thiết nào đó ta có lim r(E + εF, A; B, C) = min{r(E, A; B, C), r(F22 , A22 ; B2 , C2 )}, ε↓0 A11 A12 F11 F12 với A = ; F = và B = (B1 , B2 )> ; C = (C1 , C2 )> . A21 A22 F21 F22 Để tổng quát kết quả này, trong luận án chúng tôi đề cập đến bài toán sau Bài toán : Cho dãy phương trình động lực An x∆n (t) = Bn x(t), (0.23) ở đó An , Bn ∈ Cm×m , n ∈ N, t ∈ Tn với An , n ∈ N, có thể là suy biến. Chúng ta muốn nghiên cứu cấu trúc của các miền ổn định; đưa ra các điều kiện đảm bảo sự phụ thuộc liên tục của bán kính ổn định của các phương trình động lực ẩn (0.23) khi (An , Bn , Tn ) hội tụ. Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa 1.1.1. Thang thời gian là một tập con đóng tùy ý khác rỗng của tập các số thực R, ký hiệu là T. Ta giả sử xuyên suốt rằng thang thời gian T có một tôpô mà nó được cảm sinh từ tôpô trên tập các số thực R với tôpô tiêu chuẩn. 1.2 Tính khả vi 1.2.1. Hàm liên tục Vì trên T có một tôpô thừa hưởng từ tô pô tiêu chuẩn trên đường thẳng thực, nên ta có các hàm liên tục được định nghĩa một cách tự nhiên như trên R. Tuy nhiên, trên thang thời gian có một số loại điểm đặc thù, nên ta cũng 6
có thêm một số khái niệm sau liên quan đến tính liên tục của hàm số trên thang thời gian. Định nghĩa 1.2.1. 1. Một hàm f : T −→ R gọi là chính quy nếu tồn tại giới hạn bên phải (hữu hạn) tại tất cả các điểm trù mật phải trong T và tồn tại giới hạn bên trái (hữu hạn) tại tất cả các điểm trù mật trái trong T. 2. Một hàm f : T −→ R gọi là rd-liên tục nếu nó liên tục tại các điểm trù mật phải và giới hạn bên trái là tồn tại (hữu hạn) tại các điểm trù mật trái trong T. 1.2.2. Delta và Nabla đạo hàm Định nghĩa 1.2.2 (Delta đạo hàm). Xét hàm số f : T −→ R. ∆−đạo hàm (còn gọi là đạo hàm Hilger) của f tại t ∈ Tk là một số (nếu nó tồn tại), ký hiệu f ∆ (t), nếu với mọi ε > 0 cho trước tồn tại lân cận U của t sao cho |[f (σ(t)) − f (s)] − f ∆ (t)[σ(t) − s]| 6 ε|σ(t) − s|, với mọi s ∈ U. Hàm f được gọi là ∆−khả vi (khả vi) trên Tk nếu f ∆ (t) tồn tại với mọi t ∈ Tk . Một khái niệm tương tự với Delta-đạo hàm là nabla đạo hàm. Nó được khái quát của phương trình sai phân lùi xn − xn−1 = f (n, xn ). Định nghĩa 1.2.3 (Nabla đạo hàm). Hàm số f : T → Rd được gọi là nabla khả vi tại t nếu tồn tại một vecto f ∇ (t) sao cho với mọi ε > 0 kf (ρ(t)) − f (s) − f ∇ (t)(ρ(t) − s)k 6 ε|ρ(t) − s| với mọi s ∈ U và một lân cận U nào đó của t. Khi đó f ∇ (t) được gọi là nabla đạo hàm của f tại t. 1.3 Tích phân Delta và tích phân Nabla Giả sử các độ đo Lebesgue m∆ và m∇ là các độ đo Lebesgue trên thang thời gian T ứng với thác triển Carathéodory của hàm tập xác định trên họ tất cả các tập hợp có dạng [a, b) (hoặc (a, b]). Khi đó, tích phân Lebesgue liên 7
kết với các độ đo m∆ và m∇ trên T gọi là ∆ -tích phân Lebesgue và ∇ -tích phân Lebesgue tương ứng với T. Trong các định lý sau, ta giới thiệu một số tính chất của tích phân trên thang thời gian. Mối liên hệ giữa tích phân trên thang thời gian và tích phân Lebesgue trên đường thẳng thực được chỉ ra trong định lý sau Định lý 1.3.1 (Xem [22]). Nếu f là hàm chính quy, ta có Z b Z X f (t)∆t = f (t)mes(dt) + f(t)(σ(t) − t), a [a,b]T a6t
1.5 Tính ổn định mũ của phương trình động lực trên thang thời gian 1.5.1. Khái niệm tính ổn định mũ Xét bài toán Cauchy của phương trình động lực có dạng x∆ = f (t, x), x(t0 ) = x0 ∈ Rm , t ∈ T, (1.18) với f : T × Rm → Rm là rd-liên tục. Giả sử f (t, 0) = 0, khi đó ta có phương trình trên có nghiệm tầm thường x ≡ 0. Định nghĩa 1.5.1 ([25]). Nghiệm x ≡ 0 của phương trình (1.18) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại các hằng số dương δ, α với −α ∈ R+ sao cho với mỗi t0 ∈ Tτ , tồn tại N = N (t0 ) > 1 để nghiệm của (1.18) với điều kiện đầu x(t0 ) = x0 thỏa mãn kx(t; t0 , x0 )k 6 N kx0 ke−α (t, t0 ), với mọi t > t0 , t ∈ Tτ và kx0 | < δ. Nếu hằng số N có thể chọn không phụ thuộc vào t0 ∈ Tτ thì nghiệm x ≡ 0 của (1.18) gọi là ổn định mũ đều. 1.5.2. Sự ổn định mũ của phương trình động lực tuyến tính hệ số hằng Tiếp theo ta xét điều kiện ổn định mũ của phương trình x∆ = Ax, (1.20) ở đó A ∈ Km×m . Ký hiệu σ(A) là tập các giá trị riêng của ma tận A, gọi là phổ của A. Xét tập hợp UT := {λ ∈ C : x∆ = λx là ổn định mũ đều}. Tập UT được gọi là miền ổn định mũ đều của thang thời gian T. Định lý 1.5.3 ([61]). Phương trình tuyến tính (1.20) là ổn định mũ đều khi và chỉ khi σ(A) ⊂ UT. 1.6 Haussdorf distance Áp dụng khái niệm khoảng cách Hausdorff giữa hai tập (trong không gian metric) trong thang thời gian với hàm hạt bị chặn, ta đưa ra định nghĩa khoảng cách Hausdorff trên họ các thang thời gian. Cố định t0 ∈ R. Đặt T = T(t0 ) là tập tất cả các thang thời gian với hàm hạt bị chặn sao cho t0 ∈ T với mọi T ∈ T. Trên T, ta xây dựng khoảng cách 9
Hausdorff , đó là khoảng cách Hausdorff giữa hai thang thời gian T1 và T2 xác định bởi dH (T1 , T2 ) := max{ sup d(t1 , T2 ), sup d(t2 , T1 )}, t1 ∈T1 t2 ∈T2 d(t1 , T2 ) = inf |t1 − t2 | và d(t2 , T1 ) = inf |t2 − t1 |. t2 ∈T2 t1 ∈T1 Trong trường hợp tổng quát, mặc dù thang thời gian là không compact, tuy nhiên, do tính bị chặn của hàm hạt ta thấy rằng dH (T1 , T2 ) = 0 thì T1 = T2 . Do đó giới hạn của dãy thang thời gian là tồn tại duy nhất. Chương 2 Sự hội tụ của nghiệm của phương trình động lực trên thang thời gian Mục đích của chương này là nghiên cứu xấp xỉ của dãy nghiệm của phương trình x∆ (t) = f (t, x) trên dãy thang thời gian Tn khi Tn dần đến T theo khoảng cách Hausdorff. Ngoài ra, ta cũng đề cập đến bài toán này cho phương trình động lực ∇. 2.1 Phương trình động lực trên thang thời gian Ta phác họa ý tưởng chính của phương pháp Euler. Để giải số nghiệm của phương trình ( x(t) ˙ = f (t, x(t)), (2.2) x(t0 ) = x0 , ta xét dãy một dãy các l phân hoạch đoạn [t0 , T ] gồm các điểm (n) (n) (n) (n) t0 = t0 < t1 < · · · < tkn −1 < tkn := T, kn ∈ N. (2.3) 10
Trên cơ sở các điểm lưới trong phân hoạch (2.3), ta ta xây dựng phương trình sai phân (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) x0 = x0 , xi+1 = xi + (ti+1 − ti )f (ti , xi ), i = 0, 1, . . . , kn − 1. (2.4) Theo ngôn ngữ của thang thời gian, phương trình (2.4) có thể được viết thành phương trình động lực x∆ (t) = f (t, x(t)), x(t0 ) = x0 , t ∈ Tn , trong đó Tn được mô tả bởi (2.3). Một cách tương tự, sử dụng phương pháp Euler ẩn để tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình (2.2) ta được phương trình động lực x∇ (t) = f (t, x(t)) trên Tn . Khi bước lưới của phương pháp Euler dần đến 0; dãy thang thời gian Tn dần tới T theo nghĩa nào đó và sự hội tụ (n) của phương pháp Euler chính là sự hội tụ của dãy nghiệm x(·) của phương trình (2.2) trên thang thời gian Tn . Theo quan điểm của lý luận trên, chúng ta sẽ đề cập đến bài toán trong ngữ cảnh tổng quát hơn: Cố định t0 ∈ R. Ký hiệu T = T(t0 ) là tập tất cả các thang thời gian có hàm hạt bị chặn và chứa t0 . Cho T, {Tn }n∈N ⊂ T là dãy các thang thời gian thỏa mãn limn→∞ Tn = T, theo khoảng cách Hausdorff. Xét thang thời gian b = ∪n∈N Tn ∪ T. T (2.5) b × Rd → Rd . Giả sử rằng với mọi n ∈ N∗ phương trình Cho hàm số f : T x♦ n (t) = f (t, xn (t)), t ∈ Tn , xn (t0 ) = x0 , (2.6) hoặc x♦ (t) = f (t, x(t)), t ∈ T, x(t0 ) = x0 , (2.7) tồn tại duy nhất nghiệm xn (t) xác định trên Tn (x(t) xác định trên T). Ở đó x♦ (t) là ∆ hoặc ∇ đạo hàm của x(t). Ta muốn đặt ra điều kiện cho hàm f và thang thời gian Tn để có được lim |x(t) − xn (t)| = 0 (2.8) n→∞ với giá trị t nào đó. 11
2.2 Sự hội tụ của nghiệm của phương trình động lực delta trên thang thời gian 2.2.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm Cho thang thời gian T và t0 ∈ T. Xét phương trình x∆ = f (t, x), (2.9) trên thang thời gian T với điều kiện đầu x(t0 ) = x0 , ở đó f : T × Rm → Rm là rd-liên tục. Định lý 2.2.1 (Tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục, xem [12]). Cho f : T × Rm −→ Rm là rd-liên tục và thảo mãn điều kiện Lipschitz toàn cục theo biến x. Khi đó, bài toán giá trị ban đầu (2.9) có duy nhất nghiệm xác định trên [t0 , T ]. 2.2.2. Sự hội tụ của nghiệm Xét phương trình (2.9). Giả sử rằng f là liên tục trên Tb và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến x. Với các giả thiết trên, bài toán giá trị ban đầu x∆ n (t) = f (t, xn (t)), t ∈ Tn , xn (t0 ) = x0 , (2.16) với n ∈ N∗ và x∆ (t) = f (t, x(t)), t ∈ T, x(t0 ) = x0 , (2.17) có duy nhất nghiệm xn (t) xác định trên Tn (tương ứng với nghiệm x(t) xác định trên T). Vì f là liên tục, nên các nghiệm này tương ứng thỏa mãn các phương trình tích phân Z t Z t xn (t) = x0 + f (s, xn (s))∆n s x(t) = x0 + f (s, x(s))∆s. t0 t0 Kết quả đầu tiên của luận án là chứng minh tính bị chặn đều của nghiệm của bài toán giá trị ban đầu (2.16) và (2.17) trên những thang thời gian khác nhau. Nhằm mục đích thống nhất các tích phân trên các thang thời gian khác nhau, ta định nghĩa "phép chiếu" từ thang thời gian T lên Tn theo cách như sau: với mỗi t ∈ T, tồn tại duy nhất γ T,Tn (t) ∈ Tn và t∗n (t) ∈ Tn sao cho γ T,Tn (t) = max{s ∈ Tn : s 6 t}, |t − t∗n | = d(t, Tn ). 12
Khi đó với giả thiết Tn ⊂ T, kết hợp với tính chất của tích phân trên thang thời gian ta có Z t Z t Z t T,Tn T,Tn f (s, x(s))∆n s = f (γ (s), x(γ (s)))∆s := fn (s, x en (s))∆s. t0 t0 t0 Để xét sự hội tụ của dãy nghiệm {xn (t)}∞ n=1 của (2.16) khi Tn dần đến T, trước hết ta cần bổ đề sau. Bổ đề 2.2.3. Cho xn (t), n = 1, 2, . . . là nghiệm của phương trình IVPs (2.16) và x(t) là nghiệm của phương trình IVP (2.17). Giả sử Tn ⊂ T. Khi đó, (n) kx(t) − xn (t)k 6 δT ek (Tn ; t, t0 ), với t ∈ Tn : t0 6 t 6 T, (2.21) (n) kx(t)−xn (t∗n )k 6 δT +1 ek (Tn ; t∗n , t0 )+M dH (T, Tn ), với t ∈ T : t0 6 t 6 T, (2.22) trong đó, Z t (n) δt = kf (s, x(s)) − fn (s, x en (s))k∆s. (2.23) t0 (n) Trong bổ đề sau, ta đánh giá được sự hội tụ của δT khi n dần ra ∞. Bổ đề 2.2.4. Giả sử Tn ⊂ T. Với mỗi ε > 0 và T ∈ T, tồn tại θ = θ(ε, T ) sao cho nếu dH (T, Tn ) < θ thì (n) 2M (T − t0 ) δT 6 (T − t0 )ε + dH (T, Tn ), θ (n) với δT được xác định bởi công thức (2.23). Với các kết quả trên ta nghiên cứu được sự hội tụ của dãy nghiệm như sau. Định lý 2.2.5. Cho dãy thang thời gian {Tn }∞ n=1 thỏa mãn limn→∞ Tn = T, xn (t), n = 1, 2, . . . là nghiệm của IVPs (2.16) và x(t) là nghiệm phương trình IVP (2.17). Khi đó, với mọi T > t0 ta có lim sup kx(t) − xn (t∗n )k = 0. (2.24) n→∞ t∈T∩[t ,T ] 0 Để ước lượng tốc đọ hội tụ của nghiệm của IVPs (2.16) trên Tn khi n → ∞, ta cần thêm một số giả thiết cho hàm f . Giả sử f (t, x) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo cả hai biến t và x. Khi đó, ta nhận được các kết quả sau về tốc độ hội tụ của dãy nghiệm 13
Định lý 2.2.7. Giả sử f (t, x) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo cả hai biến t, x và xn (t), n = 1, 2, . . . là nghiệm của IVPs (2.16); x(t) là nghiệm của IVP (2.17). Nếu t ∈ T : t0 6 t < T thì kx(t) − xn (t∗n )k 6 C1 dH (T, Tn ), (2.29) với C1 = 2k(2T + 1 − 2t0 )(M + 1)ek(T +1−t0 ) + M .Hơn nữa, nếu t ∈ T ∩ Tn : t0 6 t < T thì kx(t) − xn (t)k 6 C2 dH (T, Tn ), với C2 = 4k(T − t0 )(M + 1)ek(T −t0 ) . 2.2.3. Ví dụ Ví dụ 2.2.1. Cho T = [0, ∞). Ta xét mô hình quần thể cây trồng. Gọi x(t) là số cây của một loài tại thời điểm t ∈ T ở một vùng xác định. Bằng thực nghiệm, ta biết rằng x(t) tăng trưởng theo phương trình logistic. x∆ (t) = 5(1 + cos x(t)), t ∈ T and x(0) = 0. (2.34) Giả sử rằng ta không thể có được giá trị x(t) nhưng có được xn (t) với xn (t) là số cây của một loài tại thời điểm t ∈ Tn ở một vùng xác định, theo phương trình x∆ n (t) = 5(1 + cos(xn (t)), xn (0) = 1, t ∈ Tn , n ∈ N, (2.35) ∞ h i 2k−1 2k S với Tn = {0} ∪ n , n for all n ∈ N. Trên T,ta có k=1 x(t) = 2 arctan(5t), t ∈ T. Trên Tn thì xn (0) = 0 2k + 1 2k 5 2k xn = xn + 1 + cos x , n n n n 2k − 1 h 2k − 1 2k i xn (t) = 2 arctan 5 t − + Ckn , ∀ t ∈ , , k ∈ N∗ . n n n 14
3 3 2.5 2.5 2 2 x(t) x(t) 1.5 1.5 1 1 the graph of soluions to x(t) on [0,1] the graph of soluions to x(t) on [0,1] 0.5 xn((i+1)/n) 0.5 xn((i+1)/n) the graph of soluions to xn(t) when n=20 the graph of soluions to xn(t) when n=20 values of Euler method values of Euler method 0 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 t t (a) xn (t) and x(t) with n = 10 on the interval [0, 1] in Example 2.2.1 (b) xn (t) and x(t) with n = 20 on the interval [0, 1] in Example 2.2.1 Hình 2.1: Đồ thị của nghiệm xn (t) trên thang thời gian Tn 2.3 Sự hội tụ của nghiệm của phương trình động lực nabla trên thang thời gian 2.3.1. Hàm mũ nabla Định nghĩa 2.3.3. Cho p(·) là ld-liên tục và ν−hồi quy, ta định nghĩa hàm mũ nabla như sau Zt Zt − Ln(1 − hp(s)) ebp (t, t0 ) = exp ξbν(s) (p(s)) ∇s = exp lim ∇s , h→ν(s) h t0 t0 (2.38) với t, t0 ∈ T. 2.3.2. Phương trình động lực nabla trên thang thời gian Cho thang thời gian T và hàm số f : T × Rd → Rd . Xét phương trình động lực x∇ (t) = f (t, x), (2.42) với điều kiện đầu x(t0 ) = x0 . Giả sử f là ld-liên tục trên T và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến x, nghĩa là tồn tại hằng số k > 0, k là hồi quy dương, sao cho kf (t, x) − f (t, y)k 6 kkx − yk, với mọil t ∈ T : t0 6 t 6 T và x, y ∈ Rd . (2.43) 15
Chú ý 2.3.4. Điều kiện này tương tự với điều kiện Lipschitz của phương trình động lực delta. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta đòi hỏi hằng số Lipschitz k phải là hồi quy dương. Theo cách tương tự như mục 2.1 ta có thể chỉ ra rằng phương trình (2.42) với điều kiện đầu x(t0 ) = x0 có nghiệm duy nhất xác định trên [t0 , T ]. 2.3.3. Sự hội tụ của mghiệm của phương trình động lực nabla Cho {Tn }n∈N là dãy thang thời gian thỏa mãn limn→∞ Tn = T, theo khoảng cách Hausdorff và t0 ∈ Tn với mọi n ∈ N. Ta cũng định nghĩa b = ∪n∈N Tn ∪ T. T Giả sử f (t, x) liên tục theo (t, x) và thỏa mãn điều kiện Lipschitz trên [t0 , T ]Tb × Rd . Với các giả thiết trên, bài toán (IVPs) x∇ n (t) = f (t, xn (t)), t ∈ Tn , xn (t0 ) = x0 , n = 1, 2, . . . (2.44) và x∇ (t) = f (t, x(t)), t ∈ T, x(t0 ) = x0 , (2.45) có duy nhất nghiệm xn (t) xác định trên Tn (tương ứng với x(t) xác định trên T). Khi đó ta có Z t xn (t) = x0 + f (s, xn (s))∇n s (2.46) t0 và, Z t x(t) = x0 + f (s, x(s))∇s. (2.47) t0 Định lý 2.3.6. Cho dãy thang thời gian {Tn }∞ n=1 thỏa mãn limn→∞ Tn = T. Gọi xn (t), n = 1, 2, . . . là nghiệm của phương trình IVPs (2.42) trên Tn và x(t) là nghiệm của IVPs (2.42) trên T. Khi đó, với mọi T > t0 ta có lim sup kx(t) − xn (t∗n )k = 0. n→∞ t∈T;t0 6t6T Định lý sau đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm Định lý 2.3.8. Giả sử rằng giả thiết (2.43) được thỏa mãn. Gọi xn (t), n = 1, 2, . . . là nghiệm của phương trình IVPs (2.42) trên Tn và x(t) là nghiệm của IVP (2.42) trên T. Nếu t ∈ T : t0 6 t < T thì kx(t) − xn (t∗n )k 6 C1 dH (T, Tn ), 16
ở đó C1 = 2k(2T + 1 − 2t0 )(M + 1)eC0 k(T +1−t0 ) + M .Hơn nữa, nếu t ∈ T ∩ Tn : t0 6 t < T thì kx(t) − xn (t)k 6 C2 dH (T, Tn ), ở đó C2 = 4k(T − t0 )(M + 1)eC0 k(T −t0 ) . Chương 2 được hoàn thành dựa trên cơ sở hai bài báo [1] Nguyen Thu Ha, Nguyen Huu Du, Le Cong Loi and Do Duc Thuan, (2015), On the convergence of solution to dynamic equation on time scales, Qual. Theory Dyn. Syst., 15(2016), no. 2, 453–469. [2] Nguyen Thu Ha, Nguyen Huu Du, Le Cong Loi and Do Duc Thuan, (2015), On the convergence of solution to nabla dynamic equation on time scales, Dynam. Systems Appl., 24(2015), no. 4, 451–465. Chương 3 Sự phụ thuộc dữ liệu của phương trình động lực ẩn trên thang thời gian Trong chương này, ta nghiên cứu sự phụ thuộc dữ liệu của một số đặc trưng của hệ động lực ẩn có dạng Ax∆ (t) = Bx(t), t∈T (3.1) theo cả hệ số {A, B} và thang thời gian T. Ta đạt được các kết quả chính như sau: +) Thiết lập được mối iên hệ giữa các miền ổn định tương ứng với sự hội tụ của dãy thang thời gian +) Phân tích được sự phụ thuộc liên tục của phổ của cặp ma trận và tính ổn định mũ của phương trình (3.1) theo cả hệ số và thang thời gian. 17
+) Nghiên cứu sự hội tụ của bán kính ổn định của phương trình trên với nhiễu có cấu trúc khi cả hệ số và thang thời gian hội tụ. 3.1 Miền ổn định mũ đều cảu các thang thời gian Trong mục này, ta đề cập đến một số đặc tính của miền ổn định mũ đều ứng với sự hội tụ của dãy thang thời gian. Đây là một sự chuẩn bị để ta xét sự phụ thuộc dữ liệu của tính ổn định mũ và bán kính ổn định của các phương trình động ẩn trong nội dung tiếp theo. 3.1.1. Miền ổn định của thang thời gian Trước hết ta đưa ra tiêu chuẩn đặc trưng cho tính ổn định mũ đều UT. Đặt Z t Z t 1 ln|1 + hλ| L(λ) := lim sup ζλ (µ(τ ))∆τ := lim ∆τ. (3.7) t−s→∞ t − s s s h&µ(τ ) h Khi đó ta có mối liên hệ giữa L(λ) và giá trị λ ∈ UT được thể hiện trong mệnh đề sau. Mệnh đề 3.1.2. Cho λ ∈ C, khi đó λ ∈ UT khi và chỉ khi L(λ) < 0. Bổ đề 3.1.4. Cho T ∈ T và λ ∈ C \ R. Khi đó, λ ∈ UT khi và chỉ khi L(λ, T) 6 0. 3.1.2. Sự phụ thuộc của miền ổn định mũ trên thang thời gian Trong mục này chúng ta muốn thiết lập mối quan hệ giữa các miền ổn định đối với một dãy hội tụ các thang thời gian. Xét dãy thang thời gian {Tn }n∈N ⊂ T thỏa mãn: lim Tn = T. Ký hiệu UTn (tương ứng UT) là miền n→∞ ổn định mũ của thang thời gian Tn (tương ứng T). Khi đó, ta nhận được các kết quả như sau về sự phụ thuộc của miền ổn định mũ đều. Mệnh đề 3.1.6. Giả sử lim Tn = T. Khi đó, với mọi λ ∈ UT, tồn tại n→∞ δ > 0 và nλ > 0 sao cho B(λ, δ) ⊂ UT UTn , where B(λ, δ) là một lân T n>nλ cận của λ. Định lý 3.1.7. Nếu lim Tn = T thì n→∞ ∞ \ [ ∞ [ \ UT ⊂ UTm và UTm \ R ⊂ UT \ R. n=1 m>n n=1 m>n 18