Một số phân phối rời rạc quan trọng - 2

Chia sẻ: Le Nhu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

83
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trước hết ta xét một ví dụ sau Ví dụ 3.1. Xét dãy phép thử độc lập G1, G2, … sao cho mỗi phép thử Gi tương ứng với không gian biến cố sơ cấp W = {A, }. Giả sử xác suất xuất hiện biến cố A trong mỗi phép thử bằng p. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số phép thử cần thiết để lần đầu tiên biến cố A xuất hiện. Tìm phân phối xác suất của X. Giải. Biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị 1, 2, 3,…, n,…Ta thấy X = k nếu...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số phân phối rời rạc quan trọng - 2

E(X) = D(X) = Chứng minh. Ta có Từ đó suy ra D(X) = . 3. Phân phối hình học Trước hết ta xét một ví dụ sau Ví dụ 3.1. Xét dãy phép thử độc lập G1, G2, … sao cho mỗi phép thử Gi tương ứng với không gian biến cố sơ cấp W = {A, }. Giả sử xác suất xuất hiện biến cố A trong mỗi phép thử bằng p. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số phép thử cần thiết để lần đầu tiên biến cố A xuất hiện. Tìm phân phối xác suất của X. Giải. Biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị 1, 2, 3,…, n,…Ta thấy X = k nếu trong (k – 1) phép thử đầu tiên, biến cố xuất hiện còn ở phép thử thứ k, biến cố A xuất hiện. Từ đó, phân phối xác suất của X là
P(X = k) = (1- p)k-1p, k = 1, 2,…. Định nghĩa 3.2. Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối hình học tham số p nếu phân phối xác suất của nó có dạng: P(X = k) = (1 – p)k-1p, k = 1, 2,…. Ví dụ 3.3. Bắn liên tiếp, độc lập vào 1 mục tiêu cho tới khi nào trúng mục tiêu thì dừng bắn. Xác suất để mỗi viên đạn trúng mục tiêu là 0,2. Gọi X là số viên đạn cần bắn để lần đầu tiên trúng bia. Tìm phân phối xác suất của X. Giải. Biến ngẫu nhiên X có phân phối hình học với tham số p = 0,2. Từ đó, phân phối xác suất của X là P(X = k) = , k = 1,2,… Định lý 3.4. Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối hình học tham số p thì E(X) = và D(X) = Chứng minh. Đặt q = 1 – p thì
Từ đó suy ra D(X) = . 4. Phân phối siêu bội Trước hết ta xét ví dụ sau Ví dụ 4.1. Một lô sản phẩm gồm N sản phẩm, trong đó có M sản phẩm tốt v à N - M phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra n sản phẩm. Tìm xác suất để trong n sản phẩm lấy ra có đúng k sản phẩm tốt. Giải. Gọi X là số sản phẩm tốt trong n sản phẩm lấy ra. Ta có P( X = k) = , k = 0, 1, 2,...,n Định nghĩa 4.2. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối siêu bội với tham số n, N, M nếu phân phối xác suất của nó có dạng: P(X = k) = = q(N, M, n, k), k = 1, 2,…,n
Định lí 4.3. Nếu n cố định, còn N tăng lên vô hạn và tỉ số tiến tới p (0 < p < 1) thì phân phối siêu bội q(N, M, n, k) tiến tới phân phối nhị thức Pn(k) = khi N ® ¥. Chứng minh. Theo giả thiết . Ta có P(X = k) = = = Định lý 4.4. Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối siêu bội tham số n, N, M thì với E(X) = và D(X) = Chứng minh. Ta có
Do nên với Y là biến ngẫu nhiên có phân phối siêu bội tham số n -1, N – 1, M – 1. Vậy ; và từ đó với =