Tài liệu toán " Hệ phương trình chứa căn bậc 2 "

Chia sẻ: Phạm Hùng Vĩ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

851
lượt xem 244
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'tài liệu toán " hệ phương trình chứa căn bậc 2 "', tài liệu phổ thông phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu toán " Hệ phương trình chứa căn bậc 2 "

CHÖÔNG 4: + Moãi laàn bình phöông 2 veá, caàn ñaët caùc ñieàu kieän: - Ñieàu kieän coù nghóa cuûa caùc caên thöùc PHÖÔNG TRÌNH VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH - Ñieàu kieän veà daáu cuûa 2 veá. CHÖÙA CAÊN THÖÙC. Ñeå bình phöông môùi töông ñöông vôùi phöông trình cho. II. CAÙC VÍ DUÏ. A. PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN BAÄC HAI. Ví duï 1: 1 ⎛ 1⎞ Giaûi phöông trình: 2 − x2 + 2 − = 4 −⎜x + ⎟ I. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ. x2 ⎝ x⎠ (ÑH Ngoaïi Thöông naêm 1996). ⎧a neáu a ≥ 0 1. Nhaéc laïi: a2 = a ; a2 = ⎨ Giaûi ⎩−a neáu a ≤ 0 ⎧2 − x 2 ≥ 0 ⎧− 2 ≤ x ≤ 2 ⎪ ⎧ ⎪− 2 ≤ x ≤ 2 ⎪ . Neáu a ≥ 0 vaø b ≥ 0 , ta coù: a > b ⇔ a2 > b2 Ñieàu kieän: ⎨ 1 ⇔⎨ ⇔⎨ 2 2 2 a = b ⇔ a3 = b3 ⎪2 − 2 ≥ 0 ⎪2x − 1 ≥ 0,x ≠ 0 ⎩ ⎪x ≤ − ∨x≥ . Vôùi moïi a, b ∈ R , ta coù: ⎩ x ⎩ 2 2 a > b ⇔ a3 > b3 2 2 ⇔− 2 ≤x≤− ∨ ≤ x ≤ 2. . Giaû söû a ≥ 0 vaø b ≥ 0 . Ta coù : a + b ≤ a + b ≤ 2(a + b) 2 2 Ñaúng thöùc beân phaûi ñuùng khi vaø chæ khi a = b 2 * − 2 ≤x≤− : thì x < 0 neân ta coù: Ñaúng thöùc beân traùi ñuùng khi vaø chæ khi a = 0 ∨ b = 0 2 2. Daïng cô baûn: 1 ⎛ 1⎞ 2 − x2 + 2 − 2 < 2 + 2 = 2 2 < 4 < 4 − ⎜ x + ⎟ ⎧A ≥ 0(hay B ≥ 0) x ⎝ x⎠ A = B⇔⎨ ⎩A = B ⎡ − 2⎤ ⎧B ≥ 0 ⎪ ⇒ x ∈ ⎢ − 2, ⎥ khoâng laø nghieäm cuûa phöông trình cho. A =B⇔ ⎨ ⎢ ⎣ 2 ⎥⎦ 2 ⎪A = B ⎩ 2 3. Caùc daïng khaùc: * ≤ x ≤ 2 : Bình phöông 2 veá cuûa phöông trình cho: 2 Ñaët ñieàu kieän cho 2u A laø A ≥ 0, naâng caû hai veá leân luõy thöøa töông 2 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ öùng ñeå khöû caên thöùc. 2 − x2 + 2 − 2 + 2 (2 − x 2 ) ⎜ 2 − 2 ⎟ = 16 − 8 ⎜ x + ⎟ + ⎜ x + ⎟ x ⎝ x ⎠ ⎝ x⎠ ⎝ x⎠ ⎧A.B ≥ 0 ⎪ A = B ⇔ ⎨ 2u 2u ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ 2 ⎪A = B ⎩ ⇔ 2 5 − 2 ⎜ x 2 + 2 ⎟ = 12 − 8 ⎜ x + ⎟ + ⎜ x 2 + 2 ⎟ + ⎜ x + ⎟ (*) 2u +1 2u +1 ⎝ x ⎠ ⎝ x⎠ ⎝ x ⎠ ⎝ x⎠ A=B⇔ A =B 1 1 . Ñaët aån duï ñeå ñöa veà phöông trình hay heä phöông trình ñôn giaûn. Ñaët t = x + ⇒ t 2 = x 2 + 2 + 2 . Ñieàu kieän t ≥ 2 x x . Tröôøng hôïp phöông trình ñaõ cho coù nhieàu caên thöùc. + Ta bình phöông 2 veá nhieàu laàn ñeå khöû daáu caên thöùc. (*) ⇔ 2 5 − 2(t 2 − 2) = 12 − 8t + t 2 − 2 + t 2 132 133
⇔ 9 − 2t 2 = t 2 − 4t + 5 (t ≥ 2) ⇔ 9 − 2t 2 = (t − 2)2 + 1 (**) Ví duï 4: Giaûi phöông trình: x 2 = x + 5 + 5 (1) ⎧ 9 − 2t 2 ≤ 1 ⎪ Ta coù: ⎨ (***) Giaûi ⎪(t − 2)2 + 1 ≥ 1 ⎩ ⎧x ≥ −5 Ñaët t = x + 5 ⇒ t 2 = x + 5 Ñieàu kieän ⎨ ⎧9 − 2t 2 = 1 ⎪ 1 ⎩t ≥ 0 (**) vaø (***) ⇒ ⎨ ⇔ t = 2 ⇔ x + = 2 ⇔ x =1 2 ⎪(t − 2) + 1 = 1 ⎩ x ⎧x 2 = t + 5 ⎪ (1) ⇔ ⎨ (heä ñoái xöùng loaïi 2) 2 Thay x = 1 vaøo phöông trình cho thoûa vaäy x = 1 laø nghieäm phöông ⎪t = x + 5 ⎩ trình. ⎧ 2 ⎪x = t + 5 ⎪x 2 = t + 5 ⎧ Ví duï 2: ⇔⎨ ⇔⎨ 2 2 Giaûi phöông trình: (2 − 3)x + (2 + 3)x = 4 x ⎪x − t = t − x ⎩ ⎩(x − t)(x + t + 1) = 0 ⎪ (Hoïc vieän coâng ngheä böu chính vieãn thoâng naêm 1998, ñeà soá 2) ⎪x 2 = t + 5 ⎧ ⎡x2 = x + 5 ⇔⎨ (t ≥ 0) ⇔ ⎢ Giaûi ⎪x = t ∨ t = −x − 1 ⎢ x2 = −x − 1 + 5 ⎩ ⎣ (2 − 3)x + (2 + 3)x = 4 x ⎡ 1 + 21 x ⎛2− 3 ⎞ ⎛2+ 3 ⎞ x ⎡ x 2 − x − 5 = 0 (x ≥ 0) ⎢x = 2 ⇔⎜ ⎜ 4 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎟ ⎜ + ⎟ = 1 (1) ⇔⎢ ⇔⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ x 2 + x − 4 = 0 (x ≤ −1) ⎣ ⎢ −1 − 17 ⎢x = Nhaän xeùt x = 1 laø nghieäm phöông trình (1), ta chöùng minh x = 1 duy ⎣ 2 nhaát. Ví duï 5: 2− 3 2+ 3 x 2 + 4356 + x < 1 vaø < 1 ⇒ Veá traùi laø haøm soá giaûm. Giaûi phöông trình: − x x 2 + 4356 − x 2 = 5 4 4 x Veá phaûi laø haèng soá ⇒ x = 1 laø nghieäm duy nhaát. Ví duï 3: x 2 + 4356 + x Ñaët a = , b = x. x 2 + 4356 − x 2 Giaûi phöông trình: −x 2 + 4x + 2 = 2x x (ÑH Quoác Gia TPHCM Khoái D naêm 1999). x(4356) b = x( x 2 + 4356 − x) = Giaûi 2 x + 4356 + x Ta coù: −x 2 + 4x + 2 = 2x ⇔ −x 2 + 4x = 2x − 2 ⎧ab = 4356 = 66 ⎧a = 11 ⎪ 6 ⇒⎨ ⇒⎨ ⇒x= ⎪2x − 2 ≥ 0 ⎧ ⎧x ≥ 1 ⎪ ⎪a − b ⎩ =5 ⎩ b=6 119 ⇔⎨ 2 2 ⇔⎨ 2 ⎪ − x + 4x = 4x − 8x + 4 ⎩ ⎪5x − 12x + 4 = 0 ⎩ ⎧ x ≥1 ⎪ ⇔⎨ 2 ⎪x = 2 ∨ x = 5 ⇔ x = 2 ⎩ 134 135
HÖÔÙNG DAÃN VAØ GIAÛI TOÙM TAÉT III. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ. 1.1 Giaûi phöông trình: x − 2 + 4 − x = x 2 − 6x + 11 1.1. x − 2 + 4 − x = x 2 − 6x + 11 Veá traùi = 1. x − 2 + 1. 4 − x ≤ 2 (BÑT BCS) 1.2. Giaûi phöông trình: 4x − 1 + 4x 2 − 1 = 1 Veá phaûi = (x 2 − 6x + 9) + 2 = (x − 3)2 + 2 ≥ 2 ⎧ x−2 + 4−x =2 ⎪ 1.3. Giaûi phöông trình: 16 − x + 9 + x = 7 ⇒⎨ ⇔x=3 2 (ÑH Ñaø Laït naêm 1999) ⎪(x − 3) + 2 = 2 ⎩ ⎧4x − 1 ≥ 0 ⎪ 1 1.4. Giaûi phöông trình: (4x − 1) x 2 + 1 = 2x 2 + 2x + 1 1.2. 4x − 1 + 4x 2 − 1 = 1 (*) Ñieàu kieän ⎨ 2 ⇔x≥ ⎪4x − 1 ≥ 0 ⎩ 2 4 1 1.5. Giaûi phöông trình: x − x2 − 1 + x + x2 − 1 = 2 Nhaän xeùt x = laø nghieäm phöông trình (*) 2 1 Ta chöùng minh x = laø nghieäm duy nhaát. 2 Ñaët f(x) = 4x − 1 + 4x 2 − 1 − 1 2 4x 1 f '(x) = + > 0, ∀x > 4x − 1 2 4x − 1 2 ⎡1 ⎞ 1 ⇒ haøm soá f(x) taêng treân ⎢ , +∞ ⎟ vaø coù nghieäm x = ⎣2 ⎠ 2 1 ⇒ x = duy nhaát. 2 ⎧16 − x ≥ 0 1.3. 16 − x + 9 + x = 7 (*). Ñieàu kieän ⎨ ⇔ −9 ≤ x ≤ 16 ⎩9 + x ≥ 0 (*) ⇔ 16 − x + 9 + x + 2 (16 − x)(9 + x) = 49 ⎡x = 0 ⇔ x(x + 7) = 0 ⇔ ⎢ nhaän vì thoûa ñieàu kieän −9 ≤ x ≤ 16 ⎣x = 7 1.4. (4x − 1) x 2 + 1 = 2x 2 + 2x + 1 (1) Ñaët t = x 2 + 1 (t ≥ 1) 136 137
(1) ⇔ (4x − 1) x 2 + 1 = 2(x 2 + 1) + (2x − 1) (2) ⎧x − x 2 − 1 = t 4 1 ⎪ 2 (2) ⇒ x + x 2 − 1 = 4 = t24 ⇒ ⎨ − ( 5 = 2,2360) ⇔ (4x − 1)t = 2t 2 + (2x − 1) t2 ⎪x + x − 1 = t 2 4 2 − ⎩ ⇔ 2t 2 − (4x − 1)t + 2x − 1 = 0 (Xem phöông trình aån soá t) 1 4 −4 Coäng laïi ta ñöôïc nghieäm : x = (t 2 + t 2 ) thoûa maõn (1). ⎡ 1 2 t = < 1 (loaïi) ⇔⎢ 2 ⎢ ⎣ t = 2x − 1 ⎢ ⎧ 1 ⎡ x = 0 (loaïi) ⎪2x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 t = 2x − 1 ⇔ x + 1 = 2x − 1 ⇔ ⎨ 2 ⇔⎢ ⎪x + 1 = (2x − 1) 2 ⎢ x = 4 (nhaän) ⎩ ⎢ ⎣ 3 4 1.5. x − x 2 − 1 + x + x 2 − 1 = 2 (*) ⎧x 2 − 1 ≥ 0 ⎪ ⎪ Ñieàu kieän ñeå caùc bieåu thöùc coù nghóa: ⎨x − x 2 − 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1 (1) ⎪ 2 ⎪x + x − 1 ≥ 0 ⎩ Nhaän xeùt: (x − x 2 − 1)(x + x 2 − 1) = 1 ( x ≥ 1) (2) 4 1 Ñaët x − x2 − 1 = t ⇒ x + x2 − 1 = (t > 0) t2 ⎡ ⎢t = 1 ⎢ 1 ⎢ 1+ 5 (*) ⇔ t + 2 = 2 ⇔ t 3 − 2t 2 + 1 = 0 ⇔ ⎢ t = t 2 ⎢ ⎢ 1− 5 ⎢ t = 2 < 0 (loaïi) ⎣ x − x2 − 1 = 1 . t1 = 1:⇔ coäng veá vôùi veá ⇒ x = 1 thoûa (1) 2 x + x −1 = 1 1+ 5 4 . t2 = ⇒ x − x2 − 1 = t 2 ⇒ x − x2 − 1 = t 2 4 2 138 139