Tài liệu toán " Hệ phương trình đối xứng loại 1 "

Chia sẻ: Phạm Hùng Vĩ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

2.154
lượt xem 396
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'tài liệu toán " hệ phương trình đối xứng loại 1 "', tài liệu phổ thông phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu toán " Hệ phương trình đối xứng loại 1 "

Baøi 2: Ví duï 2: ⎧ 1 1 HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑOÁI XÖÙNG LOAÏI 1 ⎪x + y + x + y = 5 ⎪ Giaûi heä phöông trình : ⎨ ⎪x 2 + y2 + 1 + 1 = 9 I. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ. ⎪ ⎩ x 2 y2 ⎧f(x,y) = 0 (ÑH Ngoaïi Thöông TPHCM, Khoái A, D naêm 1997) 1. Daïng : (I) ⎨ vôùi f(x,y) = f(y,x) vaø g(x,y) = g(y,x) ⎩g(x,y) = 0 Giaûi 2. Caùch giaûi: Ñöa heä (I) veà heä : ⎧ 1 ⎧ 2 1 2 ⎪u = x + x ⎪x + 2 = u − 2 ⎧F(S,P) = 0 ⎪ ⎪ x (II) ⎨ vôùi S = x + y , P = xy Ñaët ⎨ ⇔⎨ 1 ⎪y + 1 = v2 − 2 ⎩G(S,P) = 0 ⎪v = y + 2 Giaûi heä (II) ⇒ S,P vaø x,y laø nghieäm cuûa phöông trình : ⎪ ⎩ y ⎪ ⎩ y2 t 2 − St + P = 0 ⎧u + v = 5 ⎪ ⎧u + v = 5 ⎪ ⎧u + v = 5 Heä ⇔ ⎨ 2 2 ⇔⎨ 2 ⇔⎨ Ñieàu kieän ñeå (I) coù nghieäm laø heä (II) coù nghieäm thoûa: S2 − 4P ≥ 0 . ⎪ u + v = 13 ⎪(u + v) − 2uv = 13 ⎩ uv = 6 ⎩ ⎩ II. CAÙC VÍ DUÏ: ⇒ u,v laø nghieäm cuûa phöông trình : α 2 − 5α + 6 = 0 ⎧u = 2 ⎧u = 3 Ví duï 1: ⇔ α = 3∨ x = 2 ⇒ ⎨ ∨⎨ ⎧x 2 + y2 + xy = 7 ⎩v = 3 ⎩v = 2 ⎪ Giaûi heä phöông trình : ⎨ ⎧ 1 ⎪x + y + xy = 5 ⎩ ⎪x + x = 2 ⎧x = 1 ⎧x = 1 ⎪ ⎪ ⎪ Giaûi * u = 2, v = 3: ⇔ ⎨ ⇔⎨ 3+ 5 ∨⎨ 3− 5 ⎪y + 1 = 3 ⎪y = ⎪y = Ñaët s = x + y, p = xy, ta coù: ⎪ y ⎩ 2 ⎩ 2 ⎩ ⎧s2 − p = 7 ⎧s2 + s − 12 = 0 ⎪ ⎪ ⎧s = −4 Heä ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎧ 1 ⎪s + p = 5 ⎪p = 5 − s ⎩p = 9 ⎪x + x = 3 ⎧x = 1 ⎧ 3− 5 ⎩ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪x = * u = 3, v = 2: ⇔ ⎨ ⇔⎨ 3− 5 ∨⎨ 2 (loaïi vì khoâng thoûa s2 − 4p ≥ 0 ) ⎪y + 1 = 2 ⎪y = ⎪y = 1 ⎪ y ⎩ 2 ⎩ ⎧s = 3 ⎧x = 1 ⎧x = 2 ⎩ ∨⎨ ⇔⎨ ∨⎨ vaäy nghieäm (1, 2), (2, 1). ⎩p = 2 ⎩y = 2 ⎩y = 1 ⎛ 3− 5 ⎞ ⎛ 3− 5 ⎞ ⎛3+ 5 ⎞ ⎛3− 5 ⎞ ⇒ nghieäm heä: ⎜ 1, ⎜ ⎟ ; ⎜ 1, ⎟⎜ ,1 ⎟ ; ⎜ ,1⎟ ⎝ 2 ⎟⎜ ⎠⎝ 2 ⎟⎜ 2 ⎠⎝ ⎟⎜ 2 ⎠⎝ ⎟ ⎠ 79 80
Ví duï 3: ⎧u + v = 5 ⎪ ⎧u + v = 5 ⎪ ⎧u + v = 5 Tìm caùc giaù trò cuûa a ñeå heä sau ñaây coù ñuùng 2 nghieäm. ⇔⎨ 2 2 ⇔⎨ 2 ⇔⎨ ⎪ u + v = 53 ⎪(u + v) − 2uv = 53 ⎩ uv = −14 ⎩ ⎩ ⎧x 2 + y2 = 2(1 + a) ⎪ ⎨ ⎧u = 7 ⎧ u = −2 2 ⇒ u,v laø nghieäm phöông trình: x 2 − 5x − 14 = 0 ⇔ ⎨ ∨⎨ ⎪(x + y) = 4 ⎩ ⎩ v = −2 ⎩v = 7 (ÑH Y Döôïc TPHCM naêm 1998). ⎧ 1 Giaûi ⎪x + x = 7 ⎪ ⎧ ⎪x = 7 + 45 ⎧ ⎪x = 7 − 45 ⎧x 2 + y2 = 2(1 + a) ⎧(x + y)2 − 2xy = 2(1 + a) Vôùi ⎨ ⇒⎨ 2 ; ⎨ 2 ⎪ Ta coù: ⎨ ⎪ ⇔⎨ ⎪y + 1 = −2 ⎪y = −1 ⎪y = −1 2 2 ⎪ y ⎩ ⎩ ⎪(x + y) = 4 ⎩ ⎪(x + y) = 4 ⎩ ⎩ ⎧xy = 1 − a ⎧xy = 1 − a ⎧ 1 ⇔⎨ ∨⎨ ⎪x + x = −2 ⎪x = −1 ⎪ ⎧ ⎧x = −1 ⎪ ⎩x + y = 2 ⎩x + y = −2 Vôùi ⎨ ⇒⎨ 7 + 45 ; ⎨ 7 − 45 Ñieàu kieän heä coù nghieäm laø: ⎪y + 1 = 7 ⎪y = ⎪y = ⎪ y ⎩ 2 ⎩ 2 (x + y)h2 − 4xy ≥ 0 ⇔ 4 − 4(1 − a) ≥ 0 ⇔ a ≥ 0 ⎩ ⇒ x,y laø nghieäm cuûa phöông trình : α 2 − 2α + 1 − a = 0 hoaëc III. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ 2 α + 2α + 1 − a = 0 ⎧x + y = 2a − 1 ⎪ Coù cuøng bieät soá: ∆ ' = 1 − (1 − a) = a 2.1. Cho heä phöông trình: ⎨ 2 2 2 ⎪x + y = a + 2a − 3 ⎩ Vaø coù 4 nghieäm khaùc nhau: α = 1 ± a, α ' = −1 ± a khi a > 0 Ñònh a ñeå heä coù nghieäm (x, y) vaø xy nhoû nhaát. Neân chæ ñuùng 2 nghieäm khi a = 0. ⇒ α = x = y = 1, α ' = x = y = −1 . ⎧(x + 1)(y + 1) = m + 4 Toùm laïi heä coù ñuùng hai nghieäm: (1, 1); (-1, -1) khi a = 0. 2.2. Cho heä phöông trình: ⎨ Ví duï 4: ⎩xy(x + y) = 3m 1. Ñònh m ñeå heä coù nghieäm ⎧ ⎛ 1 ⎞ ⎪(x + y) ⎜ 1 + ⎟=5 2. Ñònh m ñeå heä coù 4 nghieäm phaân bieät ⎪ ⎝ xy ⎠ Giaûi heä phöông trình : ⎨ ⎪x + y + yx = a + 1 ⎧ 2.3. Cho heä phöông trình: ⎨ 2 ⎪(x 2 + y2 ) ⎛ 1 + 1 = 49 ⎞ 2 ⎪x y + y x = a ⎩ ⎪ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎩ ⎝ x 2 y2 ⎠ Ñònh a ñeå heä coù ít nhaát moät nghieäm (x, y) thoûa ñieàu kieän: x > 0 vaø y > (ÑH Ngoaïi Thöông Khoái A naêm 1999). 0. Giaûi ⎧x + y + xy = a ⎪ ⎧⎛ 2.4. Cho heä phöông trình: ⎨ 2 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎧ 1 2 ⎪x y + xy = 3a − 8 ⎪⎜ x + ⎟ + ⎜ y + ⎟ = 5 ⎩ ⎪⎝ x⎠ ⎝ y⎠ ⎪x + x = u ⎪ Heä ⇔ ⎨ Ñaët ⎨ 7 a. Giaûi heä vôùi a = ⎪y + 1 = v 2 2 ⎪⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 2 ⎪⎜ x + x ⎟ + ⎜ y + y ⎟ = 53 ⎪ ⎩ y b. Vôùi giaù trò naøo cuûa a thì heä coù nghieäm. ⎩⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 81 82
Höôùng Daãn Vaø Giaûi Toùm Taét. ⎧S = 3 * ⎨ thì x vaø y laø nghieäm phöông trình: t 2 − 3t + m = 0 ⎩P = m ⎧s = 2a − 1 ⎧s = 2a − 1 9 ⎧s = x + y ⎪2 ⎪ Phöông trình coù nghieäm ⇔ ∆ 2 = 9 − 4m ≥ 0 ⇔ m ≤ . 2.1. Ñaët ⎨ Heä ⇔ ⎨s − 2p = a + 2a − 3 ⇔ ⎨2p = 3a2 − 6a + 4 2 4 ⎩ p = xy ⎪2 ⎪2 9 ⎩s ≥ 4p ⎩s ≥ 4p Toùm laïi heä coù nghieäm ⇔ m ≤ −2 3 ∨ m ≥ 2 3 ∨ m ≤ 4 ⎧ ⎪s = 2a − 1 ⎧ ∆1 > 0 ⎪ 2. Ñeå heä coù 4 nghieäm phaân bieät ⇔ ⎨ ⇔ m < −2 3 ⎪ ⇔ ⎨2p = 3a2 − 6a + 4 ⎩∆2 > 0 ⎪ ⎪2 − 2 ≤ a ≤ 2 + 2 ⎧ S + P = a + 1 ⎧S = a ⎧S = 1 ⎪ ⎩ 2 2 2.3. Heä ⇔ ⎨ ⇔⎨ ∨⎨ ⎩SP = a ⎩P = 1 ⎩P = a 3a2 Ñaët f(a) = − 3a + 2, f '(a) = 3a − 3, f '(a) = 0 ⇔ a = 1 ⎧S > 0 2 ⎧S = a ⎪ Baûng bieán thieân: * Vôùi ⎨ Ñieàu kieän x > 0, y > 0 laø: ⎨P > 0 ⇔a≥2 ⎩ P =1 ⎪ 2 ⎩S − 4 ≥ 0 ⎧S > 0 ⎧S = 1 ⎪ 1 * Vôùi ⎨ Ñieàu kieän x > 0, y > 0 laø: ⎨P > 0 ⇔ 0
⎧x = 2 ⎧ 1 ⎪ ⎪x = ⇒⎨ 1 ∨⎨ 2 ⎪y = 2 ⎩ ⎪y = 2 ⎩ ⎧S + P = a b. ⎨ thì s, p laø 2 nghieäm cuûa phöông trình: ⎩SP = 3a − 8 α 2 − aα + 3a − 8 = 0 (1) Phöông trình coù nghieäm ⇔ ∆ = a2 − 4(3a − 8) ≥ 0 ⇔ a ≤ 4 ∨ a ≥ 8 Vôùi ñieàu kieän ñoù, phöông trình (1) coù nghieäm: a − a2 − 12a + 32 a + a2 − 12a + 32 α1 = , α2 = 2 2 a − a2 − 12a + 32 a + a2 − 12a + 32 . Choïn S = , P= 2 2 thì heä seõ coù nghieäm ⇔ s2 − 4p ≥ 0 ⇔ (a − 2)(a − 8) ≥ (a + 4) (a − 4)(a − 8) (2) a + a2 − 12a + 32 a − a2 − 12a + 32 . Choïn S = ,P= 2 2 thì heä coù nghieäm ⇔ s2 ≥ 4p ⇔ (a − 2)(a − 8) ≥ −(a + 4) (a − 4)(a − 8) (3) Töø (2) vaø (3) ⇒ (a − 2)(a − 8) ≥ − a + 4 (a − 4)(a − 8) (4) ⎡a ≤ 2 Vì (a − 2)(a − 8) ≥ 0 ⇔ ⎢ thì (4) thoûa. ⎣a ≥ 8 Khi a ∈ ( 2,4 ] thì (a − 2)(a − 8) < 0 (4) ⇔ (a − 2)2 (a − 8)2 ≤ (a + 4)2 (a − 4)(a − 8) 13 − 3 33 13 + 3 33 ⇔ 4a2 − 13a − 8 ≤ 0 ⇔ ≤a≤ 8 8 Keát hôïp vôùi caùc ñieàu kieän treân, ta thaáy heä coù nghieäm khi 13 + 3 33 a≤ hay a ≥ 8 . 8 85