Tài liệu toán " Hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối "

Chia sẻ: Phạm Hùng Vĩ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

953
lượt xem 235
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'tài liệu toán " hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối "', tài liệu phổ thông phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu toán " Hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối "

CHÖÔNG 3: II. CAÙC VÍ DUÏ. PHÖÔNG TRÌNH VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA TRÒ Ví duï 1: TUYEÄT ÑOÁI. Giaûi phöông trình: 2 x + 2 + 3 x − 1 = 5 (1) Giaûi Xeùt daáu x + 2 vaø x – 1 A. PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA TRÒ TUYEÄT ÑOÁI I. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ. 1.Ñònh nghóa vaø tính chaát: ⎧a neáu a ≥ 0 7 a. Ñònh nghóa : a = ⎨ . x ≤ −2 : (1) ⇔ −2(x + 2) − 2(x − 1) = 5 ⇔ x = − (loaïi) ⎩−a neáu a ≤ 0 4 . −2 < x < 1: (1) ⇔ 2(x + 2) − 2(x − 1) = 5 ⇔ 0x + 6 = 5 : voâ nghieäm b. Tính chaát : * a ≥ 0 * − a ≤ a ≤ a * a + b ≤ a + b daáu “ =” khi ab ≥ 0 3 . x ≥ 1: (1) ⇔ 2(x + 2) + 2(x − 1) = 5 ⇔ x = (loaïi) 4 * a − b ≤ a + b daáu “ =” xaûy ra khi ab ≤ 0 Vaäy phöông trình voâ nghieäm. 2. Phöông phaùp giaûi toaùn: Ví duï 2: a. Daïng cô baûn: ⎧3 x + 5y + 9 = 0 (1) ⎪ A = B ⇔ A = B ∨ A = −B caùch1 Giaûi heä phöông trình: ⎨ ⎪2x − y − 7 = 0 (2) ⎩ ⇔ A 2 = B2 caùch 2 (ÑH Haøng Haûi naêm 1998). ⎧B ≥ 0 Giaûi A = B ⇔⎨ caùch 1 ⎩A = ± B Nhaän xeùt: (1) Cho ta: y < 0, ∀x ∈ R ⎧A ≥ 0 ⎧A ≤ 0 (2) Cho ta: x > 0, ∀y ∈ R ⇔⎨ ∨⎨ caùch 2 ⎩A = B ⎩A = −B ⇒ heä chæ coù nghieäm khi x > 0, y < 0 b. Caùc daïng khaùc: ⎧3x + 5y + 9 = 0 44 39 Heä ⇔ ⎨ giaûi ra: x = ,y = − Ta thöôøng xeùt daáu caùc bieåu thöùc trong caùc daáu trò tuyeät ñoái ñeå ⎩2x + y − 7 = 0 7 7 khöû daáu trò tuyeät ñoái treân moãi khoaûng. Giaûi phöông trình treân moãi ⎛ 44 39 ⎞ khoaûng. Vaäy heä coù nghieäm ⎜ x = ,y = − ⎟ ⎝ 7 7 ⎠ Coù theå duøng aån phuï. 115 116
Ví duï 3: ⎡ ⎧t ≥ 0 ⎪ Ñònh m ñeå phöông trình: ⎢⎨ 2 ⎡t = 0 ⎢ ⎪t = 0 ⎩ ⎢ 2 2 −2x + 10x − 8 = x − 5x + m coù 4 nghieäm phaân bieät. (2) ⇔ t 2 − 2mt + m 2 + 2m t = m 2 ⇔ ⎢ ⎢ ⎧t = 4m ⎢ ⎧t < 0 ⎪ ⎢ ⎨m < 0 Giaûi ⎢ ⎨t 2 − 4mt ⎣⎩ ⎣⎪⎩ Phöông trình cho ⇔ −2x + 10x − 8 − x 2 + 5x = m 2 . t = 0 ⇒ x = −m 2 Ñaët f(x) = −2x + 10x − 8 − x + 5x 2 . t = 4m ⇒ x = 3m(m < 0) Toùm laïi: ⎧x 2 − 5x + 8 vôùi x ≤ 1 ∨ x ≥ 4 ⎪ Ta coù: f(x) = ⎨ m < 0: Phöông trình coù 2 nghieäm: x1 = 3m ; x2 = - m 2 ⎪−3x + 15x − 8 vôùi 1 ≤ x ≤ 4 ⎩ m > 0: moät nghieäm x2 = - m ⎧2x − 5 vôùi x ≤ 1 ∨ x ≥ 4 m = 0: VN (loaïi vì x = 0) f '(x) = ⎨ Ví duï 5: ⎩−6x + 15 vôùi 1 ≤ x ≤ 4 Ñònh m ñeå phöông trình coù nghieäm duy nhaát: Baûng bieán thieân: x 2 + 2mx + 1 = x + 1 (1) Giaûi ⎧x ≥ 1 ⎪ Ta coù: (1) ⇔ ⎨ 2 2 2 ⎪(x + 2mx + 1) = (x + 1) ⎩ ⎧x ≥ −1 ⎪ ⎧x ≥ −1 ⎪ ⇔⎨ 2 ∨⎨ 2 ⎪x + (2m − 1)x = 0 (2) ⎩ ⎪x + (2m + 1)x + 2 = 0 (3) ⎩ (2) ⇔ x = 0 ∨ x = 1 − 2m Ta nhaän thaáy x = 0 thoûa ñieàu kieän x ≥ −1, neâ ñieàu kieän caàn ñeå phöông Döïa vaøo baûng bieán thieân, phöông trình ñaõ cho coù 4 nghieäm phaân bieät ⎡1 − 2m = 0 1 43 trình (1) coù nghieäm duy nhaát laø: ⎢ ⇔ m = ∨ m >1 khi vaø chæ khi: 4 < m < . ⎣1 − 2m < −1 2 4 1 Ví duï 4: Thöû laïi: + vôùi m = : (3) ⇔ x 2 + 2x + 2 = 0 VN 2 2m x + m m 2 Giaûi vaø bieän luaän: x + = (m ≠ 0) (1) + Vaäy (1) coù nghieäm duy nhaát x = 0 x x + Vôùi m > 1: (3) cho af(-1 ) = - 2m + 2 < 0 Giaûi ⇒ (3) coù nghieäm x > -1 ⇒ khoâng coù nghieäm duy nhaát (loaïi) Ñieàu kieän: x ≠ 0 1 Vaäy m = . (1) ⇔ x 2 + 2m x + m = m 2 (2) 2 Ñaët t = x + m ⇒ x = t − m ⇒ x 2 = t 2 − 2mt + m 2 117 118
Höôùng daãn vaø giaûi toùm taét III. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ. 3 − 2x − x 1.1. Baûng xeùt daáu : 1.1. Giaûi phöông trình: =5 2 + 3x + x − 2 1.2. Xaùc ñònh k ñeå phöông trình sau coù 4 nghieäm phaân bieät. (x − 1)2 = 2 x − k 1.3. Tìm tham soá a sao cho phöông trình: 2x 2 − 3x − 2 = 5a − 8x − 2x 2 Xeùt caùc tröôøng hôïp : coù nghieäm duy nhaát. 23 ⎧ 2 3−x ⎪x = − 23 * x ≤ − : phöông trình cho ⇔ =5⇔⎨ 9 ⇔x=− 1.4. Ñònh m ñeå phöông trình coù nghieäm: x 2 − 2x + m = x 2 + 3x − m − 1 3 −2x − 4 ⎪ x ≠ −2 9 ⎩ 2 thoûa x ≤ − . 1.5. Ñònh m ñeå phöông trình coù 4 nghieäm phaân bieät : 3 2x 2 − (2m + 1)x + m + 2 = x 2 − (m − 1)x + 2 − m ⎧ 1 3−x ⎪x = 1 2 ⇔ =5⇔⎨ 7⇔x= * − < x ≤ 0 : phöông trình cho 4x ⎪x ≠ 0 7 khoâng 3 ⎩ 2 thoaû ñieàu kieän − < x ≤ 0 . 3 3 3 − 3x 3 * 0 < x ≤ : phöông trình cho ⇔ =5⇔ x= thoûa ñieàu kieän 2 4x 23 3 0 : phöông trình cho ⇔ =5⇔⎨ ⇔ x ∈∅ 2 4x ⎪x > 3 ⎪ ⎩ 2 23 3 Toùm laïi nghieäm : x = − ∨ x = . 9 23 119 120
⎡2(x − k) = (x − 1)2 Baûng bieán thieân: 1.2. (x − 1)2 = 2 x − k (1) ⇔ ⎢ ⎢2(x − k) = −(x − 1)2 ⎣ ⎡ x 2 − 4x + 2k + 1 = 0 (2) ⇔⎢ ⎢ x 2 = 2k − 1 (3) ⎣ Ñeå phöông trình coù nghieäm phaân bieät ⇔ Ñieàu kieän laø phöông trình (2), (3), moãi phöông trình coù 2 nghieäm phaân bieät vaø chuùng khoâng coù nghieäm chung. Nhaän xeùt neáu (2) vaø (3) coù nghieäm chung thì nghieäm chung phaûi laø nghieäm cuûa heä phöông trình : ⎧ 2 Baûng bieán thieân cho ta phöông trình coù nghieäm duy nhaát ⎪x − 4x + 2k + 1 = 0 (2) 57 −57 ⎨ 2 ⇔a=− = ⎪x = 2k − 1 (3) ⎩ 16.5 80 (3) ⇔ 2k = x 2 + 1 theá vaøo (2), ta ñöôïc : x 2 − 4x + x 2 + 2 = 0 ⇔ (x − 1)2 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ k = 1 1.4. x 2 − 2x + m = x 2 + 3x − m − 1 (*) Ta loaïi k = 1 ⎧ x 2 + 3x − m − 1 ≥ 0 ⎪ ⎧∆ ' > 0 (*) ⇔ ⎨ 2 2 2 2 ⎪ 1 3 ⎪(x − 2x + m) = (x + 3x − m − 1) ⎩ Vôùi k ≠ 1 , ñieàu kieän : ⎨2k − 1 > 0 ⇔ < k < ∧ k ≠ 1 ⎪k ≠ 1 2 2 ⎧ x 2 + 3x − m − 1 ≥ 0 ⎩ ⎪ ⇔⎨ 2 ⎪5x = 2m + 1 ∨ 2x + x − 1 = 0 ⎩ 1.3. 2x 2 − 3x − 2 = 5a − 8x − 2x 2 ⇔ 2x 2 + 8x + 2x 2 − 3x − 2 = 5a ⎧x 2 + 3x − m − 1 ≥ 0 ⎧ x 2 + 3x − m − 1 ≥ 0 ⎪ ⎪ ⇔⎨ 2m + 1 ∨⎨ 1 ⎧ 2 1 ⎪ 4x + 5x − 2 neáu x ≤ − 2 ∨ x ≥ 2 ⎪x = ⎪ x = −1 ∨ x = ⎪ ⎩ 5 ⎩ 2 Ñaët f(x) = 2x 2 + 8x + 2x 2 − 3x − 2 = ⎨ ⎪11x + 2 neáu - 1 < x < 2 Ñaët f(x) = x 2 + 3x − m − 1 ⎪ ⎩ 2 ⎡ ⎛ 2m + 1 ⎞ ⎡ 3 ⎧ 1 ⎢f ⎜ ⎟≥0 ⎢ m ≤ −3 ∨ m ≥ 4 ⎪8x + 5 neáu x ≤ − 2 ∨ x ≥ 2 ⎢ ⎝ 5 ⎠ ⎢ ⎪ * Coù nghieäm ⇔ ⎢ f( −1) ≥ 0 ⇔ ⎢ m ≤ −3 ⇔ m∈R ⇒ f '(x) = ⎨ ⎢ ⎪11 neáu − 1 < x < 2 ⎢f ⎛ 1 ⎞ ≥ 0 ⎢ 3 ⎪ ⎩ 2 ⎜2⎟ ⎢m ≤ ⎢ ⎝ ⎠ ⎢ ⎣ 4 ⎣ 121 122
1.5. 2x 2 − (2m + 1)x + m + 2 = x 2 − (m − 1)x + 2 − m ⎡2x 2 − (2m + 1)x + m + = x 2 − (m − 1)x + 2 − m ⇔⎢ ⎢2x 2 − (2m + 1)x + m + 2 = − x 2 + (m − 1)x − 2 + m ⎣ ⎡ x 2 − (m + 2)x + 2m = 0 (1) ⇔⎢ ⎢3x 2 − 3mx + 4 = 0 ⎣ (2) g(x) Ñeå phöông trình cho coù 4 nghieäm phaân bieät ⇔ (1) coù 2 nghieäm phaân bieät, (2) coù 2 nghieäm phaân bieät vaø 2 nghieäm phaân bieät cuûa (1) vaø (2) khaùc nhau. (1) coù : ∆1 = (m − 2)2 > 0 ⇔ m ≠ 2 : x1 = m,x 2 = 2 ⎧∆ 2 = 9m 2 − 48 > 0 ⎧ −4 3 4 3 ⎪ ⎪m < ⎪ ∨m> (2) coù : ⎨g(m) ≠ 0 ⇔⎨ 3 3 ⎪g(2) ≠ 0 ⎪m ≠ 8 ⎩ ⎪ ⎩ 3 123