(Dự thảo) Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Điểm bất động của ánh xạ ngẫu nhiên và ứng dụng trong phương trình toán tử ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN<br /> <br /> PHẠM THẾ ANH<br /> <br /> ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG<br /> DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN<br /> <br /> Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán học<br /> Mã số: 62 46 01 06<br /> <br /> (Dự thảo)<br /> <br /> TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC<br /> <br /> Hà Nội- 2014<br /> <br /> Công trình được hoàn thành tại:<br /> ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN-ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI<br /> <br /> Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Đặng Hùng Thắng<br /> <br /> Phản biện : .....................................................<br /> Phản biện : .....................................................<br /> Phản biện : .....................................................<br /> <br /> Luận án sẽ được bảo vệ tại Hội đồng cấp ĐHQG chấm luận án tiến sĩ họp<br /> tại trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà nội<br /> vào hồi ……..giờ……….ngày…….tháng……..năm ……….<br /> <br /> Có thể tìm hiểu luận án tại:<br /> - Thư viện Quốc gia Việt Nam<br /> - Trung tâm Thông tin-Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội<br /> <br /> MỞ ĐẦU<br /> <br /> Lý thuyết phương trình toán tử ngẫu nhiên, điểm bất động ngẫu nhiên được<br /> nghiên cứu từ những năm 1950 ở trường Prague bởi O. Hans, A. Spacek<br /> và trong các công trình của A. T. Bharucha-Reid năm 1972, 1976. Mở rộng<br /> của bài toán điểm bất động ngẫu nhiên là bài toán điểm trùng nhau ngẫu<br /> nhiên, được nghiên cứu đối với các toán tử đa trị, giữa cặp toán tử đơn trị<br /> và đa trị.<br /> Mở rộng các kết quả trên, ta xây dựng toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên<br /> Φ từ LX (Ω) vào LX (Ω) mà hạn chế của Φ trên X trùng với toán tử ngẫu<br /> 0<br /> 0<br /> nhiên f .<br /> Nội dung của luận án bao gồm định lý về sự thác triển toán tử ngẫu<br /> nhiên thành toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, các kết quả nghiên cứu về điểm<br /> bất động, điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Từ đó<br /> áp dụng để giải nghiệm phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Luận<br /> án gồm 3 chương.<br /> Chương 1 trình bày một cách tổng quan về các khái niệm và kết quả liên<br /> quan đến định lý điểm bất động và điểm trùng nhau ngẫu nhiên của các<br /> toán tử ngẫu nhiên. Các kết của chương này được trích dẫn và không có<br /> chứng minh chi tiết.<br /> Chương 2 trình bày khái niệm toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, định lý thác<br /> triển toán tử ngẫu nhiên thành toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, tính liên tục<br /> theo xác suất của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Tiếp theo, chương này<br /> trình bày các kết quả nghiên cứu về điểm bất động của một số dạng toán<br /> tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Cuối cùng, một số kết quả về điểm trùng nhau<br /> của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên được đề cập đến. Nội dung chính của<br /> chương này các định lý về sự tồn tại điểm bất động và điểm trùng nhau của<br /> toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên.<br /> Chương 3 trình bày kết quả nghiên cứu về ứng dụng các định lý điểm<br /> bất động, điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Các ứng<br /> dụng đó là chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình toán tử hoàn<br /> toàn ngẫu nhiên và sử dụng định lý điểm trùng nhau ngẫu nhiên để chứng<br /> minh sự tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên. Nội dung chính của chương này<br /> là các định lý về sự tồn tại nghiệm phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu<br /> nhiên.<br /> 1<br /> <br /> CHƯƠNG 1<br /> <br /> KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ TỔNG QUAN<br /> <br /> 1.1<br /> <br /> Các khái niệm cơ bản<br /> <br /> 1.1.1 Định nghĩa. Ánh xạ f : Ω × X → Y được gọi là toán tử ngẫu<br /> nhiên từ X vào Y nếu với mỗi phần tử x ∈ X ánh xạ ω → f (ω, x) là một<br /> biến ngẫu nhiên Y -giá trị xác định trên X . Toán tử ngẫu nhiên từ X vào<br /> X được gọi là toán tử ngẫu nhiên trên X . Toán tử ngẫu nhiên từ X vào<br /> R được gọi là phiếm hàm ngẫu nhiên.<br /> 1.1.2 Định nghĩa. Cho f, g : Ω × X → Y là hai toán tử ngẫu nhiên. Toán<br /> tử ngẫu nhiên f được gọi là một bản sao của toán tử ngẫu nhiên g nếu với<br /> mọi x ∈ X<br /> f (ω, x) = g(ω, x) h.c.c.,<br /> (1.1)<br /> trong đó tập các ω mà f (ω, x) = g(ω, x) nói chung phụ thuộc vào x.<br /> 1.1.3 Định nghĩa. 1) Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y được gọi là<br /> đo được nếu ánh xạ f : Ω × X → Y là F × B(X)-đo được.<br /> 2) Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y được gọi là liên tục nếu với mỗi ω<br /> quỹ đạo f (ω, .) của f là toán tử liên tục từ X vào Y .<br /> 3) Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y được gọi là Lipschitz nếu với mỗi<br /> ω quỹ đạo f (ω, .) là toán tử Lipschitz, nghĩa là tồn tại số thực k(ω) sao<br /> cho với mọi x, y ∈ X<br /> d(f (ω, x), f (ω, y)) ≤ k(ω)d(x, y).<br /> <br /> (1.2)<br /> <br /> 4) Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y được gọi là co nếu f là toán tử<br /> Lipschitz với k(ω) ∈ [0; 1), ∀ω ∈ Ω.<br /> 1.1.4 Định lý. ([29]) Cho X, Y là các không gian Polish và f : Ω × X →<br /> Y là toán tử ngẫu nhiên liên tục. Khi đó f là toán tử ngẫu nhiên đo được.<br /> Hơn nữa nếu ξ : Ω → X là biến ngẫu nhiên thì ánh xạ ω → f (ω, ξ(ω)) là<br /> một biến ngẫu nhiên Y -giá trị.<br /> 2<br /> <br /> 1.1.5 Định nghĩa (Điểm bất động ngẫu nhiên). Biến ngẫu nhiên ξ : Ω →<br /> X gọi là điểm bất động ngẫu nhiên của toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → X<br /> nếu<br /> f (ω, ξ(ω)) = ξ(ω) h.c.c.<br /> (1.3)<br /> Ta nhận thấy nếu f : Ω × X → X có điểm bất động ngẫu nhiên thì với<br /> mỗi ω ∈ Ω, f (ω, .) có điểm bất động trong X . Ngược lại không đúng.<br /> 1.1.6 Định nghĩa. Phương trình toán tử ngẫu nhiên đơn trị là phương<br /> trình có dạng<br /> f (ω, x) = g(ω, x)<br /> (1.4)<br /> với f, g : Ω × X → Y là các toán tử ngẫu nhiên từ X vào Y .<br /> 1.1.7 Định nghĩa. 1) Phương trình (1.4) được gọi là có nghiệm tất<br /> định với hầu hết Ω nếu tồn tại tập D có xác suất 1 sao cho với mỗi<br /> Ω ∈ D tồn tại phần tử u(ω) ∈ X sao cho<br /> f (ω, u(ω)) = g(ω, u(ω)).<br /> <br /> (1.5)<br /> <br /> Khi đó u(ω) gọi là nghiệm tất định của phương trình (1.4).<br /> 2) Phương trình (1.4) được gọi là có nghiệm ngẫu nhiên nếu tồn tại biến<br /> ngẫu nhiên ξ : Ω → X sao cho<br /> f (ω, ξ(ω)) = g(ω, ξ(ω))<br /> <br /> h.c.c.<br /> <br /> (1.6)<br /> <br /> Khi đó ξ gọi là nghiệm ngẫu nhiên của phương trình (1.4).<br /> Một trong các công cụ quan trọng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của<br /> phương trình toán tử ngẫu nhiên hay sự tồn tại điểm bất động của toán tử<br /> ngẫu nhiên đó là các định lý về sự tồn tại hàm chọn đo được của một ánh<br /> xạ đa trị.<br /> Cho (Ω, F) là không gian đo được và X là không gian metric. Ánh xạ đa<br /> trị F : Ω → 2X gọi là F -đo được nếu<br /> F −1 (B) = {ω ∈ Ω|F (ω) ∩ B = ∅} ∈ F<br /> <br /> (1.7)<br /> <br /> với mọi B là tập con đóng của X . Trong một số tài liệu, tính đo được của<br /> F còn được gọi là đo được yếu . Đồ thị của ánh xạ F là một tập con của<br /> Ω × X xác định bởi<br /> Gr(F ) = {(ω, x)|ω ∈ Ω, x ∈ F (ω)}.<br /> <br /> (1.8)<br /> <br /> Ánh xạ u : Ω → X gọi là hàm chọn của ánh xạ đa trị F : Ω → 2X nếu<br /> u(ω) ∈ F (ω) với mọi ω ∈ Ω.<br /> Khi đó định lý sau đây được sử dụng như là công cụ để chứng minh sự<br /> tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên của toán tử ngẫu nhiên.<br /> 3<br /> <br />