zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

bai giang toan a1 dai hoc cong nghiep thuc pham_10

Chia sẻ: Kata_3 Kata_3 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Báo xấu

64
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bai giang toan a1 dai hoc cong nghiep thuc pham_10', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: bai giang toan a1 dai hoc cong nghiep thuc pham_10

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Cao Cấp 1 Toán 1 1  dx (hàm gián đo ạn tại x  1 ) Ví dụ Xét 1 x2 0 1 c 1 1  dx  lim  dx Ta có :  2 1 x2 1x c 1 0 0 1  1  lim arcsin x 0   lim arcsin c   c dx hội tụ. . Suy ra 2   1 x2 c 1 c 1 0 2) Tương tự như trên ta xét tích phân với f (x ) khả tích trên [c,b ], c : a  c  b và lim f (x )   . Khi đó, ta định nghĩa tích phân suy rộng của f (x ) tên (a,b ] là x a  b b lim  f (x )dx , ký hiệu là  f (x )dx  c a c a b b Nếu lim  f (x )dx hữu hạn thì ta nói  f (x )dx hội tụ, ngược lại ta nói phân kỳ. Về  c a c a b  f (x )dx phương diện hình học tích phân suy rộ ng a b iểu thị diện tích hình thang cong vô hạn như hình 3.5 1 dx  (gián đo ạn tại x  0 ) Ví dụ Xét x o  1 1 1 dx dx   lim ln x   lim( ln c)   Hình 3.5  lim     Ta có c  0   c  c  0  x x c  0  c o 1 dx  p hân kỳ. Suy ra x o 3) Bây giờ ta xét hàm số f (x ) xác đ ịnh trên [a, b ] \ c, (c  (a,b )) và lim f (x )   , định nghĩa tích phân suy rộng của f (x ) trên [a, b ] là tổng của hai tích x c phân suy rộng như sau: b c b b  f (x )dx :  f (x )dx   f (x )dx , c  (a, b) và  f (x )dx đ ược a a c a gọi là hội tụ nếu c b f (x )dx và  f (x )dx cùng hội tụ. Về phương diện hình học tích  a c b  f (x )dx phân suy rộng biểu thị diện tích hình thang cong vô Hình 3.6 a hạn như hình 3.6 Ví dụ 4: Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng 1 dx i)  x2 1 Nguyễn Quốc Tiến 46
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Cao Cấp 1 Toán 1 0 1 dx dx dx Ta có  2   x2   x2 x 1 1 0  1 1 1 1 1  dx dx  lim  2  lim    lim   1   .   c c 0    c c 0  x  2 x x  c 0 c 0 1 1 dx dx Suy ra   p hân kỳ, vậy phân k ỳ x2 x2 1 0 2 dx ii )  x 1 3 0 2 1 2 dx dx dx   x 1    Ta có x 1 x 1 3 3 3 0 0 1 3  c 1 2 dx dx 3  x  1 c 1   lim (c  1)3  1    lim c 1 2   x 1 2 3 3  0 0 3 2 2 2 dx dx 3  x  1 c 1   lim 1  (c  1)3    lim x  1 c 1 2   2 3 3  c 1 2 2 dx dx 33     0 Vậy hội tụ và x 1 x 1 22 3 3 0 0 3.4.2 Các tiêu chuẩn hội tụ Dưới đây là các tiêu chuẩn so sánh cho tích phân suy rộng của hàm f (x ) trên khoảng [a, b) . Các trường hợp tích phân suy rộng của f (x ) với f (x ) gián đo ạn tại a hoặc c, (a  c  b) ta cũng có những tiêu chu ẩn tương tự. Tiêu chuẩn 1 Cho f (x ), g (x ) là hai hàm không âm, f (x )  g(x ) trên [a, c ],(a  c  b) , và khả tích trên mọi khoảng [a, c ] . Khi đó b b  g(x )dx  f (x )dx hội tụ Nếu hội tụ thì a a b b   g(x )dx f (x )dx phân k ỳ thì Nếu p hân kỳ. a a Tiêu chuẩn 2 Cho f (x ), g (x ) là hai hàm không âm trên [a, ) , khả tích trên mọi khoảng [a, c ],(a  c  b) . Khi đó : Nguyễn Quốc Tiến 47
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Cao Cấp 1 Toán b b f (x )  f (x )dx  g(x )dx  k, 0  k   thì các tích phân suy rộng Nếu lim sẽ và x b  g (x ) a a cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. b b f (x )   f (x )dx  0 thì Nếu lim g(x )dx hội tụ suy ra hội tụ g(x )  x b a a b b f (x )   thì  g(x )dx p hân kỳ suy ra  f (x )dx p hân kỳ Nếu lim x  g (x ) a a Trong trường hợp f (x ), g (x ) có dấu tùy ý ta có b b b    f (x )dx f (x )dx hội tụ thì f (x )dx hội tụ. Khi đó ta nói Nếu hội tụ tuyệt đối, còn a a a b b b   f (x )dx  f (x )dx f (x )dx p hân kỳ nhưng nếu hội tụ thì ta nói b án hội tụ. a a a Thông thường đối với tích phân suy rộng dạng này , người ta thường so sánh với các tích phân sau: b b dx dx     (b  x ) nếu gián đoạn tại a và f (x )dx nếu gián đoạn tại b . Nếu (x  a )  a a a   b   f (x )dx   f (x )dx  gián đo ạn tại a thì f (x )dx , tích phân ban đầu hội tụ nếu a a b hai tích phân sau đồng thời hội tụ. 2 dx  Ví dụ Xét sự hội tụ ln x 1 1 1 Ta có f (x )   0 , g(x )   0 , x  1 x 1 ln x (x  1) f (x ) 1  lim  lim  1 (quy tắc L’hospital) Suy ra lim 1    g(x ) ln x x 1 x 1 x 1 x 2 2 dx 1  x  1 dx  p hân kỳ (   1 ) do đó p hân kỳ mà ln x 1 1 1 dx e Ví dụ Xét sự hội tụ x 1 0 1 1 1  0 . Chọn g (x )   , (0  x  1) Ta có f (x )  1 x x 1 e (x  0) 2 1 1 1 dx dx f (x ) x  e hội tụ (    1 ). Do đó  lim  1 mà lim hội tụ 2 x x 1 1 x g(x ) e   x0 x 0 0 0 Nguyễn Quốc Tiến 48
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Cao Cấp 1 Toán 3.5 Ứng dụng tích phân 3.5.1 Tính diện tích hình phẳng 1) Cho hàm số f (x ) liên tục và f (x )  0 trên [a, b ] . Khi đó diện tích hình thang cong giới hạn bởi đường cong f (x ) và hai đường thẳng x  a, x  b và trục Ox là b  f (x )dx S a 2) Hàm số f (x ) liên tục [a, b ] thì diện tích hình thang cong giới hạn bởi đ ường cong f (x ) b  | f (x ) | dx và hai đường thẳng x  a, x  b và trục Ox là S  a 3) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong f (x ) và g(x ) liên tục trên [a, b ] và b  | f (x )  g(x ) | dx hai đường thẳng x  a, x  b cho b ởi công thức sau S  a x  x (t )  4) Nếu đường cong cho bởi phương trình tham số  với x (t ), y(t ), x '(t ) là các  y  y(t )    hàm liên tục trên [t1, t2 ] . Khi đó diện tích phẳng giới hạn bởi đ ường cong và các đường thẳng x  a, x  b và trục Ox cho bởi công thức : t2  | y(t )x '(t ) | dt S với a  x (t1 ), b  x (t 2 ) t1 Trong quá trình tính diện tích hình phẳng ta nên chú ý đ ến tính chất đối xứng của hình p hẳng để việc tính diện tích đ ơn giản hơn. Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x2 y  x2 ,y  và y  2x . 2 Để tính diện tích này ta chia nó làm hai phần, phần thứ nhất ứng với x  [0,2] p hần thứ hai ứng với x  [2, 4] 2 2 x2 x3 4 S1   2 (x  )dx   2 6 3 0 0 Diện tích hình phẳng đã cho là S  S 1  S 2  4 . Hình 3.7 x 2 y2 Ví dụ tính diện tích hình elip 2  2  1 a b Đường elip chính tắc đối xứng qua các trục tọa độ nên diện tích là : Hình 3.7 a a 2 x S  4  f (x )dx  4  b 1  dx a2 0 0 a 4b a 2 4b  a 2  x 2 dx    ab a a4 0 Vậy S  ab . Hình 3.8 Nguyễn Quốc Tiến 49
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Cao Cấp 1 Toán x  a(t  sin t )  Ví dụ 3 Cho phương trình tham số của đường cycloid :  y  a(1  cos t )    Với 0  t  2 . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cycloid với trục ho ành trên 0  t  2 Hình 3.8 2 S   a(1  cos t )a(1  cos t )dt 0 2  a 2  (1  2 cos t  cos 2t )dt 0 2 1  cos 2t  a 2 [(t  2 sin t ) |2   dt ] 0 2 0 1 1  a [2  (t  sin 2t ) |2  ]  a 2[2   ]  3a 2 . 2 0 2 2 Hình 3.9 3.5.2 Tính thể tích vật thể 1) Tính thể tích vật thể bất kì Cho một vật thể giới hạn bởi một mặt cong và hai mặt phẳng x  a, x  b (a  b ) . Giả sử d iện tích thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại x là S (x ) , S (x ) là một hàm liên tục trên đoạn [a, b ] . Khi đó thể tích vật thể được b  S (x )dx .( Hình 3.10) tính như bằng công thức V  a Ví dụ Tính thể tích vật thể giới hạn bởi elipsoid x 2 y2 z 2   1 Hình 3.10 a 2 b2 c2 Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có ho ành độ là x thiết diện nhận đ ược là một elip có phương trình 2 z2 x2 y2 z2 y  2  1 2   1 b2 c a x2 2 x2 2 (b 1  2 ) (c 1  2 ) a a 2 x Diện tích của elip này là : S (x )  bc(1  2 ) . a Thể tích của vật thể là a a a x2 2bc V   S (x )dx bc  (1  2 )dx  2  (a 2  x 2 ) dx Hình 3.11 a a a a 0 a x3 a3 2bc 2bc 4abc  2 (a 2x  )  2 (a 3  )  . Hình 3.11 a a 30 3 3 2) Thể tích vật thể tròn xoay Cho hình thang cong giới hạn bởi đ ường cong f (x ) liên tục trên đo ạn [a, b ] , trục Ox và hai đường thẳng x  a, x  b xoay Nguyễn Quốc Tiến 50

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.