zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

bai giang toan a1 dai hoc cong nghiep thuc pham_9

Chia sẻ: Kata_3 Kata_3 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Báo xấu

61
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bai giang toan a1 dai hoc cong nghiep thuc pham_9', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: bai giang toan a1 dai hoc cong nghiep thuc pham_9

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Cao Cấp 1 Toán rộng khái niệm tích phân với trường hợp cận lấy tích phân là vô hạn và trường hợp hàm d ưới dấu tích phân không xác định, ta gọi chung là tích phân suy rộng. 3.3 Tích phân suy rộng loại một 3.3.1 Định nghĩa 1) Xét hàm số f (x ) xác định trên [a, ) , khả tích trên mọi đoạn [a, b ], b  a . Ta đ ịnh b  f (x )dx nghĩa tích phân suy rộng của f (x ) trên [a, ) là lim và ký hiệu: b  a   f (x )dx . a  b   f (x )dx f (x )dx  lim Vậy b  a a   f (x )dx hội tụ, nếu giới hạn vô Nếu giới hạn trên là hữu hạn ta nói a hạn hoặc không tồn tại ta bảo tích phân phân kì.   f (x )dx biểu thị diện Về phương diện hình học tích phân suy rộng a tích hình thang cong vô hạn như hình 3.2 Hình 3.2 Ví dụ 1: 1 b  b    lim  1  1  1 dx dx    lim  2  lim       1 b   b 1   b   2  x x x b   1 1   dx dx   1 Vậy hội tụ và x2 x2 1 1 Ví dụ 2:  b dx dx   lim  x x b  1 1  b     lim ln b  ln 1    lim ln x    b   1 b      dx  Vậy phân k ỳ x 1  dx  (  R) Ví dụ 3: x 1 Nguyễn Quốc Tiến 41
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Cao Cấp 1 Toán Nếu   1 b  b1  1  b x 1 dx dx    Suy ra  lim    lim  x dx  lim    p hân kỳ.  b   1    x  b  1 x b  1    1 1 1  dx  Nếu   1 thì phân kỳ x 1 Nếu   1 b  b x 1 dx   lim  x dx  lim x  b  1 b  1   1 1  b 1 1   lim      b  1   1    1  1 1   lim      1  (  1)b 1     1  .   b    dx  hội tụ Suy ra x 1 Tương tự ta cũng định nghĩa tích phân suy rộng với khoảng lấy tích phân là (, b ] và (, ) (, b ] f (x ) rộng của 2)Tích phân suy trên là b b  f (x )dx , (a  b)  f (x ) dx . lim hiệu và ký a   a b b Vậy  f (x )dx  lim  f (x )dx , a   a b  f (x ) dx hội tụ, ngược lại ta bảo nếu giới hạn này là hữu hạn ta nói Hình 3.3  b b   f (x ) dx p hân kì, về phương diện hình học tích phân suy rộng f (x ) dx tích phân   b iểu thị diện tích hình thang cong vô hạn như hình 3.3 3) Tích phân suy rộng của f (x ) trên (, ) là  b   f (x )dx f (x )dx và được kí hiệu: lim a   b  a Với giả thiết f (x ) khả tích trên mọi khoảng [a, b ] , như vậy ta có thể viết   c    f (x )dx  f (x )dx  f (x )dx , c   c Nguyễn Quốc Tiến 42
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Cao Cấp 1 Toán   c    f (x )dx hội tụ  f (x )dx và f (x )dx cùng hội tụ.   c 0 0  e dx   e dx  x x lim (1  e a )  1 lim Ví dụ a  a   a 0  e dx x Vậy hội tụ.    c 1 1 1  1  x 2 dx   1  x 2 dx   dx , c Ví dụ 1  x2   c  lim (arctgc  arctga )  lim (arctgb  arctgc) a  b      arctgc      arctgc     2 2  1  dx hội tụ. Suy ra 1  x2  3.3.2 Các tiêu chuẩn hội tụ: Tiêu chuẩn so sánh thứ nhất Cho f (x ), g (x ) là hai hàm không âm trên [a, ) , khả tích trên mọi khoảng [a, b ] và f (x )  g(x ) . Khi đó    g(x )dx  f (x )dx hội tụ Nếu hội tụ thì a a     g(x )dx f (x )dx p hân kỳ thì Nếu p hân kỳ a a  1  dx Ví dụ Xét 2 x x 1 1 1  2 , x  [1, ] Ta thấy: 2 x x x  1 1    dx hội tụ suy ra dx hội tụ mà x2 2 x x 1 1  1  dx Ví dụ Xét x 1 1 3 0  1 1 1  3 dx Ta có , mà phân kì nên x 1 x 1 1 x 1 3 3 0  1  dx phân kì. x 1 1 3 0 Nguyễn Quốc Tiến 43
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Cao Cấp 1 Toán Tiêu chuẩn so sánh thứ hai Cho f (x ), g(x ) là hai hàm không âm trên [a, ) , khả tích trên mọi khoảng [a, b ] . Khi đó : f (x )  k , 0  k   Nếu lim g (x ) x      g(x )dx f (x )dx và sẽ cùng hội tụ hoặc cùng phân k ỳ. thì các tích phân a a   f (x )  g(x )dx   0 thì f (x )dx hội tụ Nếu lim hội tụ suy ra x  g (x ) a a   f (x )   thì  g (x )dx phân k ỳ suy ra  f (x )dx p hân kỳ Nếu lim x  g (x ) a a Ví dụ Xét sự hội tụ của các tích phân sau  dx i)  3 x  2x  1 1 1 1 Đặt f (x )  , chọn g (x )  3 3 x  2x  1 x f (x ) 1 0 Ta có lim g (x ) x   dx  hội tụ mà x3 1  dx  hội tụ Suy ra tích phân 3 x  2x  1 1  5 ii )  dx 3 x  2x  1 3 1 5 1 Đặt f (x )  , chọn g(x )  x 3 x  2x  1 3  dx f (x )   5 , mà Ta có lim phân kì x x  g (x ) 1  5  dx phân kì Suy ra tích phân 3 x  2x  1 3 1  x3 iii )  x2  x  1 1 Nguyễn Quốc Tiến 44
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Cao Cấp 1 Toán  1  x3 1  Ta có lim  2 :    , mà  dx phân kì nên tích phân đ ã cho phân kì  x  x  1 x   x    x   1 Trường hợp f (x ) có d ấu tùy ý ta có kết quả sau 3.3.3 Sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ     f (x )dx hội tụ thì f (x )dx hội tụ. Nếu a a   f (x )dx hội tụ tuyệt đối., còn nếu Khi đó ta nói a       f (x )dx phân k ỳ nhưng f (x )dx hội tụ thì ta nói f (x )dx b án hội tụ. a a a  cos x  dx Ví dụ Xét sự hộ i tụ của x2  1 1  cos x 1 1 cos x  2  2 nên dx hội tụ, vậy Ta có 2 x 1 x 1 x x2  1 1  cos x  dx hội tụ tuyệt đối x2  1 1 Chú ý  b  f (x )dx ,  f (x )dx cũng có những định lý tương tự. Các tích phân   3.4 Tích phân suy rộng loại hai 3.4.1 Các định nghĩa 1) Xét hàm số f (x ) khả tích trên [a, c ], c : a  c  b và lim f (x )   . Khi đó, ta đ ịnh  x b c nghĩa tích phân suy rộng của f (x ) trên [a, b) là lim  f (x )dx  c b a b  f (x )dx ký hiệu là a b c  Nếu lim  f (x )dx hữu hạn thì ta nói f (x )dx hội tụ, ngược lại  c b a a ta nói tích phân phân kỳ. Về phương diện hình học tích phân suy b  f (x )dx rộng b iểu thị diện tích hình thang cong vô hạn như hình a vẽ 3.4 Hình 3.4 Nguyễn Quốc Tiến 45

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.