zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

bai giang toan a1 dai hoc cong nghiep thuc pham_12

Chia sẻ: Kata_3 Kata_3 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Báo xấu

68
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bai giang toan a1 dai hoc cong nghiep thuc pham_12', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: bai giang toan a1 dai hoc cong nghiep thuc pham_12

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Cao Cấp 1 Toán 4.1.3 Các tính chất của chuỗi số hội tụ    an hội tụ và có tổng là S thì chuỗi  ca i) Nếu chuỗi ( c : hằng số) cũng hội n n 1 n 1    can  c  an ). tụ và có tổng là cS (nghĩa là n 1 n 1    a  bn   an ,  bn hội tụ và có tổng lần lượt là S1 , S2 thì chuỗi ii) Nếu chuỗi n n 1 n 1 n 1      an  bn    an   bn cũng hội tụ và tổng là S1  S 2 . Tức là: n 1 n 1 n 1   a a iii) Nếu hội tụ thì cũng hội tụ và ngược lại. Tức là tính hội tụ của n k n n 1 n 1 chuỗi không thay đổi khi ta thêm vào ho ặc bớt ra một số hữu hạn các số hạng. 2 n  3n 1  Ví dụ Tính tổng (nếu có) của chuỗi  4n  2 n 1 n n n 2 n  3n 1   1  1  3 3    1          . Vì chuỗi    hội tụ có tổng là Ta có  4n 2 n 0  2  n  0  16  2  16  4     n 0 n   3 1 1  2 và chuỗi    hội tụ có tổng là S 2   4. S1  1 3 1 n 0  4  1 2 4 1 3 7 Suy ra chu ỗi đã cho hội tụ và có tổng là S  .2  .4  . 16 16 8 4.2 Chuỗi số dương 4.2.1 Định nghĩa  a Chu ỗi được gọi là chuỗi số dương nếu an  0, n . n n 1 Để khảo sát sự hội tụ của chuỗi số dương ta có các tiêu chu ẩn sau: 4.2.2 Các định lý so sánh   a ,b Định lý. Cho hai chuỗi dương . Nếu tồn tại số nguyên dương n0 sao cho n n n 1 n 1 an  bn , n  n0 thì   b a i) chuỗi hội tụ suy ra chuỗi hội tụ n n n 1 n 1   b a ii) chuỗi p hân k ỳ suy ra chuỗi phân k ỳ n n n 1 n 1 Nguyễn Quốc Tiến 56
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Cao Cấp 1 Toán  1  3 n.3n Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi n 1   1 1 1 1  3n  3 n.3n  n , n  1 và hội tụ theo định lý trên chu ỗi hội tụ. Ta có n 3 n.3 3 n 1 n 1  1 3n Ví dụ 2: Xét sự hội tụ của chuỗi n 1   11 1 1  n phân kỳ ( tự chứng minh) suy ra 3n  , n  1 . Do phân kỳ. Ta có 3 nn n 1 n 1  1  ln n Ví dụ 3: Xét sự hội tụ của chuỗi n 1   1 1 1 1  n phân kỳ suy ra  ln n p hân kỳ.  , n  2 . Do Ta có: n ln n n 1 n 1    an ,  bn . Giả sử tồn tại lim an  k . Khi đó: Định lý. Cho hai chuỗi d ương bn x n 1 n 1   b a i) nếu k  0 thì chuỗi hội tụ suy ra hội tụ n n n 1 n 1   b a ii) nếu k   thì chuỗi phân kỳ suy ra p hân kỳ n n n 1 n 1   b a iii) nếu 0  k   thì hai chuỗi có cùng tính chất . và n n n 1 n 1  1  ln(1  n ) Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi n 1   1 1 1 1 Ta có ln(1  )  , n   . Mà n  ln(1  n ) phân kỳ phân k ỳ nên n n n 1 n 1    sin 2 Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi n n 1 n        1  n , n   . Mà  sin 2  2n n1  2       hội tụ nên hội tụ. Vì sin n n 2 2 n 1 n 1 4.2.3 Các tiêu chuẩn hội tụ 1) Tiêu chuẩn D’Alembert  an 1 a  D . Khi đó nếu D  1 thì chuỗi Cho chu ỗi số d ương . Giả sử tồn tại lim n x  a n 1 n hội tụ, nếu D  1 thì chuỗi phân kỳ. Nguyễn Quốc Tiến 57
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Cao Cấp 1 Toán an 1 Nếu D  1 thì chưa có kết luận nhưng nếu tồn tại n0  0 sao cho  1, n  n0 thì an chu ỗi phân kỳ. 10n   n! Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi n 1 Ta có 10 n1 n ! an1 10  lim  lim  0  1 . Vậy chuỗi hội tụ. lim n ( n  1)!10n n  n  1 n a n  n!  nn Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi n 1 n (n  1)! n n a n 1 1 Ta có lim n 1  lim .  lim    n   1 lim n 1 1 n  ( n  1) n ! n  n  1  n  a (1  ) n e n n Vậy chuỗi hội tụ.  en n !  nn Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi n 1 n en 1 (n  1)! n n an 1 n e e  lim  lim e    n  1 Ta có lim . lim n  ( n  1) n 1 e n n ! 1n e  n 1  n  a n  (1  ) n n n  1 Hơn nữa dãy số an  1   là dãy số tăng và hội tụ về số e nên  n n a  1 e hay n1  1, n  0 . Vậy chuỗi đã cho phân e  1    0  n  1, n  0 an  n  1 1  n    k ỳ. 2) Tiêu chuẩn Cauchy   an . Giả sử tồn tại lim n an  D . Khi đó nếu D  1 thì chuỗi Cho chu ỗi số dương n n 1 hội tụ, nếu D  1 thì chuỗi phân kỳ. Nếu D  1 thì chưa có kết luận nhưng nếu tồn tại n0  0 sao cho an  1, n  n0 thì n chu ỗi phân kỳ. n   2n  1  Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi    n 1  3n  2  n  2n  1  2n  1 2 Ta có lim n an  lim n    n  3n  2  3  1 . Vậy chuỗi đã cho hội tụ lim  3n  2  n  n Nguyễn Quốc Tiến 58
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Cao Cấp 1 Toán 2 n 1   3n  1  Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi    n 1  2n  5  2  2n  1  1  3n  2  2 n 1 2  3n  1   2n  1    9 1 n  lim  Ta có lim an  lim   lim  n n 3n  2   1/ n  2n  5  4 n  n n  n  2n  1      3n  2  Vậy chuỗi đã cho phân k ỳ. 3) Tiêu chuẩn tích phân Cho hàm số y  f ( x) liên tục, không âm và giảm trên [1,+ ) . Khi đó chuỗi số    f (n) và tích phân suy rộng  f ( x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. n 1 1  1  n Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi (chuỗi Riemann). n 1  1 1  dx hội tụ khi   1 ; phân kỳ khi   1 và Ta đã biết liên tục, không âm và  x x 1  1 giảm trên [1,+) . Do đó   hội tụ khi   1 ; phân kỳ khi   1 . n 1 n  1  n ln n Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi n 1  1 1 dx với giảm và liên tục trong [2,+) . Ta có  Xét tích phân suy rộng x ln x x ln x 2  b 1 1 dx  blim  dx  blim (ln b  ln 2)   .  x ln x  x ln x  2 2 Vậy tích phân suy rộng phân kỳ do đó chuỗi đ ã cho phân kỳ. 4.3 Chuỗi có dấu bất kỳ 4.3.1 Chuỗi hội tụ tuyệt đối     an , an  R . Nếu chuỗi số  an hội tụ thì chuỗi  an Định lý. Cho chuỗi số đã n 1 n 1 n 1 cho cũng hội tụ.    an ở định lý trên được gọi là hội tụ tuyệt đối. Nếu chuỗi  an Khi đó chuỗi phân n 1 n 1    an hội tụ thì chuỗi  an kỳ m à chuỗi gọi là bán hội tụ. n 1 n 1 Nguyễn Quốc Tiến 59
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Cao Cấp 1 Toán  cos n  Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi n2 n 1   1 cos n 1 cos n   2 và  2 hội tụ (theo định lý so sánh) nên chu ỗi hội tụ Ta có 2 n2 n 1 n n n n 1  cos n suy ra  2 hội tụ tuyệt đối. n 1 n    an phân kỳ thì chuỗi  an Chú ý: Nếu chuỗi chưa chắc phân kỳ. Tuy nhiên, nếu n 1 n 1    an phân kỳ thì chuỗi  an dùng tiêu chu ẩn D’Alembert hoặc Cauchy để có chuỗi n 1 n 1 cũng phân kỳ.  (2) n  n3 Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi n 1  2n1 n3 (2)n 2n a     3 . Ta có lim n 1  lim .  2  1 nên Xét chuỗi n3 n (n  1)3 2n n  a n 1 n n1 n   (2)n (2) n   n3 phân kỳ. phân k ỳ theo tiêu chu ẩn D’Alembert. Suy ra 3 n1 n n 1 4.3.2 Chuỗi đan dấu   n 1  (1)n an hoặc  (1) an với an  0, n  0 Chu ỗi đan dấu là chuỗi số có dạng n 1 n 1   n 1  (1)n an hoặc  (1) an . Nếu d ãy số Định lý (Leibnitz). Cho chu ỗi đan dấu n 1 n 1 dương a1 , a2 ,..., an ,... giảm và dần tới 0 khi n   thì chuỗi đan dấu hội tụ. Gọi S là tổng của chuỗi này thì 0  S  a1 .  (1) n1 (1)n1 11 n  1    ...   ... Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi số 23 n n 1 Chu ỗi đã cho là chuỗi đan dấu, các số hạng giảm dần tới 0 khi n   nên chuỗi này   (1)n1 1    phân kỳ. Vậy chuỗi đã cho bán hội tụ. hội tụ. Hơn nữa chuỗi n n 1 n n 1 4.4 Chuỗi hàm 4.4.1 Định nghĩa Cho dãy các hàm số a1 ( x), a2 ( x),..., an ( x),... cùng xác định trên miền D . Khi đó tổng   an ( x) được gọi là chuỗi hàm. n 1 Nguyễn Quốc Tiến 60

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.