zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

bai giang toan a1 dai hoc cong nghiep thuc pham_5

Chia sẻ: Kata_3 Kata_3 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Báo xấu

64
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bai giang toan a1 dai hoc cong nghiep thuc pham_5', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: bai giang toan a1 dai hoc cong nghiep thuc pham_5

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Cao Cấp 1 Toán (sin x )'  cos x (cos x )'  - sin x 1  1  tg 2x (tgx )'  cos2 x 1 (cot gx )'   2  (1  cot g 2x ) sin x 2.1.4 Các quy tắc tính đạo hàm 1) Nếu hai hàm u(x ) và v(x ) có đ ạo hàm tại điểm x thì tổng, hiệu, tích, thương của chúng cũng có đạo hàm tại điểm x và: (u  v )'  u ' v ' (ku )'  ku ', k  R (u.v )'  u ' v  uv ' u u ' v - uv ' ( )'  , v0 v2 v 2) Đạo hàm của hàm hợp Xét hàm hợp y  y u(x ) nếu hàm y  y(u ) có đạo hàm đối với u và u  u(x ) có đạo hàm đối với x thì y  y u(x ) có đạo hàm đối với x và y '(x )  y '(u ).u '(x ) Ví dụ Xét hàm số y  (1  x 3 )10 Ta có y '  10(1  x 3 )9 (1  x 3 )'  10(1  x 3 )9 3x 2  30x 2 (1  x 3 )9 Ví dụ Giả sử (x ), (x ) có đ ạo hàm với mọi x  R . Tính đ ạo hàm của hàm y  2 (x )  2 (x ) Đặt u   2(x )  2 (x ) khi đó y  u Ta có 1 2(x ) '(x )  2(x ) '(x ) y '(x )  y '(u ).u '(x )  2u (x ) '(x )  (x ) '(x )   2 (x )   2 (x ) x  1 Ví dụ Tính các đ ạo hàm của hàm số sau: y  1      x 1 Ta có ln y  x ln(1  ) x y' 1 1  ln(1  )  Lấy đạo hàm hai vế ta được: x 1 y x Nguyễn Quốc Tiến 21
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Cao Cấp 1 Toán x  1  1 1 Suy ra y '  1   ln(1  )      x  x  1  x 3) Đạo hàm của hàm ngược -1 Giả sử hàm số y  f (x ) có hàm ngược là x  f (y ) , nếu y có đ ạo hàm tại x 0 và 1 y '(x 0 )  0 thì hàm ngược x  f -1(y ) có đạo hàm tại y 0  f (x 0 ) và x '(y 0 )  y '(x 0 ) Ví dụ Tính đ ạo hàm của y  f (x )  arctgx Ta có y  arctgx  x  tgy  x '(y )  1  tg 2y . 1 1 1 Do đó: y '(x )    2 1  x2 1  tg y x '(y ) Tương tự ta tính được đạo hàm của các hàm số ngược: 1 1 (arcsin x ) '  ; (arccos x ) '   ; 2 1x2 1x 1 1 (arctgx ) '  ; (arc cot gx ) '   2 1  x2 1x 2.1.5 Đạo hàm cấp cao Cho hàm số f (x ) có đạo hàm f '(x ) . Hàm số f '(x ) được gọi là đ ạo hàm cấp một của f (x ) . Nếu f '(x ) khả vi thì đạo hàm của f '(x ) được gọi là đ ạo hàm cấp hai của f (x ) và ký hiệu là f ''(x ) . Vậy f ''(x )   f '(x ) ' Tổng quát, đạo hàm của đạo hàm cấp n  1 của f (x ) được gọi là đạo hàm cấp n của f (x ) ký hiệu f (n )(x ) vậy f (n )(x )   f (n 1) (x ) ' Ví dụ Tìm đạo hàm cấp n của y  f (x )  xe x Ta có y '  e x  xe x  (1  x )e x y "  e x  (1  x )e x  (2  x )e x ... Chứng minh bằng quy nạp ta đi đến kết quả sau y (n )  (n  x )e x 2.2 Vi phân 2.2.1 Định nghĩa 1) Cho hàm số y  f (x ) xác đ ịnh trên (a, b) và x  (a, b) , nếu hàm số y  f (x ) khả vi tại điểm x thì số gia của hàm số tại x có thể viết được dưới dạng f (x )  f (x  x ) - f (x )  f '(x )x  o(x ) với o(x ) là VCB cấp cao hơn x khi x  0 . Nguyễn Quốc Tiến 22
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Cao Cấp 1 Toán Biểu thức f '(x ).x được gọi là vi phân của f (x ) tại x . Ký hiệu: df (x ) hoặc dy(x ) tức là df (x )  f '(x ).x Xét hàm y  f (x )  x ta có f '(x )  1 nên df (x )  dx  1.x  x từ đó ta có df (x )  f '(x ).x  f '(x ).dx . Để ngắn gọn ta viết df  f '(x ).dx 2) Giả sử y  f (x ), x  (t ) là các hàm số khả vi, khi đó vi phân hàm y  f (t ) là df  ( f (t ))' dt  f '(x )x '(t )dt  f '(x )dx . Vậy dạng vi phân của hàm y  f (x ) không thay đổi dù x là biến độc lập hay là x là hàm khả vi theo biến t . Tính chất này gọi là tính bất biến của dạng vi phân. Ví dụ Tìm dạng vi phân của hàm y  tgx Áp dụng định nghĩa dạng vi phân ta đ ược dy  d (tgx )  (1  tg 2x )dx 2.2.2 Ứng dụng của vi phân để tính gần đúng Cho hàm y  f (x ) khả vi tại x 0 . Theo định nghĩa vi phân ta có số gia của hàm tại x 0 là : f  f (x 0  x ) - f (x 0 )  f '(x 0 )x  o( x ) Do đó khi x khá bé ta có công thức gần đúng. f (x 0  x )  f '(x 0 )x  f (x 0 ) 122 Ví dụ Tính gần đúng Ta thấy 122  1211 Xét hàm y  f (x )  x Áp đụng công thức gần đúng f (x 0  x )  f '(x 0 )x  f (x 0 ) suy ra 1 x 0  x  .x  x 0 . Chọn x 0  121, x  1 ta được 2 x0 1 122  .1  121  0, 0454  11  11, 0454 2 121 Ví dụ Tính gần đúng sin 29o    . Xét hàm y  f (x )  sin x Ta thấy sin 290  sin      6 180    Ta có sin(x 0  x )  cos x 0 .x  sin x 0 , áp dụng cho x 0  , x  - ta 6 180 được      1 3   sin 29o  sin     6 180   sin 6  cos 6 .  180   2  2 . 180  0, 484     2.2.3 Vi phân cấp cao Nếu hàm y  f (x ) khả vi trên (a, b) thì df  f '(x )dx đ ược gọi là vi phân cấp một của Nguyễn Quốc Tiến 23
Toán Cao Cấp 1 f (x ) , nó là một hàm số của x trên (a, b) trong đó dx không đổi. Vi phân của vi phân cấp một gọi là vi phân cấp hai của hàm f (x ) trên (a, b) ký hiệu: d 2 f tức là: d 2 f  d (df )  d[ f '(x )dx ]  [ f '(x )dx ]' dx  f "(x )(dx )2 Một cách tổng quát, vi phân của vi phân cấp (n - 1) của hàm y  f (x ) được gọi là vi phân k P p• P H•0 ) 0 Nguyễn Quốc Tiến 24
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Cao Cấp 1 Toán x x' 1 0  lim  0 . Vậy lim Ta có: lim ex x  (e x )' x  e x x  f '(x ) Chú ý : Khi x tiến tới một quá trình nào đó (chẳng hạn x tiến tới x 0 ), nếu lim g '(x ) x x 0 f (x ) không tồn tại thì không kết luận được cho lim . Nếu áp dụng quy tắc L’Hospital g (x ) x x 0  0 mà giới hạn vẫn còn dạng vô định hoặc thì có thể áp dụng quy tắc L’Hospital 0  một lần nữa và tiếp tục cho đến hết dạng vô định. 1  cos x Ví dụ Tính lim x 2  2x  1 x 1 Áp dụng liên tiếp hai lần quy tắc L’Hospital ta được 2  sin x  sin x   cos x    lim lim lim . 2x  2 x 1 2 2 1 2 x 1 x 1 x 1 2 1  cos x  Vậy lim x 2  2x  1 2 x 1 3 x Ví dụ Tính lim x  sin x x 0 Áp dụng liên tiếp quy tắc L’Hospital ta có: x3 3x 2 6x 6  lim  lim  lim 6 lim x  sin x 1  cos x sin x cos x x 0 x 0 x 0 x 0 x3 6 Vậy lim x  sin x x0 Đối với các dạng vô định   , 0., 00, 0 và 1 ta phải đ ưa các dạng vô định đó về  0 một trong hai dạng hoặc sau đó lại áp dụng quy tắc L’Hospital. 0  Tính lim x . ln x ( d ạng 0. ) Ví dụ  x 0  Ta biến đổi để đ ưa giới hạn về dạng  1 ln x x lim x ln x  lim  lim   lim x  0 1 1     x0 x 0 x 0 x 0  2 x x x1  e 1 1 Ví dụ Tính lim (d ạng  - ) x x0 0 Ta biến đổi giới hạn để đưa về dạng sau đó áp dụng liên tiếp quy tắc L’Hospital 0 Nguyễn Quốc Tiến 25

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.