zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

bai giang toan a1 dai hoc cong nghiep thuc pham_6

Chia sẻ: Kata_3 Kata_3 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Báo xấu

56
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bai giang toan a1 dai hoc cong nghiep thuc pham_6', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: bai giang toan a1 dai hoc cong nghiep thuc pham_6

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Cao Cấp 1 Toán x  ex  1  x ex  1 ex 1 1 1   lim  lim  lim  lim x x x x x x 1 x (e  1) e  1  xe 2e  xe e 2 x0 x 0 x 0 x 0 Ví dụ Tính lim x  ln 3 x  (d ạng  -  ) x  ln 3 x Ta có: x  ln3 x  x (1 - ) và x 1 3 ln2 x . ln 3 x 2 x  lim 3 ln x  lim 6 ln x  lim 6 1  0  lim lim x x x x  x 1 x  x  x  x   ln3 x    .1   lim x 1 - Vậy: lim x  ln 3 x      x   x x  Ví dụ Tính lim x sin x ( dạng 0 0)  x0 sin x Ta có x sin x  e ln x  e sin x ln x . Do đó lim sin x ln x lim x sin x  lim e sin x ln x  e x 0    x 0 x 0 Bây giờ ta đi tính lim sin x ln x (dạng 0.  )  x 0 1 x sin2 x ln x x lim sin x ln x  lim  lim cos x  lim 2 0 1 x cos x     x 0 x 0 x 0 x 0 2 sin x sin x lim sin x ln x Vậy lim x sin x  e x 0  e0  1   x 0 Ví dụ Tính lim(1  x )ln x ( dạng 1 )  x0 lim (1x 1)ln x lim x ln x  x  0 Ta có : lim(1  x )ln x  e x  0 e  x0 xlim 0[ f (x )1]g(x ) x g(x ) e (Ở đây ta đã sử dụng công thức lim f (x ) , công thức này x x 0 không chứng minh) mà lim x ln x  0 (đ ã xét ). Vậy lim(1  x )ln x  e 0  1   x 0 x 0 2 Ví dụ Tính lim x x ( d ạng 0) x  1 ln x 2 x ln x lim 2 lim 2 lim 2 x x  x x  1 x   e0  1 Ta có lim x x  e e e x  Nguyễn Quốc Tiến 26
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Cao Cấp 1 Toán 2.3.2 Sự biến thiên của hàm số Cho hàm số y  f (x ) liên tục trên [a, b ] và có đạo hàm hữu hạn trên (a,b) , khi đó ta có các kết quả sau : Nếu f (x ) luôn tăng (giảm) trên [a, b ] thì f '(x )  0, x  (a, b ) ( f '(x )  0, x  (a, b) ) Nếu f '(x )  0, x  (a, b ) ( f '(x )  0, x  (a, b) ) thì trên [a, b ] hàm f (x ) đơn điệu tăng (giảm) Việc chứng minh hai kết quả trên dựa vào định nghĩa hàm số tăng (giảm), định nghĩa đạo hàm và định lí Lagrange. Sinh viên tự chứng minh như bài tập . Từ hai kết quả trên ta có nhận xét : Nếu hàm f (x ) có đạo hàm đồng nhất bằng 0 trên [a, b ] thì f (x ) là hàm hằng trên [a, b ] . 2.3.3 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Cho hàm số y  f (x ) liên tục trên [a, b ] theo tính chất của hàm số liên tục thì f (x ) đ ạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên [a, b ] . Nếu giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đạt được tại một đ iểm x 0  (a,b) thì tại x 0 hàm sẽ có cực trị. Từ đó ta có phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số y  f (x ) liên tục trên [a, b ] như sau : Tìm các cực trị của f (x ) trên đo ạn [a, b ] và tính các giá trị cực trị. So sánh các giá trị cực t rị với f (a ), f (b ) . Số lớn nhất trong các giá trị trên là giá trị lớn nhất của f (x ) trên đo ạn [a, b ] , số bé nhất là giá trị bé nhất của f (x ) trên đoạn [a, b ] Như vậy để tìm giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của f (x ) trên đoạn [a, b ] trước tiên ta phải tìm các cực trị của hàm. Định lí Ferma cho phép ta giới hạn việc tìm cực trị tại những điểm x 0 mà f '(x 0 )  0 hoặc không tồn tại đạo hàm, các điểm x 0 như vậy gọi là các điểm tới hạn của f (x ) . Kết quả sau cho ta điều kiện đủ để một điểm tới hạn là cực trị của hàm số Định lí 2.1 Giả sử f (x ) liên tục trên một lân cận của x 0 có đ ạo hàm trong lân cận đó (có thể trừ x 0 ) và x 0 là điểm tới hạn của f (x ) . Khi đó : i) Nếu f '(x ) đổi dấu từ âm sang d ương khi x đi qua x 0 thì f (x ) đ ạt cực tiểu tại x 0 ii) Nếu f '(x ) đổi dấu từ d ương sang âm khi x đ i qua x 0 thì f (x ) đạt cực đại tại x 0 iii) Nếu f '(x ) không đ ổi dấu khi x đi qua x 0 thì f (x ) không đạt cực trị tại x 0 Ví dụ Tìm cực trị củ a hàm số y  f (x )  (x  1) 3 x 2 Ta có : Miền xác định của hàm số là R 5x - 2 Bảng xét dấu của đạo hàm : y '  3 , với các 3x 2 đ iểm tới hạn là : x  0, x  5 Ta có hàm số đạt cực đại x  0 và đạt cực tiểu tại 2 x 5 Định lí Nguyễn Quốc Tiến 27
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Cao Cấp 1 Toán Cho hàm số y  f (x ) liên tục trên [a, b ] và khả vi liên tục đến cấp hai trên (a, b) , khi đó: i) Nếu tại x 0  (a, b ), f '(x 0 )  0 và f ''(x 0 )  0 thì f (x ) đ ạt cực đại tại x 0 ii) Nếu tại x 0  (a, b ), f '(x 0 )  0 và f ''(x 0 )  0 thì f (x ) đạt cực tiểu tại x 0 Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f (x )  3 x (1  x )2 trên [-1,1] 1 1  3x 1 Ta có f '(x )  , f '(x )  0  x  , f '(x ) không xác định tại 27 3 x (1  x ) 3 2 x  0, x  1 Như vậy trên [-1,1] f (x ) có ba điểm tới hạn và 1 4 3 f( )  , f (0)  0, f (1)  0, f (1)   3 4 so sánh các giá trị ta có f (x ) đạt giá trị 3 3 3 4 1 tại x  , đ ạt giá trị nhỏ nhất  3 4 tại x  1 lớn nhất là 3 3 2.3.4 Tính lồi, lõm và điểm uốn của đường cong Giả sử hàm f (x ) khả vi trên kho ảng (a, b) và có đồ thị trên (a,b) là cung đường cong (C ) 1) Cung đường cong (C ) được gọi là lồi trên (a,b) nếu mọi điểm của cung này đều nằm bên dưới tiếp tuyến bất kì của cung. Hình 2.2 2) Cung đường cong (C ) được gọi là lõm trên (a, b) nếu mọi Hình 2.2 đ iểm của cung này đ ều nằm b ên trên tiếp tuyến bất kì của cung. Hình 2.3 3) Điểm phân chia giữa cung lồi và cung lõm kề nhau của một đ ường cong đ ược gọi là điểm uốn của đ ường cong đó Để xét tính lồi , lõm của đường cong ta có định lí sau: Định lí Giả sử hàm f (x ) khả vi đến cấp hai trên khoảng (a,b) . Khi đó i) Nếu f ''(x )  0, x  (a, b ) thì cung đường cong f (x ) lõm trên Hình 2.3 kho ảng đó ii) Nếu f ''(x )  0, x  (a, b ) thì cung đường cong f (x ) lồi trên khoảng đó Từ định lí 2.3 ta suy ra hệ quả sau đây : Hệ quả Giả sử f (x ) liên tục tại x 0 khả vi đến cấp hai tại một lân cận của x 0 ( có thể trừ tại x 0 ) và f ''(x ) đổi dấu khi x đ i qua x 0 thì đ iểm (x 0, f (x 0 )) là điểm uốn của đường cong f (x ) 2 Ví dụ Xét tính lồi lõm và đ iểm uốn của đ ường cong y  ex Ta có 1 2 2 y '  2xe -x ; y ''  4(x 2  )e x 2 2 y ''  0  x   2 Bảng xét dấu của y '' Nguyễn Quốc Tiến 28
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Cao Cấp 1 Toán 22 2 Như vậy: đường cong lồi trên khoảng ( , ) , lõm trên các khoảng (,  ) và 22 2 2e 2e 2 ( , ) . Các điểm uốn là : ( , ), ( , ) 2e 2e 2 2.3.5 Tiệm cận của hàm số 1) Đồ thị của hàm số f (x ) gọi là có nhánh vô cực nếu lim f (x )   . x x 0 Trong trường hợp đó đ ường thẳng d đ ược gọi là đường tiệm cận của đ ường cong (C ) của hàm f (x ) nếu khoảng cách từ điểm M (x , y )  (C ) đ ến d dần đến 0 khi M chạy ra vô tận trên (C ) . Hình 2.4 Hình 2.4 2) Các lo ại tiệm cận Nếu lim f (x )   (lim f (x )  ); lim f (x )  ) thì đ ường thẳng x  a là tiệm cận   x a x a x a đ ứng của (C ) Nếu lim f (x )  b thì đ ường thẳng y  b là tiệm cận ngang của (C ) x  Nếu lim  f (x )  (ax  b)  0 thì y  ax  b là tiệm cận xiên của (C ) , trong trường hợp x  này f (x ) ; b  lim  f (x )  ax  a  lim x  x x  Ví dụ 2x - 3 có tiệm cận đứng x  1 , tiệm cận ngang y  2 (1) Đường cong y  f (x )  x 1 x3 (2) Đường cong y  TXD : D  (, 0)  (2, ) x 2 Ta có : x3   : đường cong có tiệm cận đứng x  2 lim x 2  x 2 x3   : đường cong không có tiệm cận ngang lim x 2 x  x3 f (x ) x  lim x  2  lim a1  lim 1 x 2 x  x x x  x   x3  x ( x  x  2) x (x  x  2)  b1  lim  f (x )  a1x   lim     x  2  x   xlim  lim 1  x    x 2 x  2( x  x  2) x   x    Vậy y  x  1 là một tiệm cận xiên của đ ường cong khi x   x3 f (x ) x  lim x  2  lim  a2  lim  1 x 2 x  x x x  x   x3   b2  lim  f (x )  a2x   lim   x   1   x   x  2    x    Vậy y  x  1 là tiệm cận xiên thứ hai của đ ường cong khi x   Nguyễn Quốc Tiến 29
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Cao Cấp 1 Toán x3  4 Ví dụ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y  x2 Ta có : TXD  R \ 0 x3  4   : đường cong có tiệm cận đứng x  0 lim x2 x 0 x3  4   : đ ường cong không có tiệm cận lim x2 x  ngang x3  4 f (x ) a  lim 1 lim x3 x  x x  x 3  4  b  lim  f (x )  ax   lim  x  0 x    2 x x  đ ường cong có tiệm cận xiên y  x 8 y '  1 3 , y '  0  x  2 x 24 y ''  4  0 : đường cong luôn lõm. x Ta có b ảng biến thiên Hàm số đạt cực tiểu tại x  2 và y min  3 Giao điểm của đồ thi với trục ho ành ( 3 4, 0) Vẽ đồ thị BÀI TẬP CH ƯƠNG II Đạo hàm Câu 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y  sin 2 x b) y  cos(x 2  3x) c) y  ln( x 2  3 x ) 57 x 2  x  1 tại x  2 ; ds d) y  14 e) y  e  s in x f) y  x x g) y  xsin x Câu 2.  x2 , x  1 . Tính f '(1)  ? ;ds 2 a) Cho f ( x)    2 x  1, x  1 Nguyễn Quốc Tiến 30

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.