intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Luyện thi Đại học Toán chuyên đề: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Tran Binh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

Thêm vào BST
Báo xấu
347
lượt xem 98
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo môn Toán dành cho quý thầy cô và các bạn học sinh với chuyên đề: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Mời quý thầy cô và các bạn học sinh tham khảo nhằm củng cố kiến thức và ôn thi Đại học đạt kết quả cao nhất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi Đại học Toán chuyên đề: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số - Thầy Đặng Việt Hùng

  1. LT H MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hàm s và các bài toán liên quan – www.moon.vn Tài li u bài gi ng: 01. TI P TUY N C A TH HÀM S – P1 Th y ng Vi t Hùng D NG 1. TI P TUY N T I M T I M THU C TH HÀM S Công th c : Phương trình ti p tuy n t i i m M ( xo ; yo ) ∈ ( C ) : y = f ( x ) là y = y(′xo ) ( x − xo ) + yo ⇔ y = y(′xo ) ( x − xo ) + f ( xo ) Các lưu ý : + N u cho xo thì tìm yo = f(xo). + N u cho yo thì tìm xo b ng cách gi i phương trình f(x) = yo. + Tính y′ = f′(x). Suy ra y′(xo) = f′(xo). + Phương trình ti p tuy n ∆ là: y = f′(xo).(x – xo) + yo. D ng toán tr ng tâm c n lưu ý : ax + b + Ti p tuy n t i i m M thu c th hàm phân th c y = c t các tr c t a Ox, Oy t i các i m A, B th a cx + d OA = kOB mãn các tính ch t   S ∆OAB = S0 ax + b + Kho ng cách t tâm i x ng c a th hàm s y= n ti p tuy n t i i m M thu c th t giá tr l n cx + d nh t, ho c b ng m t h ng s cho trư c. Ví d 1. Cho hàm s y = x3 + x 2 + 2 x + 2 . Vi t phương trình ti p tuy n v i th t i a) giao i m c a th và Ox. b) i m u n c a th . Ví d 2. Cho hàm s y = x3 + 3x 2 + x + 1 . Tìm di m M thu c th hàm s sao cho ti p tuy n t i M v i th i qua g ct a O. /s: M (−1; 2) x +1 Ví d 3. Cho hàm s y= (C ) . x−2 Tìm di m M thu c th hàm s (C) sao cho ti p tuy n t i M v i th c t các tr c t a Ox, Oy t i A, B sao cho OA = 3OB, v i O là g c t a . /s: M t i m M là M (3; 4) x Ví d 4. Cho hàm s y= (C ) . x +1 1 Tìm di m M thu c th hàm s (C) sao cho kho ng cách t i m E(1; 2) n ti p tuy n t i M v i th b ng . 2 /s: M t i m M là M (0;0) BÀI T P T LUY N: Bài 1. Cho hàm s y = 2 x3 − x 2 + 6 x − 3 . Vi t phương trình ti p tuy n v i th t i giao i m c a th và Ox. Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95
  2. LT H MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hàm s và các bài toán liên quan – www.moon.vn 13  1 /s: y = x−  2 2 Bài 2. Cho hàm s y = 2 x3 − 3 x 2 + 1 có th là (C) Tìm trên (C) nh ng i m M sao cho ti p tuy n c a (C) t i M c t tr c tung t i i m có tung b ng 8. /s: M (−1; −4) x+2 Bài 3. Cho hàm s y= x −1 Vi t phương trình ti p tuy n c a th hàm s bi t ti p tuy n c t tr c hoành, tr c tung l n lư t t i hai i m phân bi t A 50 và B sao cho di n tích tam giác OAB b ng (v i O là g c to ) 3 /s: M (2; 4) 2x + 3 Bài 4. Cho hàm s y= x −1 Vi t phương trình ti p tuy n c a th hàm s bi t ti p tuy n c t tr c hoành, tr c tung l n lư t t i hai i m phân bi t A và B sao cho OB = 5OA (v i O là g c to ) /s: y = −5 x + 17; y = −5 x − 3 x Bài 5. Cho hàm s y= x +1 Tìm i m M thu c th sao cho kho ng cách t i m E (−1;1) n ti p tuy n t i M v i th b ng 2. /s: M (0;0), M (−2; −2). x+2 Bài 6. Cho hàm s y= x −1 Tìm i m M thu c th sao cho kho ng cách t i m E (−1;1) n ti p tuy n t i M v i th l n nh t. /s: d max = 2 ⇔ M (0;2), M (−2;0). x−3 Bài 7. Cho hàm s y= 2x + 1  1 1 7 2 Vi t phương trình ti p tuy n v i th sao cho kho ng cách t i m I − ;  n ti p tuy n t i M b ng .  2 2 10 /s: y = 7 x + 11. 2x + 5 Bài 8. Cho hàm s y= (1) x−2 Vi t phương trình ti p tuy n c a th hàm s (1) bi t ti p tuy n c t tr c hoành, tr c tung l n lư t t i hai i m phân bi t A và B sao cho OA = 9OB (v i O là g c to ) x−3 Ví d 9. Cho hm s y= ( C) x +1 Vi t phương trình ti p tuy n c a th hàm s , bi t ti p tuy n c t tr c Ox t i A, c t tr c Oy t i B sao cho OA = 4OB. x+2 Ví d 10. Cho hàm s y= (1). 2x + 3 Vi t phương trình ti p tuy n c a th hàm s (1), bi t ti p tuy n ó c t tr c hoành, tr c tung l n lư t t i hai i m phân bi t A, B và tam giác OAB cân t i g c t a O. Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95
  3. LT H MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hàm s và các bài toán liên quan – www.moon.vn Tài li u bài gi ng: 01. TI P TUY N C A TH HÀM S – P2 Th y ng Vi t Hùng D NG 1. TI P TUY N T I M T I M THU C TH HÀM S (ti p theo) Công th c : Phương trình ti p tuy n t i i m M ( xo ; yo ) ∈ ( C ) : y = f ( x ) là y = y(′xo ) ( x − xo ) + yo ⇔ y = y(′xo ) ( x − xo ) + f ( xo ) Các lưu ý : + N u cho xo thì tìm yo = f(xo). + N u cho yo thì tìm xo b ng cách gi i phương trình f(x) = yo. + Tính y′ = f′(x). Suy ra y′(xo) = f′(xo). + Phương trình ti p tuy n ∆ là: y = f′(xo).(x – xo) + yo. D ng toán tr ng tâm c n lưu ý : ax + b Ti p tuy n t i i m M thu c th hàm phân th c y = c t các ti m c n t i A, B. Khi ó ta có các tính ch t sau: cx + d + M là trung i m c a AB + Di n tích tam giác IAB luôn không i, v i I là giao iêm c a hai ti m c n + Chu vi tam giác IAB t giá tr nh nh t. + Bán kính ư ng tròn n i ti p tam giác IAB d t gái tr l n nh t. x+2 Ví d 1. Cho hàm s y = (C ) . x −1 G i M là m t i m thu c th hàm s . Ti p tuy n v i th t i M c t các ti m c n t i A, B. a) Ch ng minh r ng M là trung i m c a AB. b) Ch ng minh r ng di n tích tam giác IAB không i, v i I là tâm i x ng c a th (I là giao c a hai ti m c n) 2x − 3 Ví d 2. Cho hàm s y= (C ) . x−2 G i M là m t i m thu c th hàm s . Ti p tuy n v i th t i M c t các ti m c n t i A, B. Tìm i m M dài o n AB ng n nh t. /s: M (3;3), M (1;1) 2x + 1 Ví d 3. Cho hàm s y= (C ) . x −1 G i M là m t i m thu c th hàm s . Ti p tuy n v i th t i M c t các ti m c n t i A, B. Tìm i m M chu vi tam giác IAB nh nh t, v i I là tâm i x ng c a th hàm s . /s: xM = 1 ± 3 BÀI T P T LUY N: 2x − 3 Bài 1. Cho hàm s y= (C ) . x−2 G i M là m t i m thu c th hàm s . Ti p tuy n v i th t i M c t các ti m c n t i A, B. Tìm i m M ư ng tròn ngo i ti p tam giác IAB có di n tích nh nh t, v i I là tâm i x ng c a th hàm s . /s: M (3;3), M (1;1) Hư ng d n: Tam giác IAB vuông t i I nên ư ng tròn ngo i ti p tam giác IAB có ư ng kính là AB, suy ra di n tích AB 2 ư ng tròn ngo i ti p là S = πR = π 2 ,t ó bài toán quy v tìm M dài AB ng n nh t. 4 Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95
  4. LT H MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hàm s và các bài toán liên quan – www.moon.vn 2mx + 3 Bài 2. Cho hàm s y= (C ) . x−m G i M là m t i m thu c th hàm s . Ti p tuy n v i th t i M c t các ti m c n t i A, B. Tìm i m M tam giác IAB có di n tích b ng 64. 58 /s: m = ± 2 x−2 Bài 3. Cho hàm s y= (C ) . x +1 G i M là m t i m thu c th hàm s . Ti p tuy n v i th t i M c t các ti m c n t i A, B. Vi t phương trình ti p tuy n t i M bán kính ư ng tr n ng i ti p tam giác IAB t giá tr l n nh t. /s: y = x + 2(1 ± 3) x Bài 4. Cho hàm s y= (C ) . x −1 G i M là m t i m thu c th hàm s . Ti p tuy n v i th t i M c t các ti m c n t i A, B. Vi t phương trình ti p tuy n t i M bi t chu vi tam giác IAB b ng 2(2 + 2) .  y = −x /s:   y = −x + 4 Bài 5. Cho hàm s y = x3 + 3 x 2 − 1 . G i M là m t i m thu c th hàm s . Ti p tuy n v i th t i M c t các tr c t a t i A, B. Tìm t a i mM bi t OB = 3OA, v i O là g c t a . /s: M (−1;1) 2x − 1 Bài 6. Cho hàm s y = . G i I là giao i m c a hai ư ng ti m c n, A là i m trên (C) có hoành là a. Ti p 1− x tuy n t i A c a (C) c t hai ư ng ti m c n t i P và Q. Ch ng t r ng A là trung i m c a PQ và tính di n tích tam giác IPQ. Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95
  5. LT H MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hàm s và các bài toán liên quan – www.moon.vn Tài li u bài gi ng: 01. TI P TUY N C A TH HÀM S – P3 Th y ng Vi t Hùng D NG 2. TI P TUY N BI T H S GÓC H s góc c a m t ư ng th ng là tang (tan) c a góc h p b i ư ng th ng ó và chi u dương tr c Ox. Kí hi u k = tanα. N u ư ng th ng d h p v i tr c Ox (không nói rõ chi u dương c a tr c Ox) thì k = ± tanα. y − yN ư ng th ng d i qua hai i m M, N thì h s góc c a ư ng d ư c tính b i kd = M xM − x N ư ng th ng d i qua i m M(x1 ; y1) và có h s góc k thì có phương trình d : y = k ( x − x1 ) + y1. Trong trư ng h p t ng quát, ư ng th ng d có h s góc k thì luôn vi t d ng d: y = kx + m. d : y = k1 x + m1 Cho hai ư ng th ng  1 d 2 : y = k2 x + m2 kd = kd2  + d1 và d2 song song v i nhau thì có cùng h s góc :  1  m1 ≠ m2  1 + d1 và d2 vuông góc v i nhau thì có tích h s góc b ng −1 : kd1 .kd 2 = −1 ⇔ kd2 = − . kd1 o hàm t i m t i m xo thu c th hàm s y = f(x) chính là h s góc c a ti p tuy n v i th t i i m ó. T c là ktt = y′ ( xo ) . Ví d 1: Xác nh h s góc k c a các ư ng cho dư i ây ? −2 1 2 a) 2 x + 3 y − 1 = 0 ← 3 y = −2 x + 1 ⇔ y = → x +  k = − . → 3 3 3 1 3 1 b) − x + 5 y + 3 = 0 ← 5 y = x − 3 ⇔ y = x −  k = . → → 5 5 5 c) 2 x + y + 3 = 0 ← y = 2 x − 3  k = 2. → → Ví d 2: Cho hàm s y = x3 + (m − 1) x 2 + 2mx + 3 Tìm m ti p tuy n a) t i i m có hoành x = –3 song song v i ư ng th ng d : 5x – y + 3 = 0 b) t i i m có hoành x = 1 vuông góc v i ư ng th ng d’ : x – 2y + 3 = 0 Ví d 3: Cho hàm s y = x 4 + 2(m − 1) x 2 − 8m − 2 Tìm m ti p tuy n t i các i m c nh c a th hàm s vuông góc v i nhau. x + 3m Ví d 4: Cho hàm s y= x−m Tìm m ti p tuy n t i giao i m c a th và tr c Oy vuông góc v i ư ng th ng d : x – 2y + 1 = 0 Ví d 5: Cho hàm s y = x3 + x 2 − x + 1 G i d là ư ng th ng i qua i m A(1 ; 2) và có h s góc k. Tìm k dc t th (C) t i ba i m phân bi t A, B, C sao cho ti p tuy n v i th t i B, C vuông góc v i nhau. Ví d 6: Cho hàm s y = x3 − 3x 2 + x + 3. M t ư ng th ng d i qua A(2 ; 1) và có h s góc k. Tìm k ư ng th ng d và th hàm s ã cho Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95
  6. LT H MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hàm s và các bài toán liên quan – www.moon.vn a) c t nhau t i duy nh t m t i m. b) c t nhau t i ba i m phân bi t. c) c t nhau t i ba i m phân bi t có hoành dương. Hư ng d n gi i : ư ng th ng d qua A(2 ; 1) và có h s góc k nên có d ng d : y = k(x − 2) + 1. Phương trình hoành giao i m c a hai th : x3 − 3x 2 + x + 3 = k ( x − 2) + 1 ⇔ x3 − 3x 2 + x + 2 = k ( x − 2) x = 2 ⇔ ( x − 2)( x 2 − x − 1) = k ( x − 2) ⇔   g ( x) = x − x − 1 − k = 0, (1) 2 5 a) Hai th c t nhau t i duy nh t m t i m khi (1) vô nghi m ⇔ ∆ < 0 ⇔ 1 + 4(1 + k ) < 0 ⇔ k < − . 4 4 V yv i k 0 1 + 4(1 + k ) > 0 k > − i u ó x y ra khi  ⇔ ⇔ 4  g (2) ≠ 0  g (2) = 1 − k ≠ 0 k ≠ 1   4 k > − V yv i  5 thì hai th ã cho c t nhau t i ba i m phân bi t. k ≠ 1  c) Do nghi m x = 2 > 0 nên ba giao i m có hoành ô dương thì (1) ph i có hai nghi m dương phân bi t và khác 2.  x1 + x2 > 0 1 > 0 G i hai nghi m ó là x1 ; x2. Khi ó ta có  ⇔ ⇔ k < −1  x1 x2 > 0 −1 − k > 0 4 K t h p v i di u ki n t n t i ba giao i m câu b ta dư c − < k < −1 là giá tr c n tim. 5 Ví d 7: Cho hàm s y = 2 x3 − 3mx 2 + mx + 1. a) Tìm m ti p tuy n v i th t i i m u n song song v i ư ng th ng ∆: 4x + y + 1= 0. b) Tìm m ti p tuy n v i th t i i m x = −2 vuông góc v i ư ng th ng ∆′: 2x + 3y + 2= 0. Hư ng d n gi i :  y′ = 6 x 2 − 6mx + m  a) Ta có y = 2 x − 3mx + mx + 1   3 2 → m  y′′ = 12 x − 6m  y′′ = 0 ⇔ x = →  2 m m2 m 3m 2 Ti p tuy n t i i m u n có h s góc là ku = y′   = 6. − 6m. + m = − +m 2 4 2 2 ư ng th ng ∆ có h s góc xác nh b i ∆ : 4 x + y + 1 = 0 ⇔ y = −4 x − 1  k∆ = −4. → m = 2 3m 2 Ti p tuy n t i i m u n song song v i ∆ nên ku = k∆ ⇔ − + m = −4 ⇔ 3m 2 − 2m − 8 = 0 ⇔  2 m = − 4   3 4 V y, v i m = 2; m = − thì ti p tuy n t i i m u n c a th song song v i ư ng th ng ∆. 3 b) Ti p tuy n t i x = −2 có h s góc là ktt = y′ ( −2 ) = 24 + 12m + m = 13m + 24 Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95
  7. LT H MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hàm s và các bài toán liên quan – www.moon.vn 2 2 2 ư ng th ng ∆′ có h s góc xác nh b i ∆′ : 2 x + 3 y + 2 = 0 ⇔ 3 y = −2 x − 2 ⇔ y = − x −  k∆′ = − . → 3 3 3 2 45 Ti p tuy n t i i m x = −2 vuông góc v i ∆′ nên ktt .k∆′ = −1 ⇔ − (13m + 24 ) = −1 ⇔ 26m + 48 = 3 ⇔ m = − 3 26 45 V y, v i m = − thì ti p tuy n t i x = −2 vuông góc v i ∆′. 26 BÀI T P T LUY N Bài 1. Cho hàm s y = x3 − (m − 2) x2 + mx + 3. a) Tìm m ti p tuy n v i th t i i m có hoành x = 1 song song v i ư ng (d): y = 2x – 1. b) Tìm m ti p tuy n v i th t i i m có hoành x = 0 vuông góc v i ư ng (d): 4x – 3y = 0. Bài 2. th hàm s y = –x4 + 2mx2 – 2m + 1 Tìm m các ti p tuy n v i th t i A(1; 0), B(–1; 0) vuông góc v i nhau. Bài 3. Cho hàm s y = x3 + 3x 2 + x + 2, có th là (C) và m t ư ng th ng d i qua A(−1; 3) có h s góc k. a) Tìm k ư ng th ng d c t (C) t i ba i m phân bi t cùng có hoành âm. b) Tìm k d c t (C) t i ba i m phân bi t A, B, C sao cho ti p tuy n v i (C) t i hai i m B, C vuông góc v i nhau. Bài 4. Cho hàm s y = x4 + mx2 – m – 1. Tìm m ti p tuy n v i th t i A song song v i ư ng th ng (d): y = 2x, v i A là i m c nh có hoành dương c a th hàm s . Bài 5. Cho hàm s y= ( 3m + 1) x − m . x+m Tìm m ti p tuy n t i giao i m c a th hàm s v i tr c Ox song song v i ư ng th ng (d): y = –x –5. Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95
  8. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên HÀM S Tài li u bài gi ng: 01. TI P TUY N C A TH HÀM S – P4 Th y ng Vi t Hùng D NG 2. TI P TUY N BI T H S GÓC (ti p theo) 2x − 1 Ví d 1: Cho hàm s y= , có th là (C). G i I là giao i m hai ti m c n c a (C). Tìm i m M thu c (C) sao x −1 cho ti p tuy n c a (C) t i M vuông góc v i ư ng th ng IM. /s: M(0; 1) và M(2; 3). 2x Ví d 2: Cho hàm s y= , có th là (C). x−2 Vi t phương trình ti p tuy n d c a th sao cho ti p tuy n c t Ox, Oy t i các i m A, B v i AB = 2OA /s: d: x + y – 8 = 0 Ví d 3: Cho hàm s y = x3 + 3x2 + mx + 1 có th là (Cm); (m là tham s ). Xác nh m (Cm) c t ư ng th ng: y = 1 t i ba i m phân bi t C(0;1), D, E sao cho các ti p tuy n c a (Cm) t i D và E vuông góc v i nhau. 9 − 65 /s: m = 8 Ví d 4: (Trích thi i h c kh i A năm 2011) −x +1 Cho hàm s y= , có th là (C). Ch ng minh r ng ư ng th ng d: y = x + m luôn c t th (C) t i hai i m 2x −1 phân bi t A, B v i m i giá tr c a m. G i k1 ; k2 là h s góc c a ti p tuy n v i th (C) t i A, B. Tìm k t ng k1 + k2 t giá tr nh nh t. /s: m = −1; ( k1 + k2 )min = −2 BÀI T P T LUY N x +1 Bài 1: Cho hàm s y= , có th là (C). G i I là giao i m c a hai ti m c n c a th (C). x−2 Tìm i m M trên th sao cho ti p tuy n v i th t i M vuông góc v i ư ng th ng IM. 2x −1 Bài 2: Cho hàm s y= , (C ). x +1 Tìm i m M thu c th (C) ti p tuy n c a (C) t i M v i ư ng th ng i qua M và giao i m hai ư ng ti m c n có tích h s góc b ng −9. Bài 3: Cho hàm s y = − x3 + 2 x 2 − 3. M t ư ng th ng d i qua M(1 ; −2) và có h s góc k. a) Tìm k ư ng th ng d và th hàm s ã cho c t nhau t i ba i m phân bi t M(1 ; −2) ; A và B. b) Tim k ti p tuy n c a th t i hai i m A, B vuông góc v i nhau. Bài 4: Cho hàm s y = x3 – 3x + 1 có th là (C) và ư ng th ng d: y = mx + m + 3. Xác nh m d c t (C) t i M(−2; 3), N, P sao cho các ti p tuy n c a (C) t i N và P vuông góc v i nhau. Bài 5: Cho hàm s y = x3 – 3x 2 + 4 có th là (C) và ư ng th ng d i qua A(2; 0) có h s góc k. Xác nh k d c t (C) t i ba i m phân bi t A, B, C sao cho ti p tuy n c a (C) t i B và C vuông góc v i nhau. 2 5 Bài 6: Cho hàm s y = − x3 + (m − 1) x 2 + (3m − 2) x − có th (C m ), m là tham s . 3 3 Tìm m trên (C m ) có hai i m phân bi t M 1 ( x1 ; y1 ), M 2 ( x2 ; y2 ) th a mãn x1.x2 > 0 và ti p tuy n c a (C m ) t i m i i m ó vuông góc v i ư ng th ng d : x − 3 y + 1 = 0. Bài 7: Cho hàm s y = x3 + (1 − 2m) x 2 + (2 − m) x + m + 2 (1) v i m là tham s . H c tr c tuy n t i: www.moon.vn 1 Mobile: 0985.074.831
  9. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên HÀM S 1 Tìm m th c a hàm s (1) có ti p tuy n t o v i ư ng th ng d: x + y + 7 = 0 góc α, bi t cos α = . 26 x−3 Bài 8: Cho hàm s y= có th là (C). Vi t phương trình ti p tuy n c a th hàm s , bi t ti p tuy n ó c t tr c x +1 hoành t i A, c t tr c tung t i B sao cho OA = 4OB. Bài 9: Cho hàm s y = f ( x) = x3 + 6 x 2 + 9 x + 3 (C). Tìm t t c các giá tr k, t n t i 2 ti p tuy n v i (C) phân bi t và có cùng h s góc k, ng th i ư ng th ng i qua các ti p i m c a hai ti p tuy n ó c t các tr c Ox, Oy tương ng t i A và B sao cho OA = 2011.OB . 9 /s: k = ; k = 6039. 2 HƯ NG D N GI I, ÁP S x +1 Bài 1: Cho hàm s y= , có th là (C). G i I là giao i m c a hai ti m c n c a th (C). x−2 Tìm i m M trên th sao cho ti p tuy n v i th t i M vuông góc v i ư ng th ng IM. x +1 x − 2 + 3 3 3 Ta có y = = =1+  y′ = − → x−2 x−2 x−2 ( x − 2)2 3  3  G i M ( xo ; yo ) ∈ ( C ) ⇒ yo = 1 +  M  xo ;1 + → . xo − 2  xo − 2   x +1  x  2 x − 2 = ∞  → lim Ta có  , t ó ư ng x = 2 là ti m c n ng và y = 1 là ti m c n ngang.  lim x + 1 = 1  x  x − 2  →∞ i m I là giao c a hai ti m c n nên I(2 ; 1). 3 Ti p tuy n t i M có h s góc là ktt = y ′ ( xo ) = − ( xo − 2) 2  3  1 − 1 +  y I − yM  xo − 2  3 ư ng th ng IM có h s góc k IM = = = x I − xM 2 − xo ( xo − 2) 2 3 3 Ti p tuy n t i M vuông góc v i ư ng IM khi ktt .k IM = −1 ⇔ − . = −1 ( xo − 2) ( xo − 2) 2 2  xo − 2 = 3  xo = 2 + 3 ⇔ ( xo − 2)2 = 3 ⇔  ⇔  xo − 2 = − 3   xo = 2 − 3  + V i xo = 2 + 3 ⇒ yo = 1 + 3 xo − 2 =1+ 3 3 = 1 + 3  M 2 + 3;1 + 3 → ( ) + V i xo = 2 − 3 ⇒ yo = 1 + 3 xo − 2 =1+ 3 − 3 = 1 − 3  M 2 − 3;1 − 3 → ( ) V y có hai i m M th a mãn yêu c u bài toán. 2x −1 Bài 2: Cho hàm s y= , (C ). x +1 Tìm i m M thu c th (C) ti p tuy n c a (C) t i M v i ư ng th ng i qua M và giao i m hai ư ng ti m c n có tích h s góc b ng −9. Hư ng d n gi i : 3  2a − 1  Ta có y′ = . G i M  a;  ∈ (C ) ( x + 1)  a +1  2 3 Ti p tuy n v i (C) t i M có h s góc: ktt = y ′(a ) = . Giao i m hai ư ng ti m c n I(−1; 2). ( a + 1) 2 H c tr c tuy n t i: www.moon.vn 2 Mobile: 0985.074.831
  10. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên HÀM S yM − y I −3 ư ng th ng IM có h s góc là k IM = = . xM − xI ( a + 1)2 3 −3 a = 0 Theo bài ta có ktt .k IM = −9 ⇔ = −9 ⇔ ( a + 1) = 1   → 4 . ( a + 1) ( a + 1)  a = −2 2 2 V y có 2 i m M th a mãn bài là M(0; −3), M(−2; 5). Bài 3: Cho hàm s y = − x3 + 2 x 2 − 3. M t ư ng th ng d i qua M(1 ; −2) và có h s góc k. a) Tìm k ư ng th ng d và th hàm s ã cho c t nhau t i ba i m phân bi t M(1 ; −2) ; A và B. b) Tim k ti p tuy n c a th t i hai i m A, B vuông góc v i nhau. Hư ng d n gi i : a) ư ng th ng d qua M(1 ; −2) và có h s góc k nên có d ng d : y = k(x − 1) − 2. Phương trình hoành giao i m c a hai th : − x3 + 2 x 2 − 3 = k ( x − 1) − 2 ⇔ − x3 + 2 x 2 − 1 = k ( x − 1) x =1 ⇔ ( x − 1)(− x 2 + x + 1) = k ( x − 1) ⇔  2  − x + x + 1 = k ⇔ g ( x) = x − x + k − 1 = 0, (1) 2 Hai th c t nhau t i ba i m phân bi t khi (1) có hai nghi m phân bi t và khác 1.  5 ∆ > 0 1 − 4(k − 1) > 0 k < Ta có i u ki n  ⇔ ⇔ 4  g (1) ≠ 0  g (1) = k − 1 ≠ 0 k ≠ 1   4 k < V yv i  5 thì hai th ã cho c t nhau t i ba i m phân bi t, trong ó có i m M(1 ; −2). k ≠ 1   x1 + x2 = 1 b) G i A(x1; y1), B(x2; y2) ⇒ x1 ; x2 là hai nghi m c a g(x) = 0, theo nh lí Vi-ét ta có   x1 x2 = k − 1  k A = y′ ( x1 ) = −3 x12 + 4 x1  Ti p tuy n t i A, B l n lư t có h s góc là   k B = y′ ( x2 ) = −3 x2 + 4 x2 2  ( )( Ti p tuy n t i A và B vuông góc v i nhau khi k A .k B = −1 ⇔ −3x12 + 4 x1 −3x2 + 4 x2 = −1 2 ) ⇔ 9 ( x1 x2 ) − 12 x1 x2 ( x1 + x2 ) + 16 x1 x2 = −1 ⇔ 9 ( k − 1) − 12 ( k − 1) + 16 ( k − 1) = −1 ⇔ 9k 2 − 14k + 14 = 0 2 2 Phương trình trên vô nghi m, v y không có giá tr k nào th a mãn yêu c u bài toán. Bài 4: Cho hàm s y = x3 – 3x + 1 có th là (C) và ư ng th ng d: y = mx + m + 3. Xác nh m d c t (C) t i M(−2; 3), N, P sao cho các ti p tuy n c a (C) t i N và P vuông góc v i nhau. Hư ng d n gi i : • Phương trình hoành giao i m c a (C) và (d): x3 – (m + 3) x – m – 2 = 0  x = −1 ⇒ y = 3 ⇔ ( x + 1)( x 2 – x – m – 2) = 0 ⇔   g ( x) = x − x − m − 2 = 0 2 9 d c t (C) t i 3 i m phân bi t M ( −1;3) , N , P ⇔ m > − , m ≠ 0 4  x + xP = 1 Khi ó xN ; xP là các nghi m c a phương trình x 2 − x − m − 2 = 0 ⇒  N  x N xP = − m − 2  k = 3 xN − 3 2 H s góc c a ti p tuy n t i N, P l n lư t là k1 và k2 th a mãn  1  k 2 = 3 xP − 3 2  −3 + 2 2 m = Ti p tuy n c a (C) t i N và P vuông góc v i nhau khi k1.k2 = −1 ⇔ 9m 2 + 18m + 1 = 0 ⇔  3  −3 − 2 2 m =  3 −3 ± 2 2 i chi u v i i u ki n ta ư c m = là các giá tr c n tìm. 3 H c tr c tuy n t i: www.moon.vn 3 Mobile: 0985.074.831
  11. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên HÀM S Bài 5: Cho hàm s y = x3 – 3x 2 + 4 có th là (C) và ư ng th ng d i qua A(2; 0) có h s góc k. Xác nh k d c t (C) t i ba i m phân bi t A, B, C sao cho ti p tuy n c a (C) t i B và C vuông góc v i nhau. Hư ng d n gi i : Phương trình ư ng th ng (d): y = k(x − 2). Phương trình hoành giao i m c a (C) và d: x3 − 3 x 2 + 4 = k ( x − 2) ⇔ ( x − 2)( x 2 − x − 2 − k ) = 0  x = 2 = xA ⇔  g ( x) = x − x − 2 − k = 0, (1) 2 d c t (C) t i 3 i m phân bi t A, M, N thì (1) ph i có 2 nghi m phân bi t, khác 2 ∆ > 0 9 ⇔ ⇔ − < k ≠ 0 (*)  f (2) ≠ 0 4  xM + x N = 1 Theo nh lí Viet ta có:   xM x N = − k − 2 Các ti p tuy n t i M và N vuông góc v i nhau khi k M .k N = −1 ⇔ y ′( xM ). y ′( xN ) = −1 −3 ± 2 2 ⇔ (3 xM − 6 xM )(3xN − 6 xN ) = −1 ⇔ 9k 2 + 18k + 1 = 0 ⇔ k = 2 2 3 −3 ± 2 2 i chi u v i i u ki n (*) ta ư c m = là các giá tr c n tìm. 3 2 5 Bài 6: Cho hàm s y = − x3 + (m − 1) x 2 + (3m − 2) x − có th (C m ), m là tham s . 3 3 Tìm m trên (C m ) có hai i m phân bi t M 1 ( x1 ; y1 ), M 2 ( x2 ; y2 ) th a mãn x1.x2 > 0 và ti p tuy n c a (C m ) t i m i i m ó vuông góc v i ư ng th ng d : x − 3 y + 1 = 0. Hư ng d n gi i: 1 Ta có h s góc c a d : x − 3 y + 1 = 0 ⇒ kd = . Do ó x1 , x2 là các nghi m c a phương trình y ' = −3 , hay 3 −2 x + 2(m − 1) x + 3m − 2 = −3 ⇔ 2 x − 2(m − 1) x − 3m − 1 = 0 2 2 (1) Yêu c u bài toán tương ương v i phương trình (1) có hai nghi m x1 , x2 th a mãn x1 x2 > 0  ∆ ' = (m − 1) 2 + 2(3m + 1) > 0  m < −3  ⇔  −3m − 1 ⇔  >0  −1 < m < − 1 .  2   3 1 V y k t qu c a bài toán là m < −3 và −1 < m < − . 3 Bài 7: Cho hàm s y = x3 + (1 − 2m) x 2 + (2 − m) x + m + 2 (1) v i m là tham s . 1 Tìm m th c a hàm s (1) có ti p tuy n t o v i ư ng th ng d: x + y + 7 = 0 góc α, bi t cos α = . 26 Hư ng d n gi i: G i k là h s góc c a ti p tuy n, suy ra ti p tuy n có véctơ pháp n1 = (k ; −1) ư ng th ng d có véctơ pháp tuy n là n2 = (1;1)  3 n1 .n2 1 k −1  k1 = 2 Ta có cos α = ⇔ = ⇔ 12k 2 − 26k + 12 = 0 ⇔  n1 n2 26 2 k +1 2 k = 2  2 3  Yêu c u c a bài toán th a mãn ⇔ ít nh t m t trong hai phương trình: y ' = k1 (1) và y ' = k2 (2) có nghi m x  2 3 3 x + 2(1 − 2m) x + 2 − m = 2 có nghi m  ∆ /1 ≥ 0 ⇔ ⇔ / 3 x 2 + 2(1 − 2m) x + 2 − m = 2 có nghi m ∆ 2 ≥ 0    3 H c tr c tuy n t i: www.moon.vn 4 Mobile: 0985.074.831
  12. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên HÀM S  1 1 8m 2 − 2m − 1 ≥ 0  m ≤ − 4 ; m ≥ 2 1 1 ⇔ 2 ⇔ ⇔ m ≤ − ho c m ≥ .  4m − m − 3 ≥ 0  3 m ≤ − ; m ≥ 1 4 2   4 x−3 Bài 8: Cho hàm s y= có th là (C). Vi t phương trình ti p tuy n c a th hàm s , bi t ti p tuy n ó c t tr c x +1 hoành t i A, c t tr c tung t i B sao cho OA = 4OB Hư ng d n gi i: OB 1 1 Ta có OA = 4OB nênn ∆OAB có tan A = = ⇒ ti p tuy n AB có h s góc là k = ± OA 4 4 4 1  x=3 Phương trình y ' = k ⇔ = ⇔ ... ⇔  ( x + 1)  x = −5 2 4 1 + v i x = 3 ⇒ y = 0, ti p tuy n có phương trình y = ( x − 3) 4 1 1 13 + v i x = -5 ⇒ y = 2, ti p tuy n có phương trình y = ( x + 5) + 2 ⇔ y = x + 4 4 4 H c tr c tuy n t i: www.moon.vn 5 Mobile: 0985.074.831
  13. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên HÀM S Tài li u bài gi ng: 01. TI P TUY N C A TH HÀM S – P5 Th y ng Vi t Hùng D NG 3. TI P TUY N C A TH HÀM S I QUA M T IÊM CHO TRƯ C Cho hàm s y = f(x) có th là (C). i m A(xA ; yA) không thu c th . Vi t vi t các phương trình ti p tuy n k t A n th ta th c hi n như sau : + G i d là ư ng th ng i qua A và có h s góc k  d : y = k ( x − xA ) + y A →  f ( x) = k ( x − x A ) + y A ,  (1) + ư ng th ng d là ti p tuy n c a th (C) khi h sau có nghi m :  k = f ′( x), ( 2 )  + Ta gi i h phương trình trên b ng cách th (2) lên (1). Gi i (1) ư c x r i thay l i vào (2) tìm k, t ó ta ư c phương trình dư ng d chính là ti p tuy n c n tìm. Ví d 1. Cho hàm s y = x3 − x − 6 Vi t phương trình ti p tuy n biêt tiêp tuy n a) ti p tuy n song song v i ư ng th ng d: 2x – y + 1 = 0 b) ti p tuy n vuông góc v i ư ng th ng d’: 4x – y + 2 = 0 c) bi t ti p tuy n i qua A(2; 0) n th hàm s . Ví d 2. Cho hàm s y = − x3 + 9 x Vi t phương trình ti p tuy n biêt tiêp tuy n b) ti p tuy n vuông góc v i ư ng th ng d: 3x + 23y + 2 = 0 c) bi t ti p tuy n i qua A(3; 0) n th hàm s . Ví d 3. Cho hàm s y = − x3 + 9 x Vi t phương trình ti p tuy n biêt tiêp tuy n k t O(0; 0) n th hàm s . x Ví d 4. CMR không có ti p tuy n nào c a th hàm s y= i qua giao i m I c a 2 ư ng ti m c n. x +1 BÀI T P T LUY N Bài 1. Vi t phương trình ti p tuy n trong các trư ng h p sau: 2  a) Bi t ti p tuy n i qua A  ; −1 n th hàm s y = x3 – 3x + 1 3  ( ). 2 b) K t A(0; 4) n th hàm s y = 2 − x2 x+2 Bài 2. Vi t phương trình ti p tuy n k t i m A (1; −2 ) n th hàm s y= . 2x −1 Bài 3. Vi t phương trình ti p tuy n k t i m A ( 0; −1) n th hàm s y = x3 + x 2 − x + 2. /s: y = 4 x − 1 Bài 4. Vi t phương trình ti p tuy n k t i m A(1; 4) n th hàm s y = 2 x3 − x 2 + 3x + 1. /s: y = 3 x + 1 Bài 5. Vi t phương trình ti p tuy n k t i m A(3; 4) n th hàm s y = − x3 + 2 x + 5. Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95
  14. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên HÀM S /s: x + y − 7 = 0 1  Bài 6. Vi t phương trình ti p tuy n k t i m A ; 4  n th hàm s y = x 4 + 2 x 2 − 3. 2  /s: y = 8 x − 8 x +1 Bài 7. Vi t phương trình ti p tuy n k t i m A (1; −6 ) n th hàm s y= . x+2 /s: y = −3x − 3 2x − 3 Bài 8. Vi t phương trình ti p tuy n k t i m A(2; 2) n th hàm s y= . x−2 /s: y = − x + 4 Hư ng d n gi i: Bài 1. Vi t phương trình ti p tuy n trong các trư ng h p sau: 2  a) Bi t ti p tuy n i qua A  ; −1  n th hàm s y = x3 – 3x + 1 3  2   2 G i d là ư ng th ng qua A  ; −1 và có h s góc k  d : y = k  x −  − 1. → 3   3  3  2 3  x − 3x + 1 = k  x − 3  − 1, (1) d là ti p tuy n c a th hàm s y = x – 3x + 1 thì h sau có nghi m:    k = 3x 2 − 3, ( 2 )   2 x = 0 Th (2) lên (1) ta ư c x3 − 3x + 1 = ( 3x 2 − 3)  x −  − 1 ⇔ 2 x3 − 2 x 2 = 0 ⇔   3 x =1  2 V i x = 0 ⇒ k = −3  d : y = −3  x −  − 1 ⇔ y = −3x + 1 →  3 V i x = 1 ⇒ k = 0  d : y = −1. → ( ) 2 b) Ti p tuy n k t A(0; 4) n th hàm s y = 2 − x2 . G i d là ư ng th ng qua A(0; 4) và có h s góc k  d : y = kx + 4. →  x4 − 4 x2 + 4 = kx + 4, (1) d là ti p tuy n c a ( th hàm s y = 2 − x ) 2 2  = x − 4 x + 4 thì h sau có nghi m:  4 2 k = 4 x − 8 x, ( 2 ) 3  x = 0 Ta có (1) ⇔ x4 − 4 x 2 = kx ⇔  k = x − 4 x 3 V i x = 0, ( 2 ) ⇔ k = 0  d : y = 4 → x = 0 k = x − 4 x  3 V i k = x − 4 x   3 → → 3 3 3   x − 4 x = 4 x − 8 x ⇔ 3 x − 4 x = 0 ⇔ 2 4 k = 4 x − 8 x 3 x = ⇔ x = ± 2    3 3 + N u x = 0 thì ta ư c d : y = 4. 2 8 8 16 16 +N u x= ⇒k = − =−  d : y = − → x + 4. 3 3 3 3 3 3 3 3 2 8 8 16 16 +N u x=− ⇒k =− + =  d : y = → x + 4. 3 3 3 3 3 3 3 3 x+2 Bài 2. Vi t phương trình ti p tuy n k t i m A (1; −2 ) n th hàm s y = . 2x − 1 G i d là ư ng th ng qua A(1; −2) và có h s góc k  d : y = k ( x − 1) − 2. → Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95
  15. LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên HÀM S  x+2  2 x − 1 = k ( x − 1) − 2, (1) x+2  d là ti p tuy n c a th hàm s y = thì h sau có nghi m:  2x − 1 −5 k = , ( 2) ( 2 x − 1) 2   x+2 −5 = ( x − 1) − 2 ⇔ ( x + 2 )( 2 x − 1) + 5 ( x − 1) + 2 ( 2 x − 1) = 0 2 Thay (2) lên (1) ta ư c 2 x − 1 ( 2 x − 1) 2 1 ⇔ 10 x 2 − 5 = 0 ⇔ x = ± 2 1 −5 5 5 V i x= ⇒k = =  d : y = → ( x − 1) − 2 ( ) 2 2 −3 2 2 −3 2 2 2 −1 1 −5 −5 −5 V i x=− ⇒k = =  d : y = → ( x − 1) − 2 ( ) 3+ 2 2 3+ 2 2 2 2 − 2 −1 Nh n xét : Ngoài cách gi i trên, ta còn có th th c hi n bi n i h (1), (2) m t cách linh ho t hơn như sau : 1 5  2 ( 2 x − 1) + 2 k k  = ( 2 x − 1) − − 2 1 5 1 −5 k (1) , ( 2) ⇔  2x − 1 2 2  + . → = 2 ( 2 x − 1) − − 2  −5 2 2 2 x − 1 2 ( 2 x − 1) 2  k= ( 2 x − 1) 2  1 5 1 5 1 k 5 k 5 1 −k − 5 ⇔ + . =− . − −2⇔ =− − ⇔ = 2 2 2x −1 2 2x −1 2 2x −1 2 2 2x −1 10  −k − 5  2 2  1  Khi ó ( 2 ) ⇔ k = −5.   ⇔ k = −5.   ⇔ k + 30k + 25 = 0 ⇔ k = −15 ± 10 2 2  2x −1   10  T ( ó ta ư c các ti p tuy n c n tìm là y = −15 ± 10 2 ( x − 1) − 2. ) Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2