zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Luyện thi Đại học Toán chuyên đề: Góc giữa hai đường thẳng - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Tran Binh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Báo xấu

652
lượt xem 139
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo môn Toán dành cho quý thầy cô và các bạn học sinh với chuyên đề: Góc giữa hai đường thẳng. Mời quý thầy cô và các bạn học sinh tham khảo nhằm củng cố kiến thức và ôn thi Đại học đạt kết quả cao nhất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi Đại học Toán chuyên đề: Góc giữa hai đường thẳng - Thầy Đặng Việt Hùng

LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hình h c không gian Tài li u tham kh o: 01. GÓC GI A HAI Ư NG TH NG Th y ng Vi t Hùng I. TÍCH VÔ HƯ NG C A HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN 1) Góc gi a hai véc tơ  AB = u Gi s ta có   ( ) (  u; v = AB; AC = BAC , v i 0o ≤ BAC ≤ 180o. → )  AC = v  2) Tích vô hư ng c a hai véc tơ  AB = u Gi s ta có    u.v = AB. AC = AB . AC .cos AB. AC → ( )  AC = v  Nh n xét: u = 0 + Khi   u.v = 0 → v = 0  ( ) + Khi u ↑↑ v  u; v = 00 → + Khi u ↑↓ v  ( u; v ) = 180 → 0 + Khi u ⊥ v ← u.v = 0 → Ví d 1. Cho t di n u ABCD c nh a. a) Tính góc gi a hai véc tơ AB; BC . ( ) b) G i I là trung i m c a AB. Tính góc gi a hai véc tơ CI ; AC . ( ) Hư ng d n gi i: a) S d ng công th c tính góc gi a hai véc tơ ta ư c ( cos AB; BC = ) AB. BC AB . BC = AB. BC AB. BC AB.BC = a2 , (1) . ( Xét AB. BC = AB. BA + AC = AB.BA + AB. AC ) ( AB.BA = AB.BA.cos AB.BA = a.a.cos1800 = −a 2 ) Mà ( AB. AC = AB. AC.cos AB. AC = a.a.cos 600 = ) a2 2 a2 a2  AB. BC = −a 2 + → =− . 2 2 a2 − ( 1 ) (1) ⇔ cos AB; BC = 2 = −  AB; BC = 1200. a 2 2 → ( ) ( V y AB; BC = 120o. ) ( b) Ta có cos CI ; AC = ) CI . AC CI . AC = CI . AC CI . AC T di n ABCD u c nh a, CI là trung tuy n c a tam giác u ABC nên CI = a 3 2 ( ) CI . AC  cos CI ; AC = 2 → a 3 , ( 2). 2 ( Ta có CI . AC = CI . AI + IC = CI . AI + CI . IC ) Do ∆ABC u nên CI ⊥ AI ⇔ CI . AI = 0. Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán! www.moon.vn
LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hình h c không gian 2 .( a 3 a 3 ng th i, CI . IC = CI . IC .cos CI ; IC = 2 ) .cos1800 = − 3a 2 4  CI . AC = 0 − → 3a 2 4 =− 3a 2 4 . 3a 2 − Thay vào (2) ta ư c ( 2 ) ⇔ cos CI ; AC = 2 4 = − a 3 ( 2 3 )  CI ; AC = 1500. → ( ) 2 ( ) V y CI ; AC = 150 .0 Ví d 2. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC ôi m t vuông góc và SA = SB = SC = a. G i M là trung i m c a AB. a) Bi u di n các véc tơ SM và BC theo các véc tơ SA; SB; SC . ( b) Tính góc SM ; BC . ) Hư ng d n gi i: a) S d ng quy t c trung tuy n và quy t c tr hai véc tơ ta ư c   SA + SB = 2SM ← →  1  SM = SA + SB 2 ( )  BC = BS + SC   BC = SC − SB  ( b) cos SM ; BC = ) SM . BC SM . BC = SM . BC SM .BC , (1) .  SA.SB = 0   Mà SA, SB, SC ôi m t vuông góc nên  SA.SC = 0   SB.SC = 0  Tam giác SAB và SBC vuông t i S nên theo nh lý Pitago ta  BC = a 2  ư c AB = BC = a 2  → 1 a 2  SM = AB =  2 2 1  1 ( 2 0 )( ) 1 Theo câu a, SM .BC = SA + SB . SC − SB =  SA.SC − SA.SB + SB.SC − SB.SB  = − SB 2 = − 2 2 a2 2 0 0  a2 − Thay vào (1) ta ư c cos SM ; BC = ( SM . BC = SM .BC a 2 2 ) 1 = −  SM ; BC = 1200. 2 → ( ) .a 2 2 II. GÓC GI A HAI Ư NG TH NG 1) Khái ni m véc tơ ch phương c a ư ng th ng M t véc tơ u ≠ 0 mà có phương song song ho c trùng v i d ư c g i là véc tơ ch phương c a ư ng th ng d. 2) Góc gi a hai ư ng th ng Khái ni m: Góc gi a hai ư ng th ng a và b là góc gi a hai ư ng th ng a′; b′ l n lư t song song v i a; b. Kí hi u ( a;b ). a// a ′ T nh nghĩa ta có sơ   ( a;b ) = ( a ′;b′ ) →  b// b′ Nh n xét: + Gi s a, b có véc tơ ch phương tương ng là u; v và u; v = φ. ( ) ( a; b ) = φ ; 0o ≤ φ ≤ 90o Khi ó, ( a; b ) = 180o − φ ; 90o < φ ≤ 180o + N u a // b ho c a ≡ b thì ( a; b ) = 0o. Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán! www.moon.vn
LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hình h c không gian Các xác nh góc gi a hai ư ng th ng: Phương án 1 Phương án 2 (s d ng nh nghĩa) a ′// a T o ra các ư ng   ( a, b ) = ( a ′, b′ ) → - L y m t i m O b t kì thu c a  b′// b - Qua O, d ng ư ng ∆ // b  ( a, b ) = ( a, ∆ ) → Chú ý: Các phương pháp tính toán góc gi a hai ư ng th ng: N u góc thu c tam giác vuông thì dùng các công th c tính toán trong tam giác vuông: sin, cosin, tan, cot. N u góc thu c tam giác thư ng thì s d ng nh lý hàm s cosin trong tam giác ABC: b2 + c 2 − a 2 a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A  cos A = → . 2bc Ví d 1. Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình ch nh t, các tam giác SAB, SAD, SAC là các tam giác vuông t i A. Bi t SA = a 3; AB = a; AD = 3a . Tính góc gi a các ư ng th ng sau: a) SD và BC. b) SB và CD. c) SC và BD. Hư ng d n gi i: a) Tính góc gi a SD và BC xác nh góc gi a hai ư ng th ng SD và BC ta s d ng phương án 2, tìm ư ng th ng song song v i m t trong hai ư ng th ng SD, BC và song song v i m t ư ng còn l i. Ta d nh n th y AD // BC. SDA Khi ó ( SD; BC ) = ( SD; AD ) =  180o − SDA  SA 3 Xét ∆SAD: tan SDA = =  SDA = 30o. → AD 3 V y ( SD; BC ) = 30o. b) Tính góc gi a SB và CD SBA Tương t , CD//AB  ( SB;CD ) = ( SB;AB ) =  → 180o − SBA  SA Xét ∆SAB: tanSBA = = 3  SDA = 60o. → AB V y ( SB;CD ) = 60o. c) Tính góc gi a SC và BD G i O là tâm c a hình ch nh t ABCD, I là trung i m c a SA.  IOB Trong ∆SAC có OI // SC  ( SC; BD ) = ( OI; BD ) =  → 180o − IOB  2 a 3 a 7 Áp d ng nh lý Pitago cho tam giác vuông ABI: IB = IA + AB =  2  2  +a = 2  22   a 10 ABCD là hình ch nh t nên BD = AB2 + AD 2 = a 2 + 9a 2 = a 10  OB = → = OA 2 2 2  a 3   a 10  a 13 Áp d ng nh lý Pitago cho tam giác vuông ABO: IO = IA + AO =   2  + 2  = 2 2   2      Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán! www.moon.vn
LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hình h c không gian 13a 2 10a 2 7a 2 + − OI + OB − IB 2 2 2 4 = 8 Khi ó, theo nh lý hàm s cosin cho ∆IOB ta ư c: cos IOB = = 4 4 2.OI.OB a 13 a 10 130 2. . 2 2  8   IOB = arccos  →  = ( SC;BD ).  130   8  V y ( SC;BD ) = arccos  .  130  Ví d 2. Cho t di n ABCD, g i M, N là trung i m c a BC, AD. Bi t AB = CD = 2a , MN = a 3 . Tính góc gi a hai ư ng th ng AB và CD. Hư ng d n gi i: Do AB và CD là các c nh c a t di n nên chúng chéo nhau, xác nh góc gi a hai ư ng th ng AB và CD ta t o các ư ng th ng tương ng song song v i AB, CD và chúng c t nhau. G i P là trung i m c a AC, khi ó MP // AB, NP // CD  MPN  ( AB,CD ) = ( MP, NP ) =  → 180o − MPN  Do MP, NP là các ư ng trung bình nên ta có MP = NP = a. Áp d ng nh lý hàm s cosin trong ∆MPN ta ư c MP 2 + NP 2 − MN 2 2a 2 − 3a 2 1 cos MPN = = =− 2MP.NP 2.a.a 2  MPN = 120o ⇔ ( MP, NP ) = 60o → V y ( AB,CD ) = 60o. Nh n xét: Ngoài vi c kh i t o P như trên ta cũng có th l y i m P là trung i m c a BD, cách gi i khi ó cũng tương t . Ví d 3. Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình thang vuông t i A và D, AD = DC = a, AB = 2a. SA vuông góc v i 2 3a AB và AD, SA = . Tính góc c a 2 ư ng th ng 3 a) DC và SB. b) SD và BC. Hư ng d n gi i: Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán! www.moon.vn
LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hình h c không gian a) Do DC // AB  ( DC,SB ) = ( AB,SB ) = α → 2a 3 SA 3 Tam giác SAB vuông t i A nên α là góc nh n, khi ó tan α = = 3 =  α = 30o → AB 2a 3 V y góc gi a hai ư ng th ng DC và SB b ng 30o. b) G i I là trung i m c a AB, khi ó AI = a. T giác ADCI là hình bình hành (do AI // DC), có AI = AD = a nên là hình thoi. L i có góc A, D vuông nên ADCI là hình vuông c nh a  DI = a 2. → m t khác, t giác BIDC là hình bình hành (do c p c nh DC và BI song song và b ng nhau) nên BC // DI. Khi ó, ( SD, BC ) = ( SD, DI ) = β . 2  2a 3  7a 2 Tam giác SAI vuông t i A nên SI = SA + AI =  2 2  3   +a = 2 2   3 2  2a 3  7a 2 Tam giác SAD vuông t i A nên SD = SA + AD =  2  3   +a = 2 2 2   3 SD 2 + DI 2 − SI2 2a 2 3 Áp d ng nh lý hàm s cosin trong tam giác SDI ta ư c cosSDI = = = 2SD.DI a 21 42 2. .a 2 3  3  Do cosSDI > 0 nên góc SDI là góc nh n  β = SDI = arccos  → .  42  BÀI T P LUY N T P: Cho t di n u ABCD c nh a, g i I là trung i m c nh AD. Tính góc gi a hai ư ng th ng AB và CI.  3 /s: ( AB; CI ) = arccos   6 .    Cho t di n ABCD. G i M, N, P l n lư t là trung i m c a BC, AD và AC. Bi t AB = 2a, CD = 2a 2, MN = a 5. Tính góc gi a hai ư ng th ng AB và CD. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = a 2. Tính góc gi a SC , AB , t ( ) ó suy ra góc gi a SC và AB. III. HAI Ư NG TH NG VUÔNG GÓC Hai ư ng th ng a, b ư c g i là vuông góc v i nhau n u ( a; b ) = 90o ← a ⊥ b. → Chú ý: Các phương pháp ch ng minh a ⊥ b: Ch ng minh ( a; b ) = 90o Ch ng minh hai véc tơ ch phương c a hai ư ng th ng vuông góc v i nhau, u.v = 0. Ch ng minh hai ư ng th ng có quan h theo nh lý Pitago, trung tuy n tam giác cân, u... Ví d 1. Cho t di n ABCD trong ó AB = AC = AD = a, BAC = 60 , BAD = 60 , CAD = 90o . G i I và J l n lư t o o là trung i m c a AB và CD. a) Ch ng minh r ng IJ vuông góc v i c hai ư ng AB và CD. b) Tính dài IJ. Hư ng d n gi i: Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán! www.moon.vn
LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hình h c không gian a) T gi thi t ta d dàng suy ra tam giác ABC, ABD u, ∆ACD vuông cân t i A. T ó BC = BD = a,CD = a 2 →∆BCD vuông cân t i B. Ch ng minh IJ vuông góc v i AB Do các ∆ACD, ∆BCD vuông cân t i A, B nên  1 AJ = 2 CD    AJ = BJ ⇔ IJ ⊥ AB. → BJ = 1 CD   2 Ch ng minh IJ vuông góc v i CD Do các ∆ACD, ∆BCD u nên CI = DI → IJ ⊥CD. b) Áp d ng nh lý Pitago cho ∆AIJ vuông t i I ta ư c 2  a 2  a2 a IJ = AJ − AI =  2  2  − 4 =2 2    V y IJ = a/2. Ví d 2. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và ASB = BSC = CSA. Ch ng minh r ng SA ⊥ BC, SB ⊥ AC, SC ⊥ AB. Hư ng d n gi i: Ch ng minh: SA ⊥ BC. ( ) Xét SA.BC = SA. SC − SB = SA.SC − SA.SB ( SA.SC = SA.SC.cos SA;SC ) Mà SA.SB = SA.SB.cos( SA;SB )  SA.SC = SA.SB ⇔ SA.SC − SA.SB = 0 ← SA.BC = 0 ⇔ SA ⊥ BC → → SA = SB = SC ASB = BSC = CSA Ch ng minh tương t ta cũng ư c SB ⊥ AC, SC ⊥ AB Ví d 3. Cho t di n u ABCD, c nh b ng a. G i O là tâm ư ng tròn ngo i ti p ∆BCD. a) Ch ng minh AO vuông góc v i CD. b) G i M là trung i m c a CD. Tính góc gi a BC và AM. AC và BM. Hư ng d n gi i: a) S d ng phương pháp dùng tích vô hư ng G i M là trung i m c a CD. Ta có ( ) AO.CD = AM + MO .CD = AM.CD + MO.CD Do ABCD là t di n u nên AM ⊥ CD và O là tâm áy (hay O là giao i m c a ba ư ng cao). Khi ó AM ⊥ CD  AM.CD = 0  ⇔  AO.CD = 0 ⇔ AO ⊥ CD. → MO ⊥ CD MO.CD = 0  b) Xác nh góc gi a BC và AM; AC và BM Xác nh góc gi a BC và AM: G i I là trung i m c a BD → MI // BC.  AMI T ó ( BC;AM ) = ( MI; AM ) =  180 − AMI  Áp d ng nh lý hàm s cosin trong ∆AMI ta ư c AM 2 + MI 2 − AI2 cos AMI = , (1) . 2.AM.MI a 3 Các ∆ABD, ∆ACD u, có c nh a nên AI = AM = . 2 Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán! www.moon.vn
LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hình h c không gian MI là ư ng trung bình nên MI = a/2. 2 2 2 a 3a 3a + − T ó (1) ⇔ cos AMI = 4 4 4 = 1  AMI = arccos  1  ⇔ ( BC; AM ) = arccos  1  . →     a a 3 2 3 2 3 2 3 2. . 2 2 Xác nh góc gi a BC và AM: G i J là trung i m c a AD → MJ // AC.  BMJ Khi ó ( AC;BM ) = ( MJ; BM ) =  180 − BMJ  a 3 Các tam giác ABD, BCD là các tam giác u c nh a, nên các trung tuy n tương ng BJ = BM = 2  1  Do ó, ∆AIM = ∆BJM  AMI = BMJ = arccos  → . 2 3  1  V y ( AC;BM ) = arccos  . 2 3 Ví d 4. Cho hình l p phương ABCD.A′B′C′D′ c nh a. t AB = a, AD = b, AA′ = c. a) Tính góc gi a các ư ng th ng: ( AB,B′C′ ); ( AC,B′C′ ); ( A′C′,B′C ). b) G i O là tâm c a hình vuông ABCD và I là m t i m sao cho OI = OA + OA′ + OB + OB′ + + OC + OC′ + OD + OD′. Tính kho ng cách t O n I theo a. c) Phân tích hai véc tơ AC′, BD theo ba véc tơ a, b, c. T ó, ch ng t r ng AC′ và BD vuông góc v i nhau. ′ ′ d) Trên c nh DC và BB′ l y hai i m tương ng M, N sao cho DM = BN = x (v i 0 < x < a). ′ Ch ng minh r ng AC′ vuông góc v i MN. Hư ng d n gi i: Nh n xét: làm t t các bài toán liên quan n hình l p phương ta c n nh m t s tính ch t cơ b n c a hình l p phương: T t c các ư ng chéo các m t c a hình l p phương u b ng nhau và b ng a 2 (n u hình l p phương c nh a). Các o n th ng t o b i các kích thư c c a hình l p phương luôn vuông góc v i nhau (dài, r ng, cao). a) Tính góc gi a: ( AB,B′C′ ); ( AC,B′C′ ); ( A′C′,B′C ). Tính ( AB, B′C′ ) : Do B′C′//BC  ( AB, B′C′ ) = ( AB, BC ) = 90o. → Tính ( AC, B′C′ ) :  ACB Do B′C′//BC  ( AC, B′C′ ) = ( AC,BC ) =  → 180o − ACB  ABCD là hình vuông nên ∆ABC là tam giác vuông cân t i B  ACB = 45o ⇔ ( AC, B′C′ ) = 45o. → Tính ( A′C′, B′C ) :  ACB′ Do A′C′//AC  ( A′C′, B′C ) = ( AC, B′C ) =  → 180o − ACB′  Xét trong tam giác ACB′ có AC = B′C = AB′ (do u là các ư ng chéo các m t hình vuông c a hình l p phương). Do ó ∆ACB′ u  ACB′ = 60 ⇔ ( A′C′, B′C ) = 60 . → o o b) Tính dài OI theo a. Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán! www.moon.vn
LUY N THI I H C MÔN TOÁN – Th y Hùng Chuyên Hình h c không gian OA + OC = 0  V i O là tâm c a hình vuông ABCD thì   OA + OC + OB + OD = 0 → OB + OD = 0  Khi ó OI = OA′ + OB′ + OC′ + OD′ OA′ + OC′ = 2OO′  G i O′ là tâm c a áy A′B′C′D′, theo quy t c trung tuy n ta có   OI = 4OO′ → OB′ + OD′ = 2OO′  Kho ng cách t O n I chính là dài véc tơ OI, t ó ta ư c OI = 4OO′ = 4a. c) Phân tích hai véc tơ AC′, BD theo ba véc tơ a, b, c. a.b = 0   Theo tính ch t c a hình l p phương ta d dàng có a.c = 0  b.c = 0  AC′ = AB + BC + CC′ = a + b + c Phân tích: BD = BA + AD = b − a Ch ng minh AC′ vuông góc v i BD. ( )( ) 2 2 2 2 Xét AC′.BD = a + b + c . b − a = a.b + b + c.b − a − a.b − c.a = b − a = AD2 − AB2 = 0 ⇔ AC′.BD ⇔ AC′ ⊥ BD. 0 0 0 0 d) Ch ng minh r ng AC′ vuông góc v i MN. MN = MC + CB + BN Ta có phân tích: AC′ = AB + BC + CC′     ( )( )  MN.AC′ = MC + CB + BN . AB + BC + CC′ =  MC.AB + MC.BC + MC.CC′  +  CB.AB + CB.BC + CB.CC′  + →  0 0   0 0    +  BN.AB + BN.BC + BN.CC′  = MC.AB + CB.BC + BN.CC′  0 0  MC.AB = MC.AB.cos0o = ( a − x ) a Mà CB.BC = CB.BC.cos180o = −a 2  MN.AC′ = ( a − x ) a − a 2 + ax = 0 ⇔ MN ⊥ AC′. → BN.CC′ = BN.CC′.cos0o = ax BÀI T P T LUY N Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình ch nh t v i AB = a; AD = a 3 , SA = 2a và vuông góc v i áy. Tính góc gi a các ư ng th ng sau: a) SB và CD b) SD và BC c) SB và AC d) SC và BD Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vuông c nh 2a, hình chi u vuông góc c a S xu ng m t áy là trung i m H c a AB, bi t SH = a 3. G i I là trung i m c a SD. Tính góc gi a các ư ng th ng: a) SC và AB b) SD và BC c) CI và AB d) BD và CI Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình thang vuông t i A, B v i AB = 3a, AD = 2a, DC = a. Hình chi u vuông góc c a S xu ng m t ph ng (ABCD) là H thu c AB v i AH = 2HB, bi t SH = 2a. Tính góc gi a a) SB và CD b) SB và AC Tham gia khóa TOÁN 2014 t 9 i m Toán! www.moon.vn

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.